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3、(2002•深圳)D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点.若S△ADE=l,则S△ABC=.考点三角形中位线定理;相似三角形的判定与性质分析根据相似三角形的相似比求解.解答解∵E分别是△ABC的边AB、AC的中点,∴DE是中位线∴△ADE∽△ABC,∴其相似比为12∵S△ADE=1,∴S△ABC=4.点评主要考查了三角形中位线定理和相似三角形的性质面积比等与相似比的平方.
10、(2002•深圳)下列两个三角形不一定相似的是( )A、两个等边三角形B、两个全等三角形C、两个直角三角形D、两个顶角是120°的等腰三角形考点相似三角形的判定专题常规题型分析根据相似三角形的判定方法及各三角形的性质进行分析,从而得到答案.解答解A相似,因为其三个角均相等,符合相似三角形的判定;B相似,因为全等三角形是特殊的相似三角形;C不相似,因为没有指明其另一锐角相等或其两直角边对应成比例;D相似,因为其三个角均相等,符合相似三角形的的判定;故选C.点评本题考查对相似三角形判定定理的理解及运用.
16、(2005•浙江)如图,在▱ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,且AE=CF.求证BE=DF.http://www.jyeoo.com/考点平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质专题证明题分析本题考查平行四边形性质的应用,要证BE=DF,可以通过证△ABE≌△CDF转而证得边BE=DF.要证△ABE≌△CDF,由平行四边形的性质知AB=CD,AB∥CD,∴∠BAE=∠DCF,又知AE=CF,于是可由SAS证明△ABE≌△CDF,从而BE=DF得证.本题还可以通过证△ADF≌△CBE来证线段相等.解答解证法一∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD.∴∠BAE=∠DCF.∵AE=CF,∴△ABE≌△CDF.∴BE=DF.证法二∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC.∴∠DAF=∠BCE.∵AE=CF,∴AF=AE+EF=CF+EF=CE.∴△ADF≌△CBE.∴BE=DF.http://www.jyeoo.com/点评本题考查的是利用平行四边形的性质结合三角形全等来解决有关线段相等的证明.
18、(2002•深圳)阅读材料,解答问题命题如图,在锐角△ABC中,BC=a,CA=b,AB=c,△ABC的外接圆半径为R,则===2R.证明连接CO并延长交⊙O于点D,连接DB,则∠D=∠A.因为CD是⊙O的直径,所以∠DBC=90°,在Rt△DBC中,sin∠D==,所以sinA=,即=2R,同理=2R,=2R,===2R,请阅读前面所给的命题和证明后,完成下面
(1)
(2)两题
(1)前面阅读材料中省略了“=2R,=2R”的证明过程,请你把“=2R”的证明过程补写出来.
(2)直接运用阅读材料中命题的结论解题,已知锐角△ABC中,BC=,CA=,∠A=60°,求△ABC的外接圆半径R及∠C.http://www.jyeoo.com/http://www.jyeoo.com/考点三角形的外接圆与外心专题阅读型分析
(1)根据已知的证明过程,同样可以分别把∠B和b;∠C和c构造到直角三角形中,根据锐角三角函数进行证明;
(2)根据
(1)中证明的结论===2R,代入计算.解答证明
(1)连接CO并延长并⊙O于点D,连接DA,则∠A=∠B;因为CD是⊙O的直径,所以∠DAC=90°,在Rt△DAC中,sin∠D=,所以sinB=,即=2R;
(2)由命题结论知=,∴=,∴sinB=;∵BC>CA,∴∠A>∠B,∴∠B=45°,∴∠C=75°.由=2R,得R=1.点评构造直径所对的圆周角,是圆中构造直角三角形常用的一种方法.熟记这一结论===2R,便于计算.
20、(2002•深圳)http://www.jyeoo.com/如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,以HF为直径的圆与AB、BC、CD、DA相切,切点分别是E、F、G、H.其中H为AD的中点,F为BC的中点.连接HG、GF.
(1)若HG和GF的长是关于x的方程x2﹣6x+k=0的两个实数根,求⊙O的直径HF(用含k的代数式表示),并求出k的取值范围.
(2)如图,连接EG,DF.EG与HF交于点M,与DF交于点N,求的值.http://www.jyeoo.com/考点等腰梯形的性质;根的判别式;根与系数的关系;平行线分线段成比例专题几何综合题;压轴题分析
(1)根据直径所对的圆周角是直角得到直角三角形HGF,再根据勾股定理以及根与系数的关系求得HF的长,根据一元二次方程根的判别式求得k的取值范围;
(2)先利用平行线等分线段定理求得=1,再根据垂径定理可知EM=MG,从而利用合比性质求得=.解答解
(1)∵HG和GF的长是关于x的方程x2﹣6x+k=0的两个实数根,∴HG+GF=6,HG•GF=k,又∵HF为圆O的直径,∴△FHG为直角三角形,由勾股定理得HG2+GF2=HF2,即HF2=(HG+GF)2﹣2HG•GF=36﹣2k,http://www.jyeoo.com/∴HF=,∵方程x2﹣6x+k=0的两个实数根,∴△=36﹣4k>0,∴k<9;
(2)∵H为AD的中点,F为BC的中点,∴AH=AD,BF=FC∵AH=AE,HD=DG∴AE=DG,EB=GC∴AD∥BC∥EG∵=,=∴MN=,GN=∴==•∵==∴=1∵EM=MG∴=.点评主要考查了一元二次方程中根的判别式、等腰梯形的性质、平行线等分线段定理和圆中的有关性质.第
(2)问的解题关键是利用平行线等分线段定理先求得CN与NM之间的等量关系,再根据垂径定理找到GN和NE之间的关系.
3、(2003•深圳)已知三角形的两边a=3,b=7,第三边是c,且abc,则c的取值范围是A、4c7B、7c10C、4c10D、7c13考点三角形三边关系分析首先根据三角形的三边关系第三边>两边之差4,而<两边之和10,根据a<b<c即可得c的取值范围.解答解根据三角形三边关系可得4<c<10,∵a<b<c,∴7<c<10.故选B.点评已知三角形的两边,则第三边的范围是>已知的两边的差,而<两边的和.需注意本题的第三边要比其余两边较大的边要大.
6、(2003•深圳)计算的结果是A、1B、C、2-3D、考点特殊角的三角函数值分析根据特殊角的三角函数值计算.解答解∵cot45°=1,cos60°=,cos30°=,tan60°=,∴原式=•=1.故选A.点评本题考查特殊角三角函数值的计算,特殊角三角函数值计算在中考中经常出现,要熟练掌握.
9、(2003•深圳)如图,已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形,且AB=CD=5,AC=7,BE=3,下列命题错误的是A、△AED∽△BECB、∠AEB=90ºC、∠BDA=45ºD、图中全等的三角形共有2对考点圆周角定理;勾股定理;圆内接四边形的性质;相似三角形的判定专题几何综合题分析由圆周角的推论可以知道,∠ABE=∠DCE,∠BAE=∠CDE,而AB=DC,可求出△ABE≌△DCE,由此可得出三对全等三角形,也可得出BE=CE,AE=DE,那么AE=4,根据勾股定理的逆定理,可知△ABE为直角三角形,即∠AEB=90°.由此可得出其他正确的结论.解答解A、根据圆周角的推论,可得到∠ADE=∠BCE,∠DAE=∠CBE∴△AED∽BED,正确;B、由上面的分析可知,BE=CE=3,AB=5,AE=AC﹣CE=4,根据勾股定理的逆定理,△ABE为直角三角形,即∠AEB=90°,正确;C、AE=DE,∴∠EAD=∠EDA=45°,正确;D、从已知条件不难得到△ABE≌△DCE、△ABC≌△DCB、△ABD≌DCA共3对,错误.故选D.点评此题运用了圆周角定理的推论和相似三角形的判定、性质的有关知识.还用到了勾股定理的逆定理.
10、(2003•深圳)如图,直线l1//l2,AF FB=23,BC CD=21,则AE EC是A、52B、41C、21D、32http://www.jyeoo.com/考点相似三角形的判定与性质分析为了便于计算,可设AF=2x,BF=3x,BC=2y,CD=y,利用AG∥BD,可得△AGF∽△BDF,从而可求出AG,那么就可求出AE EC的值.解答解如图所示∵AF FB=23,BC CD=21∴设AF=2x,BF=3x,BC=2y,CD=y在△AGE和△CED中,=∴=∴AG=2y在△AGE和△CDE中,AE EC=AG CD=2y y=21故选C.http://www.jyeoo.com/点评根据三角形相似,找到各对相似三角形的共公边,建立起不同三角形之间的联系,是解答此题的关键.
13、(2003•深圳)如图,已知△ABC,∠ACB=90º,AC=BC,点E、F在AB上,∠ECF=45º,
(1)求证△ACF∽△BEC(8分)
(2)设△ABC的面积为S,求证AF·BE=2S(4分)考点勾股定理的逆定理;三角形三边关系;相似三角形的判定与性质专题证明题;探究型分析
(1)对应角相等,两三角形相似;
(2)根据相似三角形的性质证明AF•BE=AC•BC=2S;
(3)将△ACE绕O顺时针旋转90°到△CBG,边角边证明三角形全等,得出FG=EF,在证明△FBG为直角三角形,得出三边构成三角形的形状.解答证明
(1)∵AB=AC,∠ECF=45°∠ACB=90°,∴∠A=∠B=45°∠AFC=45°+∠BCF∠ECB=45°+∠BCF.∴∠AFC=∠ECB.∴△ACF∽△BEC.
(2)∵△ACF∽△BEC,∴,∴AF•BE=AC•BC.∵,∴AF•BE=2S.
(3)直角三角形.提示方法1将△ACE绕点C顺时针旋转90°到△BCG,使得AC与BC重合,连接FG.可以证明△FBG是直角三角形.方法2将△ACE和△BCF分别以CE、CF所在直线为轴折叠,则AC、BC的对应边正好重合与一条线段CG,连接GE、GF,则△FEG是直角三角形.方法3由
(2)可知AF•BE=AC•BC=.设AE=a,BF=b,EF=c.则,化简即得a2+b2=c2,所以以线段AE、EF、FB为边的三角形是以线段EF为斜边的直角三角形.点评综合运用了相似三角形的判定和性质,旋转的方法将AE、EF、FB巧妙的转化为三角形.
14、(2003•深圳)如图,已知A(5,-4),⊙A与x轴分别相交于点B、C,⊙A与y轴相且于点D,
(1)求过D、B、C三点的抛物线的解析式;
(2)连结BD,求tan∠BDC的值;
(3)点P是抛物线顶点,线段DE是直径,直线PC与直线DE相交于点F,∠PFD的平分线FG交DC于G,求sin∠CGF的值提示
(2)
1、求BD是我长;
2、求B到CD的距离,进而求出tan∠BDC;
(3)
1、求F的坐标;
2、求FG与线段AP的交点;
3、利用三角形内角平分线定理即可求出sin∠CGF考点二次函数综合题专题压轴题分析
(1)已知了A点坐标,即可得出圆的半径和OD的长,连接AB,过A作BC的垂线不难求出B、C的坐标.然后可用待定系数法求出抛物线的解析式.
(2)可取弧BC的中点H,连接AH、AB,那么根据垂径定理和圆周角定理不难得出∠BDC=∠BAC=∠BAH,由此可求出∠BDC的正切值.(也可通过求弦切角∠PCO的正切值来得出∠BDC的正切值)
(3)由于∠CGF=∠CDF+∠GFD=∠CDF+∠CFD,而∠PCO=∠PFD=∠BDC,那么∠CGF=∠CDF+∠∠BDC=∠HDF,在直角三角形AOH中,DA=AH,因此∠HDF=45°,即∠CGF=45°,据此可求出其正弦值.解答解
(1)D(0,﹣4),B(2,0),C(8,0);∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x﹣4∴y=﹣(x﹣5)2+
(2)由垂径定理,作弧BC的中点H,连接AH、AB,则∠BDC=∠BAH=∠BAC,∴tan∠BDC=tan∠BAH=,
(3)由
(1)可知P(5,),可求得直线PC的解析式为y=﹣x+6.设M为直线PC与y轴的交点,则M的坐标为(0,6).∴MD=MC=10,∴∠MCD=∠MDC,∴∠MCA=∠MDA=∠MDC+∠CDA=90°,∴∠MCO=∠BDC=∠PFD,∴∠CGF=∠GDF+∠PFD=∠GDF+∠BDC=∠HDF=45°,∵DA=AH=半径,∴sin∠CGF=sin45°=.http://www.jyeoo.com/点评本题主要考查了二次函数解析式的确定、切线的性质、弦切角定理和垂径定理等知识.
13、(2004•深圳)计算3tan30º+cot45º-2tan45º+2cos60º=_______.特殊的三角函数值
14、(2004•深圳)等腰三角形的两边长分别为2cm和5cm,则它的周长为___12cm_____.(三角形的三边关系)
15、(2004•深圳)在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,过点O作OE⊥BC,垂足为E,连结DE交AC于点P,过P作PF⊥BC,垂足为F,则的值是_____.(三角形的相似)
20、(2004•深圳)等腰梯形ABCD中,AB//CD,AD=BC,延长AB到E,使BE=CD,连结CE
(1)求证CE=CA;(5分)(三角形全等)
(2)上述条件下,若AF⊥CE于点F,且AF平分∠DAE,,求sin∠CAF的值(5分)(直角三角形三角函数值)
13、(2005•深圳)如图,已知,在△ABC和△DCB中,AC=DB,若不增加任何字母与辅助线,要使△ABC≌△DCB,则还需增加一个条件是_AB=DC_(三角形全等)
15、(2005•深圳)如图,口ABCD中,点E在边AD上,以BE为折痕,将△ABE向上翻折,点A正好落在CD上的点F,若△FDE的周长为8,△FCB的周长为22,则FC的长为_7_(三角形全等)
18、(8分)(2005•深圳)大楼AD的高为10米,远处有一塔BC,某人在楼底A处测得踏顶B处的仰角为60º,爬到楼顶D点测得塔顶B点的仰角为30º,求塔BC的高度(解直角三角形)
18、解作BE⊥AD的延长线于点E设ED=x在Rt△BDE中,BE=DE=在Rt△ABE中,AE=BE=3x由AE-ED=AD得3x-x=10解之得x=5所以BC=5+10=15答塔BC的高度为15米
22、(9分)(2005•深圳)AB是⊙O的直径,点E是半圆上一动点(点E与点A、B都不重合),点C是BE延长线上的一点,且CD⊥AB,垂足为D,CD与AE交于点H,点H与点A不重合(三角形全等)
(1)(5分)求证△AHD∽△CBD
(2)(4分)连HB,若CD=AB=2,求HD+HO的值1)证明略
(2)设OD=x,则BD=1-x,AD=1+x证Rt△AHD∽Rt△CBD则HD:BD=AD:CD即HD:1-x=1+x:2即HD=在Rt△HOD中,由勾股定理得OH==所以HD+HO=+=1注意当点E移动到使D与O重合的位置时,这时HD与HO重合,由Rt△AHO∽Rt△CBO,利用对应边的比例式为方程,可以算出HD=HO=,即HD+HO=19.(2006•深圳)如图4,王华晚上由路灯A下的B处走到C处时,测得影子CD的长为1米,继续往前走3米到达E处时,测得影子EF的长为2米,已知王华的身高是
1.5米,那么路灯A的高度AB等于(B)(解直角三角形)A.
4.5米 B.6米C.
7.2米 D.8米10.(2006•深圳)如图5,在□ABCD中,AB:AD=3:2,∠ADB=60°,那么cosA的值等于(A)(三角函数值)A. B.C. D.15.(2006•深圳)在△ABC中,AB边上的中线CD=3,AB=6,BC+AC=8,则△ABC的面积为7(中线的性质)5.(2007•深圳)已知三角形的三边长分别是3,8,;若的值为偶数,则的值有(D)A.6个B.5个C.4个D.3个(三角形三边关系)18.(2007•深圳)如图3,在梯形ABCD中,,,M是AE上一点,,(三角形全等)
(1)求证BE=ME.
(2)若AB=7,求MC的长.1证明∵AD∥BCEA⊥AD∴EA⊥BC…………………………1分∴∠AEB=∠CEM=90° 在Rt△MEB中,∠MBE=45°∴∠BME=∠MBE=45°…………………………2分∴BE=ME…………………………3分2解:在△ABE和△CME中∠BAE=∠MCE∠AEB=∠CEM…………………………4分BE=ME∴△ABE≌△CME…………………………5分∴MC=AB又∵AB=7∴MC=7…………………………6分20.(2007•深圳)如图5,某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处,在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上.该货船航行30分钟后到达B点,此时再测得该岛在北偏东30°的方向上,已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁.若继续向正东方向航行,该货船有无触礁危险?试说明理由.(解直角三角形)解法一:过点C作CD⊥AB垂足为点D∵∠CAB=30°∠BCD=30°∠ACD=60°…………………………1分∴∠ACB=30°∴BC=AB…………………………2分∴BC=AB=24×=12…………………………3分在Rt△BCD中∠BCD=…………………………4分∴°…………………………5分∵…………………………6分所以货船继续向正东方向行驶无触礁危险.…………………………7分解法二:过点C作CD⊥AB垂足为点D∵∠ACD=60°,∠CBD=60°…………………………1分在Rt△CAD中tan60°=∴=
①………………………2分在Rt△CBD中tan60°=∴=
②………………………3分
①×
②得=3∴AB+BD=3BD………………………4分∵AB=24×=12∴12+BD=3BD∴BD=6………………………5分∴CD=6>9………………………6分所以货船继续向正东方向行驶无触礁危险.………………………7分22.(2007•深圳)如图6,在平面直角坐标系中,正方形AOCB的边长为1,点D在轴的正半轴上,且OD=OB,BD交OC于点E.(三角形相似,直角三角形)
(1)求的度数.
(2)求点E的坐标.
(3)求过B、O、D三点的抛物线的解析式.(计算结果要求分母有理化.参考资料把分母中的根号化去,叫分母有理化.例如3;
②;
③等运算都是分母有理化22.1)解∵四边形AOCB是正方形∴………………………1分∵∴∴………………………2分∴………………………3分
(2)解法一∵∴∴△DEO∽△DBA∴………………………4分∵,∴…………………………5分∴∴点E的坐标是,)…………………………6分解法二设直线BD的解析式为∵B(-1,1),D(,0)∴…………………………4分解之得∴直线BD的解析式为…………………………5分令,得∴点E的坐标是,)…………………………6分
(3)解设过B、O、D三点的抛物线的解析式为∵B(-1,1),O(0,0),D(,0)………………………7分∴………………………8分解得,所以所求的抛物线的解析式为……………………9分
23.(2007•深圳)在Rt△ABC中,,,垂足为D,设BC=a,AC=b,AB=cCD=h,试证明.(直角三角形)
(4)解等式成立.理由如下证法一∵∴………………………7分∴∴∴∴∴10.(2009•深圳)如图3,在矩形中,于且则的长度是(D)(直角三角形的相似)A.3B.5C.D.14.(2009•深圳)如图5,小明利用升旗用的绳子测量学校旗杆的高度,他发现绳子刚好比旗杆长11米,若把绳子往外拉直,绳子接触地面点并与地面形成角时,绳子未端距点还有1米,那么旗杆的高度为10.(解直角三角形)16.(2009•深圳)如图6,在中,点是上一点,若则____________.(三角形边长的计算)20.(2009•深圳)(本题8分)如图9,四边形是正方形,与交于点(三角形全等)
(1)求证;(4分)
(2)若求的大小.(4分)20.
(1)证明四边形是正方形,1分即2分又3分4分
(2)解5分又6分9.(2010•深圳)如图1,△ABC中,AC=AD=BD,∠DAC=80º,则∠B的度数是(C)A.40ºB.35ºC.25ºD.20º(三角形外交和内角的关系)20.(2010•深圳)(本题7分)如图8,△AOB和△COD均为等腰直角三角形,∠AOB=∠COD=90º,D在AB上.(三角形全等)
(1)求证△AOB≌△COD;(4分)
(2)若AD=1,BD=2,求CD的长.(3分)
20、
(1)证明如右图1,,又,
(2)由有,,,故7.(2011•深圳)如图2,小正方形的边长均为1,则下列图形中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是(B)(三角形相似)图2A.B.C.D.12.(2011•深圳)如图4,△ABC与△DEF均为等边三角形,O为BC、EF的中点,则AD BE的值为(A)(三角形相似)A.B.C.5:3D.不确定15.(2011•深圳)如图6,这是由边长为1的等边三角形摆出的一系列图形,按这种方式摆下去,则第n个图形的(三角形周长规律)周长是=________2+n______________
(1)
(2)
(3)
(4)……图616.(2011•深圳)如图7,△ABC的内心在y轴上,点C的坐标为(2,0),点B的坐标为(0,2),直线AC的解析式为,则tanA的值是___________(三角形相似,三角函数值)21.(2011•深圳)(本题8分)如图11,一张矩形纸片ABCD,其中AD=8cm,AB=6cm,先沿对角线BD对折,点C落在点C′的位置,BC′交AD于点G
(1)求证AG=C′G;
(2)如图12,再折叠一次,使点D与点A重合,得折痕EN,EN交AD于点M,求EM的长(三角形全等)
21、
(1)证明如图4,由对折和图形的对称性可知,CD=C′D,∠C=∠C′=90°在矩形ABCD中,AB=CD,∠A=∠C=90°∴AB=C′D,∠A=∠C′在△ABG和△C′DG中,∵AB=C′D,∠A=∠C′,∠AGB=∠C′GD∴△ABG≌△C′DG(AAS)∴AG=C′G
(2)解如图5,设EM=x,AG=y,则有C′G=y,DG=8-y,,在Rt△C′DG中,∠DC′G=90°,C′D=CD=6,∴C′G2+C′D2=DG2即y2+62=(8-y)2解得∴C′G=cm,DG=cm又∵△DME∽△DC′G∴,即解得,即EM=(cm)∴所求的EM长为cmAEFBCPxyBCODAEFGABEFCDOPABECDABECDFDCBDABCEFDACBAODBHECABCDABCDEF图3CBADMEAC30°60°MB图5OyxDECBA图6图9hABDCbaABCDOE图3图5BCA30°DACDB图6ADCEGBF图9ABCD图8OABCABCDFEO图4……ABC图7xyO图11ABDCC′GG图12ABDCEC′NM图4ABDCC′GG图5ABDCEC′NM。