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数学家看问题,总想找规律.我们学数学,也要向他们学习.找规律,要从简单的情况着手,仔细观察,得到启示,大胆猜想,找出一般规律,还要进行验证,最后还需要证明(在小学阶段不要求同学们进行证明). 例1沿直尺的边缘把纸上的两个点连起来,这个图形就叫做线段.这两个点就叫线段的端点,如图8—1—1所示.不难看出,线段也可以看成是直线上两点间的部分.如果一条直线上标出11个点,如图8—1—2所示,任何两点间的部分都是一条线段,问共有多少条线段. 解先从简单的情况着手.
(1)画一画,数一数(见图8—1—3)
(2)试着分析 2个点,线段条数1=1 3个点,线段条数3=2+1 4个点,线段条数6=3+2+1 5个点,线段条数10=4+3+2+1
(3)大胆猜想一条直线上有若干点时线段的条数总是从1开始的一串自然数相加之和,其中最大的自然数比点数小
1.
(4)进行验证对于更多点的情况,对猜想进行验证,看猜想是否正确,如果正确,就增加了对猜想的信心.如 6个点时对不对? ——对.见图8—1—
4. 线段条数5+4+3+2+1=15(条).
(5)应用规律应用猜想到的规律解决更复杂的问题. 当直线上有11个点时,线段的条数应是 10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55(条). 例2如图8—2中
(1)~
(5)所示两条直线相交只有1个交点,3条直线相交最多有3个交点,4条直线相交最多有6个交点,……那么,11条直线相交最多有多少交点? 解从简单情况着手研究
(1)画一画、数一数 图8-2
(2)试着分析 直线条数最多交点数 10 21=1 33=2+1 46=3+2+1 510=4+3+2+1
(3)大胆猜想若干条直线相交时,最多的交点数是从1开始的一串自然数相加之和,其中最大的自然数比直线条数小
1.
(4)进行验证见图8—
3.取6条直线相交,画一画,数一数,看一看最多交点个数与猜想的是否一致,若相符,则更增强了对猜想的信心. 用猜想的算法进行计算最多交点数应是 5+4+3+2+1=15(个).
(5)应用规律应用猜想到的规律解决更复杂的问题.当有11条直线相交时,最多的交点数应是 10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55(个). 例3如图8—4所示,一张大饼,切1刀最多切成2块,切2刀最多切成4块,切3刀最多切成7块,……问切10刀最多切成多少块? 解从最简单情况着手研究.
(1)画一画、数一数
(2)试着分析 所切刀数切出的块数 01 12=1+1 24=1+1+2 37=1+1+2+3 411=1+1+2+3+4
(3)大胆猜想把一张大饼切若干刀时,切成的最多块数等于从1开始的一串自然数相加之和加
1.其中最大的自然数等于切的刀数.
(4)进行验证见图8—5对大饼切5刀的情况用两种方法求解,看结果是否一致,若一致则更增强了对猜想的信心.
①数一数16块.
②算一算1+1+2+3+4+5=16(块).
(5)应用规律把大饼切10刀时,最多切成的块数是 1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 =1+55 =56(块).HYPERLINKhttp://photo.blog.sina.com.cn/showpic.html\lblogid=6de5207d01017slzurl=http://s
5.sinaimg.cn/orignal/6de5207dgdc56ac4d5d04\t_blankINCLUDEPICTUREhttp://s
5.sinaimg.cn/mw690/6de5207dgdc56ac4d5d04690\*MERGEFORMAT
(2)计算 3+5+7+9+11+13+15+17 =(3+17)×4=20×4=80 共8个数,个数的一半是4,首数是3,末数是
17.
(3)计算 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 =(2+20)×5=110 共10个数,个数的一半是5,首数是2,末数是
20.
四、基准数法
(1)计算23+20+19+22+18+21 解仔细观察,各个加数的大小都接近20,所以可以把每个加数先按20相加,然后再把少算的加上,把多算的减去. 23+20+19+22+18+21 =20×6+3+0-1+2-2+1 =120+3=123 6个加数都按20相加,其和=20×6=
120.23按20计算就少加了“3”,所以再加上“3”;19按20计算多加了“1”,所以再减去“1”,以此类推.
(2)计算102+100+99+101+98 解方法1仔细观察,可知各个加数都接近100,所以选100为基准数,采用基准数法进行巧算. 102+100+99+101+98 =100×5+2+0-1+1-2=500 方法2仔细观察,可将5个数重新排列如下(实际上就是把有的加数带有符号搬家) 102+100+99+101+98 =98+99+100+101+102 =100×5=500 可发现这是一个等差连续数的求和问题,中间数是100,个数是
5.
1.计算
(1)18+28+72
(2)87+15+13
(3)43+56+17+24
(4)28+44+39+62+56+21
2.计算
(1)98+67
(2)43+28
(3)75+26
3.计算
(1)82-49+18
(2)82-50+49
(3)41-64+29
4.计算
(1)99+98+97+96+95
(2)9+99+999
5.计算
(1)5+6+7+8+9
(2)5+10+15+20+25+30+35
(3)9+18+27+36+45+54
(4)12+14+16+18+20+22+24+26
6.计算
(1)53+49+51+48+52+50
(2)87+74+85+83+75+77+80+78+81+84
7.计算1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+
51.解
(1)18+28+72=18+(28+72)=18+100=118
(2)87+15+13=(87+13)+15 =100+15=115
(3)43+56+17+24 =(43+17)+(56+24) =60+80=140
(4)28+44+39+62+56+21 =(28+62)+(44+56)+(39+21) =90+100+60=250
2.解
(1)98+67=98+2+65 =100+65=165
(2)43+28=43+7+21=50+21=71 或43+28=41+(2+28)=41+30=71
(3)75+26=75+25+1=100+1=101
3.解
(1)82-49+18=82+18-49 =100-49=51
(2)82-50+49=82-1=81 (减50再加49等于减1)
(3)41-64+29=41+29-64 =70-64=6
4.解
(1)99+98+97+96+95 =100×5-1-2-3-4-5 =500-15=485 (每个加数都按100算,再把多加的减去)或99+98+97+96+95=97×5=485
(2)9+99+999=10+100+1000-3 =1110-3=1107
5.解
(1)5+6+7+8+9 =7×5=35
(2)5+10+15+20+25+30+35 =20×7=140
(3)9+18+27+36+45+54 =(9+54)×3=63×3=189
(4)12+14+16+18+20+22+24+26=(12+26)×4=38×4=152
6.解
(1)53+49+51+48+52+50=50×6+3-1+1-2+2+0 =300+3=303
(2)87+74+85+83+75+77+80+78+81+84=80×10+7-6+5+3-5-3+0-2+1+4 =800+4=804
7.解方法1原式=21+21+21+15=78 方法2原式=21×4-6=84-6=78 方法3原式=(1+2+3+4+5+6)×3+15=21×3+15=63+15=
781.如图8—6所示,直线上有13个点,任意两点间的部分都构成一条线段,问共构成多少条线段?
2.如图8—7所示,两条直线最多有一个交点,三条直线最多有三个交点,四条直线最多有六个交点,……,问十三条直线最多有几个交点?
3.图8—8所示为切大饼示意图,已知切1刀最多切成2块,切2刀最多切成4块,切3刀最多切成7块,……,问切12刀最多切成多少块?
4.如图8—9所示,将自然数从小到大沿三角形的边成螺旋状,排列起来,2在第一个拐弯处,4在第二个拐弯处,7在第三个拐弯处,……,问在第十个拐弯处的自然数是几?
5.如图8—10所示为切大饼的示意图.切一刀只有一种切法,切两刀有2种切法,切三刀有4种切法,……,问切十一刀有多少种切法(规定三刀或三刀以上不能切在同一点上,如图8—11所示)?
1.解利用例1得到的规律可知一条直线上有若干点时,线段的条数是从1开始的一串自然数相加之和,其中最大的自然数比点数小
1. 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12 =78(条).
2.解利用例2得到的规律可知,有若干条直线相交时,最多的交点数是从1开始的一串自然数相加之和,其中最大的自然数比直线条数小
1. 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12 =78(个).
3.解利用例3得到的规律可知,把一张大饼切若干刀时,切成的最多块数,等于从1开始的一串自然数相加之和加1,其中最大的自然数等于切的刀数. 1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12 =1+78 =79(块).
4.解方法1观察图8—12,仔细分析找规律. 第一个拐弯处2=1+1 第二个拐弯处4=1+1+2 第三个拐弯处7=1+1+2+3 第四个拐弯处11=1+1+2+3+4 第五个拐弯处16=1+1+2+3+4+5 发现规律拐弯处的数是从1开始的一串自然数相加之和再加1,在第几个拐弯处,就加到第几个自然数. 所以第十个拐弯处的数是 1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=
56. 方法2由于此题比较简单,把图形画出来(图8—12),按要求把自然数排列在三角形的边上,答案也是
56.
5.解对简单的情况,仔细观察、分析,大胆猜想,找出规律,用于解决复杂的情况.如图8—13所示切一刀,1种切法1=1 切两刀,2种切法2=1+1 切三刀,4种切法4=1+1+2 大胆猜想,切四刀的切法数应为 1+1+2+3=7种切法. 进行验证(实际切切看) 应用得到的规律,求得切十一刀的不同切法数为1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 =1+55 =56(种). 。