还剩24页未读,继续阅读
本资源只提供10页预览,全部文档请下载后查看!喜欢就下载吧,查找使用更方便
文本内容:
4.1认识三角形
(1)三角形中角的关系
(1)三角形的三个内角之和是;
(2)直角三角形的两个锐角三角形的分类按角分为三类三角形;三角形和三角形
(1)学习过程例1证明三角形的内角和为180°例2在△ABC中,
(1)=
(2)=
(3)在△ABC中,的外角是120°,的度数是度数的一半,求△ABC的三个内角的度数变式训练在△ABC中
(1)=2若=55°,那么==例3已知△ABC中,试判断此三角形是什么形状?变式训练已知△ABC中,试判断此三角形是什么形状?例4如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,例5如图,已知的度数变式训练如图在锐角三角形ABC中,BE、CD分别垂直AC、AB,若,求的度数拓展
1、如图所示,求的度数
2、如图在△ABC中,已知的度数
4.1认识三角形
(2)如图,已知AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,点F是AE的中点,则图中有个三角形,个直角三角形,个锐角三角形,个钝角三角形;以为内角的三角形有个,它们分别是;以BE为一边的三角形是
(二)学习过程
1、三角形的有关概念
(1)三角形的定义由不在上的三条线段首尾相连所组成的图形
(2)三角形的基本构造
①组成三角形的三条线段叫做三角形的
②两条边相接的点叫做三角形的
③相邻两边组成的角叫做三角形的
2、三角形的三边关系
(1)三角形任意两边之和第三边
(2)三角形任意两边之差第三边例1图中共有几个三角形?并把它们用符号表示出来例2下面各组数分别表示三条线段的长度,试判断以它们为边是否能组成三角形
(1)1;4;5
(2)3;3;5
(3)3x;5x;7x(x为正数)
(4)三条线段长度之比为476变式训练有下列长度的三条线段能否构成三角形?为什么?
(1)3;4;8
(2)5;6;11
(3)5;7;10
(4)4;4;9
(5)5;5;5例3小明要制作一个三角形铁丝架,已知有两根铁丝长度分别是3cm,5cm
(1)他该如何选择第三根铁丝?你能帮助小明确定它的长度或范围吗?
(2)如果要求第三根铁丝的长度是整数,那么小明有几种选择?变式训练
1、已知两条线段的长为5cm和8cm,要订成一个三角形,试求
(1)第三条线段的长度范围;
(2)若第三条线段的长度为奇数,求此时三角形的周长
2、已知等腰三角形中,有两边长为3和7,求此等腰三角形的底边和腰长例4如图所示,在小河的同侧有ABC三个村庄,图中的线段表示道路,某邮递员从A村送信到B村,总是走经过C村的道路,不走经过D村的道路,这是为什么呢?请利用你所学的数学知识加以证明拓展
1、若设是△ABC的三边,则=
2、已知是△ABC的三边,,且三角形的周长是偶数,
(1)求c的值;
(2)判断△ABC的形状画出下图三角形的三条高
(1)学习过程
1、在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫做
2、在三角形中,的线段,叫做这个三角形的中线
3、从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,之间的线段叫做三角形的高例1
(1)如图1,D为S△ABC的变BC边的中点,若S△ADC=15那么S△ABC=2如图2,已知AD、BE分别是△ABC中BC、AC边上的高,若图1图2变式训练如图在△ABC中,BD平分=例2如图,已知在△ABC中,的平分线交于点O,试说明
(1)2变式训练如图在△ABC中,已知I是△ABC三个内角平分线的交点,为()A、40°B、50°C、65°D、80°例3如图,已知在△ABC中,CF、BE分别是AB、AC边上的中线,若AE=2,AF=3,且△ABC的周长为15,求BC的长变式训练如图,在△ABC中,AB=AC,AC边上的中线BD把三角形的周长分为12和15两部分,求△ABC各边的长拓展
1、
(1)如图,若AD为△ABC底边BC的中线,则==;2两个等底(同底)三角形面积之比等于它们的之比;两个等高(同高)三角形面积之比等于它们的之比;
(3)如图,在四边形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上,DF=FCCE=2EB已知(其中nm)则=
2、如图1在△ABC中,AD⊥BC于点D,AE平分1试探究的关系;
(2)若F是AE上一动点
①若F移动到AE之间的位置时,FD⊥BD,如图2所示,此时的关系如何?
②当F继续移动到AE延长线上时,如图3所示FD⊥BC,
①中的结论是否还成立,如果成立说明理由,如果不成立,写出新的结论
4.2图形的全等下面,我们看看图形的运动对全等图形有何影响活动请同学们在方格纸中任意画一个多边形,先将这个多边形沿某一方向平移一定距离与原图形无重叠;再将原多边形绕形外一点顺时针或逆时针旋转一定角度与原图形无重叠;然后将原图形沿形外某格线对称;最后将这些图形剪下来,将其叠合.你能发现什么通过这个活动过程,说明了什么问题说明图形经过平移、旋转、翻折的图形运动,位置发生了变化,但形状和大小却没有改变,图形运动前后的两个图形是全等的;反过来,也就是说,两个全等的图形经过图形运动一定能重合.请你说说什么是全等多边形什么是全等多边形的对应顶点、对应角、对应边你认为全等多边形有何特征全等多边形对应边、对应角分别相等.如图1,四边形ABCD与四边形EFGH全等,可记为四边形ABCD≌四边形EFGH,请指出对应顶点、对应角、对应边.全等多边形的识别方法如果两个多边形对应边、对应角分别相等,那么这两个多边形全等.三角形是特殊的多边形,所以,全等三角形的对应边、对应角分别相等;如果两个三角形的___________、__________分别相等,那么这两个多边形全等.例1如图2,已知将△ABC绕其顶点A顺时针方向旋转20°后得到△ADE.1△ABC与△ADE的关系如何2求∠BAD的度数.分析将△ABC绕其顶点A旋转得到△ADE,故△ADE是由△ABC旋转得到的,若将△ADE逆时针方向旋转20°,则能与△ABC重合,所以△ABC与△ADE是全等的.由学生自主思考、分析解答.探索请同学们将两张纸叠起来,剪下两个全等三角形,然后将叠合的两个三角形纸片放在桌面上,从平移、旋转、对称几个方面进行摆放,看看两个三角形有一些怎样的特殊位置关系并画出这些位置关系的代表性图形.
4.3探索三角形全等的条件
(1)已知△ABC≌△A′B′C′,找出其中相等的边与角.图中相等的边是AB=A′B、BC=B′C′、AC=A′C.相等的角是∠A=∠A′、∠B=∠B′、∠C=∠C′.
(1)提出问题你能画一个三角形与它全等吗?怎样画?(提示可以先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数,再作出一个三角形使它的边、角分别和已知的三角形纸片的对应边、对应角相等.这样作出的三角形一定与已知的三角形纸片全等).这是利用了全等三角形的定义来作图.那么是否一定需要六个条件呢?条件能否尽可能少呢?现在我们就来探究这个问题.(2)小明家衣橱上两块全等的三角形玻璃装饰物,其中一块被打碎了,妈妈让小明快速配一块回来,如果只有一把尺子,小明该怎么办?讨论下面几种情况1.给一个条件只给定一条边时只给定一个角时2.给出两个条件可能是
①一边一内角;
②两内角;
③两边.可以发现按这些条件画出的三角形都_______________保证一定全等.给出三个条件画三角形,你能说出有几种可能的情况吗?归纳有四种可能.即三内角、三条___、两边一内角、两_____一边.在刚才的探索过程中,我们已经发现三内角不能保证三角形全等.下面我们就来逐一探索其余的三种情况.已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm.你能画出这个三角形吗?把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较,它们全等吗?1.作图方法先画一线段AB,使得AB=6cm,再分别以A、B为圆心,8cm、10cm为半径画弧,两弧交点记作C,连结线段AC、BC,就可以得到三角形ABC,使得它们的边长分别为AB=6cm,AC=8cm,BC=10cm.2.以小组为单位,把剪下的三角形重叠在一起,发现都能够重合.这说明这些三角形都是全等的.这反映了一个规律_______________的两个三角形全等,简写为_________或_________.用三根木条钉成三角形框架,它的大小和形状是固定不变的,而用四根木条钉成的框架,它的形状是可以改变的.三角形的这个性质叫做三角形的__________.[例1]如图,
1、如图,△ABC中AB=AC,D为BC中点求证
①△ABD≌△ACD.
②∠BAD=∠CAD
③AD⊥BC证明变式训练如图,已知AC=FE、BC=DE,点A、D、B、F在一条直线上,AD=FB.要用“边边边”证明△ABC≌△FDE,除了已知中的AC=FE,BC=DE以外,还应该有什么条件?怎样才能得到这个条件?例
2、如图,已知AB=CD,AC=BD,求证∠A=∠D拓展延伸
1、如图,AC与BD交于点O,AD=CB,E、F是BD上两点,且AE=CF,DE=BF.请推导下列结论⑴∠D=∠B;⑵AE∥CF.
2、已知如图,A、E、F、C四点共线,BF=DE,AB=CD.⑴请你添加一个条件,使△DEC≌△BFA;⑵在⑴的基础上,求证DE∥BF.
3、已知AB=ACD为△ABC内部一点,且BD=CD连接AD并延长,交BC于点E.试找出图中的一对全等的三角形,并证明你的结论小结
1、证明三角形全等的一般步骤
①把非直接条件(公共边、公共角、对顶角,平行线,平行四边形等图形中的隐含条件)转化为直接条件(三角形中的对应相等的边或角)
②在△与△中∵∴△≌△
2、证明不在同一个三角形中的边与角相等时,不要忘记证它们所在的三角形全等
4.3探索三角形全等的条件
(2)
1.温故而知新如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,△ABD和△ACD全等吗?你能说明理由吗?
2、创设情景,引入新课提问一张三角形的纸片,被斯成三部分,究竟用那部分可画出原图一样的三角形?探究练习
1.两角和它们的夹边将学生分组小组分工合作完成下列问题画一个△ABC使它满足以下条件第一组∠A=90°∠B=30°AB=10cm第二组∠A=60°∠B=45°AB=9cm学生动手操作,完成问题后,小组交流比较,看看能得到什么结论?学生表述,老师板书________________________对应相等的两个三角形全等;(简写为_____________或者______________)探究练习
2.如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边,比如三角形的两个内角分别是60°和45°,一条边长为10cm,情况会怎样呢?
(1)如果角60°所对的边为10cm,你能画出这个三角形吗?
(2)如果角45°所对的边为10cm,那么按这个条件画出的三角形都全等吗?结论___________________________对应相等的两个三角形全等简写为________________________________思考若两个三角形具备两角和其中一个角的对边分别相等,哪么这两个三角形全等,你认为对吗?能举例说明吗?
3.举例应用例
1.如图,已知AO=DO,∠AOB与∠DOC是对顶角,还需补充条件______________=_______________,就可根据“ASA”说明△AOB≌△DOC;或者补充条件_______________=_______________,就可根据“AAS”,说明△AOB≌△DOC(若把“AO=DO”去掉,答案又会有怎样的变化呢?)变式训练如图已知BD=CE,∠B=∠C,△ABD与△ACE全等吗?为什么?例
2、如图,OP是∠MON的角平分线,C是OP上一点,CA⊥OM,CB⊥ON,垂足分别为A、B,△AOC≌△BOC吗?为什么?变式训练已知如图,AB=DC,∠A=∠D.试说明∠1=∠2.拓展延伸如图,ΔABC中,D是AC上一点,BE∥AC,BE=AD,AE分别交BD、BC于点F、G.⑴图中有全等三角形吗?请找出来,并证明你的结论.⑵若连结DE,则DE与AB有什么关系?并说明理由.
4.3探索三角形全等的条件
(3)例1小明不小心打翻了墨水,将自己所画的三角形涂黑了,你能帮小明想想办法,画一个与原来完全一样的三角形吗?说说怎么做?变式训练小明做了一个如图所示的风筝,其中∠EDH=∠FDHED=FD,将上述条件标注在图中,小明不用测量就能知道EH=FH吗?与同桌进行交流,还有哪组线段相等?并说明理由实践探索2两边及其中一边对角对应相等请同学们画一个三角形,两边分别为20cm、16cm,且一边的对角为40度小组比较交流图形能否重合明晰两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等例
2、工人师傅把两根钢条ACBD连在一起可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳),只要量得CD的长度就可知工件的内径AB是否符合标准你认为制作卡钳需要满足什么条件,并说明理由 A、AO=COB、BO=DOC、AC=BDD、AO=CO且BO=DO例
3.如图
①已知AB=A′B′BC=B′C′那只要再知道____=____就可以根据“SAS”得到△ABC≌△A′B′C′.
②已知AB=A′B′∠BAC=∠B′A′C′那只要再知道____=____就可以根据“SAS”得到△ABC≌△A′B′C′.
③已知∠C=∠C′那只要再知道_____=__________=_____就可以根据“SAS”得到△ABC≌△A′B′C′变式训练如图若AB=DE,BF=EC∠B=∠E,那么△ABC和△DEF全等吗?拓展延伸1.如图,已知AB=AC,AD=AE,∠1=∠2.△ABD≌△ACE2.已知点A、F、E、C在同一条直线上,AF=CE,BE∥DF,BE=DF.求证AB∥CD
3、如图,在△ABC中,∠B=2∠CAD是△ABC的角平分线,∠1=∠C求证AC=AB+BD
4.3探索三角形全等的条件
(4)
一、复习思考
1、判定两个三角形全等的方法、、、
2、如图,Rt△ABC中,直角边是、,斜边是
3、如图,AB⊥BE于B,DE⊥BE于E,
①若∠A=∠D,AB=DE,则△ABC与△DEF(填“全等”或“不全等”)根据(用简写法)
②若∠A=∠D,BC=EF,则△ABC与△DEF(填“全等”或“不全等”)根据(用简写法)
③若AB=DE,BC=EF,则△ABC与△DEF(填“全等”或“不全等”)根据(用简写法)
④若AB=DE,BC=EF,AC=DF则△ABC与△DEF(填“全等”或“不全等”)根据(用简写法)
(二)学习过程已知线段a,cac和一个直角,利用尺规作一个Rt△ABC,使∠C=∠,AB=c,CB=a.按步骤作图ac
①作∠MCN=∠=90°.
②在射线CM上截取线段CB=a.
③以B为圆心,c为半径画弧,交射线CN于点A.
④连结AB.2把△剪下来放到△ABC上,观察△与△ABC是否能够完全重合?3归纳;由上面的画图和实验可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形(可以简写成“”或“”)4用数学语言表述上面的判定方法在Rt△ABC和Rt中∵∴Rt△ABC≌Rt△
(5)直角三角形是特殊的三角形,所以不仅有一般三角形判定全等的方法“”、“”、“”、“”、还有直角三角形特殊的判定方法“”例
1、如图2,B、E、F、C在同一直线上,AF⊥BC于F,DE⊥BC于E,AB=DC,BE=CF,你认为AB平行于CD吗?说说你的理由.例
2、已知如图在△ABC和△A′B′C′中,CD、C′D′分别是高,并且AC=A′C′,CD=C′D′,∠ACB=∠A′C′B′求证△ABC≌△A′B′C′变式练习
1、若把例题中的∠ACB=∠A′C′B′改为AB=A′B′,△ABC与△A′B′C′全等吗?请说明思路变式2若把例题中的∠ACB=∠A′C′B′改为BC=B′C′,△ABC与△A′B′C′全等吗?请说明思路变式3请你把例题中的∠ACB=∠A′C′B′改为另一个适当条件,使△ABC与△A′B′C′仍能全等试说明证明思路拓展延伸如图1,E、F分别为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于E点,BF⊥AC于F点,若AB=CDAF=CEBD交AC于M点
(1)求证MB=MDME=MF;2当E、F两点移动至图2所示的位置时,其余条件不变,上述结论是否成立?若成立,给予证明
4.4用尺规作三角形已知a求作AB,使AB=a已知∠求作∠AOB,使∠AOB=∠
(二)学习过程1.作一个三角形与已知三角形全等
(1)已知三角形的两边及其夹角求作这个三角形.已知线段a,c,∠α求作ΔABC,使得BC=a,AB=c,∠ABC=∠α作法与过程
1.作一条线段BC=a,
2.以B为顶点,BC为一边,作角∠DBC=∠a;
3.在射线BD上截取线段BA=c;
3.连接AC,ΔABC就是所求作的三角形给出示范和作法让学生模仿教师可以在黑板上做一次示范让学生跟着一起操作并在画完图后让学生再自己操作一遍.而在下面的作图中就让学生小组内讨论、交流,通过集体的力量完成,教师再给以一定的指导
(2)已知三角形的两角及其夹边求作这个三角形.已知线段∠α,∠β,线段c求作ΔABC,使得∠A=∠α,∠B=∠β,AB=c作法
1.作____________=∠α;
2.在射线______上截取线段_________=c;
3.以______为顶点以_________为一边作∠______=∠β________交_______于点_______.ΔABC就是所求作的三角形.先让学生独立思考,探索作图的过程,对可以自己作出图形的学生,要求他们在小组内交流,用自己的语言表述作图过程教师要注意提醒学生在作图过程中,是以哪个点为圆心,什么长度为半径作图
(3)已知三角形的三边求作这个三角形.已知线段a,b,c求作ΔABC,使得AB=c,AC=b,BC=a在完成三个作图后,同学们要比较各自所作的三角形,利用重合等直观的方法观察所作的三角形是否全等在此基础上,利用已经获得的三角形全等的条件来说明大家所作的三角形一定是全等的,即说明作法的合理性45利用三角形全等测距离(
(3)预习作业
①全等三角形的性质两三角形全等,对应边,对应角
②如图;△ADC≌△CBA,那么,
③如图;△ABD≌△ACE,那么,
(二)学习过程
一、探索练习如图A、B两点分别位于一个池塘的两端,小明想用绳子测量A,B间的距离,但绳子不够长他叔叔帮他出了一个这样的主意先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C,连接AC并延长到D,使CD=AC;连接BC并延长到E,使CE=CB;连接DE并测量出它的长度;
(1)DE=AB吗?请说明理由
(2)如果DE的长度是8m,则AB的长度是多少?变式练习1.如图,山脚下有A、B两点,要测出A、B两点的距离
(1)在地上取一个可以直接到达A、B点的点O,连接AO并延长到C,使AO=CO,请你能完成右边的图形2说明你是如何求AB的距离2.如图,要量河两岸相对两点A、B的距离,可以在AB的垂线BF上取两点C、D,使CD=BC,再作出BF的垂线DE,使A、C、E在一条直线上,这时测得DE的长就是AB的长,试说明理由3.如图,A,B两点分别位于一个池塘的两端,完成下图并求出A、B的距离拓展练习如图,四边形ABCD中,AB∥DC,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,且点E在AD上求证BC=AB+DC第四章三角形回顾与思考基础练习
1、选择
(1)在和中,,,补充条件后,仍不一定能保证,这个补充条件是()(A)(B)(C)(D).
(2)下列条件能判定△ABC≌△DEF的一组是()(A)∠A=∠D,∠C=∠F,AC=DF (B)AB=DE,BC=EF,∠A=∠D(C)∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F(D)AB=DE,△ABC的周长等于△DEF的周长.
(3)判定两个三角形全等必不可少的条件是()(A)至少有一边对应相等,(B)至少有一角对应相等,(C)至少有两边对应相等,(D)至少有两角对应相等.
(4)下列条件中不能判断两个三角形全等的是()(A)有两边和它们的夹角对应相等(B)有两边和其中一边的对角对应相等(C)有两角和它们的夹边对应相等(D)有两角和其中一角的对边对应相等.
(5)下列结论正确的是()A有两个锐角相等的两个直角三角形全等;B一条斜边对应相等的两个直角三角形全等;C顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等;D两个等边三角形全等.
2、填空
(1)如图1,已知△ABC和△DCB中,AB=DC,请补充一个条件,使△ABC≌△DCB.
(2)如图2,已知∠C=∠D,请补充一个条件,使△ABC≌△ABD.
(3)如图3,已知∠1=∠2,请补充一个条件,使△ABC≌△CDA.
(4)如图4,已知∠B=∠E,请补充一个条件,使△ABC≌△AED.
3、解答题
(1)如图,将一张透明的平行四边形塑片沿对角线剪开.
①摆成如图1,A、B、C、D在同一直线上,AB=CD,DE∥AF,且DE=AF,求证BE=CF.
②如果将BD沿着AD边的方向平行移动,如图2,B点与C点重合时,如图3,B点在C点右侧时,其余条件不变,结论是否仍成立,如果成立,请予证明;如果不成立,请说明理由.
(2)如图1,AB⊥BD,ED⊥BD,AB=CD,BC=DE,求证AC⊥CE.若将CD沿CB方向平移得到图2345⑹的情形,其余条件不变,结论AC1⊥C2E还成立吗?请说明理由. .拓展延伸
1、如图
(1)A、E、F、C在同一直线上,AE=CF,过E、F分别作DE⊥AC,BF⊥AC若AB=CD,
(1)G是EF的中点吗?请证明你的结论.
(2)若将DEC的边EC经AC方向移动变为图
(2)时,其余条件不变,上述结论还成立吗?为什么?
2、如图,在△ABC中,AB=AC,DE是过点A的直线,BD⊥DE于D,CE⊥DE于E.
(1)若BC在DE的同侧(如图
①)且AD=CE,求证.
(2)若BC在DE的两侧(如图
②)其他条件不变,问1中的结论是否仍然成立?若是请予证明,若不是请说明理由.
3、
(1)如图
(1),已知AB=CD,AD=BC,O为AC的中点,过O点的直线分别与AD、BC相交于点M、N,那么∠1与∠2有什么关系?请说明理由.
(2)若将过O点的直线旋转至图
(2)、
(3)的情况时,其他条件不变,那么图
(1)中∠1与∠2的关系还成立吗?请说明理由.
4、已知∠AOB=900,在∠AOB的平分线OM上有一点C,将一个三角板的直角顶点与C重合,它的两条直角边分别与OA、OB或它们的反向延长线相交于点D、E.如图1,当CDOA于D,CEOB于E,易证CD=CE当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时,在图
2、图3这两种情况下,上述结论是否还成立若成立,请给予证明;若不成立,请写出你的猜想,不需证明.ABCEDADEBCABCDO12BCDAFGEEFDHOODCBAC′B′A′ABCEACFDBABCA1B1C1图2图1图3G示图1图2图3。