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新人教版八年级上册《第11章三角形》2013年单元检测训练卷A
(一)
一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)1.(3分)(2006•湛江)在下列长度的四根木棒中,能与4cm、9cm长的两根木棒钉成一个三角形的是( ) A.4cmB.5cmC.9cmD.13cm 2.(3分)等腰三角形的周长为13cm,其中一边长为3cm,则该等腰三角形的底边为( ) A.7cmB.3cmC.7cm或3cmD.8cm 3.(3分)若三角形三个内角的比为123,则这个三角形是( ) A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形 4.(3分)(2004•陕西)如图,在锐角△ABC中,CD,BE分别是AB,AC边上的高,且CD,BE相交于一点P,若∠A=50°,则∠BPC=( ) A.150°B.130°C.120°D.100° 5.(3分)如图,∠B=∠C,则( ) A.∠1=∠2B.∠1>∠2C.∠1<∠2D.不确定 6.(3分)(2012•无锡)若一个多边形的内角和为1080°,则这个多边形的边数为( ) A.6B.7C.8D.9 7.(3分)为了使一扇旧木门不变形,木工师傅在木门的背面加钉了一根木条,这样做的道理是( ) A.两点之间,线段最短B.垂线段最短 C.三角形具有稳定性D.两直线平行,内错角相等 8.(3分)如图,已知AB∥CD.则角α、β、γ之间关系为( ) A.α+β+γ=180°B.α﹣β+γ=180°C.α+β﹣γ=180°D.α+β+γ=360°
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)9.(3分)(2006•贵阳)如图,P为△ABC中BC边的延长线上一点,∠A=50°,∠B=70°,则∠ACP= _________ 度. 10.(3分)如果一个三角形两边为2cm,7cm,且三角形的第三边为奇数,则三角形的周长是 _________ cm. 11.(3分)在△ABC中,∠A=60°,∠C=2∠B,则∠C= _________ 度. 12.(3分)一个多边形的每个内角都等于150°,则这个多边形是 _________ 边形. 13.(3分)BM是△ABC中AC边上的中线,AB=5cm,BC=3cm,那么△ABM与△BCM的周长之差为 _________ cm. 14.(3分)如图,从A处观测C处仰角∠CAD=30°,从B处观测C处的仰角∠CBD=45°,从C外观测A、B两处时视角∠ACB= _________ 度. 15.(3分)如图,△ABC中,∠A=40°,∠B=72°,CE平分∠ACB,CD⊥AB于D,DF⊥CE,则∠CDF= _________ 度. 16.(3分)如图,小亮从A点出发,沿直线前进100m后向左转30°,再沿直线前进100m,又向左转30°,…,照这样走下去,他第一次回到出发地A点时,一共走了 _________ m.
三、解答题(17~20题每小题8分,21,22题每小题8分,共52分)17.(8分)一个多边形的内角和是它的外角和的4倍,求这个多边形的边数. 18.(8分)如图,点F是△ABC的边BC延长线上一点.DF⊥AB,∠A=30°,∠F=40°,求∠ACF的度数. 19.(8分)如图,AD是△ABC的中线,BE是△ABD的中线.
(1)在△BED中作BD边上的高.
(2)若△ABC的面积为20,BD=5,则点E到BC边的距离为多少? 20.(8分)一个零件的形状如图,按规定∠A=90°,∠ABD和∠ACD,应分别是32°和21°,检验工人量得∠BDC=148°,就断定这个零件不合格,运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由. 21.(10分)
(1)如图
(1),在△ABC中,∠C>∠B,AD⊥BC于点D,AE平分∠BAC,你能找出∠EAD与∠B、∠C之间的数量关系吗?并说明理由.
(2)如图
(2),AE平分∠BAC,F为AE上一点,FM⊥BC于点M,这时∠EFM与∠B、∠C之间又有何数量关系?请你直接说出它们的关系,不需要证明. 22.(10分)(2009•顺义区一模)取一副三角板按图1拼接,固定三角板ADC,将三角板ABC绕点A依顺时针方向旋转一个大小为α的角(0°<α≤45°)得到△ABC′,如图所示.试问
(1)当α为多少度时,能使得图2中AB∥DC;
(2)连接BD,当0°<α≤45°时,探寻∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小变化情况,并给出你的证明. 新人教版八年级上册《第11章三角形》2013年单元检测训练卷A
(一)参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)1.(3分)(2006•湛江)在下列长度的四根木棒中,能与4cm、9cm长的两根木棒钉成一个三角形的是( ) A.4cmB.5cmC.9cmD.13cm考点三角形三边关系.分析易得第三边的取值范围,看选项中哪个在范围内即可.解答解设第三边为c,则9+4>c>9﹣4,即13>c>5.只有9符合要求.故选C.点评已知三角形的两边,则第三边的范围是大于已知的两边的差,而小于两边的和. 2.(3分)等腰三角形的周长为13cm,其中一边长为3cm,则该等腰三角形的底边为( ) A.7cmB.3cmC.7cm或3cmD.8cm考点等腰三角形的性质;三角形三边关系.专题分类讨论.分析已知的边可能是腰,也可能是底边,应分两种情况进行讨论.解答解当腰是3cm时,则另两边是3cm,7cm.而3+3<7,不满足三边关系定理,因而应舍去.当底边是3cm时,另两边长是5cm,5cm.则该等腰三角形的底边为3cm.故选B.点评本题从边的方面考查三角形,涉及分类讨论的思想方法. 3.(3分)若三角形三个内角的比为123,则这个三角形是( ) A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形考点三角形内角和定理.专题应用题.分析已知三角形三个内角的度数之比,可以设一份为k°,根据三角形的内角和等于180°列方程求三个内角的度数,确定三角形的类型.解答解设一份为k°,则三个内角的度数分别为k°,2k°,3k°,根据三角形内角和定理,可知k°+2k°+3k°=180°,得k°=30°,那么三角形三个内角的度数分别是30°,60°和90°.故选C.点评本题主要考查了三角形内角和定理,根据内角和为180°列方程求解可简化计算,难度适中. 4.(3分)(2004•陕西)如图,在锐角△ABC中,CD,BE分别是AB,AC边上的高,且CD,BE相交于一点P,若∠A=50°,则∠BPC=( ) A.150°B.130°C.120°D.100°考点多边形内角与外角.分析根据垂直的定义和四边形的内角和是360°求得.解答解∵BE⊥AC,CD⊥AB,∴∠ADC=∠AEB=90°,∴∠BPC=∠DPE=180°﹣50°=130°.故选B.点评主要考查了垂直的定义以及四边形内角和是360度.注意∠BPC与∠DPE互为对顶角. 5.(3分)如图,∠B=∠C,则( ) A.∠1=∠2B.∠1>∠2C.∠1<∠2D.不确定考点三角形的外角性质;对顶角、邻补角.分析根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠CDB=∠CEB,再根据等角的补角相等可得∠1=∠2.解答解∵∠B=∠C,∴∠B+∠A=∠C+∠A,即∠CDB=∠CEB,∴∠1=∠2,故选A.点评此题主要考查了三角形的内角与外角的性质,关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 6.(3分)(2012•无锡)若一个多边形的内角和为1080°,则这个多边形的边数为( ) A.6B.7C.8D.9考点多边形内角与外角.分析首先设这个多边形的边数为n,由n边形的内角和等于180°(n﹣2),即可得方程180(n﹣2)=1080,解此方程即可求得答案.解答解设这个多边形的边数为n,根据题意得180(n﹣2)=1080,解得n=8.故选C.点评此题考查了多边形的内角和公式.此题比较简单,注意熟记公式是准确求解此题的关键,注意方程思想的应用. 7.(3分)为了使一扇旧木门不变形,木工师傅在木门的背面加钉了一根木条,这样做的道理是( ) A.两点之间,线段最短B.垂线段最短 C.三角形具有稳定性D.两直线平行,内错角相等考点三角形的稳定性.分析三角形具有稳定性,其它多边形不具有稳定性,把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变.解答解这样做的道理是三角形具有稳定性.故选C.点评数学要学以致用,会对生活中的一些现象用数学知识解释. 8.(3分)如图,已知AB∥CD.则角α、β、γ之间关系为( ) A.α+β+γ=180°B.α﹣β+γ=180°C.α+β﹣γ=180°D.α+β+γ=360°考点平行线的性质;三角形内角和定理.分析由AB∥CD,根据两直线平行,同旁内角互补,即可求得∠1+∠γ=180°,又由三角形外角的性质,即可求α+β+γ=180°.解答解∵AB∥CD,∴∠1+∠γ=180°,∵γ=α+β,∴α+β+γ=180°.故选A.点评此题考查了平行线的性质与三角形外角的性质.此题比较简单,解题的关键是掌握两直线平行,同旁内角互补定理的应用.
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)9.(3分)(2006•贵阳)如图,P为△ABC中BC边的延长线上一点,∠A=50°,∠B=70°,则∠ACP= 120 度.考点三角形的外角性质.分析利用三角形外角与内角的关系解答即可.解答解∵∠A=50°,∠B=70°,∵∠ACP=∠A+∠B=50°+70°=120°,∴∠ACP=120°.点评本题解题的关键是熟记三角形外角与内角的关系,即三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和. 10.(3分)如果一个三角形两边为2cm,7cm,且三角形的第三边为奇数,则三角形的周长是 16 cm.考点三角形三边关系.分析三角形的三边不等关系为任意两边之差<第三边<任意两边之和.解答解7﹣2<第三边<7+2⇒5<第三边<9,这个范围的奇数是7,所以三角形的周长是2+7+7=16(cm).点评首先根据题意求出第三边,然后再求出周长. 11.(3分)在△ABC中,∠A=60°,∠C=2∠B,则∠C= 80 度.考点三角形内角和定理.分析根据三角形的内角和定理和已知条件求得.解答解∵∠A=60°,∴∠B+∠C=120°,∵∠C=2∠B,∴∠C=80°.点评主要考查了三角形的内角和是180度.求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件. 12.(3分)一个多边形的每个内角都等于150°,则这个多边形是 12 边形.考点多边形内角与外角.专题计算题.分析根据多边形的内角和定理180°•(n﹣2)求解即可.解答解由题意可得180°•(n﹣2)=150°•n,解得n=12.故多边形是12边形.点评主要考查了多边形的内角和定理.n边形的内角和为180°•(n﹣2).此类题型直接根据内角和公式计算可得. 13.(3分)BM是△ABC中AC边上的中线,AB=5cm,BC=3cm,那么△ABM与△BCM的周长之差为 2 cm.考点三角形的角平分线、中线和高.分析根据三角形的中线的概念,由BM是△ABC中AC边上的中线得AM=CM.所以△ABM与△BCM的周长之差为AB与BC的差.解答解5﹣3=2cm.答△ABM与△BCM的周长之差为2cm.点评理解三角形的中线的概念,能够根据周长公式进行计算,注意线段之间的抵消. 14.(3分)如图,从A处观测C处仰角∠CAD=30°,从B处观测C处的仰角∠CBD=45°,从C外观测A、B两处时视角∠ACB= 15 度.考点三角形的外角性质.分析因为∠CBD是△ABC的外角,所以∠CBD=∠CAD+∠ACB,则∠ACB=∠CBD﹣∠ACB.解答解方法1∵∠CBD是△ABC的外角,∴∠CBD=∠CAD+∠ACB,∴∠ACB=∠CBD﹣∠ACB=45°﹣30°=15°.方法2由邻补角的定义可得∠CBA=180°﹣∠CBD=180°﹣45°=135°.∵∠CAD=30°,∠CBA=135°,∴∠ACB=180°﹣∠CAD﹣∠CBA=180°﹣30°﹣135°=180°﹣165°=15°.点评本题考查的是三角形外角与内角的关系,即三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 15.(3分)如图,△ABC中,∠A=40°,∠B=72°,CE平分∠ACB,CD⊥AB于D,DF⊥CE,则∠CDF= 74 度.考点三角形内角和定理.分析利用三角形的内角和外角之间的关系计算.解答解∵∠A=40°,∠B=72°,∴∠ACB=68°,∵CE平分∠ACB,CD⊥AB于D,∴∠BCE=34°,∠BCD=90﹣72=18°,∵DF⊥CE,∴∠CDF=90°﹣(34°﹣18°)=74°.故填74.点评主要考查了三角形的内角和外角之间的关系.
(1)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和;
(2)三角形的内角和是180度,求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件;
(3)三角形的一个外角>任何一个和它不相邻的内角.注意垂直和直角总是联系在一起. 16.(3分)如图,小亮从A点出发,沿直线前进100m后向左转30°,再沿直线前进100m,又向左转30°,…,照这样走下去,他第一次回到出发地A点时,一共走了 1200 m.考点多边形内角与外角.分析根据多边形的外角和为360°,照这样走下去,他第一次回到出发地A点时,他需要转动360°,即可求出答案.解答解∵360÷30=12,∴他需要走12次才会回到原来的起点,即一共走了12×100=1200米.故答案为1200米.点评本题主要考查了多边形的外角和定理.任何一个多边形的外角和都是360°.
三、解答题(17~20题每小题8分,21,22题每小题8分,共52分)17.(8分)一个多边形的内角和是它的外角和的4倍,求这个多边形的边数.考点多边形内角与外角.分析一个多边形的内角和是它的外角和的4倍,而外角和是360°,则内角和是4×360°.n边形的内角和可以表示成(n﹣2)•180°,设这个多边形的边数是n,就得到方程,从而求出边数.解答解设这个多边形有n条边.由题意得(n﹣2)×180°=360°×4,解得n=10.故这个多边形的边数是10.点评此题比较简单,只要结合多边形的内角和公式寻求等量关系,构建方程求解即可. 18.(8分)如图,点F是△ABC的边BC延长线上一点.DF⊥AB,∠A=30°,∠F=40°,求∠ACF的度数.考点三角形内角和定理;三角形的外角性质.分析在直角三角形DFB中,根据三角形内角和定理,求得∠B的度数;再在△ABC中,根据内角与外角的性质求∠ACF的度数即可.解答解在△DFB中,∵DF⊥AB,∴∠FDB=90°,∵∠F=40°,∠FDB+∠F+∠B=180°,∴∠B=50°.在△ABC中,∵∠A=30°,∠B=50°,∴∠ACF=30°+50°=80°.点评本题主要考查了三角形的内角和定理,以及三角形的外角等于不相邻的两个内角的和,此题基础题,比较简单. 19.(8分)如图,AD是△ABC的中线,BE是△ABD的中线.
(1)在△BED中作BD边上的高.
(2)若△ABC的面积为20,BD=5,则点E到BC边的距离为多少?考点作图—复杂作图;三角形的角平分线、中线和高;三角形的面积.分析
(1)根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可;
(2)首先根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分可得△EBD的面积是5,再利用三角形的面积公式进而得到EH的长.解答解
(1)如图所示
(2)∵AD是△ABC的中线,∴S△ABD=S△ABC,∵BE是△ABD的中线,∴S△BED=S△ABD,∵△ABC的面积为20,∴△EBD的面积是20÷4=5,∴•DB•EH=5,∴×5•EH=5,EH=2.即点E到BC边的距离为2.点评此题主要考查了复杂作图,以及三角形中线的性质,关键是掌握中线把三角形的面积分成相等的两部分. 20.(8分)一个零件的形状如图,按规定∠A=90°,∠ABD和∠ACD,应分别是32°和21°,检验工人量得∠BDC=148°,就断定这个零件不合格,运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由.考点三角形内角和定理.分析连接AD,利用三角形内角与外角的关系求出此零件合格时∠CDB的度数与已知度数相比较即可.解答解不合格,理由如下连接AD并延长,则∠1=∠ACD+∠CAD,∠2=∠ABD+∠BAD,故∠BDC=∠ACD+∠ABD+∠A=32°+21°+90°=143°,因为∠BDC实际等于148°,所以此零件不合格.点评本题考查的是三角形内角与外角的关系,比较简单. 21.(10分)
(1)如图
(1),在△ABC中,∠C>∠B,AD⊥BC于点D,AE平分∠BAC,你能找出∠EAD与∠B、∠C之间的数量关系吗?并说明理由.
(2)如图
(2),AE平分∠BAC,F为AE上一点,FM⊥BC于点M,这时∠EFM与∠B、∠C之间又有何数量关系?请你直接说出它们的关系,不需要证明.考点三角形内角和定理.专题探究型.分析
(1)根据三角形内角和定理以及角平分线的定义求出∠EAC,再根据直角三角形两锐角互余求出∠DAC,然后表示出∠EAD,整理即可得解;
(2)过点A作AD⊥BC于D,根据两直线平行,同位角相等可得∠EFM=∠EAD,再根据
(1)的结论解答.解答解
(1)∵AE平分∠BAC,∴∠EAC=∠BAC=(180°﹣∠B﹣∠C),又∵AD⊥BC,∴∠DAC=90°﹣∠C,∴∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=(180°﹣∠B﹣∠C)﹣(90°﹣∠C)=(∠C﹣∠B),即∠EAD=(∠C﹣∠B);
(2)如图,过点A作AD⊥BC于D,∵FM⊥BC,∴AD∥FM,∴∠EFM=∠EAD=(∠C﹣∠B).点评本题考查了三角形的内角和定理,角平分线的定义,直角三角形两锐角互余的性质,整体思想的利用是解题的关键. 22.(10分)(2009•顺义区一模)取一副三角板按图1拼接,固定三角板ADC,将三角板ABC绕点A依顺时针方向旋转一个大小为α的角(0°<α≤45°)得到△ABC′,如图所示.试问
(1)当α为多少度时,能使得图2中AB∥DC;
(2)连接BD,当0°<α≤45°时,探寻∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小变化情况,并给出你的证明.考点旋转的性质;平行线的判定;三角形内角和定理.专题探究型.分析
(1)要使AB∥DC,只要证出∠CAC′=15°即可.
(2)当0°<α≤45°时,总有△EFC′存在.根据∠EFC′=∠BDC+∠DBC′,又因为∠EFC′+∠FEC′+∠C′=180°,得到∠BDC+∠DBC′+∠C+α+∠C′=180°,则∠DBC′+∠CAC′+∠BDC=105°.解答解
(1)由题意∠CAC′=α,要使AB∥DC,须∠BAC=∠ACD,∴∠BAC=30°,α=∠CAC′=∠BAC′﹣∠BAC=45°﹣30°=15°,即α=15°时,能使得AB∥DC.
(2)连接BD,∠DBC′+∠CAC′+∠BDC的值的大小没有变化,总是105°,当0°<α≤45°时,总有△EFC′存在.∵∠EFC′=∠BDC+∠DBC′,∠CAC′=α,∠FEC′=∠C+α,又∵∠EFC′+∠FEC′+∠C′=180°,∴∠BDC+∠DBC′+∠C+α+∠C′=180°,又∵∠C′=45°,∠C=30°,∴∠DBC′+∠CAC′+∠BDC=105°.点评本题需要把旋转的性质、平行线的判定和三角形内角和定理相结合求解,考查学生综合运用数学知识的能力,注意“内错角相等,两直线平行”. 。