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第17讲等腰三角形与直角三角形考点1等腰三角形与等边三角形等腰三角形概念有两条边
①的三角形是等腰三角形.性质
1.等腰三角形是轴对称图形,一般有
②条对称轴.
2.性质1等腰三角形的两底角
③简写成“等边对
④”.
3.性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的
⑤、底边上的
⑥相互重合简写成“三线合一”.判定等角对
⑦.等边三角形概念有
⑧条边相等的三角形叫做等边三角形.性质
1.具有一般等腰三角形的所有性质;
2.等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于
⑨;
3.等边三角形是轴对称图形,共有⑩条对称轴.判定
1.三个角都⑪的三角形是等边三角形;
2.有一个角是⑫的等腰三角形是等边三角形.考点2直角三角形概念有一个角是⑬的三角形叫做直角三角形.性质
1.直角三角形的两个锐角⑭.
2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的⑮.
3.在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的⑯.
4.勾股定理在直角三角形中,两条直角边a、b的等于斜边c的,即=c
2.判定
1.有一个角是或两个锐角的三角形是直角三角形.
2.如果三角形一边上的中线等于这条边的,那么这个三角形为直角三角形.
3.勾股定理的逆定理如果三角形的两边的等于第三边的,那么这个三角形是直角三角形.【易错提示】勾股定理应用的前提是这个三角形必须是直角三角形,解题时,只能在同一直角三角形时,才能利用它求第三边长.
1.求等腰三角形腰上的高,在所给条件不确定的条件下,应按顶角为锐角和钝角两种情况来考虑1当顶角为锐角时,腰上的高在三角形内部;2当顶角为钝角时,腰上的高在三角形外部.
2.勾股定理的逆定理是判断一个三角形是否是直角三角形的重要方法,应先确定最大边,然后验证两条短边的平方和是否等于最大边的平方.命题点1等腰三角形的性质与判定例12014·丽水如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,若AB=6,CD=4,则△ABC的周长是.【思路点拨】因为△ABC是等腰三角形,利用三线合一可得BD=CD,即BC=2CD=8,从而求出△ABC的周长.方法归纳解答本题的关键是正确理解等腰三角形三线合一的内涵——由一推二.
1.2014·菏泽如图,直线l∥m∥n,等边△ABC的顶点B、C分别在直线n和m上,边BC与直线n所夹锐角为25°则∠α的度数为A.25°B.45°C.35°D.30°
2.2014·河南在△ABC中,按以下步骤作图
①分别以B、C为圆心,以大于BC的长为半径作弧,两弧相交于两点M、N;
②作直线MN交AB于点D,连接CD.若CD=AC,∠B=25°,则∠ACB的度数为.
3.2014·益阳如图,将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转,使边AB与AC重合得△ACD,BC的中点E的对应点为F,则∠EAF的度数是.命题点2直角三角形例2如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,E是AC中点,若DE=5,求AB的长.【思路点拨】因为DE是直角三角形的中线,利用直角三角形的性质可以求出AC的长,从而求出AB的长.【解答】方法归纳若题中已知直角三角形的中线长时,通常利用直角三角形的性质来求边长.
1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,CD是AB边上的中线,则CD的长是A.20B.10C.5D.
2.在Rt△ABC中,∠A=90°,∠B=60°,BC=
6.则AB的长为.
3.如图,△ABC中,∠B=60°,∠C=30°,AM是BC边上的中线,且AM=
4.求△ABC的周长.结果保留根号命题点3勾股定理例32013·呼和浩特如图所示,在一次课外实践活动中,同学们要测量某公园人工湖两侧A,B两个凉亭之间的距离,现测得AC=30m,BC=70m,∠CAB=120°,请计算A,B两个凉亭之间的距离.【思路点拨】作一条高线CD,构造直角三角形,利用∠CAB=120°和AC=30m求出CD和AD;然后在Rt△CDB中利用勾股定理求出DB的长.【解答】方法归纳利用勾股定理解决实际问题的前提条件是有直角三角形,作垂线构造直角三角形是解决这类问题的关键.
1.2014·滨州下列四组线段中,可以构成直角三角形的是A.4,5,6B.
1.5,2,
2.5C.2,3,4D.1,,
32.2013·安顺如图,有两棵树,一棵高10米,另一棵高4米,两树相距8米.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,问小鸟至少飞行A.8米B.10米C.12米D.14米
3.2014·宜宾菱形的周长为20cm,两个相邻的内角的度数之比为1∶2,则较长的对角线长度是cm.
4.某校八年级3班开展了手工制作竞赛,每个同学都在规定时间内完成一件手工作品.陈莉同学在制作手工作品的第
一、二个步骤是
①先裁下了一张长BC=20cm,宽AB=16cm的矩形纸片ABCD,
②将纸片沿着直线AE折叠,点D恰好落在BC边上的F处,……请你根据
①②步骤解答下列问题1找出图中∠FEC的余角;2计算EC的长.第1课时基础训练
1.2013·毕节已知等腰三角形一边长为4,另一边长为8,则这个等腰三角形的周长为A.16B.20或16C.20D.
122.2013·成都如图,在△ABC中,∠B=∠C,AB=5,则AC的长为A.2B.3C.4D.
53.2014·宜昌如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°以B为圆心,BC的长为半径画弧,交AC于点D,连接BD,则∠ABD=A.30°B.45°C.60°D.90°
4.已知如图,l∥m,等边△ABC的顶点B在直线m上,边BC与直线m所夹锐角为20°,则∠α的度数为A.60°B.45°C.40°D.30°
5.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°∠A=30°BD是∠ABC的平分线,CD=5cm则AB的长为A.5cmB.cmC.10cmD.cm
6.2014·南充如图,在△ABC中,AB=AC,且D为BC上一点,CD=AD,AB=BD,则∠B的度数为A.30°B.36°C.40°D.45°
7.如图是一张直角三角形的纸片,两直角边AC=6cm、BC=8cm,现将△ABC折叠,使点B与点A重合,折痕为DE,则BE的长为A.4cmB.5cmC.6cmD.10cm
8.2014·乐山如图,△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上,BD⊥AC于点D.则CD的长为A.B.C.D.
9.2013·绵阳如图,AC、BD相交于O,AB∥DC,AB=BC,∠D=40°,∠ACB=35°,则∠AOD=.
10.2013·聊城如图,在等边△ABC中,AB=6,点D是BC的中点.将△ABD绕点A旋转后得到△ACE,那么线段DE的长度为.
11.2013·黔西南如图,△ABC是等边三角形,点B、C、D、E在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E=度.
12.2013·桂林如图,在△ABC中,CA=CB,AD⊥BC,BE⊥AC,AB=5,AD=4,则AE=.
13.2013·莆田如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A、B、C、D的面积分别为2,5,1,
2.则最大的正方形E的面积是.
14.2014·宁波为解决停车难的问题,在如图一段长56米的路段开辟停车位,每个车位是长5米宽
2.2米的矩形,矩形的边与路的边缘成45°角,那么这个路段最多可以划出个这样的停车位.=
1.
415.2014·衡阳如图,在△ABC中,AB=AC,BD=CD,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.求证△BED≌△CFD.
16.2014·菏泽在△ABC中,AD平分∠BAC,BD⊥AD,垂足为D,过D作DE∥AC,交AB于E,若AB=5,求线段DE的长.
17.已知如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°点D在BC边上,且△ABD是等边三角形.若AB=2求△ABC的周长.结果保留根号
18.2014·襄阳如图,在△ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,BD与CE交于点O,给出下列三个条件
①∠EBO=∠DCO;
②BE=CD;
③OB=OC.1上述三个条件中,由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形?用序号写出所有成立的情形2请选择1中的一种情形,写出证明过程.
19.如图1,△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线交于O点,过O点作BC平行线交AB、AC于E、F.1请写出图1中线段EF与BE、CF间的关系,并说明理由.2如图2,△ABC中∠ABC的平分线与△ABC的外角平分线交于O,过点O作BC的平行线交AB于E,交AC于F.这时EF与BE、CF的关系又如何?请直接写出关系式,不需要说明理由.第2课时能力训练
1.等腰三角形一腰长为5,一边上的高为3,则底边长为.
2.已知等腰△ABC中,AD⊥BC于点D,且AD=BC,则△ABC底角的度数为A.45°B.75°C.45°或15°或75°D.60°
3.2014·荆门如图,在第1个△A1BC中,∠B=30°,A1B=CB;在边A1B上任取一点D,延长CA1到A2,使A1A2=A1D,得到第2个△A1A2D;在边A2D上任取一点E,延长A1A2到A3,使A2A3=A2E,得到第3个△A2A3E,…按此做法继续下去,则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是A.n·75°B.n-1·65°C.n-1·75°D.n·85°
4.2014·荆门如图1,正方形ABCD的边AB、AD分别在等腰直角△AEF的腰AE、AF上,点C在△AEF内,则有DF=BE不必证明.将正方形ABCD绕点A逆时针旋转一定角度α0°α90°后,连接BE、DF.请在图2中用实线补全图形,这时DF=BE还成立吗?请说明理由.
5.2014·自贡如图,四边形ABCD是正方形,BE⊥BF,BE=BF,EF与BC交于点G.1求证AE=CF;2若∠ABE=55°,求∠EGC的大小.
6.2014·泰安如图∠ABC=90°,D、E分别在BC、AC上,AD⊥DE,且AD=DE,点F是AE的中点,FD与AB相交于点M.1求证∠FMC=∠FCM;2AD与MC垂直吗?并说明理由.
7.2013·牡丹江在△ABC中,AB=2,AC=4,BC=2,以AB为边向△ABC外作△ABD,使△ABD为等腰直角三角形,求线段CD的长.
8.某课题学习小组对地图上的A、B、E、F、G、H、P、C八处地点进行观察、分析.如图所示,在讨论中得到了∠B=∠C=60°,B、F、H、C都在线段BC上,EF∥GH∥AC,PH∥GF∥AB的正确结论.接着又有两位同学各自提出了如下一个结论甲△ABC、△BEF、△FGH、△HPC均为等边三角形.乙线路B→A→C与线路B→E→F→G→H→P→C一样长.1请分别指出甲、乙两位同学的结论是否正确?2将1中你认为正确的结论给予证明.
9.2014·河南1问题发现如图1,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A、D、E在同一直线上,连接BE.填空
①∠AEB的度数为;
②线段AD、BE之间的数量关系是.2拓展探究如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°点A、D、E在同一直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连接BE.请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系,并说明理由.
10.如图1,在△ABC中,AE⊥BC于E,AE=BE,D是AE上的一点,且DE=CE,连接BD、AC.1试判断BD与AC的位置关系和数量关系,并说明理由.2如图2,若将△DCE绕点E旋转一定的角度后,试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化,并说明理由.3如图3,若将2中的等腰直角三角形都换成等边三角形,其他条件不变,
①试猜想BD与AC的数量关系,并说明理由.
②你能求出BD与AC的夹角度数吗?如果能,请直接写出夹角度数;如果不能,请说明理由.参考答案考点解读
①相等
②一
③相等
④等角
⑤中线
⑥高
⑦等边
⑧三
⑨60°⑩三⑪相等⑫60°⑬直角⑭互余⑮一半⑯一半平方和平方a2+b2直角互余一半平方和平方各个击破例120题组训练
1.C
2.105°
3.60°例2∵AD⊥BC,E是AC中点,DE=5,∴AC=2DE=
10.∵AB=AC,∴AB=
10.题组训练
1.C
2.
33.∵∠B=60°,∠C=30°,∴∠CAB=180°-∠B-∠C=90°.又∵AM是BC边上的中线,∴AM=BC.又∵AM=4,∴BC=2AM=
8.在Rt△ABC中,∠C=30°,∴AB=BC=4,AC==
4.∴△ABC的周长为AB+BC+AC=12+
4.例3过点C作CD⊥AB,垂足为D.∵AC=30m,∠CAB=120°,∴AD=15m,则CD=15m.在Rt△BDC中,BD==65m,∴AB=BD-AD=65-15=50m.题组训练
1.B
2.B
3.
4.1∠CFE、∠BAF.2设EC=xcm.则EF=DE=16-xcm,AF=AD=20cm.在Rt△ABF中,BF==12cm,FC=BC-BF=20-12=8cm.在Rt△EFC中,EF2=FC2+EC2,∴16-x2=82+x2,解得x=
6.∴EC的长为6cm.整合集训第1课时基础训练
1.C
2.D
3.B
4.C
5.D
6.B
7.B
8.C
9.75°
10.
11.
1512.
313.
1014.
1715.证明∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED=∠CFD=90°.∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵在△BED和△CFD中,∴△BED≌△CFD.
16.∵AD平分∠BAC,∴∠EAD=∠CAD.∵DE∥AC,∴∠CAD=∠ADE,∴∠EAD=∠ADE,∴AE=DE.∵BD⊥AD,∴∠ADB=90°,∴∠EAD+∠ABD=90°,∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°,∴∠ABD=∠BDE.∴DE=BE,∴DE=AB=×5=
2.
5.
17.∵△ABD是等边三角形,∴∠B=60°.在Rt△BAC中,∠C=30°,AB=2,∴BC=2AB=4,∴AC===2∴△ABC的周长为AB+BC+AC=2+4+2=6+
2.
18.1
①②;
①③.2选
①③证明如下,证明∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB.又∵∠EBO=∠DCO,∠ABC=∠EBO+∠OBC,∠ACB=∠DCO+∠OCB,∴∠ABC=∠ACB,∴AB=AC,即△ABC是等腰三角形.
19.1EF=BE+CF.理由如下∵OB平分∠ABC,∴∠ABO=∠OBC.∵EF∥BC,∴∠EOB=∠OBC,∴∠ABO=∠EOB,∴EO=BE.同理可证OF=CF.∴EF=BE+CF.2EF=BE-CF.理由如下理由∵OB平分∠ABC,∴∠ABO=∠OBC.∵EF∥BC,∴∠EOB=∠OBC∴∠ABO=∠EOB.∴EO=BE.同理可得OF=CF.∴EF=OE-OF=BE-CF.第2课时能力训练
1.8或或
2.C
3.C
4.补全图形如图所示.DF=BE还成立,理由是∵正方形ABCD和等腰△AEF,∴AD=ABAF=AE∠FAE=∠DAB=90°.∴∠FAD=∠EAB.在△ADF和△ABE中,∴△ADF≌△ABESAS,∴DF=BE.
5.1证明∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=90°.∵BE⊥BF,∴∠EBF=90°,∴∠ABE=∠CBF.∵AB=BC,∠ABE=∠CBF,BE=BF,∴△ABE≌△CBF∴AE=CF.2∵BE=BF,∠EBF=90°,∴∠BEF=45°.∵∠ABC=90°,∠ABE=55°,∴∠GBE=35°∴∠EGC=∠GBE+∠BEF=80°.
6.
(1)证明∵△ADE是等腰直角三角形,F是AE的中点,∴DF⊥AEDF=AF=EF.又∵∠ABC=90°,∠DCF∠AMF都与∠MAC互余,∴∠DCF=∠AMF.又∵∠DFC=∠AFM=90°,∴△DFC≌△AFM.∴CF=MF∴∠FMC=∠FCM.2AD⊥MC.理由如下由1知∠MFC=90°FD=FEFM=FC,∴∠FDE=∠FMC=45°∴DE∥CM,∴AD⊥MC.
7.∵AC=4,BC=2,AB=2,∴AC2+BC2=AB2,即△ACB为直角三角形,且∠ACB=90°.分三种情况如图1,过点D作DE⊥CB,垂足为点E.易证△ACB≌△BED,易得CD=
2.如图2,过点D作DE⊥CA,垂足为点E.易证△ACB≌△DEA,易得CD=
2.如图3,过点D作DE⊥CB,垂足为点E,过点A作AF⊥DE,垂足为点F.易证△AFD≌△DEB,易得CD=
3.
8.1甲、乙的结论都正确.2证明甲的结论∵∠B=∠C=60°,则∠A=60°.∴△ABC是等边三角形.又∵EF∥AC,∴∠EFB=60°,∠B=60°,则∠BEF=60°.∴△BEF是等边三角形,同理可证△FGH、△HPC是等边三角形.乙的结论∵△BEF、△FGH、△HPC都是等边三角形,∴BE+EF=2BF,FG+GH=2FH,HP+PC=2HC,∴BE+EF+FG+GH+HP+PC=2BF+FH+HC=2BC.又∵△ABC为等边三角形,∴AB+AC=2BC,∴AB+AC=BE+EF+FG+GH+HP+PC.即甲、乙的结论都正确.
9.1
①60°;
②AD=BE.2∠AEB=90°;AE=2CM+BE.理由∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°∴AC=BCCD=CE∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB即∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE∴AD=BE∠BEC=∠ADC=135°∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°.在等腰直角三角形DCE中,CM为斜边DE上的高,∴CM=DM=ME∴DE=2CM.∴AE=DE+AD=2CM+BE.
10.1BD与AC的位置关系是BD⊥AC,数量关系是BD=AC.理由如下如图1,延长BD交AC于点F.∵AE⊥BC于E,∴∠BED=∠AEC=90°.又∵AE=BE,DE=CE,∴△DBE≌△CAE,∴BD=AC,∠DBE=∠CAE,∠BDE=∠ACE.∵∠BDE=∠ADF∴∠ADF=∠ACE.∵∠ACE+∠CAE=90°,∴∠ADF+∠CAE=90°,∴BD⊥AC.2如图2,∵∠AEB=∠DEC=90°,∴∠AEB+∠AED=∠DEC+∠AED,即∠BED=∠AEC.∵AE=BE,DE=CE,∴△BED≌△AEC∴BD=AC,∠BDE=∠ACE,∠DBE=∠CAE.∵∠BFC=∠ACD+∠CDE+∠BDE=∠ACD+∠CDE+∠ACE=90°,∴BD⊥AC.3
①BD与AC的数量关系是BD=AC.∵△ABE和△DCE是等边三角形∴∠AEB=∠ABE=60°,AE=BE,∠DEC=∠DCE=60°,DE=CE,∴∠AEB+∠AED=∠DEC+∠AED,即∠BED=∠AEC∴△BED≌△AEC.∴BD=AC.
②BD与AC的夹角度数为60°或120°.。