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九年级上学期期末数学试卷两套汇编五附答案解析九年级(上)期末数学试卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)1.若反比例函数y=﹣的图象经过点A(3,m),则m的值是( )A.﹣3B.3C.﹣D.2.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A.B.C.D.3.下列事件中,必然发生的是( )A.某射击运动射击一次,命中靶心B.抛一枚硬币,落地后正面朝上C.掷一次骰子,向上的一面是6点D.通常加热到100℃时,水沸腾4.如图,直线y=kx与双曲线y=﹣交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则2x1y2﹣8x2y1的值为( )A.﹣6B.﹣12C.6D.125.如图,已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点,点C是劣弧OB上一点,则∠ACB=( )A.80°B.90°C.100°D.无法确定6.在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后,截面如图.若油面的宽AB=160cm,则油的最大深度为( )A.40cmB.60cmC.80cmD.100cm7.如图,在平面直角坐标系中,点B、C、E、在y轴上,Rt△ABC经过变换得到Rt△ODE.若点C的坐标为(0,1),AC=2,则这种变换可以是( )A.△ABC绕点C顺时针旋转90°,再向下平移3B.△ABC绕点C顺时针旋转90°,再向下平移1C.△ABC绕点C逆时针旋转90°,再向下平移1D.△ABC绕点C逆时针旋转90°,再向下平移38.若二次函数y=(m+1)x2﹣mx+m2﹣2m﹣3的图象经过原点,则m的值必为( )A.﹣1或3B.﹣1C.3D.﹣3或19.圆的面积公式S=πR2中,S与R之间的关系是( )A.S是R的正比例函数B.S是R的一次函数C.S是R的二次函数D.以上答案都不对10.如图,P是⊙O直径AB延长线上的一点,PC与⊙O相切于点C,若∠P=20°,则∠A的度数为( )A.40°B.35°C.30°D.25°11.如图,大正方形中有2个小正方形,如果它们的面积分别是S
1、S2,那么S
1、S2的大小关系是( )A.S1>S2B.S1=S2C.S1<S2D.S
1、S2的大小关系不确定12.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(﹣1,0),其部分图象如图所示,下列结论
①4ac<b2;
②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1,x2=3;
③3a+c>0
④当y>0时,x的取值范围是﹣1≤x<3
⑤当x<0时,y随x增大而增大其中结论正确的个数是( )A.4个B.3个C.2个D.1个
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)13.把一元二次方程3x(x﹣2)=4化为一般形式是 .14.一只蚂蚁在如图所示的七巧板上任意爬行,已知它停在这副七巧板上的任何一点的可能性都相同,那么它停在1号板上的概率是 .15.一个侧面积为16πcm2的圆锥,其主视图为等腰直角三角形,则这个圆锥的高为 cm.16.如果关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有实数根,则实数a的取值范围是 .17.如图,以点O为位似中心,将△ABC放大得到△DEF,若AD=OA,则△ABC与△DEF的面积之比为 .18.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点F在边AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点,将△CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是 .
三、解答题(本大题共9小题,共63分)19.解方程x2+3x﹣2=0.20.如图,在平面直角坐标系xOy中,双曲线y=与直线y=﹣2x+2交于点A(﹣1,a).
(1)求a,m的值;
(2)求该双曲线与直线y=﹣2x+2另一个交点B的坐标.21.如图所示,正方形网格中,△ABC为格点三角形(即三角形的顶点都在格点上).
(1)把△ABC沿BA方向平移后,点A移到点A1,在网格中画出平移后得到的△A1B1C1;
(2)把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°,在网格中画出旋转后的△A1B2C2;
(3)如果网格中小正方形的边长为1,求点B经过
(1)、
(2)变换的路径总长.22.一个盒子里有标号分别为1,2,3,4,5,6的六个小球,这些小球除标号数字外都相同.
(1)从盒中随机摸出一个小球,求摸到标号数字为奇数的小球的概率;
(2)甲、乙两人用这六个小球玩摸球游戏,规则是甲从盒中随机摸出一个小球,记下标号数字后放回盒里,充分摇匀后,乙再从盒中随机摸出一个小球,并记下标号数字.若两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数,则判甲赢;若两次摸到小球的标号数字为一奇一偶,则判乙赢.请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏对甲、乙两人是否公平.23.如图,抛物线y1=﹣x2+bx+c经过点A(4,0)和B(1,0),与y轴交于点C.
(1)求出抛物线的解析式;
(2)求点C的坐标及抛物线的顶点坐标;
(3)设直线AC的解析式为y2=mx+n,请直接写出当y1<y2时,x的取值范围.24.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以CB为半径作⊙C,交AC于点D,交AC的延长线于点E,连接ED,BE.
(1)求证△ABD∽△AEB;
(2)当=时,求tanE;
(3)在
(2)的条件下,作∠BAC的平分线,与BE交于点F,若AF=2,求⊙C的半径.25.如图为桥洞的形状,其正视图是由和矩形ABCD构成.O点为所在⊙O的圆心,点O又恰好在AB为水面处.若桥洞跨度CD为8米,拱高(OE⊥弦CD于点F)EF为2米.求所在⊙O的半径DO.26.如图1,若△ABC和△ADE为等边三角形,M,N分别EB,CD的中点,易证CD=BE,△AMN是等边三角形.
(1)当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时,CD=BE是否仍然成立?若成立,请证明,若不成立,请说明理由;
(2)当△ADE绕A点旋转到图3的位置时,△AMN是否还是等边三角形?若是,请给出证明,并求出当AB=2AD时,△ADE与△ABC及△AMN的面积之比;若不是,请说明理由.27.已知,如图
①,在▱ABCD中,AB=3cm,BC=5cm.AC⊥AB.△ACD沿AC的方向匀速平移得到△PNM,速度为1cm/s;同时,点Q从点C出发,沿CB方向匀速运动,速度为1cm/s,当△PNM停止平移时,点Q也停止运动.如图
②,设运动时间为t(s)(0<t<4).解答下列问题
(1)当t为何值时,PQ∥MN?
(2)设△QMC的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;
(3)是否存在某一时刻t,使S△QMC S四边形ABQP=14?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
(4)是否存在某一时刻t,使PQ⊥MQ?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由. 参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)1.若反比例函数y=﹣的图象经过点A(3,m),则m的值是( )A.﹣3B.3C.﹣D.【考点】反比例函数图象上点的坐标特征.【分析】直接把点的坐标代入解析式即可.【解答】解把点A代入解析式可知m=﹣.故选C.【点评】主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征.直接把点的坐标代入解析式即可求出点坐标中未知数的值. 2.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A.B.C.D.【考点】中心对称图形;轴对称图形.【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.【解答】解A、是轴对称图形,不是中心对称图形;B、不是轴对称图形,是中心对称图形;C、是轴对称图形,也是中心对称图形;D、是轴对称图形,不是中心对称图形.故选C.【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合. 3.下列事件中,必然发生的是( )A.某射击运动射击一次,命中靶心B.抛一枚硬币,落地后正面朝上C.掷一次骰子,向上的一面是6点D.通常加热到100℃时,水沸腾【考点】随机事件.【分析】根据“必然事件是指在一定条件下一定发生的事件”可判断.【解答】解A、某射击运动射击一次,命中靶心,随机事件;B、抛一枚硬币,落地后正面朝上,随机事件;C、掷一次骰子,向上的一面是6点,随机事件;D、通常加热到100℃时,水沸腾,是必然事件.故选D.【点评】解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下一定发生的事件;不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事;不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件. 4.如图,直线y=kx与双曲线y=﹣交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则2x1y2﹣8x2y1的值为( )A.﹣6B.﹣12C.6D.12【考点】反比例函数与一次函数的交点问题;一元二次方程的解.【分析】将一次函数解析式代入反比例函数解析式中得出关于x的一元二次方程,解方程即可得出A、B点的横坐标,再结合一次函数的解析式即可求出点A、B的坐标,将其代入2x1y2﹣8x2y1中即可得出结论.【解答】解将y=kx代入到y=﹣中得kx=﹣,即kx2=﹣2,解得x1=﹣,x2=,∴y1=kx1=,y2=kx2=﹣,∴2x1y2﹣8x2y1=2×(﹣)×(﹣)﹣8××=﹣12.故选B.【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及一元二次方程的解,解题的关键是求出点A、B的坐标.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,联立两函数解析式求出交点的坐标是关键. 5.如图,已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点,点C是劣弧OB上一点,则∠ACB=( )A.80°B.90°C.100°D.无法确定【考点】圆周角定理;坐标与图形性质.【分析】由∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角,根据圆周角定理,即可求得∠ACB=∠AOB=90°.【解答】解∵∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角,∴∠AOB=∠ACB,∵∠AOB=90°,∴∠ACB=90°.故选B.【点评】此题考查了圆周角定理.此题比较简单,解题的关键是观察图形,得到∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角. 6.在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后,截面如图.若油面的宽AB=160cm,则油的最大深度为( )A.40cmB.60cmC.80cmD.100cm【考点】垂径定理的应用;勾股定理.【分析】连接OA,过点O作OE⊥AB,交AB于点M,由垂径定理求出AM的长,再根据勾股定理求出OM的长,进而可得出ME的长.【解答】解连接OA,过点O作OE⊥AB,交AB于点M,∵直径为200cm,AB=160cm,∴OA=OE=100cm,AM=80cm,∴OM===60cm,∴ME=OE﹣OM=100﹣60=40cm.故选A.【点评】本题考查的是垂径定理的应用,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键. 7.如图,在平面直角坐标系中,点B、C、E、在y轴上,Rt△ABC经过变换得到Rt△ODE.若点C的坐标为(0,1),AC=2,则这种变换可以是( )A.△ABC绕点C顺时针旋转90°,再向下平移3B.△ABC绕点C顺时针旋转90°,再向下平移1C.△ABC绕点C逆时针旋转90°,再向下平移1D.△ABC绕点C逆时针旋转90°,再向下平移3【考点】坐标与图形变化-旋转;坐标与图形变化-平移.【分析】观察图形可以看出,Rt△ABC通过变换得到Rt△ODE,应先旋转然后平移即可.【解答】解根据图形可以看出,△ABC绕点C顺时针旋转90°,再向下平移3个单位可以得到△ODE.故选A.【点评】本题考查的是坐标与图形变化旋转和平移的知识,掌握旋转和平移的概念和性质是解题的关键. 8.若二次函数y=(m+1)x2﹣mx+m2﹣2m﹣3的图象经过原点,则m的值必为( )A.﹣1或3B.﹣1C.3D.﹣3或1【考点】二次函数图象上点的坐标特征.【分析】将原点坐标代入二次函数y=(m+1)x2﹣mx+m2﹣2m﹣3中即可求出m的值,注意二次函数的二次项系数不为零.【解答】解根据题意得m2﹣2m﹣3=0,所以m=﹣1或m=3,又因为二次函数的二次项系数不为零,即m+1≠0,所以m=3.故选C.【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,解题时注意分析,注意理解题意. 9.圆的面积公式S=πR2中,S与R之间的关系是( )A.S是R的正比例函数B.S是R的一次函数C.S是R的二次函数D.以上答案都不对【考点】二次函数的定义;一次函数的定义;正比例函数的定义.【分析】根据二次函数定义一般地,形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数可直接得到答案.【解答】解圆的面积公式S=πr2中,S和r之间的关系是二次函数关系,故选C.【点评】此题主要考查了二次函数的定义,关键是掌握二次函数的形式. 10.如图,P是⊙O直径AB延长线上的一点,PC与⊙O相切于点C,若∠P=20°,则∠A的度数为( )A.40°B.35°C.30°D.25°【考点】切线的性质.【分析】根据题意,可知∠COB=70°,OA=OC,即可推出∠A=35°.【解答】解∵PC与⊙O相切于点C,∴OC⊥CP,∵∠P=20°,∴∠COB=70°,∵OA=OC,∴∠A=35°.故选B.【点评】本题主要考查了切线性质、三角形外角的性质、等腰三角形的性质,解题的关键在于确定OC⊥CP,OA=OC. 11.如图,大正方形中有2个小正方形,如果它们的面积分别是S
1、S2,那么S
1、S2的大小关系是( )A.S1>S2B.S1=S2C.S1<S2D.S
1、S2的大小关系不确定【考点】正方形的性质;勾股定理.【分析】设大正方形的边长为x,根据等腰直角三角形的性质知AC、BC的长,进而可求得S2的边长,由面积的求法可得答案.【解答】解如图,设大正方形的边长为x,根据等腰直角三角形的性质知,AC=BC,BC=CE=CD,∴AC=2CD,CD=,∴S2的边长为x,S2的面积为x2,S1的边长为,S1的面积为x2,∴S1>S2,故选A.【点评】本题利用了正方形的性质和等腰直角三角形的性质求解. 12.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(﹣1,0),其部分图象如图所示,下列结论
①4ac<b2;
②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1,x2=3;
③3a+c>0
④当y>0时,x的取值范围是﹣1≤x<3
⑤当x<0时,y随x增大而增大其中结论正确的个数是( )A.4个B.3个C.2个D.1个【考点】二次函数图象与系数的关系.【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对
①进行判断;利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0),则可对
②进行判断;由对称轴方程得到b=﹣2a,然后根据x=﹣1时函数值为0可得到3a+c=0,则可对
③进行判断;根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对
④进行判断;根据二次函数的性质对
⑤进行判断.【解答】解∵抛物线与x轴有2个交点,∴b2﹣4ac>0,所以
①正确;∵抛物线的对称轴为直线x=1,而点(﹣1,0)关于直线x=1的对称点的坐标为(3,0),∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1,x2=3,所以
②正确;∵x=﹣=1,即b=﹣2a,而x=﹣1时,y=0,即a﹣b+c=0,∴a+2a+c=0,所以
③错误;∵抛物线与x轴的两点坐标为(﹣1,0),(3,0),∴当﹣1<x<3时,y>0,所以
④错误;∵抛物线的对称轴为直线x=1,∴当x<1时,y随x增大而增大,所以
⑤正确.故选B.【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右;常数项c决定抛物线与y轴交点位置抛物线与y轴交于(0,c);抛物线与x轴交点个数由△决定△=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)13.把一元二次方程3x(x﹣2)=4化为一般形式是 3x2﹣6x﹣4=0 .【考点】一元二次方程的一般形式.【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0,去括号,移项把方程的右边变成0即可.【解答】解把一元二次方程3x(x﹣2)=4去括号,移项合并同类项,转化为一般形式是3x2﹣6x﹣4=0.【点评】本题需要同学们熟练掌握一元二次方程一般形式的概念,在去括号时要注意符号的变化. 14.一只蚂蚁在如图所示的七巧板上任意爬行,已知它停在这副七巧板上的任何一点的可能性都相同,那么它停在1号板上的概率是 .【考点】几何概率.【分析】首先确定在图中1号板的面积在整个面积中占的比例,根据这个比例即可求出蚂蚁停在1号板上的概率.【解答】解因为1号板的面积占了总面积的,故停在1号板上的概率=.【点评】本题考查几何概率的求法首先根据题意将代数关系用面积表示出来,一般用阴影区域表示所求事件(A);然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例,这个比例即事件(A)发生的概率;此题将概率的求解设置于几何图象或游戏中,考查学生对简单几何概型的掌握情况,既避免了单纯依靠公式机械计算的做法,又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用,体现了数学学科的基础性. 15.一个侧面积为16πcm2的圆锥,其主视图为等腰直角三角形,则这个圆锥的高为 4 cm.【考点】圆锥的计算;等腰直角三角形;由三视图判断几何体.【分析】设底面半径为r,母线为l,由轴截面是等腰直角三角形,得出2r=l,代入S侧=πrl,求出r,l,从而求得圆锥的高.【解答】解设底面半径为r,母线为l,∵主视图为等腰直角三角形,∴2r=l,∴侧面积S侧=πrl=πr2=16πcm2,解得r=4,l=4,∴圆锥的高h=4cm,故答案为4.【点评】本题考查了圆锥的计算,解题的关键是能够熟练掌握有关的计算公式,难度不大. 16.如果关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有实数根,则实数a的取值范围是 a≤1且a≠0 .【考点】根的判别式.【分析】先根据关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有实数根得出△≥0,a≠0,求出a的取值范围即可.【解答】解∵关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有实数根,∴,解得a≤1且a≠0.故答案为a≤1且a≠0.【点评】本题考查的是根的判别式,熟知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac的关系是解答此题的关键. 17.如图,以点O为位似中心,将△ABC放大得到△DEF,若AD=OA,则△ABC与△DEF的面积之比为 14 .【考点】位似变换.【分析】由AD=OA,易得△ABC与△DEF的位似比等于12,继而求得△ABC与△DEF的面积之比.【解答】解∵以点O为位似中心,将△ABC放大得到△DEF,AD=OA,∴AB DE=OA OD=12,∴△ABC与△DEF的面积之比为14.故答案为14.【点评】此题考查了位似图形的性质.注意相似三角形的面积比等于相似比的平方. 18.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点F在边AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点,将△CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是
1.2 .【考点】翻折变换(折叠问题).【分析】如图,延长FP交AB于M,当FP⊥AB时,点P到AB的距离最小,利用△AFM∽△ABC,得到=求出FM即可解决问题.【解答】解如图,延长FP交AB于M,当FP⊥AB时,点P到AB的距离最小.∵∠A=∠A,∠AMF=∠C=90°,∴△AFM∽△ABC,∴=,∵CF=2,AC=6,BC=8,∴AF=4,AB==10,∴=,∴FM=
3.2,∵PF=CF=2,∴PM=
1.2∴点P到边AB距离的最小值是
1.2.故答案为
1.2.【点评】本题考查翻折变换、最短问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理.垂线段最短等知识,解题的关键是正确找到点P位置,属于中考常考题型.
三、解答题(本大题共9小题,共63分)19.(2014•集美区一模)解方程x2+3x﹣2=0.【考点】解一元二次方程-公式法.【分析】求出b2﹣4ac的值,代入公式求出即可.【解答】解∵a=1,b=3,c=﹣2,∴△=b2﹣4ac=32﹣4×1×(﹣2)=17,∴x=,∴x1=,x2=.【点评】本题考查解一元二次方程的应用,主要考查学生的计算能力. 20.(2016•菏泽)如图,在平面直角坐标系xOy中,双曲线y=与直线y=﹣2x+2交于点A(﹣1,a).
(1)求a,m的值;
(2)求该双曲线与直线y=﹣2x+2另一个交点B的坐标.【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.【分析】
(1)将A坐标代入一次函数解析式中即可求得a的值,将A(﹣1,4)坐标代入反比例解析式中即可求得m的值;
(2)解方程组,即可解答.【解答】解
(1)∵点A的坐标是(﹣1,a),在直线y=﹣2x+2上,∴a=﹣2×(﹣1)+2=4,∴点A的坐标是(﹣1,4),代入反比例函数y=,∴m=﹣4.
(2)解方程组解得或,∴该双曲线与直线y=﹣2x+2另一个交点B的坐标为(2,﹣2).【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题,涉及的知识有反比例函数的图象上点的坐标特征,待定系数法确定函数解析式,熟练掌握待定系数法是解本题的关键. 21.(2016•嘉善县校级一模)如图所示,正方形网格中,△ABC为格点三角形(即三角形的顶点都在格点上).
(1)把△ABC沿BA方向平移后,点A移到点A1,在网格中画出平移后得到的△A1B1C1;
(2)把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°,在网格中画出旋转后的△A1B2C2;
(3)如果网格中小正方形的边长为1,求点B经过
(1)、
(2)变换的路径总长.【考点】作图-旋转变换;作图-平移变换.【分析】
(1)按A到A1的平移方向和平移距离,即可得到B和C对应点,从而得到平移后的图形;
(2)把B1和C1绕点A1旋转90°,得到对应点即可得到对应图形;
(3)利用勾股定理和弧长公式即可求解.【解答】解
(1)△A1B1C1就是所求的图形;
(2)△A1B2C2就是所求的图形;
(3)B到B1的路径长是=2,B1到B2的路径长是=π.则路径总长是2+π.【点评】本题考查了图形的平移和旋转,以及弧长公式,理解图象的旋转过程中每个点经过的路径是弧是关键. 22.(2016•威海)一个盒子里有标号分别为1,2,3,4,5,6的六个小球,这些小球除标号数字外都相同.
(1)从盒中随机摸出一个小球,求摸到标号数字为奇数的小球的概率;
(2)甲、乙两人用这六个小球玩摸球游戏,规则是甲从盒中随机摸出一个小球,记下标号数字后放回盒里,充分摇匀后,乙再从盒中随机摸出一个小球,并记下标号数字.若两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数,则判甲赢;若两次摸到小球的标号数字为一奇一偶,则判乙赢.请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏对甲、乙两人是否公平.【考点】游戏公平性;列表法与树状图法.【分析】
(1)直接利用概率公式进而得出答案;
(2)画出树状图,得出所有等可能的情况数,找出两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数的情况数,即可求出所求的概率.【解答】解
(1)∵1,2,3,4,5,6六个小球,∴摸到标号数字为奇数的小球的概率为=;
(2)画树状图如图所示,共有36种等可能的情况,两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数的有18种,摸到小球的标号数字为一奇一偶的结果有18种,∴P(甲)==,P(乙)==,∴这个游戏对甲、乙两人是公平的.【点评】本题考查了游戏公平性,用到的知识点为概率=所求情况数与总情况数之比,正确列出所有可能是解题关键. 23.(2015秋•广西期末)如图,抛物线y1=﹣x2+bx+c经过点A(4,0)和B(1,0),与y轴交于点C.
(1)求出抛物线的解析式;
(2)求点C的坐标及抛物线的顶点坐标;
(3)设直线AC的解析式为y2=mx+n,请直接写出当y1<y2时,x的取值范围.【考点】二次函数与不等式(组);二次函数的性质;待定系数法求二次函数解析式.【分析】
(1)把A和B的坐标代入函数解析式求得b和c的值,即可求得函数解析式;
(2)在函数解析式中令x=0即可求得C的坐标,然后利用配方法即可确定顶点坐标;
(3)当y1<y2时x的范围就是当二次函数的图象在一次函数的图象的下边时对应的x的范围,依据图象即可确定.【解答】解
(1)根据题意得,解得.则抛物线的解析式是y=﹣x2+x﹣2;
(2)在y=﹣x2+x﹣2中令x=0,则y=﹣2,则C的坐标是(0,﹣2).y=﹣x2+x﹣2=﹣(x﹣)2+,则抛物线的顶点坐标是(,);
(3)当y1<y2时,x的取值范围是x<0或x>4.【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式,以及通过图象确定自变量的范围,考查了数形结合的思想. 24.(2016•成都)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以CB为半径作⊙C,交AC于点D,交AC的延长线于点E,连接ED,BE.
(1)求证△ABD∽△AEB;
(2)当=时,求tanE;
(3)在
(2)的条件下,作∠BAC的平分线,与BE交于点F,若AF=2,求⊙C的半径.【考点】圆的综合题.【分析】
(1)要证明△ABD∽△AEB,已经有一组对应角是公共角,只需要再找出另一组对应角相等即可.
(2)由于AB BC=43,可设AB=4,BC=3,求出AC的值,再利用
(1)中结论可得AB2=AD•AE,进而求出AE的值,所以tanE==.
(3)设AB=4x,BC=3x,由于已知AF的值,构造直角三角形后利用勾股定理列方程求出x的值,即可知道半径3x的值.【解答】解
(1)∵∠ABC=90°,∴∠ABD=90°﹣∠DBC,由题意知DE是直径,∴∠DBE=90°,∴∠E=90°﹣∠BDE,∵BC=CD,∴∠DBC=∠BDE,∴∠ABD=∠E,∵∠A=∠A,∴△ABD∽△AEB;
(2)∵AB BC=43,∴设AB=4,BC=3,∴AC==5,∵BC=CD=3,∴AD=AC﹣CD=5﹣3=2,由
(1)可知△ABD∽△AEB,∴==,∴AB2=AD•AE,∴42=2AE,∴AE=8,在Rt△DBE中tanE====;
(3)过点F作FM⊥AE于点M,∵AB BC=43,∴设AB=4x,BC=3x,∴由
(2)可知;AE=8x,AD=2x,∴DE=AE﹣AD=6x,∵AF平分∠BAC,∴=,∴==,∵tanE=,∴cosE=,sinE=,∴=,∴BE=,∴EF=BE=,∴sinE==,∴MF=,∵tanE=,∴ME=2MF=,∴AM=AE﹣ME=,∵AF2=AM2+MF2,∴4=+,∴x=,∴⊙C的半径为3x=.【点评】此题属于圆的综合题,涉及了相似三角形判定与性质、三角函数值的知识,综合性较强,解答本题需要我们熟练各部分的内容,对学生的综合能力要求较高,一定要注意将所学知识贯穿起来. 25.(2016秋•鼓楼区校级期末)如图为桥洞的形状,其正视图是由和矩形ABCD构成.O点为所在⊙O的圆心,点O又恰好在AB为水面处.若桥洞跨度CD为8米,拱高(OE⊥弦CD于点F)EF为2米.求所在⊙O的半径DO.【考点】垂径定理的应用;矩形的性质.【分析】先根据垂径定理求出DF的长,再由勾股定理即可得出结论.【解答】解∵OE⊥弦CD于点F,CD为8米,EF为2米,∴EO垂直平分CD,DF=4m,FO=DO﹣2,在Rt△DFO中,DO2=FO2+DF2,则DO2=(DO﹣2)2+42,解得DO=5;答所在⊙O的半径DO为5m.【点评】本题考查的是垂径定理的应用,此类题中一般使用列方程的方法,这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握. 26.(2009•常德)如图1,若△ABC和△ADE为等边三角形,M,N分别EB,CD的中点,易证CD=BE,△AMN是等边三角形.
(1)当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时,CD=BE是否仍然成立?若成立,请证明,若不成立,请说明理由;
(2)当△ADE绕A点旋转到图3的位置时,△AMN是否还是等边三角形?若是,请给出证明,并求出当AB=2AD时,△ADE与△ABC及△AMN的面积之比;若不是,请说明理由.【考点】等边三角形的性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理;旋转的性质.【分析】
(1)可以利用SAS判定△ABE≌△ACD,全等三角形的对应边相等,所以CD=BE.
(2)可以证明△AMN是等边三角形,AD=a,则AB=2a,根据已知条件分别求得△AMN的边长,因为△ADE,△ABC,△AMN为等边三角形,所以面积比等于边长的平方的比.【解答】解
(1)CD=BE.理由如下(1分)∵△ABC和△ADE为等边三角形,∴AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠EAD=60°,∵∠BAE=∠BAC﹣∠EAC=60°﹣∠EAC,∠DAC=∠DAE﹣∠EAC=60°﹣∠EAC,∴∠BAE=∠DAC,∴△DAC≌△EAB(SAS),∴CD=BE.
(2)△AMN是等边三角形.理由如下∵△ABE≌△ACD,∴∠ABE=∠ACD∵M、N分别是BE、CD的中点,∴BM=BE=CD=CN,∵AB=AC,∠ABE=∠ACD,∴△ABM≌△ACN.∴AM=AN,∠MAB=∠NAC.(6分)∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°,∴△AMN是等边三角形.(7分)设AD=a,则AB=2a.∵AD=AE=DE,AB=AC,∴CE=DE.∵△ADE为等边三角形,∴∠DEC=120°,∠ADE=60°,∴∠EDC=∠ECD=30°,∴∠ADC=90°.(8分)∴在Rt△ADC中,AD=a,∠ACD=30°,∴CD=a.∵N为DC中点,∴DN=,∴AN=.(9分)∵△ADE,△ABC,△AMN为等边三角形,∴S△ADE S△ABC S△AMN=a2(2a)2()2=14=4167(10分)解法二△AMN是等边三角形.理由如下∵△ABE≌△ACD,M、N分别是BE、CD的中点,∴AM=AN,NC=MB.∵AB=AC,∴△ABM≌△ACN,∴∠MAB=∠NAC,∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°,∴△AMN是等边三角形,(7分)设AD=a,则AD=AE=DE=a,AB=BC=AC=2a,易证BE⊥AC,∴BE=,∴EM=,∴AM=,∵△ADE,△ABC,△AMN为等边三角形,∴S△ADE S△ABC S△AMN=a2(2a)2()2=14=4167.(10分)【点评】此题考查了全等三角形的判定,等边三角形的性质,勾股定理及旋转的性质等知识的综合运用及推理论证能力. 27.(2016秋•鼓楼区校级期末)已知,如图
①,在▱ABCD中,AB=3cm,BC=5cm.AC⊥AB.△ACD沿AC的方向匀速平移得到△PNM,速度为1cm/s;同时,点Q从点C出发,沿CB方向匀速运动,速度为1cm/s,当△PNM停止平移时,点Q也停止运动.如图
②,设运动时间为t(s)(0<t<4).解答下列问题
(1)当t为何值时,PQ∥MN?
(2)设△QMC的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;
(3)是否存在某一时刻t,使S△QMC S四边形ABQP=14?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
(4)是否存在某一时刻t,使PQ⊥MQ?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.【考点】四边形综合题.【分析】
(1)先根据勾股定理求AC=4,根据平移的性质和平行四边形的性质得PQ∥AB,列比例式为,代入可求t的值;
(2)作辅助线,构建高线,利用面积法求AE的长,利用勾股定理计算CE的长,证明△CPF∽△CAE,列式可表示PF的长,根据面积公式计算y与t之间的函数关系式;
(3)根据同底等高的两个三角形面积相等得S△PQC=S△MQC,由已知得S△MQC S△ABC=15,把
(2)中的式子代入可求t的值;
(4)如图2,证明△MQP∽△PFQ,列比例式可求得PQ2=PM×FQ,由勾股定理相结合得PF2+FQ2=PM×FQ,代入列方程可得结论.【解答】
(1)如图1,在Rt△ABC中,由勾股定理得AC===4,由平移性质可得MN∥AB;∵PQ∥MN,∴PQ∥AB,∴,即,解得t=;
(2)如图2,作PF⊥BC于点F,AE⊥BC于点E,由S△ABC=AB×AC=AE×BC可得×3×4=×5AE,∴AE=,则由勾股定理得CE===,∵PF⊥BC,AE⊥BC,∴AE∥PF,∴△CPF∽△CAE,所以==,即==,解得PF=,CF=,∵PM∥BC,所以M到BC的距离h=PF=,所以,△QCM是面积y=CQ×h=×t×=﹣+;
(3)∵PM∥BC,∴S△PQC=S△MQC,∵S△QMC S四边形ABQP=14,∴S△MQC S△ABC=15,则5(﹣+)=×4×3,t2﹣4t+4=0,解得t1=t2=2,∴当t=2时,S△QMC S四边形ABQP=14;
(4)如图2,∵PQ⊥MQ,∴∠MQP=∠PFQ=90°,∵MP∥BC,∴∠MPQ=∠PQF,∴△MQP∽△PFQ,∴,∴PQ2=PM×FQ,即PF2+FQ2=PM×FQ,由CF=,∴FQ=CF﹣CQ=,故=5×,整理得2t2﹣3t=0,解得t1=0(舍),t2=,答当t=时,PQ⊥MQ.【点评】本题是四边形的综合题,考查了平行四边形、平移、勾股定理、相似三角形的性质和判定,根据平移的特点,确定等量关系是关键,可以利用相似列等量关系,也可以利用已知面积的比列等量关系,解方程可以解决问题. 九年级(上)期末数学试卷
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)1.如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=1,AC=2,则tanA的值为( )A.2B.C.D.2.根据国家发改委实施“阶梯水价”的有关文件要求,某市结合地方实际,决定从2016年1月1日起对居民生活用水按新的“阶梯水价”标准收费,某中学研究学习小组的同学们在社会实践活动中调查了30户家庭某月的用水量,如表所示则这30户家庭该用用水量的众数和中位数分别是( )A.25,27B.25,25C.30,27D.30,253.从分别标有数﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2,3的七张没有明显差别的卡片中,随机抽取一张,所抽卡片上的数的绝对值不小于2的概率是( )A.B.C.D.4.如图,PA切⊙O于点A,PO交⊙O于点B,若PA=6,BP=4,则⊙O的半径为( )A.B.C.2D.55.如图,扇形OAB是一个圆锥的侧面展开图,若小正方形方格的边长为1,则这个侧锥的底面半径为( )A.B.C.D.26.二次函数y=ax2+bx+c,自变量x与函数y的对应值如表下列说法正确的是( )A.抛物线的开口向下B.当x>﹣3时,y随x的增大而增大C.二次函数的最小值是﹣2D.抛物线的对称轴是x=﹣7.点P是⊙O外一点,PA、PB分别切⊙O于点A、B,∠P=70°,点C是⊙O上的点(不与点A、B重合),则∠ACB等于( )A.70°B.55°C.70°或110°D.55°或125°8.随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展,家用汽车已越来越多地进入普通家庭,抽样调查显示,截止2015年底某市汽车拥有量为
16.9万辆.己知2013年底该市汽车拥有量为10万辆,设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x,根据题意列方程得( )A.10(1+x)2=
16.9B.10(1+2x)=
16.9C.10(1﹣x)2=
16.9D.10(1﹣2x)=
16.99.如图,坐标平面上,二次函数y=﹣x2+4x﹣k的图形与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,其顶点为D,且k>0.若△ABC与△ABD的面积比为14,则k值为何?( )A.1B.C.D.10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论
①c<0,
②abc>0,
③a﹣b+c>0,
④2a﹣3b=0,
⑤c﹣4b>0.其中正确结论的个数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)11.使有意义的x的取值范围是 .12.某校甲乙两个体操队队员的平均身高相等,甲队队员身高的方差是S甲2=
1.9,乙队队员身高的方差是S乙2=
1.2,那么两队中队员身高更整齐的是 队.(填“甲”或“乙”)13.一人乘雪橇沿坡比1的斜坡笔直滑下,滑下的距离10米,则此人下降的高度为 米.14.关于x的一元一二次方程mx2﹣2x+l=0有两个实数根,则m的取值范围是 .15.已知二次函数y=﹣3x2+6x﹣5图象上两点P1(xl,y1),P2(x2,y2),当0≤x1<l,2≤x2<3时,y1与y2的大小关系为y1 y2.16.如图,在平行四边形ABCD中,AB=3,AD=4,AF交BC于E,交DC的延长线于F,且CF=1,则CE的长为 .17.如图,OAB是半径为
6、圆心角∠AOB=30°的扇形,AC切弧AB于点A交半径OB的延长线于点C,则图中阴影部分的面积为 (答案保留π).18.如图,△ABC内接于⊙O,AD⊥BC于点D,AD=2cm,AB=4cm,AC=3cm,则⊙O的直径是 .
三、解答题(本大题共10大题,满分24分)19.(6分)计算sin30°﹣cos45°+tan260°.20.(6分)解不等式组21.(6分)如图,抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.
(1)点A的坐标为 ,点B的坐标为 ,点C的坐标为 .
(2)设抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为M,求四边形ABMC的面积.22.(6分)如图,在4×4的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.
(1)填空∠ABC= °,AC= ;
(2)判断△ABC与△DEF是否相似,并证明你的结论.23.已知二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴交于点C(0,﹣6),与x轴的一个交点坐标是A(﹣2,0).
(1)求二次函数的解析式,并写出顶点D的坐标;
(2)将二次函数的图象沿x轴向左平移个单位长度,当y<0时,求x的取值范围.24.某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动,活动后,就活动的5个主题进行了抽样调查(每位同学只选最关注的一个),根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图.根据图中提供的信息,解答下列问题
(1)这次调查的学生共有多少名?
(2)请将条形统计图补充完整,并在扇形统计图中计算出“进取”所对应的圆心角的度数.
(3)如果要在这5个主题中任选两个进行调查,根据
(2)中调查结果,用树状图或列表法,求恰好选到学生关注最多的两个主题的概率(将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A、B、C、D、E).25.如图,为了测出旗杆AB的高度,在旗杆前的平地上选择一点C,测得旗杆顶部A的仰角为45°,在C、B之间选择一点D(C、D、B三点共线),测得旗杆顶部A的仰角为75°,且CD=8m
(1)求点D到CA的距离;
(2)求旗杆AB的高.(注结果保留根号)26.(2016•鄂州)某宾馆有50个房间供游客居住,当每个房间定价120元时,房间会全部住满,当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲,如果游客居住房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用,设每个房间定价增加10x元(x为整数).
(1)直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数关系式.
(2)设宾馆每天的利润为W元,当每间房价定价为多少元时,宾馆每天所获利润最大,最大利润是多少?
(3)某日,宾馆了解当天的住宿的情况,得到以下信息
①当日所获利润不低于5000元,
②宾馆为游客居住的房间共支出费用没有超过600元,
③每个房间刚好住满2人.问这天宾馆入住的游客人数最少有多少人?27.如图,在△BCE中,点A是边BE上一点,以AB为直径的⊙O与CE相切于点D,AD∥OC,点F为OC与⊙O的交点,连接AF.
(1)求证CB是⊙O的切线;
(2)若∠ECB=60°,AB=6,求图中阴影部分的面积.28.如图,抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A(﹣2,0),点B(4,0),点D(2,4),与y轴交于点C,作直线BC,连接AC,CD.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)E是抛物线上的点,求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标;
(3)点M在y轴上且位于点C上方,点N在直线BC上,点P为第一象限内抛物线上一点,若以点C,M,N,P为顶点的四边形是菱形,求菱形的边长.九年级(上)期末数学试卷答案解析
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)1.如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=1,AC=2,则tanA的值为( )A.2B.C.D.【考点】锐角三角函数的定义.【分析】根据tanA是角A的对边比邻边,直接得出答案tanA的值.【解答】解∵∠C=90°,BC=1,AC=2,∴tanA==.故选B.【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义,熟练记忆锐角三角函数的定义是解决问题的关键. 2.根据国家发改委实施“阶梯水价”的有关文件要求,某市结合地方实际,决定从2016年1月1日起对居民生活用水按新的“阶梯水价”标准收费,某中学研究学习小组的同学们在社会实践活动中调查了30户家庭某月的用水量,如表所示则这30户家庭该用用水量的众数和中位数分别是( )A.25,27B.25,25C.30,27D.30,25【考点】众数;中位数.【分析】根据众数、中位数的定义即可解决问题.【解答】解因为30出现了9次,所以30是这组数据的众数,将这30个数据从小到大排列,第
15、16个数据的平均数就是中位数,所以中位数是25,故选D.【点评】本题考查众数、中位数的定义,解题的关键是记住众数、中位数的定义,属于基础题,中考常考题型. 3.从分别标有数﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2,3的七张没有明显差别的卡片中,随机抽取一张,所抽卡片上的数的绝对值不小于2的概率是( )A.B.C.D.【考点】概率公式;绝对值.【分析】由标有数﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2,3的七张没有明显差别的卡片中,随机抽取一张,所抽卡片上的数的绝对值不小于2的有4种情况,直接利用概率公式求解即可求得答案.【解答】解∵标有数﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2,3的七张没有明显差别的卡片中,随机抽取一张,所抽卡片上的数的绝对值不小于2的有4种情况,∴随机抽取一张,所抽卡片上的数的绝对值不小于2的概率是.故选D.【点评】此题考查了概率公式的应用.注意找到绝对值不小于2的个数是关键. 4.如图,PA切⊙O于点A,PO交⊙O于点B,若PA=6,BP=4,则⊙O的半径为( )A.B.C.2D.5【考点】切线的性质;勾股定理.【分析】连接OA.根据勾股定理求解.【解答】解连接OA,∵PA切⊙O于点A,则∠OAP=90°,∴PA2+OA2=OP2.∵PA=6,BP=4,∴36+OA2=(OB+4)2,解得OA=.故选B.【点评】此题主要考查学生对切线的性质及勾股定理的运用. 5.如图,扇形OAB是一个圆锥的侧面展开图,若小正方形方格的边长为1,则这个侧锥的底面半径为( )A.B.C.D.2【考点】圆锥的计算;勾股定理.【分析】结合图形求出∠AOB的度数和OA的长,求出扇形的弧长,根据圆锥的底面圆周长是扇形的弧长计算即可.【解答】解由图形可知,∠AOB=90°,OA=2,则圆锥的底面周长为=,所以圆锥的底面半径==,故选B.【点评】本题考查的是圆锥的计算,掌握圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键. 6.二次函数y=ax2+bx+c,自变量x与函数y的对应值如表下列说法正确的是( )A.抛物线的开口向下B.当x>﹣3时,y随x的增大而增大C.二次函数的最小值是﹣2D.抛物线的对称轴是x=﹣【考点】二次函数的性质.【分析】选出3点的坐标,利用待定系数法求出函数的解析式,再根据二次函数的性质逐项分析四个选项即可得出结论.【解答】解将点(﹣4,0)、(﹣1,0)、(0,4)代入到二次函数y=ax2+bx+c中,得,解得,∴二次函数的解析式为y=x2+5x+4.A、a=1>0,抛物线开口向上,A不正确;B、﹣=﹣,当x≥﹣时,y随x的增大而增大,B不正确;C、y=x2+5x+4=﹣,二次函数的最小值是﹣,C不正确;D、﹣=﹣,抛物线的对称轴是x=﹣,D正确.故选D.【点评】本题考查了待定系数求函数解析式以及二次函数的性质,解题的关键是利用待定系数法求出函数解析式.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键. 7.点P是⊙O外一点,PA、PB分别切⊙O于点A、B,∠P=70°,点C是⊙O上的点(不与点A、B重合),则∠ACB等于( )A.70°B.55°C.70°或110°D.55°或125°【考点】弦切角定理.【分析】分两种情况讨论点C在劣弧AB上;点C在优弧AMB上;再根据弦切角定理和切线的性质求得∠ACB.【解答】解如图,∵PA、PB分别切⊙O于点A、B,∴∠OAP=∠OBP=90°,∵∠P=70°,∴∠AOB=110°,∴∠ACB=55°,当点C在劣弧AB上,∵∠AOB=110°,∴弧ACB的度数为250°,∴∠ACB=125°.故选D.【点评】本题考查了弦切角定理和和切线的性质,是基础知识要熟练掌握. 8.随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展,家用汽车已越来越多地进入普通家庭,抽样调查显示,截止2015年底某市汽车拥有量为
16.9万辆.己知2013年底该市汽车拥有量为10万辆,设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x,根据题意列方程得( )A.10(1+x)2=
16.9B.10(1+2x)=
16.9C.10(1﹣x)2=
16.9D.10(1﹣2x)=
16.9【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.【分析】根据题意可得2013年底该市汽车拥有量×(1+增长率)2=2015年底某市汽车拥有量,根据等量关系列出方程即可.【解答】解设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x,根据题意,可列方程10(1+x)2=
16.9,故选A.【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程,关键是掌握平均变化率的方法,若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b. 9.如图,坐标平面上,二次函数y=﹣x2+4x﹣k的图形与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,其顶点为D,且k>0.若△ABC与△ABD的面积比为14,则k值为何?( )A.1B.C.D.【考点】抛物线与x轴的交点.【分析】求出顶点和C的坐标,由三角形的面积关系得出关于k的方程,解方程即可.【解答】解∵y=﹣x2+4x﹣k=﹣(x﹣2)2+4﹣k,∴顶点D(2,4﹣k),C(0,﹣k),∴OC=k,∵△ABC的面积=AB•OC=AB•k,△ABD的面积=AB(4﹣k),△ABC与△ABD的面积比为14,∴k=(4﹣k),解得k=.故选D.【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线的顶点式;根据三角形的面积关系得出方程是解决问题的关键. 10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论
①c<0,
②abc>0,
③a﹣b+c>0,
④2a﹣3b=0,
⑤c﹣4b>0.其中正确结论的个数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【考点】二次函数图象与系数的关系.【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号,由抛物线与y轴的交点得出c的值,然后根据图象经过的点的情况进行推理,进而对所得结论进行判断.【解答】解抛物线的开口向上,则a>0;对称轴为x=﹣=,即3b=﹣2a,故b<0;抛物线交y轴于负半轴,则c<0;
①由以上c<0,正确;
②由a>0,b<0,c<0,得abc>0,正确;
③由图知当x=﹣1时,y>0,则a﹣b+c>0,正确;
④由对称轴知3b=﹣2a,即3b+2a=0,错误;
⑤由对称轴知3b=﹣2a,即a=﹣b,函数解析式可写作y=﹣bx2+bx+c;由图知当x=2时,y>0,即﹣b×4+2b+c>0,即c﹣4b>0,故
⑤正确;∴正确的结论有四个
①②③⑤.故选D.【点评】本题考查了二次项系数与系数的关系对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右.(简称左同右异);常数项c决定抛物线与y轴交点抛物线与y轴交于(0,c);抛物线与x轴交点个数由△决定△=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)11.使有意义的x的取值范围是 x .【考点】二次根式有意义的条件.【分析】根据二次根式有意义的条件被开方数大于或等于0,可以求出x的范围.【解答】解由条件得3x﹣1≥0,解得x≥,故答案为x.【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件,关键是掌握二次根式中的被开方数必须是非负数,否则二次根式无意义. 12.某校甲乙两个体操队队员的平均身高相等,甲队队员身高的方差是S甲2=
1.9,乙队队员身高的方差是S乙2=
1.2,那么两队中队员身高更整齐的是 乙 队.(填“甲”或“乙”)【考点】方差.【分析】根据方差的定义,方差越小数据越稳定.【解答】解∵S甲2=
1.9,S乙2=
1.2,∴S甲2=
1.9>S乙2=
1.2,∴两队中队员身高更整齐的是乙队;故答案为乙.【点评】本题考查了方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越大,表明这组数据偏离平均数越大,即波动越大,数据越不稳定;反之,方差越小,表明这组数据分布比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定. 13.一人乘雪橇沿坡比1的斜坡笔直滑下,滑下的距离10米,则此人下降的高度为 5 米.【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.【分析】因为其坡比为1,则坡角为30度,然后运用正弦函数解答.【解答】解因为坡度比为1,即tanα=,∴α=30°.则其下降的高度=10×sin30°=5(米).故答案为5.【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的理解及运用,属于基础题,关键是掌握坡比的定义. 14.关于x的一元一二次方程mx2﹣2x+l=0有两个实数根,则m的取值范围是 m≤1且m≠0 .【考点】根的判别式.【分析】根据一元二次方程有两个实数根可知,△>0,列出关于m的不等式,解答即可.【解答】解∵关于x的一元一二次方程mx2﹣2x+l=0有两个实数根,∴△=b2﹣4ac=(﹣2)2﹣4m=4﹣4m>0,∴m<1.又∵mx2﹣2x+l=0是一元二次方程,∴m≠0,故m的取值范围是m≤1且m≠0.故答案为m≤1且m≠0.【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式,要明确
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;
(3)△<0⇔方程没有实数根. 15.已知二次函数y=﹣3x2+6x﹣5图象上两点P1(xl,y1),P2(x2,y2),当0≤x1<l,2≤x2<3时,y1与y2的大小关系为y1 ≥ y2.【考点】二次函数图象上点的坐标特征.【分析】先根据二次函数的解析式判断出抛物线的开口方向及顶点坐标,再根据抛物线的对称性求出P1关于对称轴对称的点的横坐标,根据抛物线在对称轴右侧的增减性即可解答.【解答】解由二次函数y=﹣3x2+6x﹣5可知,其图象开口向下,其顶点坐标为(1,﹣2),∵0≤x1<lP12≤x2<3,∴P1(xl,y1),P2(x2,y2)在对称轴两侧侧,∵P1关于对称轴的横坐标为1≤x1+1<2<x2,∵在对称轴的右侧此函数为减函数,∴y1≥y2.故答案为≥.【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征,能根据二次函数的解析式求出其顶点坐标及P1关于对称轴对称的点的横坐标是解答此题的关键. 16.如图,在平行四边形ABCD中,AB=3,AD=4,AF交BC于E,交DC的延长线于F,且CF=1,则CE的长为 .【考点】相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质.【分析】由两线段平行,同位角相等,即可证出三角形相似,根据相似三角形的对应边成比例,结合已有的量即可解决本题.【解答】解∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB=CD=3,BC∥AD,∵E为BC上一点,∴CE∥AD,∠FEC=∠FAD,∠FCE=∠D,∴△FCE∽△FDA,∴==,又∵CD=3,CF=1,AD=4,∴CE=,故答案为.【点评】本题考查相似三角形的判定定理和性质,解题的关键是相似三角形对应边成比例. 17.如图,OAB是半径为
6、圆心角∠AOB=30°的扇形,AC切弧AB于点A交半径OB的延长线于点C,则图中阴影部分的面积为 6﹣3π (答案保留π).【考点】扇形面积的计算.【分析】由AC切弧AB于点A,得到∠OAC=90°,再由∠AOB=30°,OA=6,得到AC=OA=×6=2,而S阴影部分=S△OAC﹣S扇形OAB,然后根据扇形和三角形的面积公式计算即可.【解答】解∵AC切弧AB于点A,∴∠OAC=90°,而∠AOB=30°,OA=6,∴AC=OA=×6=2,∴S阴影部分=S△OAC﹣S扇形OAB=×6×2﹣=6﹣3π.故答案为6﹣3π.【点评】本题考查了扇形的面积公式S=,其中n为扇形的圆心角的度数,R为圆的半径),或S=lR,l为扇形的弧长,R为半径.同时考查了切线的性质和含30度的直角三角形三边的关系. 18.如图,△ABC内接于⊙O,AD⊥BC于点D,AD=2cm,AB=4cm,AC=3cm,则⊙O的直径是 6cm .【考点】相似三角形的判定与性质;圆周角定理.【分析】作⊙O的直径AE,连CE,则∠ACE=90°,可得Rt△AEC∽Rt△ABD,得到=,把AD=2cm,AB=4cm,AC=3cm代入即可求出直径AE.【解答】解作⊙O的直径AE,连CE,如图,∵AE为直径,∴∠ACE=90°,又∵∠E=∠B,∴Rt△AEC∽Rt△ABD,∴=,而AD=2cm,AB=4cm,AC=3cm,∴AE==×4cm=6cm.所以⊙O的直径是6cm.故答案为6cm.【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似;相似三角形对应边的比相等.
三、解答题(本大题共10大题,满分24分)19.计算sin30°﹣cos45°+tan260°.【考点】特殊角的三角函数值.【分析】将特殊角的三角函数值代入求值即可.【解答】解原式=﹣×+×()2=﹣+×3=1.【点评】本题考查了特殊角的三角函数值.熟记特殊角的三角函数值即可解题,属于基础题型. 20.解不等式组【考点】解一元一次不等式组.【分析】分别解出两个不等式的解集,然后确定解集的公共部分就可以求出不等式的解集.【解答】解解
(1)得到x≥﹣2,解
(2)得到x≤6则不等式组的解集是﹣2≤x≤6.【点评】不等式组解集确定的法则是同大取大、同小取小、大小小大取中间,大大小小是无解.在数轴上的反映就是取它们都含有的公共部分. 21.如图,抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.
(1)点A的坐标为 (﹣1,0) ,点B的坐标为 (3,0) ,点C的坐标为 (0,﹣3) .
(2)设抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为M,求四边形ABMC的面积.【考点】二次函数综合题;二次函数图象上点的坐标特征;三角形的面积.【分析】
(1)把y=0和x=0分别代入解析式即可求出A、B、C的坐标;
(2)把解析式化成顶点式即可求出M的坐标,过M作MN⊥X轴于N,这样四边形ACMB的面积就转化成△ACO、梯形OCMN、△BMN的面积,根据点的坐标求出各个面积代入即可.【解答】
(1)解当y=0时,x2﹣2x﹣3=0,解得x1=3,x2=﹣1,∴点A的坐标是(﹣1,0),点B的坐标是(3,0),当x=0时,y=﹣3,∴点C的坐标是(0,﹣3),故答案为(﹣1,0),(3,0),(0,﹣3);
(2)解y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,∴M(1,﹣4),过M作MN⊥X轴于N,则ON=1,MN=4,BN=3﹣1=2,OA=1,OC=3,∴四边形ABMC的面积S=S△COA+S梯形CONM+S△BNM,=OA×OC+×(OC+MN)×ON+×MN×BN=×1×3+×(3+4)×1+×2×4,=9.答四边形ABMC的面积是9.【点评】本题主要考查了二次函数上点的坐标特点,三角形和梯形的面积等知识点,解此题的关键是通过作辅助线把不规则的四边形转化成规则的图形.题型较好,比较典型. 22.如图,在4×4的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.
(1)填空∠ABC= 135 °,AC= 2 ;
(2)判断△ABC与△DEF是否相似,并证明你的结论.【考点】相似三角形的判定.【分析】
(1)先在Rt△BCG中根据等腰直角三角形的性质求出∠GBC的度数,再根据∠ABC=∠GBC+∠ABG即可得出∠ABC的度数;在Rt△ACH中利用勾股定理即可求出AC的长;
(2)根据相似三角形的判定定理,夹角相等,对应边成比例即可证明△ABC与△DEF相似.【解答】解
(1)∵△BCG是等腰直角三角形,∴∠GBC=45°,∵∠ABG=90°,∴∠ABC=∠GBC+∠ABG=90°+45°=135°;∵在Rt△AHC中,AH=4,CH=2,∴AC===2.故答案为135,;
(2)△ABC∽△DEF.证明∵在4×4的正方形方格中,∠ABC=∠DEF=135°,∴∠ABC=∠DEF.∵AB=2,BC=2,FE=2,DE=,∴==,==.∴=,∴△ABC∽△DEF.【点评】此题考查的是相似三角形的判定,解答此题的关键是认真观察图形,得出两个三角形角和角,边和边的关系. 23.(2016•黔南州)已知二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴交于点C(0,﹣6),与x轴的一个交点坐标是A(﹣2,0).
(1)求二次函数的解析式,并写出顶点D的坐标;
(2)将二次函数的图象沿x轴向左平移个单位长度,当y<0时,求x的取值范围.【考点】抛物线与x轴的交点;二次函数图象与几何变换.【分析】
(1)将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值,从而得到抛物线的解析式,然后依据配方法可求得抛物线的顶点坐标;
(2)依据抛物线的解析式与平移的规划规律,写出平移后抛物线的解析式,然后求得抛物线与x轴的交点坐标,最后依据y<0可求得x的取值范围.【解答】解
(1)∵把C(0,﹣6)代入抛物线的解析式得C=﹣6,把A(﹣2,0)代入y=x2+bx﹣6得b=﹣1,∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣6.∴y=(x﹣)2﹣.∴抛物线的顶点坐标D(,﹣).
(2)二次函数的图形沿x轴向左平移个单位长度得y=(x+2)2﹣.令y=0得(x+2)2﹣=0,解得x1=,x2=﹣.∵a>0,∴当y<0时,x的取值范围是﹣<x<.【点评】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次函数的解析式,掌握相关知识是解题的关键. 24.(2016•安顺)某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动,活动后,就活动的5个主题进行了抽样调查(每位同学只选最关注的一个),根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图.根据图中提供的信息,解答下列问题
(1)这次调查的学生共有多少名?
(2)请将条形统计图补充完整,并在扇形统计图中计算出“进取”所对应的圆心角的度数.
(3)如果要在这5个主题中任选两个进行调查,根据
(2)中调查结果,用树状图或列表法,求恰好选到学生关注最多的两个主题的概率(将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A、B、C、D、E).【考点】列表法与树状图法;扇形统计图;条形统计图.【分析】
(1)根据“平等”的人数除以占的百分比得到调查的学生总数即可;
(2)求出“互助”与“进取”的学生数,补全条形统计图,求出“进取”占的圆心角度数即可;
(3)列表或画树状图得出所有等可能的情况数,找出恰好选到“C”与“E”的情况数,即可求出所求的概率.【解答】解
(1)56÷20%=280(名),答这次调查的学生共有280名;
(2)280×15%=42(名),280﹣42﹣56﹣28﹣70=84(名),补全条形统计图,如图所示,根据题意得84÷280=30%,360°×30%=108°,答“进取”所对应的圆心角是108°;
(3)由
(2)中调查结果知学生关注最多的两个主题为“进取”和“感恩”用列表法为用树状图为共20种情况,恰好选到“C”和“E”有2种,∴恰好选到“进取”和“感恩”两个主题的概率是.【点评】此题考查了列表法与树状图法,扇形统计图,以及条形统计图,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 25.(2016•徐州)如图,为了测出旗杆AB的高度,在旗杆前的平地上选择一点C,测得旗杆顶部A的仰角为45°,在C、B之间选择一点D(C、D、B三点共线),测得旗杆顶部A的仰角为75°,且CD=8m
(1)求点D到CA的距离;
(2)求旗杆AB的高.(注结果保留根号)【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.【分析】
(1)作DE⊥AC于点E,根据sinC=即可得DE;
(2)由∠C=45°可得CE,由tan∠EAD=可得AE,即可得AC的长,再在Rt△ABC中,根据sinC=即可得AB的长.【解答】解
(1)如图,作DE⊥AC于点E,再Rt△CDE中,sinC=,∴=,∴DE=4,答点D到CA的距离为4;
(2)在Rt△CDE中,∠C=45°,∴△CDE为等腰直角三角形,∴CE=DE=4,∵∠ADB=75°,∠C=45°,∴∠EAD=∠ADB﹣∠C=30°,∴在Rt△ADE中,tan∠EAD=,∴=,∴AE=4,∴AC=AE+CE=4+4,在Rt△ABC中,sinC=,∴=,∴AB=4+4,答旗杆AB的高为(4+4)m.【点评】本题考查了解直角三角形,用到的知识点是仰角的定义、特殊角的三角函数值,要能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形. 26.(2016•鄂州)某宾馆有50个房间供游客居住,当每个房间定价120元时,房间会全部住满,当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲,如果游客居住房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用,设每个房间定价增加10x元(x为整数).
(1)直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数关系式.
(2)设宾馆每天的利润为W元,当每间房价定价为多少元时,宾馆每天所获利润最大,最大利润是多少?
(3)某日,宾馆了解当天的住宿的情况,得到以下信息
①当日所获利润不低于5000元,
②宾馆为游客居住的房间共支出费用没有超过600元,
③每个房间刚好住满2人.问这天宾馆入住的游客人数最少有多少人?【考点】二次函数的应用;一元一次不等式组的应用.【分析】
(1)根据每天游客居住的房间数量等于50﹣减少的房间数即可解决问题.
(2)构建二次函数,利用二次函数的性质解决问题.
(3)根据条件列出不等式组即可解决问题.【解答】解
(1)根据题意,得y=50﹣x,(0≤x≤50,且x为整数);
(2)W=(120+10x﹣20)(50﹣x)=﹣10x2+400x+5000=﹣10(x﹣20)2+9000,∵a=﹣10<0∴当x=20时,W取得最大值,W最大值=9000元,答当每间房价定价为320元时,宾馆每天所获利润最大,最大利润是9000元;
(3)由解得20≤x≤40∵房间数y=50﹣x,又∵﹣1<0,∴当x=40时,y的值最小,这天宾馆入住的游客人数最少,最少人数为2y=2(﹣x+50)=20(人).【点评】本题考查二次函数的应用、一元一次不等式等知识,解题的关键是构建二次函数解决实际问题中的最值问题,属于中考常考题型. 27.(2016•威海)如图,在△BCE中,点A是边BE上一点,以AB为直径的⊙O与CE相切于点D,AD∥OC,点F为OC与⊙O的交点,连接AF.
(1)求证CB是⊙O的切线;
(2)若∠ECB=60°,AB=6,求图中阴影部分的面积.【考点】切线的判定与性质;扇形面积的计算.【分析】
(1)欲证明CB是⊙O的切线,只要证明BC⊥OB,可以证明△CDO≌△CBO解决问题.
(2)首先证明S阴=S扇形ODF,然后利用扇形面积公式计算即可.【解答】
(1)证明连接OD,与AF相交于点G,∵CE与⊙O相切于点D,∴OD⊥CE,∴∠CDO=90°,∵AD∥OC,∴∠ADO=∠DOC,∠DAO=∠BOC,∵OA=OD,∴∠ADO=∠DAO,∴∠DOC=∠BOC,在△CDO和△CBO中,\,∴△CDO≌△CBO,∴∠CBO=∠CDO=90°,∴CB是⊙O的切线.
(2)由
(1)可知∠DOA=∠BCO,∠DOC=∠BOC,∵∠ECB=60°,∴∠DCO=∠BCO=∠ECB=30°,∴∠DOC=∠BOC=60°,∴∠DOA=60°,∵OA=OD,∴△OAD是等边三角形,∴AD=OD=OF,∵∠GOF=∠ADO,在△ADG和△FOG中,,∴△ADG≌△FOG,∴S△ADG=S△FOG,∵AB=6,∴⊙O的半径r=3,∴S阴=S扇形ODF==π.【点评】本题考查切线的性质和判定、扇形的面积公式,记住切线的判定方法和性质是解决问题的关键,学会把求不规则图形面积转化为求规则图形面积,属于中考常考题型. 28.(2016•威海)如图,抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A(﹣2,0),点B(4,0),点D(2,4),与y轴交于点C,作直线BC,连接AC,CD.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)E是抛物线上的点,求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标;
(3)点M在y轴上且位于点C上方,点N在直线BC上,点P为第一象限内抛物线上一点,若以点C,M,N,P为顶点的四边形是菱形,求菱形的边长.【考点】二次函数综合题.【分析】
(1)用待定系数法求出抛物线解析式即可.
(2)分
①点E在直线CD上方的抛物线上和
②点E在直线CD下方的抛物线上两种情况,用三角函数求解即可;
(3)分
①CM为菱形的边和
②CM为菱形的对角线,用菱形的性质进行计算;【解答】解
(1)∵抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A(﹣2,0),点B(4,0),点D(2,4),∴设抛物线解析式为y=a(x+2)(x﹣4),∴﹣8a=4,∴a=﹣,∴抛物线解析式为y=﹣(x+2)(x﹣4)=﹣x2+x+4;
(2)如图1,
①点E在直线CD上方的抛物线上,记E′,连接CE′,过E′作E′F′⊥CD,垂足为F′,由
(1)知,OC=4,∵∠ACO=∠E′CF′,∴tan∠ACO=tan∠E′CF′,∴=,设线段E′F′=h,则CF′=2h,∴点E′(2h,h+4)∵点E′在抛物线上,∴﹣(2h)2+2h+4=h+4,∴h=0(舍)h=∴E′(1,),
②点E在直线CD下方的抛物线上,记E,同
①的方法得,E(3,),点E的坐标为(1,),(3,)
(3)
①CM为菱形的边,如图2,Ⅰ、在第一象限内取点P′,过点P′作P′N′∥y轴,交BC于N′,过点P′作P′M′∥BC,交y轴于M′,∴四边形CM′P′N′是平行四边形,∵四边形CM′P′N′是菱形,∴P′M′=P′N′,过点P′作P′Q′⊥y轴,垂足为Q′,∵OC=OB,∠BOC=90°,∴∠OCB=45°,∴∠P′M′C=45°,设点P′(m,﹣m2+m+4),在Rt△P′M′Q′中,P′Q′=m,P′M′=m,∵B(4,0),C(0,4),∴直线BC的解析式为y=﹣x+4,∵P′N′∥y轴,∴N′(m,﹣m+4),∴P′N′=﹣m2+m+4﹣(﹣m+4)=﹣m2+2m,∴m=﹣m2+2m,∴m=0(舍)或m=4﹣2,菱形CM′P′N′的边长为(4﹣2)=4﹣4.Ⅱ、如图4,当点D和点P重合时,过点N作MN∥CD交y轴于M,∵D(2,4),∵直线BC的解析式为y=﹣x+4,∴N(2,2),∴M(0,2),此时四边形CDNM是正方形,符合题意,即P(2,4)
②CM为菱形的对角线,如图3,在第一象限内抛物线上取点P,过点P作PM∥BC,交y轴于点M,连接CP,过点M作MN∥CP,交BC于N,∴四边形CPMN是平行四边形,连接PN交CM于点Q,∵四边形CPMN是菱形,∴PQ⊥CM,∠PCQ=∠NCQ,∵∠OCB=45°,∴∠NCQ=45°,∴∠PCQ=45°,∴∠CPQ=∠PCQ=45°,∴PQ=CQ,设点P(n,﹣n2+n+4),∴CQ=n,OQ=n+4,∴n+4=﹣n2+n+4,∴n=0(舍),∴此种情况不存在.∴菱形的边长为4﹣4或2.【点评】此题是二次函数综合题,主要考查了待定系数法求抛物线解析式,菱形的性质,平行四边形的性质,判定,锐角三角函数,解本题的关键是用等角的同名三角函数值相等建立方程求解. 用水量(吨)1520253035户数36795x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣10…y…40﹣2﹣204…用水量(吨)1520253035户数36795x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣10…y…40﹣2﹣204…ABCDEA(A,B)(A,C)(A,D)(A,E)B(B,A)(B,C)(B,D)(B,E)C(C,A)(C,B)(C,D)(C,E)D(D,A)(D,B)(D,C)(D,E)E(E,A)(E,B)(E,C)(E,D)。