还剩41页未读,继续阅读
本资源只提供10页预览,全部文档请下载后查看!喜欢就下载吧,查找使用更方便
文本内容:
2017年八年级上学期期中数学试卷两套合集九附答案解析中学八年级(上)期中数学试卷
一、选择题1.我国每年都发行一套生肖邮票.下列生肖邮票中,动物的“脑袋”被设计成轴对称图案的是( )A.B.C.D.2.下列各组线段能构成直角三角形的一组是( )A.5cm,9cm,12cmB.7cm,12cm,13cmC.30cm,40cm,50cmD.3cm,4cm,6cm3.下列各数中,互为相反数的一组是( )A.﹣2与B.﹣2与C.﹣2与﹣D.|﹣2|与24.下列的式子一定是二次根式的是( )A.B.C.D.5.下列条件不能证明△ABC和△DEF全等的是( )A.AB=DE,AC=EF,BC=DFB.AB=DE,∠A=∠E,∠B=∠DC.AB=DE,∠A=∠D,AC=DFD.AB=DE,∠A=∠D,BC=EF6.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,AE为BC边上的中线,且AE=4,AD=3,则△ABC的面积为( )A.6B.8C.10D.12
二、填空题7.的立方根是 .8.有意义,则a的取值范围为 .9.近似数
2.428×105精确到 位.10.一个三角形的三边长分别为6,8,10,则这个三角形最长边上的高是 .11.若实数m,n满足(m+1)2+=0,则= .12.在等腰三角形ABC中,∠A=80°,则∠B= .13.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,过点E作MN∥BC交AB于M,交AC于N,若BM+CN=9,则线段MN的长为 .14.如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,以△ABC的各边为边在△ABC外作三个正方形,S
1、S
2、S3分别表示这三个正方形的面积.若S1=81,S2=225,则S3= .15.如图,△ABC的三边AB、BC、CA长分别为
40、
50、60.其三条角平分线交于点O,则S△ABO S△BCO S△CAO= .16.如图,在三角形ABC中,∠BAC=70°,点D在BC上,且BD=BA,点E在BC的延长线上,且CE=CA,则∠DAE= °.
三、解答题(计102分)17.(10分)计算
(1)2﹣1+﹣+()0
(2)﹣|2﹣|﹣.18.(10分)
(1)化简求值÷3×,其中a=4.
(2)已知x﹣2的平方根是±2,2x+y+7的立方根是3,求x2+y2的算术平方根.19.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°.
(1)用尺规在边BC上求作一点P,使PA=PB(不写作法,保留作图痕迹).
(2)连结AP,如果AP平分∠CAB.求∠B的度数.20.(8分)已知a、b、c满足|a﹣|++(c﹣4)2=0.
(1)求a、b、c的值;
(2)判断以a、b、c为边能否构成三角形?若能构成三角形,此三角形是什么形状?并求出三角形的面积;若不能,请说明理由.21.(10分)如图,方格纸上画有AB、CD两条线段,按下列要求作图(不保留作图痕迹,不要求写出作法)
(1)请你在图
(1)中画出线段AB关于CD所在直线成轴对称的图形;
(2)请你在图
(2)中添上一条线段,使图中的3条线段组成一个轴对称图形,请画出所有情形.22.(10分)如图,已知AC⊥BC,BD⊥AD,AC与BD交于O,AC=BD.求证
(1)BC=AD;
(2)△OAB是等腰三角形.23.(10分)已知如图,在△ABC中,D是BC上的点,AD=AB,E、F分别是AC、BD的中点,AC=6.求EF的长.24.(10分)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,若AC=6,BC=8.
(1)求BE的长;
(2)求△ADB的面积.25.(12分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,以AB长为一边作△ABD,∠ADB=90°,取AB中点E,连DE、CE、CD.
(1)求证DE=CE
(2)当∠CAB+∠DBA= 时,△DEC是等边三角形,并说明理由
(3)当∠CAB+∠DBA=45°时,若CD=5,取CD中点F,求EF的长.26.(14分)在△ABC中(如图1),AB=17,BC=21,AC=10.
(1)求△ABC的面积(某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,如图2,请你按照他们的解题思路完成解解答过程).
(2)若点P在直线BC上,当△APC为直角三角形时,求CP的长.(利用
(1)的方法)
(3)若有一点Q在在直线BC上运动,当△AQC为等腰三角形时,求BQ的长. 参考答案与试题解析
一、选择题1.我国每年都发行一套生肖邮票.下列生肖邮票中,动物的“脑袋”被设计成轴对称图案的是( )A.B.C.D.【考点】利用轴对称设计图案.【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断后即可求解.【解答】解A中图形不是轴对称图形,故此选项错误;B中图形不是轴对称图形,故此选项错误;C中图形不是轴对称图形,故此选项错误;D中图形是轴对称图形,故此选项正确;故选D.【点评】本题考查了轴对称图形,图形两部分沿对称轴折叠后可重合,轴对称图形的关键是寻找对称轴. 2.下列各组线段能构成直角三角形的一组是( )A.5cm,9cm,12cmB.7cm,12cm,13cmC.30cm,40cm,50cmD.3cm,4cm,6cm【考点】勾股定理的逆定理.【分析】根据勾股定理的逆定理进行判断,如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形.【解答】解A.∵5cm,9cm,12cm不符合勾股定理的逆定理,∴不能构成直角三角形;B.∵7cm,12cm,13cm不符合勾股定理的逆定理,∴不能构成直角三角形;C.∵30cm,40cm,50cm符合302+402=502,∴能构成直角三角形;D.∵3cm,4cm,6cm不符合勾股定理的逆定理,∴不能构成直角三角形;故选C.【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理的运用,要判断一个角是不是直角,先要构造出三角形,然后知道三条边的大小,用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较,如果相等,则三角形为直角三角形;否则不是. 3.下列各数中,互为相反数的一组是( )A.﹣2与B.﹣2与C.﹣2与﹣D.|﹣2|与2【考点】实数的性质;立方根.【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号,求解即可.【解答】解A、都是﹣2,故A错误;B、只有符号不同的两个数互为相反数,故B正确;C、绝对值不同,故C错误;D、都是2,故D错误;故选B.【点评】本题考查了相反数的意义,一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号一个正数的相反数是负数,一个负数的相反数是正数,0的相反数是0.不要把相反数的意义与倒数的意义混淆. 4.下列的式子一定是二次根式的是( )A.B.C.D.【考点】二次根式的定义.【分析】根据二次根式的被开方数是非负数对每个选项做判断即可.【解答】解A、当x=0时,﹣x﹣2<0,无意义,故本选项错误;B、当x=﹣1时,无意义;故本选项错误;C、∵x2+2≥2,∴符合二次根式的定义;故本选项正确;D、当x=±1时,x2﹣2=﹣1<0,无意义;故本选项错误;故选C.【点评】本题考查了二次根式的定义.一般形如(a≥0)的代数式叫做二次根式.当a≥0时,表示a的算术平方根;当a小于0时,非二次根式(在一元二次方程中,若根号下为负数,则无实数根). 5.下列条件不能证明△ABC和△DEF全等的是( )A.AB=DE,AC=EF,BC=DFB.AB=DE,∠A=∠E,∠B=∠DC.AB=DE,∠A=∠D,AC=DFD.AB=DE,∠A=∠D,BC=EF【考点】全等三角形的判定.【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项分析判断后利用排除法求解.【解答】解A、AB=DE,AC=EF,BC=DF,符合“SSS”,能判定△ABC和△DEF全等,故本选项不符合题意;B、AB=DE,∠A=∠E,∠B=∠D,符合“ASA”,能判定△ABC和△DEF全等,故本选项不符合题意;C、AB=DE,∠A=∠D,AC=DF,符合“SAS”,能判定△ABC和△DEF全等,故本选项不符合题意;D、AB=DE,∠A=∠D,BC=EF,不符合“SAS”,不能判定△ABC和△DEF全等,故本选项符合题意.故选D.【点评】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有SSS、SAS、ASA、AAS,熟记各方法是解题的关键. 6.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,AE为BC边上的中线,且AE=4,AD=3,则△ABC的面积为( )A.6B.8C.10D.12【考点】直角三角形斜边上的中线;三角形的面积.【分析】根据直角三角形的性质的性质即可得到结论.【解答】解∵∠BAC=90°,AE为BC边上的中线,∴BC=2AE=8,∵AD⊥BC于点D,∴△ABC的面积=BC•AD=12,故选D.【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线,三角形的面积的计算,熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键.
二、填空题7.的立方根是 2 .【考点】立方根.【分析】根据算术平方根的定义先求出,再根据立方根的定义即可得出答案.【解答】解∵=8,∴的立方根是2;故答案为2.【点评】此题主要考查了立方根的定义,求一个数的立方根,应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方.由开立方和立方是互逆运算,用立方的方法求这个数的立方根.注意一个数的立方根与原数的性质符号相同. 8.有意义,则a的取值范围为 a≥1 .【考点】二次根式有意义的条件.【分析】根据二次根式有意义的条件被开方数大于或等于0,列不等式求解.【解答】解根据二次根式有意义的条件,得a﹣1≥0,解得a≥1.故a的取值范围为a≥1.【点评】本题考查的知识点为二次根式的被开方数是非负数. 9.近似数
2.428×105精确到 百 位.【考点】近似数和有效数字.【分析】一个数精确到了哪一位,应当看这个数的末位数字实际在哪一位.【解答】解近似数
2.428×105中,
2.428的小数点前面的2表示20万,则这一位是十万位,因而
2.428的最后一位8应该是在百位上,因而这个数是精确到百位.【点评】对于用科学记数法表示的数,有效数字的计算方法以及精确到哪一位是需要识记的内容,经常会出错. 10.一个三角形的三边长分别为6,8,10,则这个三角形最长边上的高是
4.8 .【考点】勾股定理的逆定理.【分析】根据已知先判定其形状,再根据三角形的面积公式求得其高.【解答】解∵三角形的三边长分别为6,8,10,符合勾股定理的逆定理62+82=102,∴此三角形为直角三角形,则10为直角三角形的斜边,设三角形最长边上的高是h,根据三角形的面积公式得×6×8=×10h,解得h=
4.8.【点评】解答此题的关键是先判断出三角形的形状,再根据三角形的面积公式解答. 11.若实数m,n满足(m+1)2+=0,则= 2 .【考点】非负数的性质算术平方根;非负数的性质偶次方.【分析】根据非负数的性质列出算式,求出m、n的值,根据算术平方根的概念计算即可.【解答】解由题意得,m+1=0,n﹣5=0,解得,m=﹣1,n=5,则===2,故答案为2.【点评】本题考查的是非负数的性质,掌握非负数之和等于0时,各项都等于0是解题的关键. 12.在等腰三角形ABC中,∠A=80°,则∠B= 50°或20°或80° .【考点】等腰三角形的性质.【分析】分∠A是顶角,∠B是顶角,∠C是顶角三种情况,根据等腰三角形的性质和内角和定理求解.【解答】解已知等腰△ABC中∠A=80°,若∠A是顶角,则∠B=∠C,所以∠B=(180°﹣80°)=50°;若∠B是顶角,则∠A=∠C=80°,所以∠B=180°﹣80°﹣80°=20°;若∠C是顶角,则∠B=∠A=80°.故答案为50°或20°或80°.【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理;若题目中没有明确顶角或底角的度数,做题时要注意分情况进行讨论,这是十分重要的,也是解答问题的关键. 13.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,过点E作MN∥BC交AB于M,交AC于N,若BM+CN=9,则线段MN的长为 9 .【考点】等腰三角形的判定与性质;角平分线的定义;平行线的性质.【分析】由∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O,∠MBE=∠EBC,∠ECN=∠ECB,利用两直线平行,内错角相等,利用等量代换可∠MBE=∠MEB,∠NEC=∠ECN,然后即可求得结论.【解答】解∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E,∴∠MBE=∠EBC,∠ECN=∠ECB,∵MN∥BC,∴∠EBC=∠MEB,∠NEC=∠ECB,∴∠MBE=∠MEB,∠NEC=∠ECN,∴BM=ME,EN=CN,∴MN=ME+EN,即MN=BM+CN.∵BM+CN=9∴MN=9,故答案为9.【点评】题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解与掌握.此题关键是证明△BME,△CNE是等腰三角形. 14.如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,以△ABC的各边为边在△ABC外作三个正方形,S
1、S
2、S3分别表示这三个正方形的面积.若S1=81,S2=225,则S3= 144 .【考点】勾股定理.【分析】根据勾股定理求出BC2=AB2﹣AC2=144,即可得出结果.【解答】解根据题意得AB2=225,AC2=81,∵∠ACB=90°,∴BC2=AB2﹣AC2=225﹣81=144,则S3=BC2=144.故答案为144.【点评】考查了勾股定理、正方形的性质、正方形的面积;熟练掌握勾股定理,由勾股定理求出BC的平方是解决问题的关键. 15.如图,△ABC的三边AB、BC、CA长分别为
40、
50、60.其三条角平分线交于点O,则S△ABO S△BCO S△CAO= 456 .【考点】角平分线的性质.【分析】首先过点O作OD⊥AB于点D,作OE⊥AC于点E,作OF⊥BC于点F,由OA,OB,OC是△ABC的三条角平分线,根据角平分线的性质,可得OD=OE=OF,又由△ABC的三边AB、BC、CA长分别为
40、
50、60,即可求得S△ABO S△BCO S△CAO的值.【解答】解过点O作OD⊥AB于点D,作OE⊥AC于点E,作OF⊥BC于点F,∵OA,OB,OC是△ABC的三条角平分线,∴OD=OE=OF,∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为
40、
50、60,∴S△ABO S△BCO S△CAO=(AB•OD)(BC•OF)(AC•OE)=AB BCAC=405060=456.故答案为456.【点评】此题考查了角平分线的性质.此题难度不大,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用. 16.如图,在三角形ABC中,∠BAC=70°,点D在BC上,且BD=BA,点E在BC的延长线上,且CE=CA,则∠DAE= 35 °.【考点】等腰三角形的性质.【分析】由在△ABC中,∠BAC=70°,AB=AC,可求得∠ABC与∠ACB的度数,然后由BD=BA,CE=CA,分别求得∠BAD与∠CAE的度数,继而求得答案.【解答】解∵∠BAC=70°,AB=AC,∴∠B=∠ACB=55°,∵AB=BD,AC=CE,∴∠BAD=∠BDA,∠E=∠CAE,∴∠BAD=(180°﹣55°)=
62.5°,∴∠CAE=∠ACB=
27.5°,∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=70°﹣
62.5°=
7.5°,∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=35°;故答案为35【点评】此题考查等腰三角形的性质,内角和定理,外角性质等知识.多次利用外角的性质得到角之间的关系式正确解答本题的关键.
三、解答题(计102分)17.(10分)(2016秋•兴化市校级期中)计算
(1)2﹣1+﹣+()0
(2)﹣|2﹣|﹣.【考点】实数的运算;零指数幂;负整数指数幂.【分析】
(1)原式利用零指数幂、负整数指数幂法则,平方根、立方根定义计算即可得到结果;
(2)原式利用二次根式性质,绝对值的代数意义,以及立方根定义计算即可得到结果.【解答】解
(1)原式=+2﹣2+1=;
(2)原式=5﹣2+﹣3=.【点评】此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 18.(10分)(2016秋•兴化市校级期中)
(1)化简求值÷3×,其中a=4.
(2)已知x﹣2的平方根是±2,2x+y+7的立方根是3,求x2+y2的算术平方根.【考点】实数的运算.【分析】
(1)原式利用二次根式的乘除法则计算,将a的值代入计算即可求出值;
(2)利用平方根及立方根定义求出x与y的值,即可求出原式的算术平方根.【解答】解
(1)原式=×==,当a=4时,原式=;
(2)根据题意得x﹣2=4,2x+y+7=27,解得x=6,y=8,则x2+y2=100,100的算术平方根是10.【点评】此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 19.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°.
(1)用尺规在边BC上求作一点P,使PA=PB(不写作法,保留作图痕迹).
(2)连结AP,如果AP平分∠CAB.求∠B的度数.【考点】作图—复杂作图;线段垂直平分线的性质.【分析】
(1)如图,作AB的垂直平分线交BC于P,则点P满足条件;
(2)由PA=PB得到∠B=∠PAB,再由AP平分∠CAB得到∠PAB=∠CAB,则∠CAB=2∠B,然后根据三角形内角和计算∠B.【解答】解
(1)如图,点P为所作;
(2)∵PA=PB,∴∠B=∠PAB,∵AP平分∠CAB,∴∠PAB=∠CAB,∴∠CAB=2∠B,∵∠CAB+∠B=90°,即2∠B+∠B=90°,∴∠B=30°.【点评】本题考查了作图﹣复杂作图复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图,一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作. 20.已知a、b、c满足|a﹣|++(c﹣4)2=0.
(1)求a、b、c的值;
(2)判断以a、b、c为边能否构成三角形?若能构成三角形,此三角形是什么形状?并求出三角形的面积;若不能,请说明理由.【考点】勾股定理的逆定理;非负数的性质绝对值;非负数的性质偶次方;非负数的性质算术平方根.【分析】
(1)根据非负数的性质得到方程,解方程即可得到结果;
(2)根据三角形的三边关系,勾股定理的逆定理判断即可.【解答】解
(1)∵a、b、c满足|a﹣|++(c﹣4)2=0.∴|a﹣|=0,=0,(c﹣4)2=0.解得a=,b=5,c=4;
(2)∵a=,b=5,c=4,∴a+b=+5>4,∴以a、b、c为边能构成三角形,∵a2+b2=()2+52=32=
(4)2=c2,∴此三角形是直角三角形,∴S△==.【点评】本题考查了勾股定理的逆定理,非负数的性质,求三角形的面积,熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键. 21.(10分)(2016秋•太仓市期中)如图,方格纸上画有AB、CD两条线段,按下列要求作图(不保留作图痕迹,不要求写出作法)
(1)请你在图
(1)中画出线段AB关于CD所在直线成轴对称的图形;
(2)请你在图
(2)中添上一条线段,使图中的3条线段组成一个轴对称图形,请画出所有情形.【考点】作图-轴对称变换.【分析】
(1)做BO⊥CD于点O,并延长到B′,使B′O=BO,连接AB即可;
(2)轴对称图形沿某条直线折叠后,直线两旁的部分能完全重合.【解答】解所作图形如下所示【点评】本题考查对称轴作图,掌握画图的方法和图形的特点是解题的关键. 22.(10分)(2012•肇庆)如图,已知AC⊥BC,BD⊥AD,AC与BD交于O,AC=BD.求证
(1)BC=AD;
(2)△OAB是等腰三角形.【考点】全等三角形的判定与性质;等腰三角形的判定.【分析】
(1)根据AC⊥BC,BD⊥AD,得出△ABC与△BAD是直角三角形,再根据AC=BD,AB=BA,得出Rt△ABC≌Rt△BAD,即可证出BC=AD,
(2)根据Rt△ABC≌Rt△BAD,得出∠CAB=∠DBA,从而证出OA=OB,△OAB是等腰三角形.【解答】证明
(1)∵AC⊥BC,BD⊥AD,∴∠ADB=∠ACB=90°,在Rt△ABC和Rt△BAD中,∵,∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL),∴BC=AD,
(2)∵Rt△ABC≌Rt△BAD,∴∠CAB=∠DBA,∴OA=OB,∴△OAB是等腰三角形.【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质;用到的知识点是全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定等,全等三角形的判定是重点,本题是道基础题,是对全等三角形的判定的训练. 23.(10分)(2016秋•宜兴市期中)已知如图,在△ABC中,D是BC上的点,AD=AB,E、F分别是AC、BD的中点,AC=6.求EF的长.【考点】直角三角形斜边上的中线;等腰三角形的性质.【分析】连接AF,根据等腰三角形三线合一的性质可得AF⊥BD,在Rt△AFC中,再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出EF=AC.【解答】解连接AF.∵AB=AD,F是BD的中点,∴AF⊥BD,又∵E是AC的中点,∴EF=AC(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)∵AC=6,∴EF=3.故答案为3.【点评】本题考查了等腰三角形三线合一的性质,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键. 24.(10分)(2016秋•兴化市校级期中)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,若AC=6,BC=8.
(1)求BE的长;
(2)求△ADB的面积.【考点】勾股定理;角平分线的性质.【分析】
(1)根据角平分线的性质和勾股定理得出AE=AC即可;
(2)根据勾股定理得出方程求出DE,根据三角形的面积公式即可得到结论.【解答】解
(1)∵∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,∴CD=DE,AB==10,∴AD=AD,由勾股定理得AE=AC=6,∴BE=1B﹣AE=4;
(2)AB==10,设CD=DE=x,则BD=8﹣x,由勾股定理得x2+42=(8﹣x)2,解得x=3,∴DE=3,∴S△ABD=AB•DE=×10×3=15.【点评】本题主要考查角平分线的性质和勾股定理,找到CD、DE、BD之间的关系得到关于DE的方程是解题的关键.注意方程思想的应用. 25.(12分)(2016秋•兴化市校级期中)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,以AB长为一边作△ABD,∠ADB=90°,取AB中点E,连DE、CE、CD.
(1)求证DE=CE
(2)当∠CAB+∠DBA= 60°, 时,△DEC是等边三角形,并说明理由
(3)当∠CAB+∠DBA=45°时,若CD=5,取CD中点F,求EF的长.【考点】等边三角形的判定;等腰三角形的性质.【分析】
(1)由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论;
(2)证明A、B、C、D四点共圆,E是圆心,由圆周角定理得出∠BEC=2∠CAB,∠AED=2∠DBA,得出∠BEC+∠AED=2×60°=120°,求出∠DEC=60°即可;
(3)同
(2)证出∠DEC=90°,由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论.【解答】
(1)证明∵∠ACB=∠ADB=90°,E是AB的中点,∴DE=AB,CE=AB,∴DE=CE;
(2)解当∠CAB+∠DBA=60°时,△DEC是等边三角形,理由如下∵∠ACB=∠ADB=90°,∴A、B、C、D四点共圆,E是圆心,∴∠BEC=2∠CAB,∠AED=2∠DBA,∵∠CAB+∠DBA=60°,∴∠BEC+∠AED=2×60°=120°,∴∠DEC=60°,∵DE=CE,∴△DEC是等边三角形;故答案为60°;
(3)解同
(2)得∠BEC=2∠CAB,∠AED=2∠DBA,∵∠CAB+∠DBA=45°,∴∠BEC+∠AED=2×45°=90°,∴∠DEC=90°,∵F是CD的中点,∴EF=CD=
2.5.【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线性质等知识;本题有一定难度. 26.(14分)(2016秋•兴化市校级期中)在△ABC中(如图1),AB=17,BC=21,AC=10.
(1)求△ABC的面积(某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,如图2,请你按照他们的解题思路完成解解答过程).
(2)若点P在直线BC上,当△APC为直角三角形时,求CP的长.(利用
(1)的方法)
(3)若有一点Q在在直线BC上运动,当△AQC为等腰三角形时,求BQ的长.【考点】三角形综合题.【分析】
(1)作AD垂直于BC,设BD=x,则有CD=21﹣x,分别利用勾股定理表示出AD2,列出关于x的方程,求出方程的解得到x的值,进而确定出AD的长,求出三角形ABC面积即可;
(2)如图所示,分两种情况考虑当△ACP2为直角三角形时;当△ACP1为直角三角形时,分别求出CP的长即可;
(3)如图所示,分四种情况考虑当AC=CQ1=10时;当AQ2=AC=10时;当AQ3=CQ3时;当AC=CQ4=10时,分别求出BQ的长即可.【解答】解
(1)作AD⊥BC,设BD=x,则有CD=21﹣x,在Rt△ABD中,根据勾股定理得AD2=172﹣x2,在Rt△ACD中,根据勾股定理得AD2=102﹣(21﹣x)2,可得289﹣x2=100﹣(21﹣x)2,整理得42x=630,解得x=15,∴AD=8,则S=BC•AD=84;
(2)如图所示当P2与D重合时,此时△APC2为直角三角形,CP2=6;当△AP1C为直角三角形时,AD2=P1D•CD,即64=6P1D,解得P1D=,此时CP1=;
(3)如图所示,分四种情况考虑当AC=CQ1=10时,BQ1=21﹣10=11;当AQ2=AC=10时,CD=Q2D=6,此时BQ2=21﹣12=9;当AQ3=CQ3时,此时BQ3=;当AC=CQ4=10时,BQ4=21+10=31.【点评】此题属于三角形综合题,涉及的知识有勾股定理,相似三角形的判定与性质,以及线段垂直平分线定理,熟练掌握定理是解本题的关键. 八年级(上)期中数学试卷
一、选择题(每小题3分,共30分)1.在平面直角坐标系中,点P(2,﹣3)在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.下列各组数,可以作为直角三角形的三边长的是( )A.2,3,4B.3,4,5C.4,5,6D.5,6,73.下列二次根式中,属于最简二次根式的是( )A.B.C.D.4.下列各图中,能表示y是x的函数的是( )A.B.C.D.5.如图,在数轴上表示实数的点可能是( )A.点PB.点QC.点MD.点N6.一次函数y=kx+b,当k<0,b<0时,它的图象大致为( )A.B.C.D.7.如图,以直角三角形a、b、c为边,向外作等边三角形,半圆,等腰直角三角形和正方形,上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3图形个数有( )A.1B.2C.3D.48.下列运算中错误的是( )A.B.C.D.9.设点A(﹣1,a)和点B(4,b)在直线y=﹣x+m上,则a与b的大小关系是( )A.a>bB.a<bC.a=bD.无法确定10.一个小球从点A(3,3)出发,经过y轴上点C反弹后经过点B(1,0),则小球从A点经过点C到B点经过的最短路线长是( )A.4B.5C.6D.7
二、填空题(每题3分,共24分)11.的平方根是 .12.一次函数y=kx+3的图象经过点P(﹣1,2),则k= .13.若实数x,y满足|x﹣3|+=0,则()2016的值是 .14.如图,等腰△ABC中,AB=AC,AD是底边上的高,若AB=5cm,BC=6cm,则AD= cm.15.一次函数y=﹣6x+5的图象可由正比例函数 的图象向上平移5个单位长度得到.16.均匀地向一个容器注水,最后把容器注满,在注水过程中,水面的高度h随时间t的变化规律如图.(图中OABC为一折线),这个容器的形状是 .17.若直角三角形的两边长为6和8,则第三边长为 .18.在平面直角坐标系中,将三角形各点的横坐标都乘﹣1,纵坐标保持不变,所得图形与原图形相比有怎样的位置关系 .
三、解答题(共66分)19.计算
(1)5﹣7﹣4
(2)×÷
(3)(+)×
(4)(1﹣)(1+)+(﹣1)2.20.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.A、B、C三点在格点上.
(1)作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1,并写出点C1的坐标;
(2)作出△ABC关于y对称的△A2B2C2,并写出点C2的坐标.21.直线l1y1=x1+2和直线l2y2=﹣x2+4相交于点A,分别于x轴相交于点B和点C,分别与y轴相交于点D和点E.
(1)在平面直角坐标系中按照列表、描点、连线的方法画出直线l1和l2的图象,并写出A点的坐标.
(2)求△ABC的面积.
(3)求四边形ADOC的面积.22.如图,圆柱形无盖玻璃容器,高18cm,底面周长为60cm,在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛,与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇,试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度.23.为保障我国海外维和部队官兵的生活,现需通过A港口、B港口分别运送100吨和50吨生活物资.已知该物资在甲仓库存有80吨,乙仓库存有70吨,若从甲、乙两仓库运送物资到港口的费用(元/吨)如表所示
(1)设从甲仓库运送到A港口的物资为x吨,用含x的式子填写下表
(2)求总费用y(元)与x(箱)之间的函数关系式,并写出x的取值范围;
(3)求出最低费用,并说明费用最低时的调配方案.24.如图,东生、夏亮两位同学从学校出发到青年路小学参加现场作文比赛,冬生步行一段时间后,夏亮骑自行车沿相同路线行进,两人都是匀速前进,他们的路程差s(米)与冬生出发时间t(分)之间的函数关系如图所示(提示先根据图象还原东生、夏亮的行走过程,特别注意s代表的是两人的路程差)根据图象进行以下探究
(1)冬生的速度是 米/分,请你解释点B坐标(15,0)所表示的意义 ;
(2)求夏亮的速度和他们所在学校与青年路小学的距离;
(3)求a,b值;
(4)线段CD对应的一次函数表达式中,一次项系数是多少?它的实际意义是什么? 参考答案与试题解析
一、选择题(每小题3分,共30分)1.在平面直角坐标系中,点P(2,﹣3)在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【考点】点的坐标.【分析】根据各象限内点的坐标特征解答.【解答】解点P(2,﹣3)在第四象限.故选D. 2.下列各组数,可以作为直角三角形的三边长的是( )A.2,3,4B.3,4,5C.4,5,6D.5,6,7【考点】勾股定理的逆定理.【分析】根据勾股定理的逆定理,验证四个选项中数据是否满足“较小两边平方的和等于最大边的平方”,由此即可得出结论.【解答】解A、22+32=14,42=16,∵14≠16,∴2,3,4不能作为直角三角形的三边长;B、32+42=25,52=25,∵25=25,∴3,4,5可以作为直角三角形的三边长;C、42+52=41,62=36,∵41≠36,∴4,5,6不能作为直角三角形的三边长;D、52+62=61,72=49,∵61≠49,∴5,6,7不能作为直角三角形的三边长.故选B. 3.下列二次根式中,属于最简二次根式的是( )A.B.C.D.【考点】最简二次根式.【分析】判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行,或直观地观察被开方数的每一个因数(或因式)的指数都小于根指数2,且被开方数中不含有分母,被开方数是多项式时要先因式分解后再观察.【解答】解A、是最简根式,正确;B、被开方数中含有分母,错误;C、被开方数中含有分母,错误;D、二次根式的被开方数中含有没开的尽方的数,错误;故选A 4.下列各图中,能表示y是x的函数的是( )A.B.C.D.【考点】函数的概念.【分析】在坐标系中,对于x的取值范围内的任意一点,通过这点作x轴的垂线,则垂线与图形只有一个交点.根据定义即可判断.【解答】解根据函数的意义可知对于自变量x的任何值,y都有唯一的值与之相对应,所以B正确.故选B. 5.如图,在数轴上表示实数的点可能是( )A.点PB.点QC.点MD.点N【考点】估算无理数的大小;实数与数轴.【分析】先对进行估算,再确定是在哪两个相邻的整数之间,然后确定对应的点即可解决问题.【解答】解∵≈
3.87,∴3<<4,∴对应的点是M.故选C 6.一次函数y=kx+b,当k<0,b<0时,它的图象大致为( )A.B.C.D.【考点】一次函数图象与系数的关系.【分析】直接根据一次函数与系数的关系进行判断.【解答】解∵k<0,b<0,∴一次函数图象在
二、
三、四象限.故选B. 7.如图,以直角三角形a、b、c为边,向外作等边三角形,半圆,等腰直角三角形和正方形,上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3图形个数有( )A.1B.2C.3D.4【考点】勾股定理.【分析】根据直角三角形a、b、c为边,应用勾股定理,可得a2+b2=c2.
(1)第一个图形中,首先根据等边三角形的面积的求法,表示出3个三角形的面积;然后根据a2+b2=c2,可得S1+S2=S3.
(2)第二个图形中,首先根据圆的面积的求法,表示出3个半圆的面积;然后根据a2+b2=c2,可得S1+S2=S3.
(3)第三个图形中,首先根据等腰直角三角形的面积的求法,表示出3个等腰直角三角形的面积;然后根据a2+b2=c2,可得S1+S2=S3.
(4)第四个图形中,首先根据正方形的面积的求法,表示出3个正方形的面积;然后根据a2+b2=c2,可得S1+S2=S3.【解答】解
(1)S1=a2,S2=b2,S3=c2,∵a2+b2=c2,∴a2+b2=c2,∴S1+S2=S3.
(2)S1=a2,S2=b2,S3=c2,∵a2+b2=c2,∴a2+b2=c2,∴S1+S2=S3.
(3)S1=a2,S2=b2,S3=c2,∵a2+b2=c2,∴a2+b2=c2,∴S1+S2=S3.
(4)S1=a2,S2=b2,S3=c2,∵a2+b2=c2,∴S1+S2=S3.综上,可得面积关系满足S1+S2=S3图形有4个.故选D. 8.下列运算中错误的是( )A.B.C.D.【考点】二次根式的混合运算.【分析】利用二次根式的乘法法则对A进行判断;根据二次根式的加减法对B进行判断;利用分母有理化对C进行判断;根据二次根式的性质对D进行判断.【解答】解A、原式==,所以A选项的计算正确;B、原式=5,所以B选项的计算正确;C、原式==,所以C选项的计算正确;D、原式=|﹣|=﹣,所以D选项的计算错误.故选D. 9.设点A(﹣1,a)和点B(4,b)在直线y=﹣x+m上,则a与b的大小关系是( )A.a>bB.a<bC.a=bD.无法确定【考点】一次函数图象上点的坐标特征.【分析】先判断出“k”的符号,再根据一次函数的性质判断出a、b的大小.【解答】解因为k=﹣1<0,所以在函数y=﹣x+m中,y随x的增大而减小.∵﹣1<4,∴a>b.故选A. 10.一个小球从点A(3,3)出发,经过y轴上点C反弹后经过点B(1,0),则小球从A点经过点C到B点经过的最短路线长是( )A.4B.5C.6D.7【考点】轴对称-最短路线问题;坐标与图形性质.【分析】如果设A点关于y轴的对称点为A′,那么C点就是A′B与y轴的交点.易知A′(﹣3,3),又B(1,0),可用待定系数法求出直线A′B的方程.再求出C点坐标,根据勾股定理分别求出AC、BC的长度.那么小球路线从A点到B点经过的路线长是AC+BC,从而得出结果.【解答】解如果将y轴当成平面镜,设A点关于y轴的对称点为A′,则由小球路线知识可知,A′相当于A的像点,光线从A到C到B,相当于小球路线从A′直接到B,所以C点就是A′B与y轴的交点.∵A点关于y轴的对称点为A′,A(3,3),∴A′(﹣3,3),进而由两点式写出A′B的直线方程为y=﹣(x﹣1).令x=0,求得y=.所以C点坐标为(0,).那么根据勾股定理,可得AC=,BC=.因此,AC+BC=5.故选B.
二、填空题(每题3分,共24分)11.的平方根是 ± .【考点】平方根.【分析】由=3,再根据平方根定义求解即可.【解答】解∵=3,∴的平方根是±.故答案为±. 12.一次函数y=kx+3的图象经过点P(﹣1,2),则k= 1 .【考点】一次函数图象上点的坐标特征.【分析】把点P(﹣1,2)代入一次函数y=kx+3中,即可求出k的值.【解答】解∵一次函数y=kx+3的图象经过点P(﹣1,2),∴2=﹣k+3,解得k=1.故答案为1. 13.若实数x,y满足|x﹣3|+=0,则()2016的值是 1 .【考点】非负数的性质算术平方根;非负数的性质绝对值.【分析】根据绝对值与算术平方根的和为零,可得绝对值与算术平方根同时为零,可得x、y的值,再根据负数的奇数次幂是负数,可得答案.【解答】解∵|x﹣3|+=0,∴x﹣3=0,y+3=0,∴x=3,y=﹣3,∴()2016=1,故答案为1. 14.如图,等腰△ABC中,AB=AC,AD是底边上的高,若AB=5cm,BC=6cm,则AD= 4 cm.【考点】勾股定理.【分析】先根据等腰三角形的性质求出BD的长,再根据勾股定理解答即可.【解答】解根据等腰三角形的三线合一可得BD=BC=×6=3cm,在直角△ABD中,由勾股定理得AB2=BD2+AD2,所以,AD==4cm.故答案为4. 15.一次函数y=﹣6x+5的图象可由正比例函数 y=﹣6x 的图象向上平移5个单位长度得到.【考点】一次函数图象与几何变换.【分析】根据平移法则上加下减可得出平移后的解析式.【解答】解由题意得一次函数y=﹣6x+5的图象可由正比例函数y=﹣6x的图象向上平移5个单位长度得到.故答案为y=﹣6x. 16.均匀地向一个容器注水,最后把容器注满,在注水过程中,水面的高度h随时间t的变化规律如图.(图中OABC为一折线),这个容器的形状是
③ .【考点】函数的图象.【分析】这是一个用函数来描述事物变化规律的问题,先比较OA、AB、BC三段的变化快慢,再比较三个容器容积的大小,就会把问题解决.【解答】解从左面图象可以看出,OA上升较快,AB上升缓慢,BC上升最快.从右面容器可以看出图
①下面容积最大,中间容积较大,上面容积最小.图
②下面容积最小,中间容积最大,上面容积较大.图
③下面容积较大,中间容积最大,上面容积最小.因为均匀注水,故选
③. 17.若直角三角形的两边长为6和8,则第三边长为 10或2 .【考点】勾股定理的应用.【分析】分情况考虑当较大的数8是直角边时,根据勾股定理求得第三边长是10;当较大的数8是斜边时,根据勾股定理求得第三边的长是=2.【解答】解
①当6和8为直角边时,第三边长为=10;
②当8为斜边,6为直角边时,第三边长为=2.故答案为10或2. 18.在平面直角坐标系中,将三角形各点的横坐标都乘﹣1,纵坐标保持不变,所得图形与原图形相比有怎样的位置关系 关于y轴对称 .【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标.【分析】横坐标都乘以﹣1,并保持纵坐标不变,就是横坐标变成相反数,即所得到的点与原来的点关于y轴对称.【解答】解∵将三角形各点的横坐标都乘﹣1,纵坐标保持不变,∴所得图形与原图形相比关于y轴对称.故答案为关于y轴对称.
三、解答题(共66分)19.计算
(1)5﹣7﹣4
(2)×÷
(3)(+)×
(4)(1﹣)(1+)+(﹣1)2.【考点】二次根式的混合运算.【分析】结合二次根式混合运算的运算法则进行求解即可.【解答】解
(1)原式=5﹣14﹣=4﹣14.
(2)原式=5××=5×=10.
(3)原式=(+3)×=1+9=10.
(4)原式=(1﹣5)+(5+1﹣2)=1﹣5+6﹣2=2﹣2. 20.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.A、B、C三点在格点上.
(1)作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1,并写出点C1的坐标;
(2)作出△ABC关于y对称的△A2B2C2,并写出点C2的坐标.【考点】作图-轴对称变换.【分析】
(1)根据关于x轴对称的点的坐标特点画出△A1B1C1,并写出点C1的坐标即可;
(2)根据关于y轴对称的点的坐标特点画出△A2B2C2,并写出点C2的坐标即可.【解答】解
(1)如图所示,点C1的坐标(3,﹣2);
(2)如图2所示,点C2的坐标(﹣3,2). 21.直线l1y1=x1+2和直线l2y2=﹣x2+4相交于点A,分别于x轴相交于点B和点C,分别与y轴相交于点D和点E.
(1)在平面直角坐标系中按照列表、描点、连线的方法画出直线l1和l2的图象,并写出A点的坐标.
(2)求△ABC的面积.
(3)求四边形ADOC的面积.【考点】两条直线相交或平行问题.【分析】
(1)依题意画出如图所示图形,写出A点的坐标即可;
(2)用面积公式求出面积即可;
(3)求出三角形BOD的面积,再根据S四边形ADOC=S△ABC﹣S△BOD,即可求解.【解答】解
(1)如图所示,A(1,3);
(2)∵直线l1y1=x1+2和直线l2y2=﹣x2+4分别于x轴相交于点B和点C,∴B(﹣2,0),C(4,0),∴BC=6,∵A(1,3),∴S△ABC=BC×yA=×6×3=9;
(3)∵B(﹣2,0),D(0,2),∴OB=2,OD=2,∴S△BOD=×OB×OD=×2×2=2,∵S△ABC=9,∴S四边形ADOC=S△ABC﹣S△BOD=9﹣2=7. 22.如图,圆柱形无盖玻璃容器,高18cm,底面周长为60cm,在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛,与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇,试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度.【考点】平面展开-最短路径问题.【分析】要求不在同一个平面内的两点之间的最短距离,首先要把两个点展开到一个平面内,然后分析展开图形中的数据,根据勾股定理即可求解.【解答】解将曲面沿AB展开,如图所示,过C作CE⊥AB于E,在Rt△CEF中,∠CEF=90°,EF=18﹣1﹣1=16(cm),CE=×60=30(cm),由勾股定理,得CF==34(cm).答蜘蛛所走的最短路线是34cm. 23.为保障我国海外维和部队官兵的生活,现需通过A港口、B港口分别运送100吨和50吨生活物资.已知该物资在甲仓库存有80吨,乙仓库存有70吨,若从甲、乙两仓库运送物资到港口的费用(元/吨)如表所示
(1)设从甲仓库运送到A港口的物资为x吨,用含x的式子填写下表
(2)求总费用y(元)与x(箱)之间的函数关系式,并写出x的取值范围;
(3)求出最低费用,并说明费用最低时的调配方案.【考点】一次函数的应用.【分析】
(1)设从甲仓库运送到A港口的物资为x吨,因为甲仓库一共有物资80吨,所以甲仓库运送到B港口的物资为(80﹣x)吨,因为A港口需要运送100吨物资,所以还要从乙仓库运送到A港口的物资为吨,又因为乙仓库存有70吨物资,所以余下的物资70﹣=(x﹣30)吨,都要运到B港口;
(2)总费用=物资数量×运费,化成一般式即可,将甲、乙两仓库运往A、B两港口的物资数分别大于等于0,列不等式可求其x的取值范围;
(3)根据一次函数的增减性求得最小值,并写出调配方案.【解答】解
(1)设从甲仓库运送到A港口的物资为x吨,则甲仓库运送到B港口的物资为(80﹣x)吨,乙仓库运送到A港口的物资为吨,乙仓库运送到B港口的物资为70﹣=(x﹣30)吨,故答案为100﹣x,80﹣x,x﹣30;
(2)y=14x+10(80﹣x)+20+8(x﹣30)=﹣8x+2560,由题意得,∴不等式的解集为30≤x≤80,∴总费用y(元)与x(箱)之间的函数关系式为y=﹣8x+2560(30≤x≤80);
(3)∵﹣8<0,∴y随x的增大而减小,∴当x=80时,y有最小值,y=﹣8×80+2560=1920,答最低费用为1920元,此时的调配方案为把甲仓库的全部运往A港口,再从乙仓库运20吨到A港口,乙仓库余下的50吨全部分运往B港口. 24.如图,东生、夏亮两位同学从学校出发到青年路小学参加现场作文比赛,冬生步行一段时间后,夏亮骑自行车沿相同路线行进,两人都是匀速前进,他们的路程差s(米)与冬生出发时间t(分)之间的函数关系如图所示(提示先根据图象还原东生、夏亮的行走过程,特别注意s代表的是两人的路程差)根据图象进行以下探究
(1)冬生的速度是 100 米/分,请你解释点B坐标(15,0)所表示的意义 夏亮骑车追上冬生 ;
(2)求夏亮的速度和他们所在学校与青年路小学的距离;
(3)求a,b值;
(4)线段CD对应的一次函数表达式中,一次项系数是多少?它的实际意义是什么?【考点】一次函数的应用.【分析】
(1)根据函数图象和题意可以求得冬生的速度和点B表示的意义;
(2)由图象中的数据可以求得夏亮的速度和他们所在学校与青年路小学的距离;
(3)根据题意和前面求出的数据可以求得a、b的值;
(4)根据点C和点D的坐标可以求得直线CD的解析式以及一次项系数和它表示的实际意义.【解答】解
(1)由题意可得,冬生的速度为;900÷9=100米/秒,点B坐标(15,0)所表示的意义夏亮骑车追上冬生,故答案为100,夏亮骑车追上冬生;
(2)由题意和图象可得,夏亮的速度是15×100÷(15﹣9)=250米/秒,他们所在学校与青年路小学的距离是250×(19﹣9)=2500米,即夏亮的速度是250米/秒,他们所在学校与青年路小学的距离是2500米;
(3)a=2500÷100=25,b=2500﹣100×19=600,即a的值是25,b的值是600;
(4)设过点C(19,600),点D(25,0)的直线的解析式为y=kx+b,,解得,,即y=﹣100x+2500,线段CD对应的一次函数表达式中,一次项系数是﹣100,它的实际意义是冬生的步行速度. 港口运费(元/吨)甲库乙库A港1420B港108港口运费(元/吨)甲库乙库A港x B港 港口运费(元/吨)甲库乙库A港1420B港108港口运费(元/吨)甲库乙库A港x 100﹣x B港 80﹣x x﹣30 。