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2016年全国高考理科数学试题全国卷2
一、选择题本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1、已知z=m+3+m–1i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是A.–31B.–13C.1+∞D.–∞–
32、已知集合A={123},B={x|x+1x–20,x∈Z},则A∪B=A.{1}B.{12}C.{0123}D.{–10123}
3、已知向量a=1m,b=3–2,且a+b⊥b,则m=A.–8B.–6C.6D.
84、圆x2+y2–2x–8y+13=0的圆心到直线ax+y–1=0的距离为1,则a=A.–B.–C.D.
25、如下左1图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A.24B.18C.12D.
96、上左2图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为A.20πB.24πC.28πD.32π
7、若将函数y=2sin2x的图像向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为A.x=–k∈ZB.x=+k∈ZC.x=–k∈ZD.x=+k∈Z
8、中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,上左3图是实现该算法的程序框图执行该程序框图,若输入的x=2,n=2,依次输入的a为2,2,5,则输出的s=A.7B.12C.17D.
349、若cos–α=,则sin2α=A.B.C.–D.–
10、从区间
[01]随机抽取2n个数x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,构成n个数对x1y1,x2y2,…,xnyn,其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为A.B.C.D.
11、已知F
1、F2是双曲线E–=1的左,右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=则E的离心率为A.B.C.D.
212、已知函数fxx∈R满足f–x=2–fx,若函数y=与y=fx图像的交点为x1y1,x2y2,...xmym,则A.0B.mC.2mD.4m
二、填空题本大题共4小题,每小题5分
13、△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1,则b=___________.
14、α、β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题1如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β2如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n3如果α∥β,m⊂α,那么m∥β4如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等其中正确的命题有____________________填写所有正确命题的编号
15、有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是____________.
16、若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=lnx+1的切线,则b=__________.
三、解答题解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
17、本题满分12分Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S7=28记bn=[lgan],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[
0.9]=0,[lg99]=1.1求b1,b11,b101;2求数列{bn}的前1000项和.
18、本题满分12分某险种的基本保费为a单位元,继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下上年度出险次数01234≥5保费
0.85aa
1.25a
1.5a
1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下[]一年内出险次数01234≥5概率
0.
300.
150.
200.
200.
100.051求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;2若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;3求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
19、本小题满分12分如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E、F分别在AD、CD上,AE=CF=,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△DEF位置,OD=.1证明DH⊥平面ABCD;2求二面角B–DA–C的正弦值.
20、本小题满分12分已知椭圆E+=1的焦点在X轴上,A是E的左顶点,斜率为kk0的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.1当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;2当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.
21、本小题满分12分1讨论函数fx=ex的单调性,并证明当x0时,x–2ex+x+20;2证明当a∈[01时,函数gx=x0有最小值设gx的最小值为ha,求函数ha的值域.请考生在
22、
23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
22、本小题满分10分[选修4–1几何证明选讲]如图,在正方形ABCD中,E、G分别在边DA,DC上不与端点重合,且DE=DG,过D点作DF⊥CE,垂足为F.1证明B,C,G,F四点共圆;2若AB=1,E为DA的中点,求四边形BCGF的面积.
23、本小题满分10分[选修4–4坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中,圆C的方程为x+62+y2=25.1以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;2直线l的参数方程是t为参数,l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率.
24、本小题满分10分[选修4–5不等式选讲]已知函数fx=|x–|+|x+|,M为不等式fx2的解集.1求M;2证明当a,b∈M时,|a+b||1+ab|.参考答案
1、解析∴m+30,m–10,∴–3m1,故选A.
2、解析B={x|x+1x–20,x∈Z}={x|–1x2,x∈Z},∴B={01},∴A∪B={0123},故选C.
3、解析向量a+b=4m–2,∵a+b⊥b,∴a+b·b=10–2m–2=0,解得m=8,故选D.
4、解析圆x2+y2–2x–8y+13=0化为标准方程为x–12+y–42=4,故圆心为14,d==1,解得a=–,故选A.
5、解析一E→F有6种走法,F→G有3种走法,由乘法原理知,共6×3=18种走法,故选B.解析二由题意,小明从街道的E处出发到F处最短有C条路,再从F处到G处最短共有C条路,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为C·C=18条,故选B
6、解析几何体是圆锥与圆柱的组合体,设圆柱底面圆半径为r,周长为c,圆锥母线长为l,圆柱高为h.由图得r=2,c=2πr=4π,由勾股定理得l==4,S表=πr2+ch+cl=4π+16π+8π=28π,故选C.
7、解析由题意,将函数y=2sin2x的图像向左平移个单位得y=2sin2x+=2sin2x+,则平移后函数的对称轴为2x+=+kπ,k∈Z,即x=+,k∈Z,故选B
8、解析第一次运算s=0×2+2=2,第二次运算s=2×2+2=6,第三次运算s=6×2+5=17,故选C.
9、解析∵cos–α=,sin2α=cos–2α=2cos2–α–1=,故选D.解法二对cos–α=展开后直接平方解法三换元法
10、解析由题意得xiyii=1,2,3,...,n在如图所示方格中,而平方和小于1的点均在如图的阴影中由几何概型概率计算公式知=,∴π=,故选C.
11、解析离心率e=,由正弦定理得e====.故选A.
12、解析由f–x=2–fx得fx关于01对称,而y==1+也关于01对称,∴对于每一组对称点xi+xi=0,yi+yi=2,∴,故选B.
13、解析∵cosA=,cosC=,sinA=,sinC=,∴sinB=sinA+C=sinAcosC+cosAsinC=,由正弦定理=,解得b=.
14、解析对于
①,m⊥n,m⊥α,n∥β,则α,β的位置关系无法确定,故错误;对于
②,因为,所以过直线n作平面γ与平面β相交于直线c,则n∥c,因为m⊥α,∴m⊥c,∴m⊥n,故
②正确;对于
③,由两个平面平行的性质可知正确;对于
④,由线面所成角的定义和等角定理可知其正确,故正确的有
②③④.
15、解析由题意得丙不拿23,若丙12,则乙23,甲13满足;若丙13,则乙23,甲12不满足;故甲13,
16、解析y=lnx+2的切线为y=·x+lnx1+1设切点横坐标为x1y=lnx+1的切线为y=·x+lnx2+1–,∴解得x1=,x2=–∴b=lnx1+1=1–ln2.
17、解析1设{an}的公差为d,S7=7a4=28,∴a4=4,∴d==1,∴an=a1+n–1d=n.∴b1=[lga1]=[lg1]=0,b11=[lga11]=[lg11]=1,b101=[lga101]=[lg101]=2.2记{bn}的前n项和为Tn,则T1000=b1+b2+...+b1000=[lga1]+[lga2]+...+[lga1000].当0≤lgan1时,n=1,2,...,9;当1≤lgan2时,n=10,11,...,99;当2≤lgan3时,n=100,101,...,999;当lgan=3时,n=1000.∴T1000=0×9+1×90+2×900+3×1=1893.
18、1设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A,PA=1–P=1–
0.30+
0.15=
0.55.2设续保人保费比基本保费高出60%为事件B,PB|A===.⑶解设本年度所交保费为随机变量X.X
0.85aa
1.25a
1.5a
1.75a2aP
0.
300.
150.
200.
200.
100.05平均保费EX=
0.85a×
0.30+
0.15a+
1.25a×
0.20+
1.5a×
0.20+
1.75a×
0.10+2a×
0.05=
1.23a,∴平均保费与基本保费比值为
1.23.
19、解析1证明如下左1图,∵AE=CF=,∴=,∴EF∥AC.∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD,∴EF⊥BD,∴EF⊥DH,∴EF⊥DH.∵AC=6,∴AD=3;又AB=5,AO⊥OB,∴OB=4,∴OH=·OD=1,∴DH=DH=3,∴|OD|2=|OH|2+|DH|2,∴DH⊥OH.又∵OH∩EF=H,∴DH⊥面ABCD.2方法
一、几何法若AB=5,AC=6,则AO=3,B0=OD=4,∵AE=,AD=AB=5,∴DE=5–=,∵EF∥AC,∴====,∴EH=,EF=2EH=,DH=3,OH=4–3=1,∵HD’=DH=3,OD’=2,∴满足HD’2=OD’2+OH2,则△OHD’为直角三角形,且OD’⊥OH,即OD’⊥底面ABCD,即OD’是五棱锥D’–ABCFE的高.底面五边形的面积S=×AC·OB+=×6×4+=12+=,则五棱锥D’–ABCFE体积V=S·OD’=××2=.方法
二、向量法建立如下左2图坐标系H–xyz.B500,C130,D003,A1–30,∴向量AB=430,AD=–133,AC=060,设面ABD法向量n1=xyz,由得,取,∴n1=3–45.同理可得面ADC的法向量n2=301,∴|cosθ|===,∴sinθ=
20、解析1当t=4时,椭圆E的方程为+=1,A点坐标为–20,则直线AM的方程为y=kx+2.联立椭圆E和直线AM方程并整理得,3+4k2x2+16k2x+16k2–12=0解得x=–2或x=–,则|AM|=|–+2|=·∵AM⊥AN,∴|AN|=·=·∵|AM|=|AN|,k0,∴·=·,整理得k–14k2–k–4=0,4k2–k+4=0无实根,∴k=1.所以△AMN的面积为|AM|2=·2=.2直线AM的方程为y=kx+,联立椭圆E和直线AM方程并整理得,3+tk2x2+2tk2x+t2k2–3t=0解得x=–或x=–,∴|AM|=|–+|=·,∴|AN|=·∵2|AM|=|AN|,∴2··=·,整理得,t=.∵椭圆E的焦点在x轴,∴t3,即3,整理得0,解得k2.
21、解析1证明fx=ex,∴fx=ex+=∵当x∈–∞–2∪–2+∞时,fx0,∴fx在–∞–2和–2+∞上单调递增∴x0时,exf0=–1,∴x–2ex+x+202gx===,a∈[01由1知,当x0时,fx=ex的值域为–1+∞,只有一解.使得·et=–a,t∈02]当x∈0t时gx0,gx单调减;当x∈t+∞时gx0,gx单调增ha===记kt=,在t∈02]时,kt=0,∴kt单调递增,∴ha=kt∈].
22、解析1证明∵DF⊥CE,∴Rt△DEF∽Rt△CED,∴∠GDF=∠DEF=∠BCF,=∵DE=DG,CD=BC,∴=∴△GDF∽△BCF,∴∠CFB=∠DFG∴∠GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°,∴∠GFB+∠GCB=180°.∴B,C,G,F四点共圆.2∵E为AD中点,AB=1,∴DG=CG=DE=,∴在Rt△GFC中,GF=GC,连接GB,Rt△BCG≌Rt△BFG,∴S四边形BCGF=2S△BCG=2××1×=.
23、解1整理圆的方程得x2+y2+12x+11=0,由ρ2=x2+y
2、ρcosθ=x、ρsinθ=y可知圆C的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11=0.2记直线的斜率为k,则直线的方程为kx–y=0,由垂径定理及点到直线距离公式知=,即=,整理得k2=,则k=±.
24、解析1当x–时,fx=–x–x–=–2x,若–1x–;当–≤x≤时,fx=–x+x+=12恒成立;当x时,fx=2x,若fx2,x1.综上可得,M={x|–1x1}.2当a,b∈–11时,有a2–1b2–10,即a2b2+1a2+b2,则a2b2+2ab+1a2+2ab+b2,则ab+12a+b2,即|a+b||ab+1|,证毕.。