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课时规范练6 函数的奇偶性与周期性 课时规范练第11页
一、选择题
1.2013广东高考定义域为R的四个函数y=x3y=2xy=x2+1y=2sinx中奇函数的个数是 A.4B.3C.2D.1答案:C解析:y=x3y=2sinx为奇函数;y=x2+1为偶函数;y=2x为非奇非偶函数.所以共有2个奇函数故选C.
2.2014湖南长沙实验中学月考已知fx是奇函数当x0时fx=axa0且a≠1且flo4=-3则a的值是 A.B.3C.9D.答案:A
3.已知fx是定义在R上的奇函数当x≥0时fx=x2+2x若f2-a2fa则实数a的取值范围是 A.-∞-1∪2+∞B.-12C.-21D.-∞-2∪1+∞答案:C解析:因为fx是奇函数所以当x0时fx=-x2+2x作出fx的大致图象如图中实线所示结合图象可知fx是R上的增函数由f2-a2fa得2-a2a即-2a1选C.
4.定义两种运算:a⊕b=log2a2-b2a⊗b=则函数fx=为 A.奇函数B.偶函数C.奇函数且为偶函数D.非奇且非偶函数答案:A解析:fx=由得-2x2且x≠0故fx=为奇函数.
5.设fx是定义在R上以2为周期的偶函数当x∈
[23]时fx=x则x∈[-20]时fx的解析式为 A.fx=2+|x+1|B.fx=2-xC.fx=3-|x+1|D.fx=2x+4答案:C解析:根据已知画出草图再求解析式.
6.已知函数fx是R上的单调增函数且为奇函数数列{an}是等差数列a30则fa1+fa3+fa5的值 A.恒为正数B.恒为负数C.恒为0D.可正可负答案:A解析:不妨设等差数列{an}的公差d0若a10则a5a3a
10.由函数fx在R上是增函数且为奇函数知fa5fa3fa10所以fa1+fa3+fa50;若a10则a5+a1=2a30a5-a
10.由奇函数fx为R上的增函数知fa5f-a1=-fa1所以fa1+fa50又fa30所以fa1+fa3+fa
50.故选A.
二、填空题
7.定义在R上的偶函数fx满足对任意x∈R都有fx+8=fx+f4且x∈
[04]时fx=4-x则f2011的值为 . 答案:1解析:f4=0∴fx+8=fx∴T=8∴f2011=f3=4-3=
1.
8.定义在R上的奇函数fx当x∈0+∞时fx=log2x则不等式fx-1的解集是 . 答案:解析:当x0时-x0∴fx=-f-x=-log2-x∴fx=∴fx-1⇒或⇒0x或x-
2.
9.2014湖南湘潭高三上学期联考设定义域为R的函数fx满足下列条件:对任意x∈Rfx+f-x=0且对任意x1x2∈[1a]a1当x2x1时有fx2fx
10.给出下列四个结论:
①faf0;
②ff;
③ff-3;
④ff-a.其中所有的正确结论的序号是 . 答案:
①②④
三、解答题
10.设偶函数fx对任意x∈R都有fx+3=-且当x∈[-3-2]时fx=4x求f
107.5的值.解:因为fx+3=-所以fx+6=-=fx故fx的周期为6则f
107.5=f6×17+
5.5=f
5.5=-=-=-.
11.已知函数y=fx的定义域为R且对任意ab∈R都有fa+b=fa+fb.且当x0时fx0恒成立f3=-
3.1证明:函数y=fx是R上的减函数;2证明:函数y=fx是奇函数;3试求函数y=fx在[mn]mn∈N*上的值域.答案1证明:设任意x1x2∈R且x1x2fx2=f[x1+x2-x1]=fx1+fx2-x
1.∵x2-x10∴fx2-x
10.∴fx2=fx1+fx2-x1fx1故fx是R上的减函数.2证明:∵fa+b=fa+fb恒成立∴可令a=-b=x则有fx+f-x=f
0.又令a=b=0则有f0=f0+f0∴f0=
0.从而任意的x∈Rfx+f-x=0∴f-x=-fx.故y=fx是奇函数.3解:由于y=fx是R上的单调递减函数∴y=fx在[mn]上也是减函数故fx在[mn]上的最大值fxmax=fm最小值fxmin=fn.由于fn=f[1+n-1]=f1+fn-1=…=nf1同理fm=mf
1.又f3=3f1=-3∴f1=-
1.∴fm=-mfn=-n.因此函数y=fx在[mn]上的值域为[-n-m].
12.已知函数fx的定义域为R且满足fx+2=-fx.若fx为奇函数且当0≤x≤1时fx=x求使fx=-在
[02014]上的所有x的个数.解:当0≤x≤1时fx=x设-1≤x≤0则0≤-x≤1∴f-x=-x=-x.∵fx是奇函数∴f-x=-fx.∴-fx=-x即fx=x.故fx=x-1≤x≤
1.又设1x3则-1x-
21.∴fx-2=x-
2.又∵fx-2=-f2-x=-f[-x+2]=-[-f-x]=-fx∴-fx=x-
2.∴fx=-x-21x
3.∴fx=由fx=-解得x=-
1.又∵fx+2=-fx∴fx+4=-fx+2=-[-fx]=fx∴fx是以4为周期的周期函数.∴fx=-的所有x=4n-1n∈Z.令0≤4n-1≤2014则≤n≤又∵n∈Z∴1≤n≤503n∈Z故在
[02014]上共有503个x使fx=-.。