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文本内容:
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2.作答时,将答案写在答题卡上写在本试卷及草稿纸上无效3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回
一、选择题本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.A.B.C.D.2.已知集合,则中元素的个数为A.9B.8C.5D.43.函数的图像大致为4.已知向量,满足,,则A.4B.3C.2D.05.双曲线的离心率为,则其渐近线方程为A.B.C.D.6.在中,,,,则A.B.C.D.7.为计算,设计了右侧的程序框图,则在空白框中应填入A.B.C.D.8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是A.B.C.D.9.在长方体中,,,则异面直线与所成角的余弦值为A.B.C.D.10.若在是减函数,则的最大值是A.B.C.D.11.已知是定义域为的奇函数,满足.若,则A.B.0C.2D.5012.已知,是椭圆的左,右焦点,是的左顶点,点在过且斜率为的直线上,为等腰三角形,,则的离心率为A.B.C.D.
二、填空题本题共4小题,每小题5分,共20分13.曲线在点处的切线方程为__________.14.若满足约束条件则的最大值为__________.15.已知,,则__________.16.已知圆锥的顶点为,母线,所成角的余弦值为,与圆锥底面所成角为45°,若的面积为,则该圆锥的侧面积为__________.
三、解答题共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答第
22、23为选考题,考生根据要求作答
(一)必考题共60分17.(12分)记为等差数列的前项和,已知,.
(1)求的通项公式;
(2)求,并求的最小值.18.(12分)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额(单位亿元)的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了与时间变量的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量的值依次为)建立模型
①;根据2010年至2016年的数据(时间变量的值依次为)建立模型
②.
(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.学科*网19.(12分)设抛物线的焦点为,过且斜率为的直线与交于,两点,.
(1)求的方程;
(2)求过点,且与的准线相切的圆的方程.20.(12分)如图,在三棱锥中,,,为的中点.
(1)证明平面;
(2)若点在棱上,且二面角为,求与平面所成角的正弦值.21.(12分)已知函数.
(1)若,证明当时,;
(2)若在只有一个零点,求.
(二)选考题共10分请考生在第
22、23题中任选一题作答如果多做,则按所做的第一题计分22.[选修4-4坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),直线的参数方程为(为参数).
(1)求和的直角坐标方程;
(2)若曲线截直线所得线段的中点坐标为,求的斜率.23.[选修4-5不等式选讲](10分)设函数.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若,求的取值范围.参考答案:
一、选择题
1.D
2.A
3.B
4.B
5.A
6.A
7.B
8.C
9.C
10.A
11.C
12.D
二、填空题
13.
14.
915.
16.
三、解答题
17.12分解
(1)设的公差为d,由题意得.由得d=
2.所以的通项公式为.
(2)由
(1)得.所以当n=4时取得最小值最小值为−
16.
18.12分解
(1)利用模型
①该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为亿元.利用模型
②该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为亿元.
(2)利用模型
②得到的预测值更可靠.理由如下(ⅰ)从折线图可以看出2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型
①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势利用2010年至2016年的数据建立的线性模型可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势因此利用模型
②得到的预测值更可靠.学.科网(ⅱ)从计算结果看相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元由模型
①得到的预测值
226.1亿元的增幅明显偏低而利用模型
②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型
②得到的预测值更可靠.以上给出了2种理由考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.
19.12分解
(1)由题意得,l的方程为.设,由得.,故.所以.由题设知,解得(舍去),.因此l的方程为.
(2)由
(1)得AB的中点坐标为,所以AB的垂直平分线方程为,即.设所求圆的圆心坐标为,则解得或因此所求圆的方程为或.
20.12分解
(1)因为,为的中点,所以,且.连结.因为,所以为等腰直角三角形,且,.由知.由知平面.
(2)如图,以为坐标原点,的方向为轴正方向,建立空间直角坐标系.由已知得取平面的法向量.设,则.设平面的法向量为.由得,可取,所以.由已知得.所以.解得(舍去),.所以.又,所以.所以与平面所成角的正弦值为.21.(12分)【解析】
(1)当时,等价于.设函数,则.当时,,所以在单调递减.而,故当时,,即.
(2)设函数.在只有一个零点当且仅当在只有一个零点.(i)当时,,没有零点;(ii)当时,.当时,;当时,.所以在单调递减,在单调递增.故是在的最小值.学科网
①若,即,在没有零点;
②若,即,在只有一个零点;
③若,即,由于,所以在有一个零点,由
(1)知,当时,,所以.故在有一个零点,因此在有两个零点.综上,在只有一个零点时,.22.[选修4-4坐标系与参数方程](10分)【解析】
(1)曲线的直角坐标方程为.当时,的直角坐标方程为,当时,的直角坐标方程为.
(2)将的参数方程代入的直角坐标方程,整理得关于的方程.
①因为曲线截直线所得线段的中点在内,所以
①有两个解,设为,,则.又由
①得,故,于是直线的斜率.23.[选修4-5不等式选讲](10分)【解析】
(1)当时,可得的解集为.
(2)等价于.而,且当时等号成立.故等价于.由可得或,所以的取值范围是.。