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2013年普通高等学校招生全国统一考试新课标
(1)理科数学(完整解析版)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页全卷满分150分考试时间120分钟第Ⅰ卷
1、选择题共12小题每小题5分,共60分在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项
1、已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|-<x<},则A、A∩B=B、A∪B=RC、B⊆AD、A⊆B【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法、集合运算及集合间关系,是容易题.【解析】A=-0∪2+∴A∪B=R故选B.
2、若复数z满足3-4iz=|4+3i|,则z的虚部为A、-4(B)-(C)4(D)【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及复数模的计算,是容易题.【解析】由题知===,故z的虚部为,故选D.
3、为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是A、简单随机抽样B、按性别分层抽样C、按学段分层抽样D、系统抽样【命题意图】本题主要考查分层抽样方法,是容易题.【解析】因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,故最合理的抽样方法是按学段分层抽样,故选C.
4、已知双曲线C:-=1a>0,b>0的离心率为QUOTE,则C的渐近线方程为A、y=±QUOTEx(B)y=±QUOTEx(C)y=±QUOTEx(D)y=±x【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质,是简单题.【解析】由题知,,即==,∴=,∴=,∴的渐近线方程为,故选.
5、执行右面的程序框图,如果输入的t∈[-1,3],则输出的s属于A、[-34]B、[-52]C、[-43]D、[-25]【命题意图】本题主要考查程序框图及分段函数值域求法,是简单题.【解析】有题意知当时,当时,,∴输出s属于[-34],故选.
6、如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为A、cm3B、cm3C、cm3D、cm3【命题意图】本题主要考查球的截面圆性质、球的体积公式,是容易题.【解析】设球的半径为R,则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4,球心到截面圆的距离为R-2,则,解得R=5,∴球的体积为=,故选A.
7、设等差数列{an}的前n项和为Sn,Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=A、3B、4C、5D、6【命题意图】本题主要考查等差数列的前n项和公式及通项公式,考查方程思想,是容易题.【解析】有题意知==0,∴=-=-(-)=-2,=-=3,∴公差=-=1,∴3==-,∴=5,故选C.
8、某几何函数的三视图如图所示,则该几何的体积为A、16+8πB、8+8πC、16+16πD、8+16π【命题意图】本题主要考查简单组合体的三视图及简单组合体体积公式,是中档题.【解析】由三视图知,该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4,上边放一个长为4宽为2高为2长方体,故其体积为=,故选.
9、设m为正整数,x+y2m展开式的二项式系数的最大值为a,x+y2m+1展开式的二项式系数的最大值为b,若13a=7b,则m=A、5B、6C、7D、8【命题意图】本题主要考查二项式系数最大值及组合数公式,考查方程思想,是容易题.【解析】由题知=,=,∴13=7,即=,解得=6,故选B.
10、已知椭圆+=1ab0的右焦点为F30,过点F的直线交椭圆于A、B两点若AB的中点坐标为1,-1,则E的方程为A、+=1B、+=1C、+=1D、+=1【命题意图】本题主要考查椭圆中点弦的问题,是中档题.【解析】设,则=2,=-2,
①②①-
②得,∴===,又==,∴=,又9==,解得=9,=18,∴椭圆方程为,故选D.
11、已知函数fx=,若|fx|≥ax,则a的取值范围是A、(-∞,0]B、(-∞,1]C、[-2,1]D、[-2,0]【命题意图】本题主要考查函数不等式恒成立求参数范围问题的解法,是难题【解析】∵||=,∴由||≥得,且,由可得,则≥-2,排除A,B,当=1时,易证对恒成立,故=1不适合,排除C,故选D.
12、设△AnBnCn的三边长分别为anbncn,△AnBnCn的面积为Sn,n=123…若b1>c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1=,cn+1=,则A、{Sn}为递减数列B、{Sn}为递增数列C、{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列D、{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列【命题意图】本题主要考查由递推公式求通项公式,三角形面积海伦公式,属于难题【解析】B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分第
(13)题-第
(21)题为必考题,每个考生都必须作答第
(22)题-第
(24)题为选考题,考生根据要求作答二.填空题本大题共四小题,每小题5分
13、已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+1-tb,若b·c=0,则t=_____.【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积,是容易题.【解析】=====0,解得=.
14、若数列{an}的前n项和为Sn=an+QUOTE,则数列{an}的通项公式是an=______.【命题意图】本题主要考查等比数列定义、通项公式及数列第n项与其前n项和的关系,是容易题.【解析】当=1时,==,解得=1,当≥2时,==-=,即=,∴{}是首项为1,公比为-2的等比数列,∴=.
15、设当x=θ时,函数fx=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ=______【解析】∵==令=,,则==,当=,即=时,取最大值,此时=,∴===.本题还可用反三角函数理解,求解
16、若函数fx=1-x2x2+ax+b的图像关于直线x=-2对称,则fx的最大值是______.【命题意图】本题主要考查函数的对称性及利用导数求函数最值,是难题.【解析】由图像关于直线=-2对称,则0==,0==,解得=8,=15,∴=,∴===当∈-∞∪-2时,>0,当∈-2∪+∞时,<0,∴在(-∞,)单调递增,在(,-2)单调递减,在(-2,)单调递增,在(,+∞)单调递减,故当=和=时取极大值,==
16.三.解答题解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
17、(本小题满分12分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°1若PB=,求PA;2若∠APB=150°,求tan∠PBA【命题意图】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形及两角和与差公式,是容易题.【解析】(Ⅰ)由已知得,∠PBC=,∴∠PBA=30o,在△PBA中,由余弦定理得==,∴PA=;(Ⅱ)设∠PBA=,由已知得,PB=,在△PBA中,由正弦定理得,,化简得,,∴=,∴=.
18、(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(Ⅰ)证明AB⊥A1C;(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值【命题意图】本题主要考查空间线面、线线垂直的判定与性质及线面角的计算,考查空间想象能力、逻辑推论证能力,是容易题.【解析】(Ⅰ)取AB中点E,连结CE,,,∵AB=,=,∴是正三角形,∴⊥AB,∵CA=CB,∴CE⊥AB,∵=E,∴AB⊥面,∴AB⊥;……6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知EC⊥AB,⊥AB,又∵面ABC⊥面,面ABC∩面=AB,∴EC⊥面,∴EC⊥,∴EA,EC,两两相互垂直,以E为坐标原点,的方向为轴正方向,||为单位长度,建立如图所示空间直角坐标系,有题设知A10000C00B-100则=(10,)==-10=0-……9分设=是平面的法向量,则,即,可取=(,1,-1),∴=,∴直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.……12分
19、(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立
(1)求这批产品通过检验的概率;
(2)已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位元),求X的分布列及数学期望【命题意图】【解析】设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A,第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B第二次取出的4件产品都是优质品为事件C,第二次取出的1件产品是优质品为事件D,这批产品通过检验为事件E,根据题意有E=AB∪CD且AB与CD互斥,∴PE=PAB+PCD=PAPB|A+PCPD|C=+=.…6分(Ⅱ)X的可能取值为400500800,并且PX=400=1-=,PX=500=,PX=800==,∴X的分布列为X400500800P……10分EX=400×+500×+800×=
506.25……12分20本小题满分12分已知圆M x+12+y2=1,圆N x-12+y2=9,动圆P与圆M外切并与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.【命题意图】【解析】由已知得圆的圆心为(-1,0)半径=1,圆的圆心为10半径=
3.设动圆的圆心为(,),半径为R.(Ⅰ)∵圆与圆外切且与圆内切,∴|PM|+|PN|===4,由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左右焦点,场半轴长为2,短半轴长为的椭圆左顶点除外,其方程为.(Ⅱ)对于曲线C上任意一点(,),由于|PM|-|PN|=≤2,∴R≤2当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=
2.∴当圆P的半径最长时,其方程为,当的倾斜角为时,则与轴重合,可得|AB|=.当的倾斜角不为时,由≠R知不平行轴,设与轴的交点为Q,则=,可求得Q(-4,0),∴设,由于圆M相切得,解得.当=时,将代入并整理得,解得=,∴|AB|==.当=-时,由图形的对称性可知|AB|=,综上,|AB|=或|AB|=.
(21)(本小题满分共12分)已知函数fx=x2+ax+b,gx=excx+d,若曲线y=fx和曲线y=gx都过点P0,2,且在点P处有相同的切线y=4x+2(Ⅰ)求a,b,c,d的值(Ⅱ)若x≥-2时,求k的取值范围【命题意图】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线、函数单调性与导数的关系、函数最值,考查运算求解能力及应用意识是中档题.【解析】(Ⅰ)由已知得,而=,=,∴=4,=2,=2,=2;……4分(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,设函数==(),==,有题设可得≥0,即,令=0得,=,=-2,
(1)若,则-2<≤0,∴当时,<0,当时,>0,即在单调递减,在单调递增,故在=取最小值,而==≥0,∴当≥-2时,≥0,即≤恒成立,2若,则=,∴当≥-2时,≥0,∴在-2+∞单调递增,而=0,∴当≥-2时,≥0,即≤恒成立,3若,则==<0,∴当≥-2时,≤不可能恒成立,综上所述,的取值范围为
[1].请考生在第
(22)、
(23)、
(24)三题中任选一题作答注意只能做所选定的题目如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑
(22)(本小题满分10分)选修4—1几何证明选讲如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于D(Ⅰ)证明DB=DC;(Ⅱ)设圆的半径为1,BC=QUOTEeq\r3,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径【命题意图】本题主要考查几何选讲的有关知识,是容易题.【解析】(Ⅰ)连结DE,交BC与点G.由弦切角定理得,∠ABF=∠BCE,∵∠ABE=∠CBE,∴∠CBE=∠BCE,BE=CE,又∵DB⊥BE,∴DE是直径,∠DCE=,由勾股定理可得DB=DC.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,∠CDE=∠BDE,BD=DC,故DG是BC的中垂线,∴BG=.设DE中点为O,连结BO,则∠BOG=,∠ABE=∠BCE=∠CBE=,∴CF⊥BF,∴Rt△BCF的外接圆半径等于.
(23)(本小题10分)选修4—4坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ(Ⅰ)把C1的参数方程化为极坐标方程;(Ⅱ)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥00≤θ<2π)【命题意图】本题主要考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程与直角坐标方程互化及两曲线交点求法、极坐标与直角坐标互化,是容易题.【解析】将消去参数,化为普通方程,即,将代入得,,∴的极坐标方程为;(Ⅱ)的普通方程为,由解得或,∴与的交点的极坐标分别为(),.
(24)(本小题满分10分)选修4—5不等式选讲【命题意图】已知函数fx=|2x-1|+|2x+a|,gx=x+
3.(Ⅰ)当a=-2时,求不等式fx<gx的解集;(Ⅱ)设a>-1,且当x∈[-QUOTE,QUOTE时,fx≤gx,求a的取值范围.本题主要考查含绝对值不等式解法、不等式恒成立求参数范围,是容易题.【解析】当=-2时,不等式<化为,设函数=,=,其图像如图所示,从图像可知,当且仅当时,<0,∴原不等式解集是.(Ⅱ)当∈[,时,=,不等式≤化为,∴对∈[,都成立,故,即≤,∴的取值范围为(-1,].开始输入tt1s=3ts=4t-t2输出s结束是否侧视图俯视图44422242主视图ABCP。