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本文为自本人珍藏版权所有仅供参考分解因式的复习
一、分解因式的概念
(一)概念把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式(和差化积)易错点注意
1、被分解的代数式(等式的左边)是多项式;
2、分解后的因式(等式的右边)是整式;
3、结果是积的形式;
4、结果的因式必须分解彻底
(二)例
1、计算下列各式1=_______.2=_______.3=_______.4=_______.根据上述算式填空5=6=7=8=小结1~4是初一所学的整式的乘法运算,而5~8的过程就叫分解因式,故分解因式与整式的乘法运算互为逆运算关系
2、下列由左到右的变形,哪一个是分解因式( )A、 B、C、 D、分析等式的左边必须是一个多项式(是用加减号连接的式子);右边的结果应当是几个整式的、积的形式[即不能出现分式(分母含字母的式子)和加减号],而且结果的每个因式都不能再被分解为止A、是积化和差,右边是减式;B、右边是和式;D、右边含有分式,故选C
3、下列由左到右的变形,属分解因式的是( )A、 B、C、 D、分析A、左边是单项式,不是多项式;B、分解不彻底,右边结果的分式还能再被分解为,正确的结果是,C、结果应当是,故选D
4、已知关于x的二次三项式分解因式的结果为求m,n的值解∵∴
5、甲、乙两个同学分解因式,甲看错了n,分解结果为;乙看错了n,分解结果为;请你分析一下m、n的值,并写出正确的分解过程解∵∴;又∵∴;故正确的分解过程为
6、k为何值时,多项式有一个因式是?解设另一个因式为则故有,即,故
7、已知,求的值解∵,∴(由已知等式的两边同时乘以x得到)故
8、已知,求的值解∵,∴
9、求证能被24整除解因为;所以,能被24整除
10、试说明,一个三位数的百位数字与个位数字交换位置后,则新数字与原数之差能被99整除解这原三位为,依题意,得故原命题成立
(三)练习
1、下列由左到右的变形属分解因式的是A、B、C、D、
2、若多项式可以分解为,则的值为
二、提公因式法分解因式
(一)公因式
①系数取最大公约数;
②相同字母取最低次幂
(二)提取公因式的方法每项都从左到右寻找,先考虑系数(取最大公约数,第一项若是负数则需提取负号,提取负号后各项要变号)、再到字母(把每项都有的相同字母提取出来,以最低次幂为准)例分解因式
①②③④⑤⑥⑦⑧
(三)练习分解因式⑴⑵⑶⑷⑸⑹
(四)作业分解因式⑴⑵⑶⑷
五、习题
1、a=47,b=32,c=21,求的值
2、已知a+b=13,ab=40,求的值
3、已知,求代数式的值
4、不解方程组 ,求的值
5、利用因式分解说明能被7整除
6、已知可分解因式为,求m的值
7、计算的结果为( )A、 B、 C、 D、
8、分解因式=
三、运用公式分解因式
(一)
(1)平方差公式特点左边
①有二项;
②符号相反;
③两项均为完全平方项右边左边平方项底数的和与差的积例、
①②
③
(2)完全平方公式特点左边
①有三项;
②有两项分别是两个数的完全平方,且符号相同;
③有一项是平方项底数的积的2倍右边是左边平方项底数的和或差的平方例、
④⑤⑥
⑦⑧⑨二其他方法,参考附页提高篇部分三练习
①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩四作业分解因式
①②③④⑤⑥五习题
1、已知△ABC的三边a、b、c满足,那么△ABC是三角形
2、求方程的整数解
3、已知,且均为正整数,求代数式的值
4、已知a+b=7,ab=2,求的值
5、已知,求
①,
②的值
6、请你从下列各式中,任选两式作差,并将得到的式子进行分解因式,,1,9b
27、右图是四个形状,大小完全相同的长方形拼成的图形,利用面积的不同表示法,写出一个代数恒等式
8、如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘数”如,, ,因此41220都是“神秘数”
①28和2012这两个数是“神秘数”吗?为什么?
②设两个连续偶数分别为2k+2和2k(其中k取非负整数),由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗?为什么?
③两个连续奇数的平方差(取正数)是神秘数吗?为什么?
9、已知,求的值
10、请观察下列等式 ……根据前面各式的规律,请猜想111…1-22…2的值是多少?并说明你猜想的正确性
11、在日常生活中,如取款、上网等都需要密码有一种用“分解因式”法产生的密码,方便记忆原理是如对于多项式,分解因式的结果是,若取,时,则各个因式的值是,,,于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码,对于多项式,取x=10,y=10时,用上述方法产生的密码是(写出一个即可)
12、已知,如图1,现在的正方形纸片和的矩形纸片各若干块,试选用这些纸片(每种纸片至少用一次)在图2的虚线方框中拼成一个矩形(每两个纸片之间既不重叠,也无空隙,拼出的图中必须保留拼图的痕迹),使拼出的矩形面积为,并标出此矩形的长和宽
13、若整式,是完全平方式,请你写出一个满足条件的单项式Q是
14、计算⑴⑵⑶⑷
15、当,求代数式的值
16、已知,求代数式的值
17、已知,都是自然数,且满足方程,求的值
18、试说明两个连续奇数的平方差是8的倍数
19、填空
①+()2
②()2
③=()2
④()()2
⑤()=()2
⑥()
220、是一个完全平方式,那么k应为( )A、 2 B、 4 C、 2y2D、4y
421、若是完全平方式,则m的值等于( )A、 -5 B、 3 C、 7 D、 7或-
122、分解因式,若,则m的值等于( )A、 -2 B、 2 C、 1 D、 -
123、若是一个完全平方式,则k=
24、如果是一个完全平方式,则m的值是( )A、 b2B、2bC、16b2D、±4b
25、已知,求的值
26、已知,求a+b的值
27、若a+b=1, ab=2,则
28、已知a、b、c是△ABC的三边的长,并且有成立,则△ABC是( )A、 等边三角形 B、 等腰三角形 C、 直角三角形 D、 锐角三角形
29、已知,求a+b的值
30、若的值为0,则的值为( )A、 -11 B、 11 C、 7 D、 -
731、计算
32、观察下列各式,,,…请你猜想到的规律用自然数n(n≥1)表示出来
33、请先观察下列算式,再填空
①72-52=8×( );
②92-2=8×4;
③ 2-92=8×5;
④132-2=8×( )通过观察归纳,写出反映这种规律的一般结论
34、请写出一个三项式,使它能先提公因式,再运用公式来分解你编写的三项式是 ,分解因式的结果是
35、多项式加上一个单项式后,使它能成为一个整式的完全平方,那么加上的单项式可以是 (填上一个你认为正确的即可)
36、如图1,在边长为a的正方形挖掉一个边长为b的小正方形(a>b),把余下的部分剪拼成一个矩形如图2,通过计算两个图形(阴影部分)的面积,验证了一个等式,则这个等式是( )A、 B、C、 D、
37、请你观察图,依据图形面积间的关系,不需添加辅助线,便可得到一个你非常熟悉的公式,这个公式是
38、若是一个完全平方式,则m,n的关系是
39、如图,边长为a、b的矩形,它的周长为14,面积为10,则的值为
40、已知多项式加上一个单项式后,所得的三项式是一个完全平方式,则这个单项式是
41、若一个三角形的三边长分别为a、b、c,则代数式的值( )A、一定是正数 B、 一定为负数 C、 可能为正数,也可能为负数 D、可能为
042、先分解因式,再求值,其中a=-3,提高部分
(二)其他方法因式分解的四种常用方法分别是提公因式法、运用公式法、分组分解法、形如x2+(p+q)x+pq的二次三项式的因式分解(也就是十字相乘法)
1、因式分解时要注意四种方法的使用次序
①先提公因式
②再运用公式
③再用十字相乘法
④最后考虑分组分解法
2、三项式通常用公式法或十字相乘法分解因式;四项或四项以上的式子通常用分组分解法
3、因式分解一定要彻底,分解到各个因式都不能再分解为止
4、因式分解最终结果一定要进行整理如果有同类项,应当合并;如果在相同因式,如(x+y)(x+y)(x-y)应当写成(x+y)2(x-y);如果有中括号应当去掉中括号……总之应当满足最简原则!
(1)十字相乘法不能直接用完全完全平方公式分解的,形如x2+(p+q)x+pq的二次三项式,可以考虑十字相乘法(不熟悉这法的同学可以不看)例
1、若x2+y2-4x-6y+13=0,求x+y的值此题要用到拆项的思想解x2+y2-4x-6y+13不熟悉这法的同学可以不看=(x2-4x+4)+(y2-6y+9)将13拆成两项
4、9=(x-2)2+(y-3)2分别形成两个完全平方式∵(x-2)2+(y-3)2=0∴解得∴x+y=2+3=5例
2、分解因式x2+xy-12y2解原式=(x-3y)(x+4y)此题易错把结果写成(x-3)(x+4),所以建议你在每一例的顶部写上此列所代表的项中的字母例
3、分解因式x2-x-解原式=(x-)(x+)此题的系数是分数,如果你不习惯分数形式的十字相乘,也可先提出此分数,解题过程如下解原式=(6x2-x-1)=(2x-1)(3x+1)例
4、分解因式(x2-4x)2-2(x2-4x)-15解原式=[(x2-4x)+3][(x2-4x)-5]把(x2-4x)看成一个整体,整个式子看成一个二次三项式=(x2-4x+3)(x2-4x-5)因式分解一定要彻底,这两个式子可分别用十字相乘法分解=(x-1)(x-3)(x+1)(x-5)
(2)分组分解法分组分解法是综合性较强的一种方法,也是学生们不易掌握的一种方法它有以下几种情形ⅰ、分组后直接提公因式,再进一步提取公因式例1把a2–ab+ac-bc因式分解解原式=(a2–ab)+ac-bc=aa-b+ca-b=a-ba+cⅱ、分组后直接运用公式法,此种方法又可分为三类
1、分组后直接运用公式法,再进一步提取公因式例
2.把a2-b2+a-b因式分解解原式=(a+b)a-b+a-b=a-ba+b+
12、分组后直接运用公式法,再进一步运用公式法例3把a2-2ab+b2-c2因式分解解原式=a2-2ab+b2-c2=(a-b)2-c2=a-b+ca-b-c
3、分组后直接运用公式法,再进一步用十字相乘法例4把a2-2ab+b2–a+b-2因式分解解原式=a2-2ab+b2-a-b=(a-b)2-a-b-2=[a-b+1][a-b-2]=a-b+1a-b-2ⅲ、分组后直接运用十字相乘法,此种方法又可分为二类
1、分组后直接运用十字相乘法,再进一步提取公因式例5把a2-2ab-3b2+2a-6b因式分解解原式=a+ba-3b+2a-3b=a-3b[a+b+2]=a-3ba+b+
22、分组后直接运用十字相乘法,再进一步运用十字相乘法例6把a2-ab-2b2+a+4b-2因式分解解原式=a+ba-2b+2a-a+2b+2b-2=a+ba-2b+2a+b-a-2b-2=[a+b-1][a-2b-2]=a+b-1a-2b-2练习
1、填空题⑴⑵⑶分解因式⑷若,则,⑸若,,则⑹当时,⑺将分解因式,得
2、选择题⑴用分组分解法把分解因式,不正确的分组方法有()个
①②③④A、1B、2C、3D、4⑵分解因式,等于()A、B、C、D、⑶若是二次三项式的因式,那么k的值是()A、8B、-8C、2D、-2
(4)无论x、y为任何实数,多项式的值总是()A、正数B、负数C、0D、不能确定
3、分解因式1x2-5xx2-5x-2-242x3+x2y-xy2-y3;32x3-13x2+25x-14aaabbbba图1ab图2xxx-yyyx-yab。