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黄冈中学高考数学典型例题详解指数、对数函数指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一,本节主要帮助考生掌握两种函数的概念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题.●难点磁场★★★★★设fx=log2Fx=+fx.1试判断函数fx的单调性,并用函数单调性定义,给出证明;2若fx的反函数为f-1x证明对任意的自然数nn≥3都有f-1n;3若Fx的反函数F-1x证明方程F-1x=0有惟一解.●案例探究[例1]已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点,分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点.1证明点C、D和原点O在同一条直线上;2当BC平行于x轴时,求点A的坐标.命题意图本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识,考查学生的分析能力和运算能力.属★★★★级题目.知识依托1证明三点共线的方法kOC=kOD.2第2问的解答中蕴涵着方程思想,只要得到方程1,即可求得A点坐标.错解分析不易考虑运用方程思想去解决实际问题.技巧与方法本题第一问运用斜率相等去证明三点共线;第二问运用方程思想去求得点A的坐标.1证明设点A、B的横坐标分别为x
1、x2由题意知x11x21则A、B纵坐标分别为log8x1log8x
2.因为A、B在过点O的直线上,所以点C、D坐标分别为x1log2x1x2log2x2由于log2x1==3log8x2所以OC的斜率k1=OD的斜率k2=,由此可知k1=k2即O、C、D在同一条直线上.2解由BC平行于x轴知log2x1=log8x2即log2x1=log2x2代入x2log8x1=x1log8x2得x13log8x1=3x1log8x1由于x11知log8x1≠0∴x13=3x
1.又x11∴x1=则点A的坐标为,log
8.[例2]在xOy平面上有一点列P1a1b1P2a2b2…Pnanbn…对每个自然数n点Pn位于函数y=2000x0a1的图象上,且点Pn点n0与点n+10构成一个以Pn为顶点的等腰三角形.1求点Pn的纵坐标bn的表达式;2若对于每个自然数n以bnbn+1bn+2为边长能构成一个三角形,求a的取值范围;3设Cn=lgbnn∈N*若a取2中确定的范围内的最小整数,问数列{Cn}前多少项的和最大?试说明理由.命题意图本题把平面点列,指数函数,对数、最值等知识点揉合在一起,构成一个思维难度较大的综合题目,本题主要考查考生对综合知识分析和运用的能力.属★★★★★级题目.知识依托指数函数、对数函数及数列、最值等知识.错解分析考生对综合知识不易驾驭,思维难度较大,找不到解题的突破口.技巧与方法本题属于知识综合题,关键在于读题过程中对条件的思考与认识,并会运用相关的知识点去解决问题.解1由题意知an=n+∴bn=
2000.2∵函数y=2000x0a10递减,∴对每个自然数n有bnbn+1bn+
2.则以bnbn+1bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2+bn+1bn即2+-10解得a-51+或a5-
1.∴5-1a
10.3∵5-1a10∴a=7∴bn=
2000.数列{bn}是一个递减的正数数列,对每个自然数n≥2Bn=bnBn-
1.于是当bn≥1时,BnBn-1当bn1时,Bn≤Bn-1因此数列{Bn}的最大项的项数n满足不等式bn≥1且bn+11由bn=2000≥1得n≤
20.
8.∴n=
20.●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法有1运用两种函数的图象和性质去解决基本问题.此类题目要求考生熟练掌握函数的图象和性质并能灵活应用.2综合性题目.此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力.3应用题目.此类题目要求考生具有较强的建模能力.●歼灭难点训练
一、选择题
1.★★★★定义在-∞+∞上的任意函数fx都可以表示成一个奇函数gx和一个偶函数hx之和,如果fx=lg10x+1其中x∈-∞+∞那么A.gx=xhx=lg10x+10-x+2B.
3.★★★★★已知函数fx=.则f--1x-1=_________.
4.★★★★★如图,开始时,桶1中有aL水,t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y=ae-nt那么桶2中水就是y2=a-ae-nt假设过5分钟时,桶1和桶2的水相等,则再过_________分钟桶1中的水只有.
三、解答题
5.★★★★设函数fx=logax-3aa0且a≠1当点Pxy是函数y=fx图象上的点时,点Qx-2a-y是函数y=gx图象上的点.1写出函数y=gx的解析式;2若当x∈[a+2a+3]时,恒有|fx-gx|≤1试确定a的取值范围.
6.★★★★已知函数fx=logaxa0且a≠1x∈0+∞若x1x2∈0+∞判断[fx1+fx2]与f的大小,并加以证明.
7.★★★★★已知函数xy满足x≥1y≥
1.loga2x+loga2y=logaax2+logaay2a0且a≠1求logaxy的取值范围.
8.★★★★设不等式2logx2+9logx+9≤0的解集为M,求当x∈M时函数fx=log2log2的最大、最小值.参考答案难点磁场解1由0且2-x≠0得Fx的定义域为-1,1,设-1<x1<x2<1则Fx2-Fx1=+∵x2-x102-x102-x20∴上式第2项中对数的真数大于
1.因此Fx2-Fx10Fx2Fx1∴Fx在-1,1)上是增函数.2证明由y=fx=得2y=∴f-1x=∵fx的值域为R,∴f--1x的定义域为R.当n≥3时,f-1n.用数学归纳法易证2n2n+1n≥3证略.3证明∵F0=∴F-1=0∴x=是F-1x=0的一个根.假设F-1x=0还有一个解x0x0≠则F-1x0=0于是F0=x0x0≠.这是不可能的,故F-1x=0有惟一解.歼灭难点训练
一、
1.解析由题意gx+hx=lg10x+1
①又g-x+h-x=lg10-x+
1.即-gx+hx=lg10-x+1
②由
①②得gx=hx=lg10x+1-.答案C
2.解析当a1时,函数y=logax的图象只能在A和C中选,又a1时,y=1-ax为减函数.答案B
二、
3.解析容易求得f--1x=从而f-1x-1=答案
4.解析由题意,5分钟后,y1=ae-nty2=a-ae-nty1=y
2.∴n=ln
2.设再过t分钟桶1中的水只有则y1=ae-n5+t=解得t=
10.答案10
三、
5.解1设点Q的坐标为x′y′则x′=x-2ay′=-y.即x=x′+2ay=-y′.∵点Pxy在函数y=logax-3a的图象上,∴-y′=logax′+2a-3a即y′=loga∴gx=loga.2由题意得x-3a=a+2-3a=-2a+20;=0又a0且a≠1∴0<a<1∵|fx-gx|=|logax-3a-loga|=|logax2-4ax+3a2|·|fx-gx|≤1∴-1≤logax2-4ax+3a2≤1∵0<a<1∴a+22a.fx=x2-4ax+3a2在[a+2a+3]上为减函数,∴μx=logax2-4ax+3a2在[a+2a+3]上为减函数,从而[μx]max=μa+2=loga4-4a[μx]min=μa+3=loga9-6a于是所求问题转化为求不等式组的解.由loga9-6a≥-1解得0<a≤由loga4-4a≤1解得0<a≤∴所求a的取值范围是0<a≤.
6.解fx1+fx2=logax1+logax2=logax1x2∵x1x2∈0+∞x1x2≤2当且仅当x1=x2时取“=”号,当a1时,有logax1x2≤loga2∴logax1x2≤loga,logax1+logax2≤loga即fx1+fx2]≤f当且仅当x1=x2时取“=”号当0<a<1时,有logax1x2≥loga2∴logax1+logax2≥loga即[fx1+fx2]≥f当且仅当x1=x2时取“=”号).
7.解由已知等式得loga2x+loga2y=1+2logax+1+2logay即logax-12+logay-12=4令u=logaxv=logayk=logaxy则u-12+v-12=4uv≥0k=u+v.在直角坐标系uOv内,圆弧u-12+v-12=4uv≥0与平行直线系v=-u+k有公共点,分两类讨论.1当u≥0v≥0时,即a1时,结合判别式法与代点法得1+≤k≤21+;2当u≤0v≤0即0<a<1时,同理得到21-≤k≤1-.x综上,当a1时,logaxy的最大值为2+2,最小值为1+;当0<a<1时,logaxy的最大值为1-,最小值为2-
2.
8.解∵2x2+9x+9≤0∴2x+3x+3≤
0.∴-3≤x≤-.即-3≤x≤∴≤x≤-3∴2≤x≤8即M={x|x∈[28]}又fx=log2x-1log2x-3=log22x-4log2x+3=log2x-22-
1.∵2≤x≤8∴≤log2x≤3∴当log2x=2即x=4时ymin=-1;当log2x=3即x=8时,ymax=
0.。