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高考考前高中数学基础知识要点提醒大全第一章集合与简易逻辑1.点集与数集的交集是.(例A={x,y|y=x+1}B={y|y=x2+1}则A∩B=)
①n个元素的子集有2n个.
②n个元素的真子集有2n-1个.
③n个元素的非空真子集有2n-2个.2.充要条件小范围推出大范围;大范围推不出小范围.例若.第二章函数1.函数的三要素定义域,值域,对应法则.2.如果函数在区间(0,1)上为减函数,在区间(1,2)上为减函数,就不能说函数在上为减函数.3.[注]一般地,的反函数.是先的反函数,在左移三个单位.是先左移三个单位,在的反函数.4.
(1)单调函数必有反函数,但并非反函数存在时一定是单调的(如).因此,所有偶函数不存在反函数.
(2)如果一个函数有反函数且为奇函数,那么它的反函数也为奇函数.
(3)互为反函数的两个函数增减性相同.5.对称问题问题1:一个函数fx的图象关于x=a对称(自对称)fa-x=fa+xfx的图象关于x=a对称(自对称)fx=f2a-xfx的图象关于x=a对称(自对称)一般地若fa-x=fb+x则函数fx关于x=对称结论:关于x=”等式两端括号内相加除以2”对称.注意:fa-x=fa+x则函数fa+x关于谁对称y轴fa-x=-fa+x则函数fa+x关于谁对称原点问题2:两个函数的图象关于x=a对称并非fx(互对称)1y=fx+by=f关于x=a对称2b=0时y=fxy=f2a-x关于x=a对称3a=0时y=fb+xy=fb-x关于x=0对称a=0b=a时y=fa+xy=fa-x关于x=0对称4b=-a时y=fx-ay=fa-x关于x=a对称一般地:y=fa+x与y=fb-x则二函数的图象关于x=对称结论:关于x=”等式两端括号内-x对应的常数项减去+x对应的常数项除以2”对称问题3:一个函数fx的图象关于点a0对称fa-x=-fa+xfx的图象关于点a0对称fx=-f2a-xfx的图象关于点a0对称一般地若fa-x=-fb+x则函数fx关于点0对称结论:关于点等式两端括号内相加除以20对称.注意:fa-x=-fa+x则函数fa+x关于谁对称原点问题4:两个函数的图象关于点a0对称并非fx1y=fx+by=-f关于点a0对称2b=0时y=fxy=-f2a-x关于点a0对称3a=0时y=fb+xy=-fb-x关于点00对称a=0b=a时y=fa+xy=-fa-x关于00对称4b=-a时y=fx-ay=-fa-x关于点a0对称一般地:y=fa+x与y=fb-x则二函数的图象关于0对称结论:关于点两括号内-x对应的常数项减去+x对应的常数项除以20对称周期与对称1一个奇函数或一个偶函数,有一个对称轴x=a则必为周期函数且T=2a证:f-x=f2a-xfx=f2a+xT=2afx=-f2a+x=f4a+xT=4a2一个函数有两个对称轴x=a与x=b则必为周期函数T=23一个函数有一个对称轴x=a与一个对称点b0则必为周期函数T=44一个函数fx有两个对称点a0与b0则必为周期函数T=26.外层函数的定义域是内层函数的值域.例如已知函数f(x)=1+的定义域为A,函数f[f(x)]的定义域是B,则集合A与集合B之间的关系是.解的值域是的定义域,的值域(?),故(?),而A,故.原创不对7.常用变换
①.证
②证熟悉分式图象例定义域,值域→值域前的系数之比.第三章数列1.
(1)等差、等比数列
(2)看数列是不是等差数列有以下三种方法
①;
②2;
③为常数.
(3)看数列是不是等比数列有以下四种方法
①②,
①注
①i.,是a、b、c成等比的双非条件,即a、b、c等比数列.ii.(ac>0)→为a、b、c等比数列的充分不必要.iii.→为a、b、c等比数列的必要不充分.iv.且→为a、b、c等比数列的充要.注意任意两数a、c不一定有等比中项,除非有ac>0,则等比中项一定有两个.
③为非零常数.
④正数列{}成等比的充要条件是数列{}()成等比数列.
(4)数列{}的前项和与通项的关系[注]
①(可为零也可不为零→为等差数列充要条件(即常数列也是等差数列)→若不为0,则是等差数列充分条件).
②等差{}前n项和→可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若为零,则是等差数列的充分条件;若不为零,则是等差数列的充分条件.
③非零常数列既可为等比数列,也可为等差数列.(不是非零,即不可能有等比数列)2.等差数列依次每k项的和仍成等差数列,其公差为原公差的k2倍;3.常用公式
①1+2+3…+n=
②[注]熟悉常用通项9,99,999,…;5,55,555,….裂项求和;;;;;4.数列常见的几种形式类型
3.方案一,令,解,化为等比数列,……以下略.方案二待定法例已知数列,满足,,求解令,则,对照已知得即,所以数列是以-1为首项,以为公比的等比数列,即,故类型
4.(重点类型,灵活掌握)
①一般方法:同除以,得令,化为转类型1,求进一步求,……略
②特殊法(为指数函数时);例3,同除以,,令转类型3-----求出进一步求,……略
③待定法解,,令,整理得,对照知即数列是以为首项,以-2为公比的等比数列故例自编求通项解令,,对照得,以下略
④待定法可为零例8,,用一般方法
①要用错位相减法较繁解待定法,对照得即数列是以为首项,以-2为公比的等比数列,,例9已知数列的首项前项和为,且,求,因适合此式,故例再如安阳09高三摸底考试
22.,求通项答案略8分类型
6.二阶递推式分析同减,令联立………略.类型
7.法一令或联立求…略例
12.略6.几种常见的数列的思想方法
(1)等差数列的前项和为,在时,有最高.考.资.源.网大值.如何确定使取最高.考.资.源.网大值时的值,有两种方法一是求使,成立的值;二是由利用二次函数的性质求的值.
(2)如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积,求此数列前项和可依照等比数列前项和的推倒导方法错位相减求和.例如第四章三角函数1.
②终边在x轴上的角的集合
③终边在y轴上的角的集合
④终边在坐标轴上的角的集合
⑤终边在y=x轴上的角的集合
⑥终边在轴上的角的集合
⑦若角与角的终边关于x轴对称,则角与角的关系
⑧若角与角的终边关于y轴对称,则角与角的关系
⑨若角与角的终边在一条直线上,则角与角的关系⑩角与角的终边互相垂直,则角与角的关系注意上;下;
2、
4、
6、
82、
3、
6、74.三角函数的公式;5.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质注意
①与的单调性正好相反;与的单调性也同样相反.一般地,若在上递增(减),则在上递减(增).=2\*GB3
②与的周期是.
③或()的周期.的周期为2(,如图,翻折无效).
④的对称轴方程是(),对称中心();的对称轴方程是(),对称中心();的对称中心().
⑤当·;·.
⑥与是同一函数而是偶函数,则.
⑦函数在上为增函数.(×)[只能在某个单调区间单调递增.若在整个定义域,为增函数,同样也是错误的].
⑧定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件一是定义域关于原点对称(奇偶都要),二是满足奇偶性条件,偶函数,奇函数)奇偶性的单调性奇同偶反.例如是奇函数,是非奇非偶.(定义域不关于原点对称)奇函数特有性质若的定义域,则一定有.(的定义域,则无此性质)=9\*GB3
⑨不是周期函数;为周期函数();是周期函数(如图);为周期函数();的周期为(如图),并非所有周期函数都有最高.考.资.源.网小正周期,例如.⑩有.
6、<<在上是减函数若,则第五章平面向量注意在△ABC中,若0为重心,则,这是充要条件.平移公式若点P按向量=平移到P‘,则4.
(1)正弦定理设△ABC的三边为a、b、c,所对的角为A、B、C,则.
(2)余弦定理
⑥S△=1/2(b+c-a)ra[如下图]=1/2(b+a-c)rc=1/2(a+c-b)rb附三角形的五个“心”;重心三角形三条中线交点.外心三角形三边垂直平分线相交于一点.内心三角形三内角的平分线相交于一点.垂心三角形三边上的高相交于一点.旁心三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.特例已知在Rt△ABC,c为斜边,则内切圆半径r=(如图3).△ABC为直角△∠A+∠B=<△ABC为钝角△∠A+∠B<>△ABC为锐角△∠A+∠B>平行四边形对角线定理对角线的平方和等于四边的平方和.第六章不等式1.常用不等式的放缩法
①②2.常用不等式的解法举例(x为正数)3.函数fx=ax2+bx+ca0a0仿此讨论在区间上大于恒或小于零Fx0恒成立或或Fx0恒成立fm0且fn04.fx=ax2+bx+c=0a0在k1k2内有且仅有一个根处理方法只有一根或或检验另一根若在k1k2内成立,或检验重根是否在k1k2内5.fx=ax2+bx+c=0a0在k1k2内有根两个根处理办法fx=ax2+bx+c=0a0在k1k2内有根可分
(1).有两根;
(2).有且仅有一根.两种既
(1)有两根
(2).有且仅有一根或或检验另一根若在k1k2内成立,或检验重根是否在k1k2内6.第七章直线和圆的方程
一、直线方程.1.直线的倾斜角.2.是垂直的充要条件)4.设两条平行直线,它们之间的距离为,则有.
二、圆的方程.1.圆的直径或方程已知(用向量可征).5.直线和圆的位置关系公共弦方程设有两个交点,则其公共弦方程为.第八章圆锥曲线
一、椭圆方程.1.椭圆方程的第一定义焦点半径通径垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标和若P是椭圆上的点.为焦点,若,则的面积为.若是双曲线,则面积为.
二、双曲线方程.2.双曲线的第一定义构成满足(与椭圆焦半径不同,等轴双曲线双曲线称为等轴双曲线,其渐近线方程为,离心率.共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线.共渐近线的双曲线系方程的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时,它的双曲线方程可设为.例如若双曲线一条渐近线为且过,求双曲线的方程?解令双曲线的方程为,代入得.
(6)直线与双曲线的位置关系区域
①无切线,2条与渐近线平行的直线,合计2条;区域
②即定点在双曲线上,1条切线,2条与渐近线平行的直线,合计3条;区域
③2条切线,2条与渐近线平行的直线,合计4条;区域
④即定点在渐近线上且非原点,1条切线,1条与渐近线平行的直线,合计2条;区域
⑤即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线.小结过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出的直线数目可能有
0、
2、
3、4条.
三、抛物线方程.1.设,抛物线的标准方程、类型及其几何性质通径为2p,这是过焦点的所有弦中最高.考.资.源.网短的.
④(或)的参数方程为(或)(为参数).
四、切线过椭圆上一点的切线方程过抛物线上一点的切线方程求导或判别式二法可得略第九章立体几何(二面角的取值范围(直线与直线所成角)(斜线与平面成角)(直线与平面所成角)垂线段和斜线段长定理从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中,
①射影相等的两条斜线段相等,射影较长的斜线段较长;
②相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段射影较长;
③垂线段比任何一条斜线段短.[注]垂线在平面的射影为一个点.[一条直线在平面内的射影是一条直线.(×)]射影定理推论如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等,那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上两异面直线任意两点间的距离公式(为锐角取加,为钝取减,综上,都取加则必有)平行六面体定理一平行六面体的对角线交于一点,并且在交点处互相平分.锥形体积(为底面积,为高)4.
①内切球当四面体为正四面体时,设边长为a,,,得.注球内切于四面体
②外接球球外接于正四面体,可如图建立关系式.5.向量公式⑴异面直线所成的角θ=arccos⑵直线和平面所成角θ=-arccos或θ=arcsin或公式法已知平面a的斜线a与a内一直线b相交成θ角,且a与a相交成j1角,a在a上的射影c与b相交成j2角,则有⑶平面和平面所成角当二面角α-l-β大于90°时二面角θ=π-arccos;当二面角α-l-β小于90°时二面角θ=arccos.⑷点面距离的向量公式d=.六.空间向量.空间任一点O和不共线三点A、B、C,则是PABC四点共面的充要条件.(简证P、A、B、C四点共面)第十章排列组合二项式定理排列数公式注意规定0!=1规定
(5)
①几个常用组合数公式常用的证明组合等式方法例.i.裂项求和法.如(利用)ii.导数法.iii.数学归纳法.iv.倒序求和法.v.递推法(即用递推)如.vi.构造二项式.如证明这里构造二项式其中的系数,左边为,而右边例如n个元素全排列,其中m个元素顺序不变,共有多少种不同的排法?解法一(逐步插空法)(m+1)(m+2)…n=n!/m!;解法二(比例分配法).
⑦平均法若把kn个不同元素平均分成k组,每组n个,共有.例如从1,2,3,4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法?有(平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了)又例如将200名运动员平均分成两组,其中两名种子选手必在一组的概率是多少?()
⑧隔板法常用于解正整数解组数的问题.例如的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列,在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板,把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为显然,故()是方程的一组解.反之,方程的任何一组解,对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式(如图所示)故方程的解和插板的方法一一对应.即方程的解的组数等于插隔板的方法数.例10人分成三组,各组人数分别为
2、
3、5,去参加不同的劳动,其安排方法为种.若从10人中选9人分成三组,人数分别为
2、
3、4,参加不同的劳动,则安排方法有种
③均匀编号分组n个不同元素分成m组,其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序,其分法种数为.例10人分成三组,人数分别为
2、
4、4,参加三种不同劳动,分法种数为
④非均匀不编号分组将n个不同元素分成不编号的m组,每组元素数目均不相同,且不考虑各组间顺序,不管是否分尽,其分法种数为…例10人分成三组,每组人数分别为
2、
3、5,其分法种数为若从10人中选出6人分成三组,各组人数分别为
1、
2、3,其分法种数为.
五、二项式定理.第十一章概率与统计二项分布如果在一次试验中某事件发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是[其中]于是得到随机变量ξ的概率分布如下我们称这样的随机变量ξ服从二项分布,记作~B(n·p),其中n,p为参数,并记.几何分布“”表示在第k次独立重复试验时,事件第一次发生,如果把k次试验时事件A发生记为,事A不发生记为,那么.根据相互独立事件的概率乘法分式于是得到随机变量ξ的概率分布列.123…k…Pqqp……我们称ξ服从几何分布,并记,其中为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.2.
(1)随机变量的数学期望
①当时,,即常数的数学期望就是这个常数本身.
②当时,,即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和.
③当时,,即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变ξ01Pqp量期望的乘积.
(2)单点分布其分布列为.
(3)两点分布,其分布列为(p+q=1)
(4)二项分布其分布列为~.(P为发生的概率)
(5)几何分布其分布列为~.(P为发生的概率)3.方差、标准差的定义当已知随机变量ξ的分布列为时,则称为ξ的方差.显然,故为ξ的4.方差的性质.
(1)随机变量的方差.(a、b均为常数)ξ01Pqp
(2)单点分布其分布列为
(3)两点分布其分布列为(p+q=1)
(4)二项分布
(5)几何分布
四、正态分布.(基本不列入考试范围)1标准正态分布~有,求出,而P(a<≤b)的计算则是.
(2)正态分布与标准正态分布间的关系若~则ξ的分布函数通常用表示,且有.4“3”原则.假设检验是就正态总体而言的,进行假设检验可归结为如下三步
①提出统计假设,统计假设里的变量服从正态分布.
②确定一次试验中的取值是否落入范围.
③做出判断如果,接受统计假设.如果,由于这是小概率事件,就拒绝统计假设.
(2)“3”原则的应用若随机变量ξ服从正态分布则ξ落在内的概率为99.7%亦即落在之外的概率为0.3%,此为小概率事件,如果此事件发生了,就说明此种产品不合格(即ξ不服从正态分布).第十二章极限导数
1.几个常用极限
①(为常数)
②③对于任意实常数,当时,当时,若a=1,则;若,则不存在当时,不存在
2.求无穷数列的各项和,特别地,当时,无穷等比数列的各项和为.(化循环小数为分数方法同上式)几个常用极限
①②(0<<1);(>1)
3..函数的连续性函数f(x)在点处连续必须满足三个条件
①函数f(x)在点处有定义;
②存在;
③函数f(x)在点处的极限值等于该点的函数值,即.
4.几个常用极限
①②③为常数)
④⑤为常数)
5.几种常见的导数ax′=axlna;lnx′=;logax′=logae.导数的四则运算法则u±v′=u′±v′;uv′=u′v+uv′;′=v≠
0.
6.。