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文本内容:
新课标 人教版初中数学九年级上册
24.1《圆》精品教案知识梳理知识点
一、圆的定义及有关概念重点掌握圆的定义及有关概念难点熟练掌握运用概念
1、圆的定义平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆
2、有关概念弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧连接圆上任意两点间的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径,直径是最长的弦在同圆或等圆中,能够重合的两条弧叫做等弧例.P为⊙O内一点,OP=3cm,⊙O半径为5cm,则经过P点的最短弦长为________;最长弦长为_______.解题思路圆内最长的弦是直径,最短的弦是和OP垂直的弦,答案10cm,8cm知识点
二、平面内点和圆的位置关系重点掌握平面内点和圆的位置关系及数量关系难点运用点和圆的位置关系及数量关系平面内点和圆的位置关系有三种点在圆外、点在圆上、点在圆内当点在圆外时,d>r;反过来,当d>r时,点在圆外当点在圆上时,d=r;反过来,当d=r时,点在圆上当点在圆内时,d<r;反过来,当d<r时,点在圆内例.如图,在中,直角边,,点,分别是,的中点,以点为圆心,的长为半径画圆,则点在圆A的_________,点在圆A的_________.解题思路利用点与圆的位置关系,答案外部,内部练习在直角坐标平面内,圆的半径为5,圆心的坐标为.试判断点与圆的位置关系.答案点在圆O上.知识点
三、圆的基本性质重点掌握垂径定理、圆心角定理、圆周角定理及推论难点定理及推论的运用1圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线
2、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧垂径定理的推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦对的弧
3、圆具有旋转对称性,特别的圆是中心对称图形,对称中心是圆心圆心角定理在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等
4、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半圆周角定理推论1在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等圆周角定理推论2直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径例1.如图,在半径为5cm的⊙O中,圆心O到弦AB的距离为3cm,则弦AB的长是()A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm解题思路在一个圆中,若知圆的半径为R,弦长为a,圆心到此弦的距离为d,根据垂径定理,有R2=d2+()2,所以三个量知道两个,就可求出第三个.答案C例
2、如图,A、B、C、D是⊙O上的三点,∠BAC=30°,则∠BOC的大小是A、60°B、45°C、30°D、15°解题思路运用圆周角与圆心角的关系定理,答案A例
3、如图1和图2,MN是⊙O的直径,弦AB、CD相交于MN上的一点P,∠APM=∠CPM.
(1)由以上条件,你认为AB和CD大小关系是什么,请说明理由.
(2)若交点P在⊙O的外部,上述结论是否成立?若成立,加以证明;若不成立,请说明理由.12解题思路
(1)要说明AB=CD,只要证明AB、CD所对的圆心角相等,只要说明它们的一半相等.上述结论仍然成立,它的证明思路与上面的题目是一模一样的.解
(1)AB=CD理由过O作OE、OF分别垂直于AB、CD,垂足分别为E、F∵∠APM=∠CPM∴∠1=∠2OE=OF连结OD、OB且OB=OD∴Rt△OFD≌Rt△OEB∴DF=BE根据垂径定理可得AB=CD
(2)作OE⊥AB,OF⊥CD,垂足为E、F∵∠APM=∠CPN且OP=OP,∠PEO=∠PFO=90°∴Rt△OPE≌Rt△OPF∴OE=OF连接OA、OB、OC、OD易证Rt△OBE≌Rt△ODF,Rt△OAE≌Rt△OCF∴∠1+∠2=∠3+∠4∴AB=CD例4.如图,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到C,使AC=AB,BD与CD的大小有什么关系?为什么?解题思路BD=CD,因为AB=AC,所以这个△ABC是等腰,要证明D是BC的中点,只要连结AD证明AD是高或是∠BAC的平分线即可.解BD=CD理由是如图24-30,连接AD∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°即AD⊥BC又∵AC=AB∴BD=CD练习1AB是⊙O的直径,AC、AD是⊙O的两弦,已知AB=16,AC=8,AD=8,求∠DAC的度数.2.如图,以平行四边形ABCD的顶点A为圆心,AB为半径作圆,分别交BC、AD于E、F,若∠D=50°,求弧BE的度数和弧EF的度数.
3.如图,⊙C经过坐标原点,且与两坐标轴分别交于点A与点B,点A的坐标为(0,4),M是圆上一点,∠BMO=120°.
(1)求证AB为⊙C直径.
(2)求⊙C的半径及圆心C的坐标.答案
1.1AC、AD在AB的同旁,如右图所示:∵AB=16,AC=8,AD=8,∴AC=(AB),∴∠CAB=60°,同理可得∠DAB=30°,∴∠DAC=30°.
(2)AC、AD在AB的异旁,同理可得∠DAC=60°+30°=90°.2.BE的度数为80°,EF的度数为50°.
3.
(1)略
(2)4,(-2,2)知识点
四、圆与三角形的关系重点掌握确定圆的条件、三角形的外心、内心难点确定圆的条件、三角形的外心、内心等知识熟练运用
1、不在同一条直线上的三个点确定一个圆
2、三角形的外接圆经过三角形三个顶点的圆
3、三角形的外心三角形三边垂直平分线的交点,即三角形外接圆的圆心
4、三角形的内切圆与三角形的三边都相切的圆
5、三角形的内心三角形三条角平分线的交点,即三角形内切圆的圆心例1.如图,通过防治“非典”,人们增强了卫生意识,大街随地乱扔生活垃圾的人少了,人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中,如图24-49所示,A、B、C为市内的三个住宅小区,环保公司要建一垃圾回收站,为方便起见,要使得回收站建在三个小区都相等的某处,请问如果你是工程师,你将如何选址.解题思路连结AB、BC,作线段AB、BC的中垂线,两条中垂线的交点即为垃圾回收站所在的位置.例2.如图,点O是△ABC的内切圆的圆心,若∠BAC=80°,则∠BOC=()A.130°B.100°C.50°D.65°解题思路此题解题的关键是弄清三角形内切圆的圆心是三角形内角平分线的交点,答案A例3.如图,Rt△ABC,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,则它的外心与顶点C的距离为().A.5cmB.
2.5cmC.3cmD.4cm解题思路直角三角形外心的位置是斜边的中点,答案B练习
1、如图,△ABC内接于⊙O,AB是直径,BC=4,AC=3,CD平分∠ACB,则弦AD长为()A.B.C.D.32.设I是△ABC的内心,O是△ABC的外心,∠A=80°,则∠BIC=________,∠BOC=________.答案
1.A
2.130°160°知识点
五、直线和圆的位置关系相交、相切、相离重点,直线和圆的位置关系的性质和判定难点直线和圆三种位置关系的性质及判定当直线和圆相交时,d<r;反过来,当d<r时,直线和圆相交当直线和圆相切时,d=r;反过来,当d=r时,直线和圆相切当直线和圆相离时,d>r;反过来,当d>r时,直线和圆相离切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的直径切线的判定定理经过直径的一端,并且垂直于这条直径的直线是圆的切线切线长在经过圆外一点的圆的切线上,这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长切线长定理从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和圆外这点的连线平分两条切线的夹角例
1、在中,BC=6cm,∠B=30°,∠C=45°,以A为圆心,当半径r多长时所作的⊙A与直线BC相切?相交?相离?解题思路作AD⊥BC于D在中,∠B=30° ∴在中,∠C=45°∴CD=AD ∵BC=6cm ∴∴∴当时,⊙A与BC相切;当时,⊙A与BC相交;当时,⊙A与BC相离例2.如图,AB为⊙O的直径,C是⊙O上一点,D在AB的延长线上,且∠DCB=∠A.
(1)CD与⊙O相切吗?如果相切,请你加以证明,如果不相切,请说明理由.
(2)若CD与⊙O相切,且∠D=30°,BD=10,求⊙O的半径.解题思路
(1)要说明CD是否是⊙O的切线,只要说明OC是否垂直于CD,垂足为C,因为C点已在圆上.由已知易得∠A=30°,又由∠DCB=∠A=30°得BC=BD=10解
(1)CD与⊙O相切理由
①C点在⊙O上(已知)
②∵AB是直径∴∠ACB=90°,即∠ACO+∠OCB=90°∵∠A=∠OCA且∠DCB=∠A∴∠OCA=∠DCB∴∠OCD=90°综上CD是⊙O的切线.
(2)在Rt△OCD中,∠D=30°∴∠COD=60°∴∠A=30°∴∠BCD=30°∴BC=BD=10∴AB=20,∴r=10答
(1)CD是⊙O的切线,
(2)⊙O的半径是10.练习
1.如图,AB为⊙O直径,BD切⊙O于B点,弦AC的延长线与BD交于D点,若AB=10,AC=8,则DC长为________.2.如图,P为⊙O外一点,PA、PB为⊙O的切线,A、B为切点,弦AB与PO交于C,⊙O半径为1,PO=2,则PA_______,PB=________,PC=_______AC=______,BC=______∠AOB=________.3.如图,P为⊙O外一点,PA切⊙O于点A,过点P的任一直线交⊙O于B、C,连结AB、AC,连PO交⊙O于D、E.
(1)求证∠PAB=∠C.
(2)如果PA2=PD·PE,那么当PA=2,PD=1时,求⊙O的半径.答案1.A2.B
3.
(1)提示作直径AF,连BF,如右图所示.
(2)由已知PA2=PD·PE,可得⊙O的半径为.知识点
六、圆与圆的位置关系.重点两个圆的五种位置关系中的等价条件及它们的运用.难点探索两个圆之间的五种关系的等价条件及应用它们解题. 外离两圆没有公共点,一个圆上所有的点都在另一个圆的外部相离 内含两圆没有公共点,一个圆上所有的点都在另一个圆的内部 相切外切两圆只有一个公共点,除公共点外一个圆上所有的点都在另一个圆的外部 内切两圆只有一个公共点,除公共点外一个圆上所有的点都在另一个圆的内部相交 两圆只有两个公共点设两圆的半径分别为r
1、r2,圆心距(两圆圆心的距离)为d,则有两圆的位置关系,d与r1和r2之间的关系.外离dr1+r2外切d=r1+r2相交│r1-r2│dr1+r2内切d=│r1-r2│内含0≤d│r1-r2│(其中d=0,两圆同心)例1.两个同样大小的肥皂泡黏在一起,其剖面如图1所示(点O,O′是圆心),分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线,TP、NP分别为两圆的切线,求∠TPN的大小.
(1)2解题思路要求∠TPN,其实就是求∠OPO′的角度,很明显,∠POO′是正三角形,如图2所示.解∵PO=OO′=PO′∴△PO′O是一个等边三角形∴∠OPO′=60°又∵TP与NP分别为两圆的切线,∴∠TPO=90°,∠NPO′=90°∴∠TPN=360°-2×90°-60°=120°例2.如图1所示,⊙O的半径为7cm,点A为⊙O外一点,OA=15cm,求
(1)作⊙A与⊙O外切,并求⊙A的半径是多少?12
(2)作⊙A与⊙O相内切,并求出此时⊙A的半径.解题思路
(1)作⊙A和⊙O外切,就是作以A为圆心的圆与⊙O的圆心距d=rO+rA;(2)作OA与⊙O相内切,就是作以A为圆心的圆与⊙O的圆心距d=rA-rO.解如图2所示,
(1)作法以A为圆心,rA=15-7=8为半径作圆,则⊙A的半径为8cm
(2)作法以A点为圆心,rA′=15+7=22为半径作圆,则⊙A的半径为22cm练习1.已知两圆的半径分别为5cm和7cm,圆心距为8cm,那么这两个圆的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.外离2.半径为2cm和1cm的⊙O1和⊙O2相交于A、B两点,且O1A⊥O2A,则公共弦AB的长为().A.cmB.cmC.cmD.cm3.如图所示,半圆O的直径AB=4,与半圆O内切的动圆O1与AB切于点M,设⊙O1的半径为y,AM=x,则y关于x的函数关系式是().A.y=x2+xB.y=-x2+xC.y=-x2-xD.y=x2-x4.如图所示,点A坐标为(0,3),OA半径为1,点B在x轴上.
(1)若点B坐标为(4,0),⊙B半径为3,试判断⊙A与⊙B位置关系;
(2)若⊙B过M(-2,0)且与⊙A相切,求B点坐标.答案:1.B2.D3.B4.
(1)AB=51+3,外离.
(2)设B(x,0)x≠-2,则AB=,⊙B半径为│x+2│,
①设⊙B与⊙A外切,则=│x+2│+1,当x-2时,=x+3,平方化简得x=0符题意,∴B(0,0),当x-2时,=-x-1,化简得x=4-2(舍),
②设⊙B与⊙A内切,则=│x+2│-1,当x-2时,=x+1,得x=4-2,∴B(4,0),当x-2时,=-x-3,得x=0,知识点
七、正多边形和圆重点讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系.难点使学生理解四者正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系.正多边形的中心所有对称轴的交点;正多边形的半径正多边形外接圆的半径正多边形的边心距正多边形内切圆的半径正多边形的中心角正多边形每一条边所对的圆心角正n边形的n条半径把正n边形分成n个全等的等腰三角形,每个等腰三角形又被相应的边心距分成两个全等的直角三角形例1.如图,已知正六边形ABCDEF,其外接圆的半径是a,求正六边形的周长和面积.解题思路要求正六边形的周长,只要求AB的长,已知条件是外接圆半径,因此自然而然,边长应与半径挂上钩,很自然应连接OA,过O点作OM⊥AB垂于M,在Rt△AOM中便可求得AM,又应用垂径定理可求得AB的长.正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的.解如图所示,由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等于=60°,△OBC是等边三角形,从而正六边形的边长等于它的半径.因此,所求的正六边形的周长为6a在Rt△OAM中,OA=a,AM=AB=a利用勾股定理,可得边心距OM==a∴所求正六边形的面积=6××AB×OM=6××a×a=a2例2.在直径为AB的半圆内,划出一块三角形区域,如图所示,使三角形的一边为AB,顶点C在半圆圆周上,其它两边分别为6和8,现要建造一个内接于△ABC的矩形水池DEFN,其中D、E在AB上,如图24-94的设计方案是使AC=8,BC=6.
(1)求△ABC的边AB上的高h.
(2)设DN=x,且,当x取何值时,水池DEFN的面积最大?
(3)实际施工时,发现在AB上距B点1.85的M处有一棵大树,问这棵大树是否位于最大矩形水池的边上?如果在,为了保护大树,请设计出另外的方案,使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树.解题思路要求矩形的面积最大,先要列出面积表达式,再考虑最值的求法,初中阶段,尤其现学的知识,应用配方法求最值.
(3)的设计要有新意,应用圆的对称性就能圆满解决此题.解
(1)由AB·CG=AC·BC得h==
4.8
(2)∵h=且DN=x∴NF=则S四边形DEFN=x·(
4.8-x)=-x2+10x=-(x2-x)=-[(x-)2-]=-(x-
2.4)2+12∵-(x-
2.4)2≤0∴-(x-
2.4)2+12≤12且当x=
2.4时,取等号∴当x=
2.4时,SDEFN最大.
(3)当SDEFN最大时,x=
2.4,此时,F为BC中点,在Rt△FEB中,EF=
2.4,BF=3.∴BE==
1.8∵BM=
1.85,∴BMEB,即大树必位于欲修建的水池边上,应重新设计方案.∵当x=
2.4时,DE=5∴AD=
3.2,由圆的对称性知满足条件的另一设计方案,如图所示:此时,AC=6,BC=8,AD=
1.8,BE=
3.2,这样设计既满足条件,又避开大树.练习1如图所示,已知⊙O的周长等于6cm,求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF的面积.2.若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长,则这段弧所对的圆心角为()A.18°B.36°C.72°D.144°答案
1.设正六边形边长为a,则圆O半径为a,由题意得2a=6,∴a=3.如右图,设AB为正六边形的一边,O为它的中心,过O作OD⊥AB,垂足为D,则OD=r6,则∠DOA==30°,AD=AB=,在Rt△ABC中,OD=r6=cm,∴S=6·ar6=×3××6=cm2.
2.D知识点
八、弧长和扇形、圆锥侧面积面积重点n°的圆心角所对的弧长L=,扇形面积S扇=、圆锥侧面积面积及其它们的应用.难点公式的应用.1.n°的圆心角所对的弧长L=2.圆心角为n°的扇形面积是S扇形=
3.全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的,所以全面积=rL+r2.例1.操作与证明如图所示,O是边长为a的正方形ABCD的中心,将一块半径足够长,圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O处,并将纸板绕O点旋转,求证正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a.解题思路如图所示,不妨设扇形纸板的两边与正方形的边AB、AD分别交于点M、N,连结OA、OD.∵四边形ABCD是正方形∴OA=OD,∠AOD=90°,∠MAO=∠NDO,又∠MON=90°,∠AOM=∠DON∴△AMO≌△DNO∴AM=DN∴AM+AN=DN+AN=AD=a特别地,当点M与点A(点B)重合时,点N必与点D(点A)重合,此时AM+AN仍为定值a.故总有正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a.例2.已知扇形的圆心角为120°,面积为300cm2.
(1)求扇形的弧长;
(2)若将此扇形卷成一个圆锥,则这个圆锥的轴截面面积为多少?解题思路
(1)由S扇形=求出R,再代入L=求得.
(2)若将此扇形卷成一个圆锥,扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长,就可求圆的半径,其截面是一个以底是直径,圆锥母线为腰的等腰三角形.解
(1)如图所示∵300=∴R=30∴弧长L==20(cm)
(2)如图所示∵20=20r∴r=10,R=30AD==20∴S轴截面=×BC×AD=×2×10×20=200(cm2)因此,扇形的弧长是20cm卷成圆锥的轴截面是200cm2.练习
1.已知扇形的圆心角为120°,半径为6,则扇形的弧长是().A.3B.4C.5D.62.如图所示,圆锥的母线长是3,底面半径是1,A是底面圆周上一点,从点A出发绕侧面一周,再回到点A的最短的路线长是()A.6B.C.3D.3答案
1.B
2.C最新考题中考要求及命题趋势
1、理解圆的基本概念与性质
2、求线段与角和弧的度数
3、圆与相似三角形、全等三角形、三角函数的综合题
4、直线和圆的位置关系
5、圆的切线的性质和判定
6、三角形内切圆以及三角形内心的概念
7、圆和圆的五种位置关系
8、两圆的位置关系与两个圆半径的和或差与圆心距之间的关系式两圆相切、相交的性质
9、掌握弧长、扇形面积计算公式
10、理解圆柱、圆锥的侧面展开图
11、掌握圆柱、圆锥的侧面积和全面积计算2010年中考将继续考查圆的有关性质,其中圆与三角形相似(全等)三角函数的小综合题为考查重点;直线和圆的关系作为考查重点,其中直线和圆的位置关系的开放题、探究题是考查重点;继续考查圆与圆的位置五种关系对弧长、扇形面积计算以及圆柱、圆锥的侧面积和全面积的计算是考查的重点应试对策圆的综合题,除了考切线必须的问题一般圆主要和前面的相似三角形,和前面大的知识点接触就是说几何所有的东西都是通的,你学后面的就自然牵扯到前面的,前面的忘掉了,简单的东西忘掉了,后面要用就不会用了,所以几何前面学到的知识、常用知识,后面随时都在用直线和圆以前的部分是重点内容,后面扇形的面积、圆锥、圆柱的侧面积,这些都是必考的,后面都是一些填空题和选择题,对于扇形面积公式、圆锥、圆柱的侧面积的公式记住了就可以了圆这一章,特别是有关圆的性质这两个单元,重要的概念、定理先掌握了,你首先要掌握这些,题目就是定理的简单应用,所以概念和定理没有掌握就谈不到应用,所以你首先应该掌握掌握之后,再掌握一些这两章的解题思路和解题方法就可以了你说你已经把一些这个单元的基本定理都掌握了,那么我可以在这里面介绍一些掌握的解题思路,这样你把这些都掌握了,解决一些中等难题都是哪些思路呢?我暂认为你基本知识掌握了,那么,在圆的有关性质这一章,你需要掌握哪些解题思路、解题方法呢?第一,这两章有三条常用辅助线,一章是圆心距,第二章是直径圆周角,第三条是切线径,就是连接圆心和切点的,或者是连接圆周角的距离,这是一条常用的辅助线有几个分析题目的思路,在圆中有一个非常重要,就是弧、常与圆周角互相转换,那么怎么去应用,就根据题目条件而定考查目标
一、主要是指圆的基础知识,包括圆的对称性,圆心角与弧、弦之间的相等关系,圆周角与圆心角之间的关系,直径所对的圆周角是直角,以及垂径定理等内容这部分内容是圆的基础知识,学生要学会利用相关知识进行简单的几何推理和几何计算例
1、如图,AB是⊙O的直径,BC是弦,OD⊥BC于E,交于D.1请写出五个不同类型的正确结论;2若BC=8,ED=2,求⊙O的半径.解题思路运用圆的垂径定理等内容解1不同类型的正确结论有
①BE=CE;
②弧BD=弧CD
③∠BED=90°
④∠BOD=∠A;
⑤AC∥OD,
⑥AC⊥BC;
⑦OE2+BE2=OB2;
⑧S△ABC=BC·OE;
⑨△BOD是等腰三角形,⑩△BOE∽△BAC;2∵OD⊥BC,∴BE=CE=BC=4.设⊙O的半径为R,则OE=OD-DE=R-2.在Rt△OEB中,由勾股定理得OE2+BE2=OB2,即R-22+42=R2.解得R=5.∴⊙O的半径为5例
2.已知如图等边内接于⊙O,点是劣弧PC上的一点(端点除外),延长至,使,连结.
(1)若过圆心,如图
①,请你判断是什么三角形?并说明理由.
(2)若不过圆心,如图
②,又是什么三角形?为什么?解题思路
(1)为等边三角形.理由为等边三角形,又在⊙O中又.又过圆心,,,为等边三角形.
(2)仍为等边三角形理由先证(过程同上)又,又为等边三角形.例
3.1如图OA、OB是⊙O的两条半径,且OA⊥OB,点C是OB延长线上任意一点过点C作CD切⊙O于点D,连结AD交DC于点E.求证CD=CE2若将图中的半径OB所在直线向上平行移动交OA于F,交⊙O于B’,其他条件不变,那么上述结论CD=CE还成立吗为什么3若将图中的半径OB所在直线向上平行移动到⊙O外的CF,点E是DA的延长线与CF的交点,其他条件不变,那么上述结论CD=CE还成立吗为什么解题思路本题主要考查圆的有关知识,考查图形运动变化中的探究能力及推理能力.解答1证明连结OD则OD⊥CD,∴∠CDE+∠ODA=90°在Rt△AOE中,∠AEO+∠A=90°在⊙O中,OA=OD∴∠A=∠ODA,∴∠CDE=∠AEO又∵∠AEO=∠CED,∠CDE=∠CED∴CD=CE2CE=CD仍然成立.∵原来的半径OB所在直线向上平行移动∴CF⊥AO于F,在Rt△AFE中,∠A+∠AEF=90°.连结OD,有∠ODA+∠CDE=90°,且OA=OD.∠A=∠ODA∴∠AEF=∠CDE又∠AEF=∠CED∴∠CED=∠CDE∴CD=CE3CE=CD仍然成立.∵原来的半径OB所在直线向上平行移动.AO⊥CF延长OA交CF于G,在Rt△AEG中,∠AEG+∠GAE=90°连结OD,有∠CDA+∠ODA=90°,且OA=OD∴∠ADO=∠OAD=∠GAE∴∠CDE=∠CED∴CD=CE考查目标
二、主要是指点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系的相关内容学生要学会用动态的观点理解和解决与圆有关的位置关系的问题例
1、是⊙O的直径,切⊙O于,交⊙O于,连.若,求的度数.解题思路运用切线的性质.切⊙O于是⊙O的直径,∴.,∴.∴例
2.如图,四边形内接于⊙O,是⊙O的直径,,垂足为,平分.
(1)求证是⊙O的切线;
(2)若,求的长.解题思路运用切线的判定
(1)证明连接,平分,....,..是⊙O的切线.
(2)是直径,.,.平分,..在中,.在中,.的长是1cm,的长是4cm.考查目标
三、主要是指圆中的计算问题,包括弧长、扇形面积,以及圆柱与圆锥的侧面积和全面积的计算,这部分内容也是历年中考的必考内容之一学生要理解圆柱和其侧面展开图矩形、圆锥和其侧面展开图扇形之间的关系例
1、如图,已知在⊙O中,AB=,AC是⊙O的直径,AC⊥BD于F,∠A=30°.1求图中阴影部分的面积;2若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面,请求出这个圆锥的底面圆的半径.解题思路
(1)法一过O作OE⊥AB于E,则AE=AB=2在RtAEO中,∠BAC=30°,cos30°=.∴OA===4.又∵OA=OB,∴∠ABO=30°.∴∠BOC=60°.∵AC⊥BD,∴.∴∠COD=∠BOC=60°.∴∠BOD=120°.∴S阴影==.法二连结AD.∵AC⊥BD,AC是直径,∴AC垂直平分BD∴AB=AD,BF=FD,∴∠BAD=2∠BAC=60°,∴∠BOD=120°.∵BF=AB=2,sin60°=,AF=AB·sin60°=4×=6∴OB2=BF2+OF2.即.∴OB=4.∴S阴影=S圆=法三连结BC.∵AC为⊙O的直径,∴∠ABC=90°∵AB=4,∴∵∠A=30°,AC⊥BD,∴∠BOC=60°,∴∠BOD=120°.∴S阴影=π·OA2=×42·π=以下同法一
(2)设圆锥的底面圆的半径为r,则周长为2πr,∴∴例
2.如图,从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为的扇形.
(1)求这个扇形的面积(结果保留).
(2)在剩下的三块余料中,能否从第
③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥?请说明理由.
(3)当⊙O的半径为任意值时,
(2)中的结论是否仍然成立?请说明理由.解题思路
(1)连接,由勾股定理求得
(2)连接并延长,与弧和交于,弧的长圆锥的底面直径为,不能在余料
③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥.
(3)由勾股定理求得弧的长圆锥的底面直径为且即无论半径为何值,不能在余料
③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥.过关测试
一、选择题1.已知⊙O的半径为4cm,A为线段OP的中点,当OP=7cm时,点A与⊙O的位置关系是()A.点A在⊙O内B.点A在⊙O上C.点A在⊙O外D.不能确定2.过⊙O内一点M的最长弦为10 cm,最短弦长为8cm,则OM的长为()A.9cmB.6cmC.3cmD.3.在△ABC中,I是内心,∠BIC=130°,则∠A的度数为()A.40°B.50°C.65°D.80°4.如图,⊙O的直径AB与AC的夹角为30°,切线CD与AB的延长线交于点D,若⊙O的半径为3,则CD的长为()A.6B.C.3D.5.如图24—B—2,若等边△A1B1C1内接于等边△ABC的内切圆,则的值为()A.B.C.D.6.⊙M与x轴相切于原点,平行于y轴的直线交圆于P、Q两点,P点在Q点的下方,若P点的坐标是(2,1),则圆心M的坐标是()A.(0,3)B.(0,)C.(0,2)D.(0,)7.已知圆锥的侧面展开图的面积是15πcm2,母线长是5cm,则圆锥的底面半径为()A.B.3cmC.4cmD.6cm8.如图,⊙O1和⊙O2内切,它们的半径分别为3和1,过O1作⊙O2的切线,切点为A,则O1A的长是()A.2B.4C.D.9.如图,⊙O的直径为AB,周长为P1,在⊙O内的n个圆心在AB上且依次相外切的等圆,且其中左、右两侧的等圆分别与⊙O内切于A、B,若这n个等圆的周长之和为P2,则P1和P2的大小关系是()A.P1P2B.P1=P2C.P1P2D.不能确定10.若正三角形、正方形、正六边形的周长相等,它们的面积分别是S
1、S
2、S3,则下列关系成立的是()A.S1=S2=S3B.S1S2S3C.S1S2S3D.S2S3S111.已知在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,那么△ABC的内切圆的半径为()A.B.C.2D.312.如图,两个半径都是4cm的圆外切于点C,一只蚂蚁由点A开始依A、B、C、D、E、F、C、G、A的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行,蚂蚁在这8段路径上不断爬行,直到行走2006πcm后才停下来,则蚂蚁停的那一个点为()A.D点B.E点C.F点D.G点
二、填空题1.如图,AB是⊙O的直径,BC=BD,∠A=25°,则∠BOD=2.如图,AB是⊙O的直径,OD⊥AC于点D,BC=6cm,则OD=cm.3.如图,D、E分别是⊙O的半径OA、OB上的点,CD⊥OA,CE⊥OB,CD=CE,则AC与BC弧长的大小关系是4.如图,OB、OC是⊙O的半径,A是⊙O上一点,若已知∠B=20°∠C=30°则∠BOC=.5.如图,正方形ABCD内接于⊙O,点P在AD上,则∠BPC=.6.如图,已知∠AOB=30°,M为OB边上一点,以M为圆心,2cm长为半径作⊙M,若点M在OB边上运动,则当OM=cm时,⊙M与OA相切
三、解答题1.如图扇形OAB的圆心角为120°,半径为6cm.⑴请用尺规作出扇形的对称轴不写做法保留作图痕迹.⑵若将此扇形围成一个圆锥的侧面不计接缝求圆锥的底面积.2.如图,AD、BC是⊙O的两条弦,且AD=BC,求证AB=CD3.如图,已知⊙O的半径为8cm,点A为半径OB的延长线上一点,射线AC切⊙O于点C,BC的长为,求线段AB的长4.已知△ABC内接于⊙O,过点A作直线EF
(1)如图1,AB为直径,要使EF为⊙O的切线,还需添加的条件是(只需写出三种情况)
①;
②;
③
(2)如图2,AB是非直径的弦,∠CAE=∠B,求证EF是⊙O的切线5.如图,在⊙O中,AB是直径,CD是弦,AB⊥CD
(1)P是优弧CAD上一点(不与C、D重合),求证∠CPD=∠COB;
(2)点P′在劣弧CD上(不与C、D重合)时,∠CP′D与∠COB有什么数量关系?请证明你的结论6.如图,在平面直角坐标系中,⊙C与y轴相切,且C点坐标为(1,0),直线过点A(—1,0),与⊙C相切于点D,求直线的解析式答案
一、选择题1.A2.C3.D4.D5.A6.B7.B8.C9.B10.C
11.A
12.A
二、填空题1.50°2.33.相等4.100°5.45°6.4
三、解答题1.
(1)提示作∠AOB的角平分线,延长成为直线即可;
(2)∵扇形的弧长为,∴底面的半径为,∴圆锥的底面积为2.证明∵AD=BC,∴AD=BC,∴AD+BD=BC+BD,即AB=CD,∴AB=CD3.解设∠AOC=,∵BC的长为,∴,解得∵AC为⊙O的切线,∴△AOC为直角三角形,∴OA=2OC=16cm,∴AB=OA-OB=8cm4.
(1)
①BA⊥EF;
②∠CAE=∠B;
③∠BAF=90°
(2)连接AO并延长交⊙O于点D,连接CD,则AD为⊙O的直径,∴∠D+∠DAC=90°∵∠D与∠B同对弧AC,∴∠D=∠B,又∵∠CAE=∠B,∴∠D=∠CAE,∴∠DAC+∠EAC=90°,∴EF是⊙O的切线5.
(1)证明连接OD,∵AB是直径,AB⊥CD,∴∠COB=∠DOB=又∵∠CPD=,∴∠CPD=∠COB
(2)∠CP′D与∠COB的数量关系是∠CP′D+∠COB=180°证明∵∠CPD+∠CP′D=180°,∠CPD=∠COB,∴∠CP′D+∠COB=180°6.解如图所示,连接CD,∵直线为⊙C的切线,∴CD⊥AD∵C点坐标为(1,0),∴OC=1,即⊙C的半径为1,∴CD=OC=1又∵点A的坐标为(—1,0),∴AC=2,∴∠CAD=30°作DE⊥AC于E点,则∠CDE=∠CAD=30°,∴CE=,,∴OE=OC-CE=,∴点D的坐标为(,)设直线的函数解析式为,则解得k=,b=,∴直线的函数解析式为y=x+._B_A_C_B_A_C_E_D_P_O_A_y_x_OAOCDPB图
①AOCDPB图
②ABCPODECBOADECBOAFEFFO
①②③①②③第4题第5题第8题第9题第12题⌒⌒第5题第4题第3题第2题第1题⌒⌒⌒第6题图1图2⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒0=—k+b,=k+b.。