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第九章排列、组合和二项式定理考试内容 分类计数原理与分步计数原理. 排列.排列数公式. 组合.组合数公式.组合数的两个性质. 二项式定理.二项展开式的性质.考试要求
(1)掌握分类计数原理与分步计数原理,并能用它们分析睡解决一些简单的应用问题.
(2)理解排列的意义,掌握排列数计算公式,并能用它解决一些简单的应用问题.
(3)理解组合的意义,掌握排列数计算公式和组合的性质,并能用它们解决一些简单的应用问题.
(4)掌握二项式定理和二项展开式的性质,并能用它们计算和证明一些简单的问题.g
3.1089 分类计数原理与分步计数原理
1、知识回顾分类计数原理和分步计数原理
(1)分类计数原理(加法原理)做一件事情,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,……,在第n类办法中有mn种不同的方法那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法2分步计数原理(乘法原理)做一件事情,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,……,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事有N=m1×m2×…×mn种不同的方法
二、基础训练
1.十字路口来往的车辆,如果不允许回头,则行车路线共有().A.24种B.16种C.12种D.10种
2.(2002年全国)从正方体的6个面中选取3个面,其中有2个面不相邻的选法共有A.8种B.12种C.16种D.20种
3.5名运动员争夺3项比赛冠军(每项比赛无并列冠军),那么获得冠军的可能种数为()A、B、C、D、
4.(05湖南卷)4位同学参加某种形式的竞赛,竞赛规则规定每位同学必须从甲.乙两道题中任选一题作答,选甲题答对得100分,答错得-100分;选乙题答对得90分,答错得-90分.若4位同学的总分为0,则这4位同学不同得分情况的种数是() A.48 B.36 C.24 D.
185.某城市的电话号码,由七位升为八位(首位数字均不为零),则该城市可增加的电话部数是()A.9×8×7×6×5×4×3×2B.8×97C.9×107D.81×
1066..72的正约数共有__________个.
7.(2005年春季北京,13)从-1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)=ax2+bx+c的系数,可组成不同的二次函数共有____________个,其中不同的偶函数共有____________个.(用数字作答)
三、例题分析例
1.电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱,其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封.现由主持人抽奖确定幸运观众,若先确定一名幸运之星,再从两信箱中各确定一名幸运伙伴,有多少种不同的结果?例
2.从集合{1,2,3,…,10}中,选出由5个数组成的子集,使得这5个数中的任何两个数的和不等于11,这样的子集共有多少个变题上例中选出5个数组成子集改为选出4个数呢例
3.某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6个部分(如下图).现要栽种4种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有_____________种.(以数字作答)例
4.关于正整数2160,求
(1)它有多少个不同的正因数?
(2)它的所有正因数的和是多少?例
5.球台上有4个黄球,6个红球,击黄球入袋记2分,击红球入袋记1分,欲将此十球中的4球击入袋中,但总分不低于5分,击球方法有几种?例
6.关于正整数2160,求
(1)它有多少个不同的正因数?
(2)它的所有正因数的和是多少?例
7.球台上有4个黄球,6个红球,击黄球入袋记2分,击红球入袋记1分,欲将此十球中的4球击入袋中,但总分不低于5分,击球方法有几种?
四、同步练习g
3.1089分类计数原理与分步计数原理
1.(2004年全国,文5)从长度分别为
1、
2、
3、4的四条线段中,任取三条的不同取法共有n种.在这些取法中,以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m,则等于A.0B.C.D.
2.(2004年黄冈检测题)某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单,开演前又增加了3个新节目,如果将这3个节目插入节目单中,那么不同的插法种数为A.504B.210C.336D.
1203.从图中的12个点中任取3个点作为一组,其中可构成三角形的组数是A.208B.204C.200D.
1964.(2004年全国卷三.文理12)将4名教师分配到3所中学任教,每所中学至少1名教师,则不同的分配方案共有.A.12种B.24种C.36种D.48种
5.(05福建卷)从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市有一人游览,每人只游览一个城市,且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览,则不同的选择方案共有A.300种B.240种C.144种D.96种
6.从1到10的正整数中,任意抽取两个相加,所得和为奇数的不同情形有__________种.
7.4棵柳树和4棵杨树栽成一行,柳树、杨树逐一相间的栽法有_____________种.
8.(2001年上海)某餐厅供应客饭,每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2菜2素共4种不同的品种.现在餐厅准备了5种不同的荤菜,若要保证每位顾客有200种以上的不同选择,则餐厅至少还需要不同的素菜品种_____________种.(结果用数值表示)
9.(2003年全国)如图,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色.现有4种颜色可供选择,则不同的着色方法共有_____________种.(以数字作答)
10.设有编号为1,2,3,4,5的五个球和编号为1,2,3,4,5的五个盒子.现将这五个球投放入这五个盒子内,要求每个盒子内投放一球,并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,则这样的投放方法有多少种
11.五名学生报名参加四项体育比赛,每人限报一项,报名方法的种数为多少?又他们争夺这四项比赛的冠军,获得冠军的可能性有多少种?
12.三边长均为整数,且最大边长为11的三角形的个数是多少基本训练1—5CBABD
6.
127.48;9同步练习答案1—
3、BACCB
6、
25.
7、
1152.
8、
7.
9、
72..
10、
20.
11.解
(1)5名学生中任一名均可报其中的任一项,因此每个学生都有4种报名方法,5名学生都报了项目才能算完成这一事件.故报名方法种数为4×4×4×4×4=45种.
(2)每个项目只有一个冠军,每一名学生都可能获得其中的一项获军,因此每个项目获冠军的可能性有5种.故有n=5×5×5×5=54种.
12.解设较小的两边长为x、y且x≤y,则x≤y≤11,x+y11,x、y∈N*.当x=1时,y=11;当x=2时,y=10,11;当x=3时,y=9,10,11;当x=4时,y=8,9,10,11;当x=5时,y=7,8,9,10,11;当x=6时,y=6,7,8,9,10,11;当x=7时,y=7,8,9,10,11;……当x=11时,y=
11.所以不同三角形的个数为1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=
36.例6解
(1)∵N=2160=24×33×5,∴2160的正因数为P=2α×3β×5γ,其中α=0,1,2,3,4,β=0,1,2,3,γ=0,
1.∴2160的正因数共有5×4×2=40个.
(2)式子(20+21+22+23+24)×(30+31+32+33)×(50+51)的展开式就是40个正因数.∴正因数之和为31×40×6=
7440.例
7.解设击入黄球x个,红球y个符合要求,则有x+y=4,2x+y≥5(x、y∈N),得1≤x≤
4.∴相应每组解(x,y),击球方法数分别为CC,CC,CC,CC.共有不同击球方法数为CC+CC+CC+CC=
195.。