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义务教育八年级下学期期末数学冲刺试卷两份合编五附答案解析版八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．如图，点D、E、F分别为△ABC三边的中点，若△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（ ）A．8B．9C．10D．112．将点A（﹣2，3）平移到点B（1，﹣2）处，正确的移法是（ ）A．向右平移3个单位长度，向上平移5个单位长度B．向左平移3个单位长度，向下平移5个单位长度C．向右平移3个单位长度，向下平移5个单位长度D．向左平移3个单位长度，向上平移5个单位长度3．如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH=（ ）A．B．C．12D．244．在图中，不能表示y是x的函数的是（ ）A．B．C．D．5．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（ ）A．B．2C．3D．+26．若实数a、b满足ab＜0，则一次函数y=ax+b的图象可能是（ ）A．B．C．D．7．大课间活动在我市各校蓬勃开展．某班大课间活动抽查了20名学生每分钟跳绳次数，获得如下数据（单位次）50，63，77，83，87，88，89，91，93，100，102，111，117，121，130，133，146，158，177，188．则跳绳次数在90～110这一组的频率是（ ）A．
0.1B．
0.2C．
0.3D．
0.78．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（ ）A．12B．24C．12D．16
二、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）9．圆周长公式C=2πR中，变量是 ．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD垂直于AB，垂足为点D，BC=AB，则∠DCB= ．11．一个多边形的内角和等于1080°，它是 边形．12．如图，∠B=∠ACD=90°，BC=3，AB=4，CD=12，则AD= ．13．在平面直角坐标系中，已知点P在第二象限，距离x轴3个单位长度，距离y轴2个单位长度，则点P的坐标为 ．14．下列函数中
①y=﹣x；
②y=；
③y=﹣x2；
④y=﹣x+3；
⑤2x﹣3y=1．其中y是x的一次函数的是 （填所有正确菩案的序号）．15．如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，AB=3cm，ED=cm，则平行四边形ABCD的周长是 ．16．弹簧挂上物体后会伸长，测得﹣弹簧的长度y（cm）与所挂重物的质量x（㎏）有下面的关系那么弹簧总长y（cm）与所挂重物x（㎏）之间的函数关系式为 ．
三、解答题（共7小题，满分56分）17．如图，平行四边形ABCD的对角线AC=6cm，将平行四边形ABCD绕其对称中心旋转180°，求C点所转过的路径长．18．如图，将△ABC先向上平移4个单位，再向左平移5个单位，它的像是△A′B′C′，写出△A′B′C′的顶点坐标，并作出该图形．19．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是BC、BA的中点，连接DE，F在DE延长线上，且AF=AE．
（1）求证四边形ACEF是平行四边形；
（2）若四边形ACEF是菱形，求∠B的度数．20．在一次蜡烛燃烧实验中，蜡烛燃烧时剩余部分的高度y（cm）与燃烧时间x（h）之间为一次函数关系．根据图象提供的信息，解答下列问题
（1）求出蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式；
（2）求蜡烛从点燃到燃尽所用的时间．21．如图，某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A测得某岛C在北偏东60°方向上，且距A点18海里，航行半小时后到达B点，此时测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁．
（1）问B点是否在暗礁区域外？
（2）若继续向正东航行，有无触礁危险？请说明理由．22．2011年我市体卫站对某校九年级学生体育测试情况进行调研，从该校360名九年级学生中抽取了部分学生的成绩（成绩分为A、B、C三个层次）进行分析，绘制了频数分布表与频数分布直方图（如图），请根据图表信息解答下列问题
（1）补全频数分布表与频数分布直方图；
（2）如果成绩为A等级的同学属于优秀，请你估计该校九年级约有多少人达到优秀水平？23．在开展“美丽广西，清洁乡村”的活动中某乡镇计划购买A、B两种树苗共100棵，已知A种树苗每棵30元，B种树苗每棵90元．
（1）设购买A种树苗x棵，购买A、B两种树苗的总费用为y元，请你写出y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）如果购买A、B两种树苗的总费用不超过7560元，且B种树苗的棵数不少于A种树苗棵数的3倍，那么有哪几种购买树苗的方案？
（3）从节约开支的角度考虑，你认为采用哪种方案更合算？ 参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．如图，点D、E、F分别为△ABC三边的中点，若△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（ ）A．8B．9C．10D．11【考点】三角形中位线定理．【分析】根据D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，可以判断DF、FE、DE为三角形中位线，利用中位线定理求出DF、FE、DE与AB、BC、CA的长度关系即可解答．【解答】解∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，∴ED、FE、DF为△ABC中位线，∴DF=BC，FE=AB，DE=AC；∴DF+FE+DE=BC+AB+AC=（AB+BC+CA）=×18=9，故选B． 2．将点A（﹣2，3）平移到点B（1，﹣2）处，正确的移法是（ ）A．向右平移3个单位长度，向上平移5个单位长度B．向左平移3个单位长度，向下平移5个单位长度C．向右平移3个单位长度，向下平移5个单位长度D．向左平移3个单位长度，向上平移5个单位长度【考点】坐标与图形变化-平移．【分析】直接表示出点A到点B的横坐标与纵坐标的变化方法，然后根据平移规律解答．【解答】解点A（﹣2，3）平移到点B（1，﹣2）处，∵﹣2+3=1，3﹣5=﹣2，∴平移方法为向右平移3个单位长度，向下平移5个单位长度．故选C． 3．如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH=（ ）A．B．C．12D．24【考点】菱形的性质．【分析】设对角线相交于点O，根据菱形的对角线互相垂直平分求出AO、BO，再利用勾股定理列式求出AB，然后根据菱形的面积等对角线乘积的一半和底乘以高列出方程求解即可．【解答】解如图，设对角线相交于点O，∵AC=8，DB=6，∴AO=AC=×8=4，BO=BD=×6=3，由勾股定理的，AB===5，∵DH⊥AB，∴S菱形ABCD=AB•DH=AC•BD，即5DH=×8×6，解得DH=．故选A． 4．在图中，不能表示y是x的函数的是（ ）A．B．C．D．【考点】函数的概念．【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．【解答】解A、对于每一个x的值，都有唯一一个y值与其对应，y是x的函数，故本选项错误；B、对于每一个x的值，都有唯一一个y值与其对应，y是x的函数，故本选项错误；C、对于每一个x的值，都有唯一一个y值与其对应，y是x的函数，故本选项错误；D、对于每一个x的值，不都是有唯一一个y值与其对应，有时有多个y值相对应，所以y不是x的函数，故本选项准确．故选D． 5．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（ ）A．B．2C．3D．+2【考点】角平分线的性质；含30度角的直角三角形．【分析】根据角平分线的性质即可求得CD的长，然后在直角△BDE中，根据30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BD长，则BC即可求得．【解答】解∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE=1，又∵直角△BDE中，∠B=30°，∴BD=2DE=2，∴BC=CD+BD=1+2=3．故选C． 6．若实数a、b满足ab＜0，则一次函数y=ax+b的图象可能是（ ）A．B．C．D．【考点】一次函数的图象．【分析】利用ab＜0，得到a＜0，b＞0或b＜0，a＞0，然后根据一次函数图象与系数的关系进行判断．【解答】解因为ab＜0，得到a＜0，b＞0或b＜0，a＞0，当a＜0，b＞0，图象经过
一、
二、四象限；当b＜0，a＞0，图象经过
一、
三、四象限，故选B 7．大课间活动在我市各校蓬勃开展．某班大课间活动抽查了20名学生每分钟跳绳次数，获得如下数据（单位次）50，63，77，83，87，88，89，91，93，100，102，111，117，121，130，133，146，158，177，188．则跳绳次数在90～110这一组的频率是（ ）A．
0.1B．
0.2C．
0.3D．
0.7【考点】频数与频率．【分析】从数据中数出在90～110这一组的频数，再由频率=频数÷数据总数计算．【解答】解跳绳次数在90～110之间的数据有91，93，100，102四个，故频率为=
0.2．故选B． 8．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（ ）A．12B．24C．12D．16【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．【分析】根据平行线的性质和折叠的性质易证得△EFB′是等边三角形，继而可得△A′B′E中，B′E=2A′E，则可求得B′E的长，然后由勾股定理求得A′B′的长，继而求得答案．【解答】解在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB=60°，∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处，∴∠EFB=∠EFB′=60°，∠B=∠A′B′F=90°，∠A=∠A′=90°，AE=A′E=2，AB=A′B′，在△EFB′中，∵∠DEF=∠EFB=∠EB′F=60°∴△EFB′是等边三角形，Rt△A′EB′中，∵∠A′B′E=90°﹣60°=30°，∴B′E=2A′E，而A′E=2，∴B′E=4，∴A′B′=2，即AB=2，∵AE=2，DE=6，∴AD=AE+DE=2+6=8，∴矩形ABCD的面积=AB•AD=2×8=16．故答案为16．
二、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）9．圆周长公式C=2πR中，变量是 C和R ．【考点】常量与变量．【分析】根据函数的意义可知变量是改变的量，据此即可确定变量．【解答】解∵在圆的周长公式C=2πR中，C与R是改变的，是变量；∴变量是C，R，故答案为C，R． 10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD垂直于AB，垂足为点D，BC=AB，则∠DCB= 30° ．【考点】含30度角的直角三角形．【分析】根据含30°角的直角三角形性质求出∠A，根据三角形内角和定理求出∠B，根据三角形内角和定理求出∠DCB即可．【解答】解∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=AB，∴∠A=30°，∴∠B=60°，∵CD垂直于AB，垂足为点D，∴∠CDB=90°，∴∠DCB=30°，故答案为30° 11．一个多边形的内角和等于1080°，它是 八 边形．【考点】多边形内角与外角．【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，依此列方程可求解．【解答】解设所求正n边形边数为n，则1080°=（n﹣2）•180°，解得n=8．故答案为八． 12．如图，∠B=∠ACD=90°，BC=3，AB=4，CD=12，则AD= 13 ．【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．【分析】在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AC，在Rt△ACD中，根据勾股定理求出AD即可．【解答】解在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，由勾股定理得AC==5，在Rt△ACD中，∠ACD=90°，AC=5，CD=12，由勾股定理得AD==13，故答案为13． 13．在平面直角坐标系中，已知点P在第二象限，距离x轴3个单位长度，距离y轴2个单位长度，则点P的坐标为 （﹣2，3） ．【考点】点的坐标．【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答．【解答】解∵点P在第二象限，距离x轴3个单位长度，距离y轴2个单位长度，∴点P的横坐标为﹣2，纵坐标为3，∴点P的坐标为（﹣2，3）．故答案为（﹣2，3）． 14．下列函数中
①y=﹣x；
②y=；
③y=﹣x2；
④y=﹣x+3；
⑤2x﹣3y=1．其中y是x的一次函数的是
①④⑤ （填所有正确菩案的序号）．【考点】一次函数的定义．【分析】依据一次函数、反比例函数、二次函数的定义求解即可．【解答】解
①y=﹣x是正比例函数也是一次函数，故
①正确；
②y=是反比例函数，故
②错误；
③y=﹣x2是二次函数，故
③错误；
④y=﹣x+3是一次函数，故
④正确；
⑤2x﹣3y=1可变形为y=x﹣，是一次函数．故答案为
①④⑤． 15．如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，AB=3cm，ED=cm，则平行四边形ABCD的周长是 15cm ．【考点】平行四边形的性质．【分析】由平行四边形ABCD得到AB=CD，AD=BC，AD∥BC，再和已知BE平分∠ABC，进一步推出∠ABE=∠AEB，即AB=AE=3cm，即可求出AD的长，就能求出答案．【解答】解∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=3cm，AD=BC，AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE=3cm，∴AD=AE+DE=3+=
4.5cm，∴AD=BC=
4.5cm，∴平行四边形的周长是2（AB+BC）=2（3+
4.5）=15（cm）；故答案为15cm． 16．弹簧挂上物体后会伸长，测得﹣弹簧的长度y（cm）与所挂重物的质量x（㎏）有下面的关系那么弹簧总长y（cm）与所挂重物x（㎏）之间的函数关系式为 y=
0.5x+12 ．【考点】函数关系式．【分析】由上表可知
12.5﹣12=
0.5，13﹣
12.5=
0.5，
13.5﹣13=
0.5，14﹣
13.5=
0.5，
14.5﹣14=
0.5，15﹣
14.5=
0.5，
0.5为常量，12也为常量．故弹簧总长y（cm）与所挂重物x（㎏）之间的函数关系式．【解答】解由表可知常量为
0.5；所以，弹簧总长y（cm）与所挂重物x（㎏）之间的函数关系式为y=
0.5x+12．
三、解答题（共7小题，满分56分）17．如图，平行四边形ABCD的对角线AC=6cm，将平行四边形ABCD绕其对称中心旋转180°，求C点所转过的路径长．【考点】旋转的性质；平行四边形的性质．【分析】点C所经路线长是以点O为圆心，OC长为半径的半圆的弧长．【解答】解C点所转的路径如图所示，l===3πcm，∴求C点所转过的路径长为3πcm． 18．如图，将△ABC先向上平移4个单位，再向左平移5个单位，它的像是△A′B′C′，写出△A′B′C′的顶点坐标，并作出该图形．【考点】作图-平移变换．【分析】利用点的坐标的平移规律写出△A′B′C′的顶点坐标，然后描点即可得到△A′B′C′．【解答】解如图，A′（﹣2，3），B′（﹣4，2），C′（﹣2，0），△A′B′C′为所作． 19．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是BC、BA的中点，连接DE，F在DE延长线上，且AF=AE．
（1）求证四边形ACEF是平行四边形；
（2）若四边形ACEF是菱形，求∠B的度数．【考点】菱形的性质；平行四边形的判定．【分析】
（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CE=AE=BE，从而得到AF=CE，再根据等腰三角形三线合一的性质可得∠1=∠2，根据等边对等角可得然后∠F=∠3，然后求出∠2=∠F，再根据同位角相等，两直线平行求出CE∥AF，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；
（2）根据菱形的四条边都相等可得AC=CE，然后求出AC=CE=AE，从而得到△AEC是等边三角形，再根据等边三角形的每一个角都是60°求出∠CAE=60°，然后根据直角三角形两锐角互余解答．【解答】
（1）证明∵∠ACB=90°，E是BA的中点，∴CE=AE=BE，∵AF=AE，∴AF=CE，在△BEC中，∵BE=CE且D是BC的中点，∴ED是等腰△BEC底边上的中线，∴ED也是等腰△BEC的顶角平分线，∴∠1=∠2，∵AF=AE，∴∠F=∠3，∵∠1=∠3，∴∠2=∠F，∴CE∥AF，又∵CE=AF，∴四边形ACEF是平行四边形；
（2）解∵四边形ACEF是菱形，∴AC=CE，由
（1）知，AE=CE，∴AC=CE=AE，∴△AEC是等边三角形，∴∠CAE=60°，在Rt△ABC中，∠B=90°﹣∠CAE=90°﹣60°=30°． 20．在一次蜡烛燃烧实验中，蜡烛燃烧时剩余部分的高度y（cm）与燃烧时间x（h）之间为一次函数关系．根据图象提供的信息，解答下列问题
（1）求出蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式；
（2）求蜡烛从点燃到燃尽所用的时间．【考点】一次函数的应用．【分析】
（1）根据图象知，该函数是一次函数，且该函数图象经过点（0，24），（2，12）．所以利用待定系数法进行解答即可；
（2）由
（1）中的函数解析式，令y=0，求得x的值即可．【解答】解
（1）由于蜡烛燃烧时剩余部分的高度y（cm）与燃烧时间x（h）之间为一次函数关系．故设y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0）．由图示知，该函数图象经过点（0，24），（2，12），则，解得．故函数表达式是y=﹣6x+24．
（2）当y=0时，﹣6x+24=0解得x=4，即蜡烛从点燃到燃尽所用的时间是4小时． 21．如图，某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A测得某岛C在北偏东60°方向上，且距A点18海里，航行半小时后到达B点，此时测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁．
（1）问B点是否在暗礁区域外？
（2）若继续向正东航行，有无触礁危险？请说明理由．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】
（1）作CD⊥AB于D点，设BC为x，利用正弦和余弦的定义表示出BD、CD，根据正切的定义列出方程，解方程即可；
（2）求出CD的长，比较即可得到答案．【解答】解
（1）作CD⊥AB于D点，设BC为x，在Rt△BCD中，∠CBD=60°，∴BD=x，CD=x，在Rt△ACD中，∠CAD=30°，tan∠CAD==，∴=，∴x=18，∴B点不在暗礁区域内；
（2）∵CD=x=9，∵9＜16，∴若继续向东航行船有触礁的危险． 22．2011年我市体卫站对某校九年级学生体育测试情况进行调研，从该校360名九年级学生中抽取了部分学生的成绩（成绩分为A、B、C三个层次）进行分析，绘制了频数分布表与频数分布直方图（如图），请根据图表信息解答下列问题
（1）补全频数分布表与频数分布直方图；
（2）如果成绩为A等级的同学属于优秀，请你估计该校九年级约有多少人达到优秀水平？【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表．【分析】
（1）首先利用C组的数据可以求出抽取了部分学生的总人数，然后利用频率或频数即可补全频数分布表与频数分布直方图；
（2）根据
（1）的几个可以得到A等级的同学的频率，然后乘以360即可得到该校九年级约有多少人达到优秀水平．【解答】解
（1）如图
（2）A等级的同学人数为40人，频率为
0.40，∴估计该校九年级约有
0.4×360=144人达到优秀水平． 23．在开展“美丽广西，清洁乡村”的活动中某乡镇计划购买A、B两种树苗共100棵，已知A种树苗每棵30元，B种树苗每棵90元．
（1）设购买A种树苗x棵，购买A、B两种树苗的总费用为y元，请你写出y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）如果购买A、B两种树苗的总费用不超过7560元，且B种树苗的棵数不少于A种树苗棵数的3倍，那么有哪几种购买树苗的方案？
（3）从节约开支的角度考虑，你认为采用哪种方案更合算？【考点】一次函数的应用；一元一次不等式组的应用．【分析】
（1）设购买A种树苗x棵，购买A、B两种树苗的总费用为y元，根据某乡镇计划购买A、B两种树苗共100棵，已知A种树苗每棵30元，B种树苗每棵90元可列出函数关系式．
（2）根据购买A、B两种树苗的总费用不超过7560元，且B种树苗的棵树不少于A种树苗棵树的3倍，列出不等式组，解不等式组即可得出答案；
（3）根据
（1）得出的y与x之间的函数关系式，利用一次函数的增减性结合自变量的取值即可得出更合算的方案．【解答】解
（1）设购买A种树苗x棵，购买A、B两种树苗的总费用为y元，y=30x+90=9000﹣60x；
（2）设购买A种树苗x棵，则B种树苗棵，根据题意得，解得24≤x≤25，因为x是正整数，所以x只能取25，24．有两种购买树苗的方案方案一购买A种树苗25棵时，B种树苗75棵；方案二购买A种树苗24棵时，B种树苗76棵；
（3）∵y=9000﹣60x，﹣60＜0，∴y随x的增大而减小，又x=25或24，∴采用购买A种树苗25棵，B种树苗75棵时更合算． 八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本题共30分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的．1．下列各式中，运算正确的是（ ）A．B．C．D．2．下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ）A．1，，B．3，4，5C．5，12，13D．2，2，33．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOB=60°，BD=8，则AB的长为（ ）A．4B．C．3D．54．已知P1（﹣1，y1），P2（2，y2）是一次函数y=﹣x+1图象上的两个点，则y1，y2的大小关系是（ ）A．y1=y2B．y1＜y2C．y1＞y2D．不能确定5．2022年将在北京﹣张家口举办冬季奥运会，很多学校开设了相关的课程．如表记录了某校4名同学短道速滑选拔赛成绩的平均数与方差s2根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）A．队员1B．队员2C．队员3D．队员46．用配方法解方程x2﹣2x﹣3=0，原方程应变形为（ ）A．（x﹣1）2=2B．（x+1）2=4C．（x﹣1）2=4D．（x+1）2=27．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（ ）A．13B．14C．15D．168．一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位L）与时间x（单位min）之间的关系如图所示．则8min时容器内的水量为（ ）A．20LB．25LC．27LD．30L9．若关于x的方程kx2﹣（k+1）x+1=0的根是整数，则满足条件的整数k的个数为（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图1，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=2，E是DC边上一个动点，F是AB边上一点，∠AEF=30°．设DE=x，图中某条线段长为y，y与x满足的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图中的（ ）A．线段ECB．线段AEC．线段EFD．线段BF
二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．写出一个以0，1为根的一元二次方程 ．12．若关于x的一元二次方程x2+4x﹣m=0有实数根，则m的取值范围是 ．13．如图，为了检查平行四边形书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅用一根绳子比较了其对角线AC，BD的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，请你说出其中的数学原理 ．14．若一次函数y=kx+b（k≠0）的图象如图所示，点P（3，4）在函数图象上，则关于x的不等式kx+b≤4的解集是 ．15．如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=5，BC=8，则EF的长为 ．16．如图，正方形ABCD的面积是2，E，F，P分别是AB，BC，AC上的动点，PE+PF的最小值等于 ．
三、解答题（本题共22分，第17-19题每小题4分，第20-21题每小题4分）17．计算．18．解方程y（y﹣4）=﹣1﹣2y．19．已知x=1是方程x2﹣3ax+a2=0的一个根，求代数式3a2﹣9a+1的值．20．在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点A（2，3）与点B（0，5）．
（1）求此一次函数的表达式；
（2）若点P为此一次函数图象上一点，且△POB的面积为10，求点P的坐标．21．如图，四边形ABCD中，AB=10，BC=13，CD=12，AD=5，AD⊥CD，求四边形ABCD的面积．
四、解答题（本题共10分，第22题5分，第23题5分）22．阅读下列材料北京市为了紧抓疏解非首都功能这个“牛鼻子”，迁市场、移企业，人随业走．东城、西城、海淀、丰台…人口开始出现负增长，城六区人口2016年由升转降．而现在，海淀区许多地区人口都开始下降．统计数字显示2015年该区常住外来人口约为150万人，同比下降
1.1%，减少
1.7万人，首次实现了负增长．和海淀一样，丰台也在2015年首次实现了常住外来人口负增长，同比下降
1.4%，减少
1.2万人；东、西城，常住外来人口同样呈下降趋势2015年东城同比下降
2.4%，减少5000人，西城则同比下降
5.5%，减少
1.8万人；石景山，常住外来人口近年来增速放缓，预计到2016年年底，全区常住外来人口可降至
63.5万，比2015年减少
1.7万人，首次出现负增长；…2016年初，市发改委透露，2016年本市将确保完成人口调控目标﹣﹣城六区常住人口较2015年下降3%，迎来人口由升转降的拐点．人口下降背后，是本市紧锣密鼓疏解非首都功能的大战略．根据以上材料解答下列问题
（1）石景山区2015年常住外来人口约为 万人；
（2）2015年东城、西城、海淀、丰台四个城区常住外来人口同比下降率最高的是 区；根据材料中的信息估计2015年这四个城区常住外来人口数最多的是 区；
（3）如果2017年海淀区常住外来人口降到
121.5万人，求从2015年至2017年平均每年外来人口的下降率．23．如图，四边形ABCD是矩形，点E在CD边上，点F在DC延长线上，AE=BF．
（1）求证四边形ABFE是平行四边形；
（2）若∠BEF=∠DAE，AE=3，BE=4，求EF的长．
五、解答题（本题共20分，第24题6分，第25-26题每小题6分）24．如图1，将边长为1的正方形ABCD压扁为边长为1的菱形ABCD．在菱形ABCD中，∠A的大小为α，面积记为S．
（1）请补全表
（2）填空由
（1）可以发现单位正方形在压扁的过程中，菱形的面积随着∠A大小的变化而变化，不妨把单位菱形的面积S记为S（α）．例如当α=30°时，S=S（30°）=；当α=135°时，S=S=．由上表可以得到S（60°）=S（ °）；S=S（ °），…，由此可以归纳出S=（ °）．
（3）两块相同的等腰直角三角板按图2的方式放置，AD=，∠AOB=α，试探究图中两个带阴影的三角形面积是否相等，并说明理由（注可以利用
（2）中的结论）．25．如图，在正方形ABCD中，点M在CD边上，点N在正方形ABCD外部，且满足∠CMN=90°，CM=MN．连接AN，CN，取AN的中点E，连接BE，AC，交于F点．
（1）
①依题意补全图形；
②求证BE⊥AC．
（2）请探究线段BE，AD，CN所满足的等量关系，并证明你的结论．
（3）设AB=1，若点M沿着线段CD从点C运动到点D，则在该运动过程中，线段EN所扫过的面积为 （直接写出答案）．26．在平面直角坐标系xOy中，图形G的投影矩形定义如下矩形的两组对边分别平行于x轴，y轴，图形G的顶点在矩形的边上或内部，且矩形的面积最小．设矩形的较长的边与较短的边的比为k，我们称常数k为图形G的投影比．如图1，矩形ABCD为△DEF的投影矩形，其投影比．
（1）如图2，若点A（1，3），B（3，5），则△OAB投影比k的值为 ．
（2）已知点C（4，0），在函数y=2x﹣4（其中x＜2）的图象上有一点D，若△OCD的投影比k=2，求点D的坐标．
（3）已知点E（3，2），在直线y=x+1上有一点F（5，a）和一动点P，若△PEF的投影比1＜k＜2，则点P的横坐标m的取值范围 （直接写出答案）． 参考答案与试题解析
一、选择题（本题共30分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的．1．下列各式中，运算正确的是（ ）A．B．C．D．【考点】二次根式的加减法．【分析】分别根据合并同类项的法则、二次根式的化简法则对各选项进行逐一分析即可．【解答】解A、3﹣=2≠3，故本选项错误；B、=2，故本选项正确；C、2与不是同类项，不能合并，故本选项错误；D、=2≠﹣2，故本选项错误．故选B． 2．下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ）A．1，，B．3，4，5C．5，12，13D．2，2，3【考点】勾股定理的逆定理．【分析】欲求证是否为直角三角形，利用勾股定理的逆定理即可．这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解A、12+（）2=3=（）2，故是直角三角形，故错误；B、42+32=25=52，故是直角三角形，故错误；C、52+122=169=132，故是直角三角形，故错误；D、22+22=8≠32，故不是直角三角形，故正确．故选D． 3．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOB=60°，BD=8，则AB的长为（ ）A．4B．C．3D．5【考点】矩形的性质．【分析】先由矩形的性质得出OA=OB，再证明△AOB是等边三角形，得出AB=OB=4即可．【解答】解∵四边形ABCD是矩形，∴OA=AC，OB=BD=4，AC=BD，∴OA=OB，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OB=4；故选A． 4．已知P1（﹣1，y1），P2（2，y2）是一次函数y=﹣x+1图象上的两个点，则y1，y2的大小关系是（ ）A．y1=y2B．y1＜y2C．y1＞y2D．不能确定【考点】一次函数图象上点的坐标特征．【分析】先根据一次函数y=﹣x+1中k=﹣1判断出函数的增减性，再根据﹣1＜2进行解答即可．【解答】解∵P1（﹣1，y1）、P2（2，y2）是y=﹣x+1的图象上的两个点，∴y1=1+1=2，y2=﹣2+1=﹣1，∵2＞﹣1，∴y1＞y2．故选C． 5．2022年将在北京﹣张家口举办冬季奥运会，很多学校开设了相关的课程．如表记录了某校4名同学短道速滑选拔赛成绩的平均数与方差s2根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）A．队员1B．队员2C．队员3D．队员4【考点】方差；加权平均数．【分析】据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【解答】解因为队员1和2的方差最小，但队员2平均数最小，所以成绩好，所以队员2成绩好又发挥稳定．故选B． 6．用配方法解方程x2﹣2x﹣3=0，原方程应变形为（ ）A．（x﹣1）2=2B．（x+1）2=4C．（x﹣1）2=4D．（x+1）2=2【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】先移项，再配方，即方程两边同时加上一次项系数一般的平方．【解答】解移项得，x2﹣2x=3，配方得，x2﹣2x+1=4，即（x﹣1）2=4，故选C． 7．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（ ）A．13B．14C．15D．16【考点】平行四边形的性质．【分析】先证明四边形ABEF是平行四边形，再证明邻边相等即可得出四边形ABEF是菱形，得出AE⊥BF，OA=OE，OB=OF=BF=6，由勾股定理求出OA，即可得出AE的长．【解答】解如图所示∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠DAE=∠BEA，∴∠BAE=∠BEA，∴AB=BE，同理可得AB=AF，∴AF=BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB=AF，∴四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，OA=OE，OB=OF=BF=6，∴OA===8，∴AE=2OA=16；故选D． 8．一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位L）与时间x（单位min）之间的关系如图所示．则8min时容器内的水量为（ ）A．20LB．25LC．27LD．30L【考点】函数的图象．【分析】用待定系数法求对应的函数关系式，再代入解答即可．【解答】解设当4≤x≤12时的直线方程为y=kx+b（k≠0）．∵图象过（4，20）、（12，30），∴，解得，∴y=x+15（4≤x≤12）；把x=8代入解得y=10+15=25，故选B 9．若关于x的方程kx2﹣（k+1）x+1=0的根是整数，则满足条件的整数k的个数为（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】根的判别式．【分析】当k=0时，可求出x的值，根据x的值为整数可得出k=0符合题意；k≠0时，利用分解因式法解一元二次方程可求出x的值，再根据x的值为整数结合k的值为整数即可得出k的值．综上即可得出结论．【解答】解当k=0时，原方程为﹣x+1=0，解得x=1，∴k=0符合题意；当k≠0时，kx2﹣（k+1）x+1=（kx﹣1）（x﹣1）=0，解得x1=1，x2=，∵方程的根是整数，∴为整数，k为整数，∴k=±1．综上可知满足条件的整数k为
0、1和﹣1．故选C． 10．如图1，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=2，E是DC边上一个动点，F是AB边上一点，∠AEF=30°．设DE=x，图中某条线段长为y，y与x满足的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图中的（ ）A．线段ECB．线段AEC．线段EFD．线段BF【考点】动点问题的函数图象．【分析】求出当点E与点D重合时，即x=0时EC、AE、EF、BF的长可排除C、D；当点E与点C重合时，即x=2时，求出EC、AE的长可排除A，可得答案．【解答】解当点E与点D重合时，即x=0时，EC=DC=2，AE=AD=2，∵∠A=60°，∠AEF=30°，∴∠AFD=90°，在RT△ADF中，∵AD=2，∴AF=AD=1，EF=DF=ADcos∠ADF=，∴BF=AB﹣AF=1，结合图象可知C、D错误；当点E与点C重合时，即x=2时，如图，连接BD交AC于H，此时EC=0，故A错误；∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴∠DAC=30°，∴AE=2AH=2ADcos∠DAC=2×2×=2，故B正确．故选B．
二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．写出一个以0，1为根的一元二次方程 x2﹣x=0 ．【考点】根与系数的关系．【分析】先根据1+0=1，1×0=0，然后根据根与系数的关系写出满足条件的一个一元二次方程．【解答】解∵1+0=1，1×0=0，∴以1和0的一元二次方程可为x2﹣x=0．故答案为x2﹣x=0． 12．若关于x的一元二次方程x2+4x﹣m=0有实数根，则m的取值范围是 m≥﹣4 ．【考点】根的判别式．【分析】根据关于x的一元二次方程x2+4x﹣m=0有实数根，可得△≥0，从而可求得m的取值范围．【解答】解∵关于x的一元二次方程x2+4x﹣m=0有实数根，∴△=42﹣4×1×（﹣m）≥0，解得，m≥4，故答案为m≥4． 13．如图，为了检查平行四边形书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅用一根绳子比较了其对角线AC，BD的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，请你说出其中的数学原理 对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角 ．【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．【分析】根据矩形的判定定理对角线相等的平行四边形是矩形即可判定．【解答】解这种做法的依据是对角线相等的平行四边形为矩形，故答案为对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角．（“矩形的四个角都是直角”没写不扣分） 14．若一次函数y=kx+b（k≠0）的图象如图所示，点P（3，4）在函数图象上，则关于x的不等式kx+b≤4的解集是 x≤3 ．【考点】一次函数与一元一次不等式；待定系数法求一次函数解析式．【分析】先根据待定系数法求得一次函数解析式，再解关于x的一元一次不等式即可．【解答】解法1∵直线y=kx+b（k≠0）的图象经过点P（3，4）和（0，﹣2），∴，解得，∴一次函数解析式为y=2x﹣2，当y=2x﹣2≤4时，解得x≤3；解法2点P（3，4）在一次函数y=kx+b（k≠0）的图象上，则当kx+b≤4时，y≤4，故关于x的不等式kx+b≤4的解集为点P及其左侧部分图象对应的横坐标的集合，∵P的横坐标为3，∴不等式kx+b≤4的解集为x≤3．故答案为x≤3 15．如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=5，BC=8，则EF的长为 ．【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出DF的长，再利用三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可求出DE的长，进而求出EF的长【解答】解∵∠AFB=90°，D为AB的中点，∴DF=AB=
2.5，∵DE为△ABC的中位线，∴DE=BC=4，∴EF=DE﹣DF=
1.5，故答案为
1.5． 16．如图，正方形ABCD的面积是2，E，F，P分别是AB，BC，AC上的动点，PE+PF的最小值等于 ．【考点】轴对称-最短路线问题；正方形的性质．【分析】过点P作MN∥AD交AB于点M，交CD于点N，根据正方形的性质可得出MN⊥AB，且PM≤PE、PN≤PF，由此即可得出AD≤PE+PF，再由正方形的面积为2即可得出结论．【解答】解过点P作MN∥AD交AB于点M，交CD于点N，如图所示．∵四边形ABCD为正方形，∴MN⊥AB，∴PM≤PE（当PE⊥AB时取等号），PN≤PF（当PF⊥BC时取等号），∴MN=AD=PM+PN≤PE+PF，∵正方形ABCD的面积是2，∴AD=．故答案为．
三、解答题（本题共22分，第17-19题每小题4分，第20-21题每小题4分）17．计算．【考点】二次根式的混合运算．【分析】先化简，然后根据混合运算的法则，先算括号里面的，然后算乘法，最后算减法．【解答】解=，====． 18．解方程y（y﹣4）=﹣1﹣2y．【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】先去括号，移项合并同类项得到y2﹣2y+1=0，再根据完全平方公式即可求解．【解答】解y（y﹣4）=﹣1﹣2y，y2﹣2y+1=0，（y﹣1）2=0，y1=y2=1． 19．已知x=1是方程x2﹣3ax+a2=0的一个根，求代数式3a2﹣9a+1的值．【考点】一元二次方程的解．【分析】根据方程解的定义，把x=1代入得出关于a的方程，求得a的值，再代入即可得出答案．【解答】解∵x=1是方程x2﹣3ax+a2=0的一个根，∴1﹣3a+a2=0．∴a2﹣3a=﹣1．∴3a2﹣9a+1=3（a2﹣3a）+1=3×（﹣1）+1=﹣2．或解∵x=1是方程x2﹣3ax+a2=0的一个根，∴1﹣3a+a2=0．∴a2﹣3a+1=0．解方程得．把代入得3a2﹣9a+1得3a2﹣9a+1=﹣2． 20．在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点A（2，3）与点B（0，5）．
（1）求此一次函数的表达式；
（2）若点P为此一次函数图象上一点，且△POB的面积为10，求点P的坐标．【考点】待定系数法求一次函数解析式．【分析】
（1）设此一次函数的表达式为y=kx+b（k≠0）．由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出该函数的表达式；
（2）设点P的坐标为（a，﹣a+5）．根据三角形的面积公式即可列出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解答】解
（1）设此一次函数的表达式为y=kx+b（k≠0）．∵一次函数的图象经过点A（2，3）与点B（0，5），∴，解得．∴此一次函数的表达式为y=﹣x+5．
（2）设点P的坐标为（a，﹣a+5）．∵B（0，5），∴OB=5．∵S△POB=10，∴．∴|a|=4．∴a=±4．∴点P的坐标为（4，1）或（﹣4，9）． 21．如图，四边形ABCD中，AB=10，BC=13，CD=12，AD=5，AD⊥CD，求四边形ABCD的面积．【考点】勾股定理．【分析】连接AC，过点C作CE⊥AB于点E，在Rt△ACD中根据勾股定理求出AC的长，由等腰三角形的性质得出AE=BE=AB，在Rt△CAE中根据勾股定理求出CE的长，再由S四边形ABCD=S△DAC+S△ABC即可得出结论．【解答】解连接AC，过点C作CE⊥AB于点E．∵AD⊥CD，∴∠D=90°．在Rt△ACD中，AD=5，CD=12，AC=．∵BC=13，∴AC=BC．∵CE⊥AB，AB=10，∴AE=BE=AB=．在Rt△CAE中，CE=．∴S四边形ABCD=S△DAC+S△ABC=．
四、解答题（本题共10分，第22题5分，第23题5分）22．阅读下列材料北京市为了紧抓疏解非首都功能这个“牛鼻子”，迁市场、移企业，人随业走．东城、西城、海淀、丰台…人口开始出现负增长，城六区人口2016年由升转降．而现在，海淀区许多地区人口都开始下降．统计数字显示2015年该区常住外来人口约为150万人，同比下降
1.1%，减少
1.7万人，首次实现了负增长．和海淀一样，丰台也在2015年首次实现了常住外来人口负增长，同比下降
1.4%，减少
1.2万人；东、西城，常住外来人口同样呈下降趋势2015年东城同比下降
2.4%，减少5000人，西城则同比下降
5.5%，减少
1.8万人；石景山，常住外来人口近年来增速放缓，预计到2016年年底，全区常住外来人口可降至
63.5万，比2015年减少
1.7万人，首次出现负增长；…2016年初，市发改委透露，2016年本市将确保完成人口调控目标﹣﹣城六区常住人口较2015年下降3%，迎来人口由升转降的拐点．人口下降背后，是本市紧锣密鼓疏解非首都功能的大战略．根据以上材料解答下列问题
（1）石景山区2015年常住外来人口约为
65.2 万人；
（2）2015年东城、西城、海淀、丰台四个城区常住外来人口同比下降率最高的是 西城 区；根据材料中的信息估计2015年这四个城区常住外来人口数最多的是 海淀 区；
（3）如果2017年海淀区常住外来人口降到
121.5万人，求从2015年至2017年平均每年外来人口的下降率．【考点】一元二次方程的应用；用样本估计总体．【分析】
（1）由2016年全区常住外来人口
63.5万，比2015年减少
1.7万人，列式为
63.5+
1.7=
65.2；
（2）依次把四个区人口的同比下降率作比较即可得出同比下降率最高的是西城区，再计算四个城区2015年的人口数进行比较；
（3）设海淀平均每年常住外来人口的下降率为x，原数为150万人，后来数为
121.5万人，下降了两年，根据降低率公式列方程解出即可．【解答】解
（1）
63.5+
1.7=
65.2，故答案为
65.2，
（2）因为海淀区同比下降
1.1%，丰台同比下降
1.4%，东城同比下降
2.4%，西城则同比下降
5.5%，所以同比下降率最高的是西城，2015年这四个城区常住外来人口数海淀区约为150万人，丰台
1.2×104÷
1.4%﹣12000≈845142≈85（万人），东城5000÷24%﹣5000≈15833≈
1.6（万人），西城18000÷
5.5%﹣18000≈309272≈31（万人），则常住外来人口数最多的是海淀区；故答案为西城，海淀；
（3）解设海淀平均每年常住外来人口的下降率为x．由题意，得150（1﹣x）2=
121.5．解得，x1=
0.1=10%，x2=
1.9．（不合题意，舍去）答海淀平均每年常住外来人口的下降率为10%． 23．如图，四边形ABCD是矩形，点E在CD边上，点F在DC延长线上，AE=BF．
（1）求证四边形ABFE是平行四边形；
（2）若∠BEF=∠DAE，AE=3，BE=4，求EF的长．【考点】矩形的性质；平行四边形的判定与性质．【分析】
（1）欲证明四边形ABFE是平行四边形，只要证明AE∥BF，EF∥AB即可．
（2）先证明△AEB是直角三角形，再根据勾股定理计算即可．【解答】
（1）证明∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠D=∠BCD=90°．∴∠BCF=180°﹣∠BCD=180°﹣90°=90°．∴∠D=∠BCF．在Rt△ADE和Rt△BCF中，∴Rt△ADE≌Rt△BCF．∴∠1=∠F．∴AE∥BF．∵AE=BF，∴四边形ABFE是平行四边形．
（2）解∵∠D=90°，∴∠DAE+∠1=90°．∵∠BEF=∠DAE，∴∠BEF+∠1=90°．∵∠BEF+∠1+∠AEB=180°，∴∠AEB=90°．在Rt△ABE中，AE=3，BE=4，AB=．∵四边形ABFE是平行四边形，∴EF=AB=5．
五、解答题（本题共20分，第24题6分，第25-26题每小题6分）24．如图1，将边长为1的正方形ABCD压扁为边长为1的菱形ABCD．在菱形ABCD中，∠A的大小为α，面积记为S．
（1）请补全表
（2）填空由
（1）可以发现单位正方形在压扁的过程中，菱形的面积随着∠A大小的变化而变化，不妨把单位菱形的面积S记为S（α）．例如当α=30°时，S=S（30°）=；当α=135°时，S=S=．由上表可以得到S（60°）=S（ 120 °）；S=S（ 30 °），…，由此可以归纳出S=（ α °）．
（3）两块相同的等腰直角三角板按图2的方式放置，AD=，∠AOB=α，试探究图中两个带阴影的三角形面积是否相等，并说明理由（注可以利用
（2）中的结论）．【考点】四边形综合题．【分析】
（1）过D作DE⊥AB于点E，当α=45°时，可求得DE，从而可求得菱形的面积S，同理可求当α=60°时S的值，当α=120°时，过D作DF⊥AB交BA的延长线于点F，则可求得DF，可求得S的值，同理当α=135°时S的值；
（2）根据表中所计算出的S的值，可得出答案；
（3）将△ABO沿AB翻折得到菱形AEBO，将△CDO沿CD翻折得到菱形OCFD．利用
（2）中的结论，可求得△AOB和△COD的面积，从而可求得结论．【解答】解
（1）当α=45°时，如图1，过D作DE⊥AB于点E，则DE=AD=，∴S=AB•DE=，同理当α=60°时S=，当α=120°时，如图2，过D作DF⊥AB，交BA的延长线于点F，则∠DAE=60°，∴DF=AD=，∴S=AB•DF=，同理当α=150°时，可求得S=，故表中依次填写；；；；
（2）由
（1）可知S（60°）=S，S=S（30°），∴S=S（α）故答案为120；30；α；
（3）两个带阴影的三角形面积相等．证明如图3将△ABO沿AB翻折得到菱形AMBO，将△CDO沿CD翻折得到菱形OCND．∵∠AOD=∠COB=90°，∴∠COD+∠AOB=180°，∴S△AOB=S菱形AMBO=S（α）S△CDO=S菱形OCND=S由
（2）中结论S（α）=S∴S△AOB=S△CDO． 25．如图，在正方形ABCD中，点M在CD边上，点N在正方形ABCD外部，且满足∠CMN=90°，CM=MN．连接AN，CN，取AN的中点E，连接BE，AC，交于F点．
（1）
①依题意补全图形；
②求证BE⊥AC．
（2）请探究线段BE，AD，CN所满足的等量关系，并证明你的结论．
（3）设AB=1，若点M沿着线段CD从点C运动到点D，则在该运动过程中，线段EN所扫过的面积为 （直接写出答案）．【考点】四边形综合题．【分析】
（1）
①依照题意补全图形即可；
②连接CE，由正方形以及等腰直角三角形的性质可得出∠ACD=∠MCN=45°，从而得出∠ACN=90°，再根据直角三角形的性质以及点E为AN的中点即可得出AE=CE，由此即可得出B、E在线段AC的垂直平分线上，由此即可证得BE⊥AC；
（2）BE=AD+CN．根据正方形的性质可得出BF=AD，再结合三角形的中位线性质可得出EF=CN，由线段间的关系即可证出结论；
（3）找出EN所扫过的图形为四边形DFCN．根据正方形以及等腰直角三角形的性质可得出BD∥CN，由此得出四边形DFCN为梯形，再由AB=1，可算出线段CF、DF、CN的长度，利用梯形的面积公式即可得出结论．【解答】解
（1）
①依题意补全图形，如图1所示．
②证明连接CE，如图2所示．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，AB=BC，∴∠ACB=∠ACD=∠BCD=45°，∵∠CMN=90°，CM=MN，∴∠MCN=45°，∴∠ACN=∠ACD+∠MCN=90°．∵在Rt△ACN中，点E是AN中点，∴AE=CE=AN．∵AE=CE，AB=CB，∴点B，E在AC的垂直平分线上，∴BE垂直平分AC，∴BE⊥AC．
（2）BE=AD+CN．证明∵AB=BC，∠ABE=∠CBE，∴AF=FC．∵点E是AN中点，∴AE=EN，∴FE是△ACN的中位线．∴FE=CN．∵BE⊥AC，∴∠BFC=90°，∴∠FBC+∠FCB=90°．∵∠FCB=45°，∴∠FBC=45°，∴∠FCB=∠FBC，∴BF=CF．在Rt△BCF中，BF2+CF2=BC2，∴BF=BC．∵四边形ABCD是正方形，∴BC=AD，∴BF=AD．∵BE=BF+FE，∴BE=AD+CN．
（3）在点M沿着线段CD从点C运动到点D的过程中，线段EN所扫过的图形为四边形DFCN．∵∠BDC=45°，∠DCN=45°，∴BD∥CN，∴四边形DFCN为梯形．∵AB=1，∴CF=DF=BD=，CN=CD=，∴S梯形DFCN=（DF+CN）•CF=（+）×=．故答案为． 26．在平面直角坐标系xOy中，图形G的投影矩形定义如下矩形的两组对边分别平行于x轴，y轴，图形G的顶点在矩形的边上或内部，且矩形的面积最小．设矩形的较长的边与较短的边的比为k，我们称常数k为图形G的投影比．如图1，矩形ABCD为△DEF的投影矩形，其投影比．
（1）如图2，若点A（1，3），B（3，5），则△OAB投影比k的值为 ．
（2）已知点C（4，0），在函数y=2x﹣4（其中x＜2）的图象上有一点D，若△OCD的投影比k=2，求点D的坐标．
（3）已知点E（3，2），在直线y=x+1上有一点F（5，a）和一动点P，若△PEF的投影比1＜k＜2，则点P的横坐标m的取值范围 1＜m＜3或m＞5 （直接写出答案）．【考点】一次函数综合题．【分析】
（1）在图2中作出△OAB的投影矩形ACBD，根据投影比的定义即可得出结论；
（2）设出D点的坐标，分0≤x≤2和x＜0两种情况考虑，找出两种情况下△OCD的投影矩形，根据投影比的定义列出关于x的方程，解方程即可得出结论；
（3）根据题意画出图形，根据投影矩形的不同分四种情况考虑（m≤1，1＜m＜3，3≤m≤5和m＞5），找出每种情况下的投影矩形投影比，根据m的取值范围确定k的取值范围，由此即可得出结论．【解答】解
（1）在图2中过点B作BC⊥x轴于点C，作BD⊥y轴于点D，则矩形ACBD为△OAB的投影矩形，∵点B（3，5），∴OC=3，BC=5，∴△OAB投影比k的值为=．
（2）∵点D为函数y=2x﹣4（其中x＜2）的图象上的点，设点D坐标为（x，2x﹣4）（x＜2）．分以下两种情况
①当0≤x≤2时，如图3所示，作投影矩形OMNC．∵OC≥OM，∴，解得x=1，∴D（1，﹣2）；
②当x＜0时，如图4所示，作投影矩形MDNC．∵点D坐标为（x，2x﹣4），点M点坐标为（x，0），∴DM=|2x﹣4|=4﹣2x，MC=4﹣x，∵x＜0，∴DM＞CM，∴，但此方程无解．∴当x＜0时，满足条件的点D不存在．综上所述，点D的坐标为D（1，﹣2）．
（3）令y=x+1中y=2，则x+1=2，解得x=1．
①当m≤1时，作投影矩形A′FB′P，如图5所示．此时点P（m，m+1），PA′=5﹣m，FA′=6﹣（m+1）=5﹣m，△PEF的投影比k==1，∴m≤1不符合题意；
②当1＜m＜3时，作投影矩形A′FB′Q，如图6所示．此时点P（m，m+1），FB′=5﹣m，FA′=6﹣2=4，△PEF的投影比k==，∵1＜m＜3，∴1＜k＜2，∴1＜m＜3符合题意；
③当3≤m≤5时，作投影矩形A′FB′E，如图7所示．此时点E（3，2），FA′=6﹣2=4，FB′=5﹣3=2，△PEF的投影比k==2，∴3≤m≤5不符合题意；
④当m＞5时，作投影矩形A′PB′E，如图8所示．此时点P（m，m+1），点E（3，2），PB′=m+1﹣2=m﹣1，PA′=m﹣3，△PEF的投影比k==，∵m＞5，∴1＜k＜2，∴m＞5符合题意．综上可知点P的横坐标m的取值范围为1＜m＜3或m＞5．故答案为1＜m＜3或m＞5． 分组频数频率C
100.10B
0.50A40合计
1.00分组频数频率C
100.10B
0.50A40合计
1.00分组频数频率C
100.10B
500.50A
400.40合计
1001.00队员1队员2队员3队员4平均数（秒）51505150方差s2（秒2）
3.
53.
514.
515.5α30°45°60°90°120°135°150°S1队员1队员2队员3队员4平均数（秒）51505150方差s2（秒2）
3.
53.
514.
515.5α30°45°60°90°120°135°150°S1。
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