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2017年八年级上学期期中数学试卷两套合集八附答案解析八年级(上)期中数学试卷
一、选择题(本大题共8个小题,每小题3分,满分24分.请将正确答案的字母代号填在下表中.)1.如果(a﹣1)0=1成立,则( )A.a≠0B.a≠1C.a=1D.a=0或a=12.一个三角形的两边长分别为4和7,则此三角形的第三边的取值可能是( )A.4B.3C.2D.13.下列命题是真命题的是( )A.两边及一个角对应相等的两三角形全等B.两角及一边对应相等的两三角形全等C.三个角对应相等的两三角形全等D.面积相等的两三角形全等4.下列分式是最简分式的是( )A.B.C.D.5.在等腰三角形ABC中,它的两边长分别为8cm和4cm,则它的周长为( )A.10cmB.12cmC.20cm或16cmD.20cm6.设xy=x﹣y≠0,则的值等于( )A.B.y﹣xC.﹣1D.17.下列语句中不是命题的有( )
(1)两点之间,线段最短;
(2)连接A、B两点;
(3)鸟是动物;
(4)不相交的两条直线叫做平行线;
(5)无论a为怎样的有理数,式子a2+1的值都是正数吗?A.1个B.2个C.3个D.4个8.如图,在△ABC中,∠A=70°,直线DE分别与AB,AC交于D,E两点,则∠1+∠2=( )A.110°B.140°C.180°D.250°
二、填空题(本题共8小题,每小题3分,共24分)9.2﹣3= .10.如图,在△ABC中,∠B=∠C,AB=5,则AC的长为 .11.若分式的值为零,则x的值为 .12.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,DE垂直平分AB,已知∠ADE=40°,则∠DBC= °.13.肥皂泡的泡壁厚度大约是
0.0007mm,将
0.0007用科学记数法表示为 .14.如图,∠1=∠2,要使△ABE≌△ACE,还需添加一个条件是 (填上你认为适当的一个条件即可).15.若关于x的分式方程有增根,则m的值为 .16.如图,△ABC的周长为18,且AB=AC,AD⊥BC于D,△ACD的周长为13,那么AD的长为 .
三、解答题(本大题共8小题,共72分)17.(10分)计算
(1)|﹣2|﹣(﹣1)0+()﹣1
(2)(﹣)2×()﹣2÷(a2b)﹣1.18.(8分)解分式方程+=4.19.(8分)先化简,再求值(﹣)÷,其中a=﹣6.20.(8分)如图,已知AD=BC,AC=BD.
(1)求证△ADB≌△BCA;
(2)OA与OB相等吗?若相等,请说明理由.21.(8分)某商场购进甲、乙两种商品,乙商品的单价是甲商品单价的2倍,购买240元甲商品的数量比购买300元乙商品的数量多10件,求两种商品单价各为多少元?22.(8分)如图,△ABC中,AB=AC,且AC上的中线BD把这个三角形的周长分成了12cm和6cm的两部分,求这个三角形的腰长和底边的长.23.(10分)如图,在△ABC中,∠B=38°,∠C=112°.
(1)画出下列图形
①BC边上的高AD;
②∠A的角平分线AE.(保留作图痕迹)
(2)试求∠DAE的度数.24.(12分)如图,已知△ABC中,AB=AC=8厘米,BC=6厘米,点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动,同时点Q在线段CA上由C点向A点运动.当一个点停止运动时,另一个点也随之停止运动.设运动时间为t.
(1)当点P运动t秒时CP的长度为 (用含t的代数式表示);
(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由;
(3)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPD与△CQP全等? 参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共8个小题,每小题3分,满分24分.请将正确答案的字母代号填在下表中.)1.如果(a﹣1)0=1成立,则( )A.a≠0B.a≠1C.a=1D.a=0或a=1【考点】零指数幂.【分析】根据非零的零次幂等于1,可得答案.【解答】解由题意,得a﹣1≠0,解得a≠1,故选B.【点评】本题考查了零指数幂,熟记非零的零次幂等于1是解题关键. 2.一个三角形的两边长分别为4和7,则此三角形的第三边的取值可能是( )A.4B.3C.2D.1【考点】三角形三边关系.【分析】设第三边的长为x,再根据三角形的三边关系即可得出结论.【解答】解设第三边的长为x,则7﹣4<x<7+4,解得3<x<11,故此三角形的第三边的取值可能是4.故选A.【点评】本题考查的是三角形的三边关系,熟知三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边是解答此题的关键. 3.下列命题是真命题的是( )A.两边及一个角对应相等的两三角形全等B.两角及一边对应相等的两三角形全等C.三个角对应相等的两三角形全等D.面积相等的两三角形全等【考点】全等三角形的判定;命题与定理.【分析】根据三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有SSS、SAS、ASA、AAS、HL.针对每个选项进行分析,即可选出答案.【解答】解A、根据两边及夹角对应相等的两三角形全等,故此选项错误;B、两角及一边对应相等的两三角形全等,故此选项正确;C、三个角对应相等的两三角形全等,边长不一定相等,故此选错误;D、面积相等的两三角形不一定全等,故此选项错误.故选B.【点评】本题考查三角形全等的判定方法;判定两个三角形全等的一般方法有SSS、SAS、ASA、AAS、HL.添加时注意AAA、SSA不能判定两个三角形全等,不能添加,根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键. 4.下列分式是最简分式的是( )A.B.C.D.【考点】最简分式.【分析】结合最简分式的定义一个分式的分子与分母没有公因式时,叫最简分式.求解即可.【解答】解A、=2x,不是最简分式,本选项错误;B、=,不是最简分式,本选项错误;C、是最简分式,本选项正确;D、=﹣1,不是最简分式,本选项错误.故选C.【点评】本题考查了最简分式,解答本题的关键在于熟练掌握最简分式的定义一个分式的分子与分母没有公因式时,叫最简分式. 5.在等腰三角形ABC中,它的两边长分别为8cm和4cm,则它的周长为( )A.10cmB.12cmC.20cm或16cmD.20cm【考点】等腰三角形的性质;三角形三边关系.【分析】等腰△ABC的两边长分别为8和4,具体哪条是底边,哪条是腰没有明确说明,因此要分两种情况讨论.【解答】解
①当腰是4,底边是8时,4+4=8,不满足三角形的三边关系,因此舍去.
②当底边是4,腰长是8时,能构成三角形,则其周长=8+8+4=20.故选D.【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系;已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况,分类进行讨论,还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答,这点非常重要,也是解题的关键. 6.设xy=x﹣y≠0,则的值等于( )A.B.y﹣xC.﹣1D.1【考点】分式的化简求值.【分析】此题只需对进行通分,再将等式xy=x﹣y≠0代入化简即可.【解答】解由于xy=x﹣y≠0,则===﹣1.故选C.【点评】本题考查了分式的化简求值,关键是将xy作为一个整体代入,体现了整体的思想. 7.下列语句中不是命题的有( )
(1)两点之间,线段最短;
(2)连接A、B两点;
(3)鸟是动物;
(4)不相交的两条直线叫做平行线;
(5)无论a为怎样的有理数,式子a2+1的值都是正数吗?A.1个B.2个C.3个D.4个【考点】命题与定理.【分析】根据命题的定义对各语句进行判断.【解答】解两点之间,线段最短,所以
(1)为命题;连接A、B两点,它为描述性语言,所以
(2)不是命题;鸟是动物,所以
(3)为命题;不相交的两条直线叫做平行线,所以
(4)为命题;无论a为怎样的有理数,式子a2+1的值都是正数吗?它为疑问句,所以
(5)不是命题.故选B.【点评】本题考查了命题与定理判断一件事情的语句,叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项,一个命题可以写成“如果…那么…”形式.有些命题的正确性是用推理证实的,这样的真命题叫做定理. 8.如图,在△ABC中,∠A=70°,直线DE分别与AB,AC交于D,E两点,则∠1+∠2=( )A.110°B.140°C.180°D.250°【考点】三角形内角和定理.【分析】先利用三角形内角和定理计算出∠B+∠C=110°,然后根据四边形内角和为360°计算∠1+∠2的度数.【解答】解∵∠A+∠B+∠C=180°,而∠A=70°∴∠B+∠C=110°,∵∠1+∠2+∠B+∠C=360°,∴∠1+∠2=250°.故选D.【点评】本题考查了三角形的内角和定理记住三角形内角和和四边形的内角和.
二、填空题(本题共8小题,每小题3分,共24分)9.2﹣3= .【考点】负整数指数幂.【分析】根据负整数指数幂的运算法则直接进行计算即可.【解答】解2﹣3=.故应填.【点评】本题主要考查负整数指数幂,幂的负整数指数运算,先把底数化成其倒数,然后将负整数指数幂当成正的进行计算. 10.如图,在△ABC中,∠B=∠C,AB=5,则AC的长为 5 .【考点】等腰三角形的性质.【分析】根据等腰三角形的判定定理,等角对等边即可求解.【解答】解∵∠B=∠C,∴AC=AB=5.故答案是5.【点评】本题考查了等腰三角形的判定定理等角对等边,理解定理是关键. 11.若分式的值为零,则x的值为 ﹣1 .【考点】分式的值为零的条件.【分析】首先根据题意可知,x﹣1≠0,即可推出x≠1,然后根据分式的值为零,推出分子|x|﹣1=0,求出x=±1,总上所述确定x=﹣1.【解答】解∵分式的值为零,∴|x|﹣1=0,∴x=±1,∵当x=1时,x﹣1=0,分式无意义,∴x=﹣1.故答案为﹣1.【点评】本题主要考查分式有意义的条件,分式值为零的条件,关键在于正确的确定x的取值. 12.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,DE垂直平分AB,已知∠ADE=40°,则∠DBC= 15 °.【考点】线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质.【分析】根据线段垂直平分线求出AD=BD,推出∠A=∠ABD=50°,根据三角形内角和定理和等腰三角形性质求出∠ABC,即可得出答案.【解答】解∵DE垂直平分AB,∴AD=BD,∠AED=90°,∴∠A=∠ABD,∵∠ADE=40°,∴∠A=90°﹣40°=50°,∴∠ABD=∠A=50°,∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=(180°﹣∠A)=65°,∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=65°﹣50°=15°,故答案为15.【点评】本题考查了等腰三角形的性质,线段垂直平分线性质,三角形内角和定理的应用,能正确运用定理求出各个角的度数是解此题的关键,难度适中. 13.肥皂泡的泡壁厚度大约是
0.0007mm,将
0.0007用科学记数法表示为 7×10﹣4 .【考点】科学记数法—表示较小的数.【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10﹣n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.【解答】解
0.0007=7×10﹣4.故答案为7×10﹣4.【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为a×10﹣n,其中1≤|a|<10,n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定. 14.如图,∠1=∠2,要使△ABE≌△ACE,还需添加一个条件是 ∠B=∠C (填上你认为适当的一个条件即可).【考点】全等三角形的判定.【分析】根据题意,易得∠AEB=∠AEC,又AE公共,所以根据全等三角形的判定方法容易寻找添加条件.【解答】解∵∠1=∠2,∴∠AEB=∠AEC,又AE公共,∴当∠B=∠C时,△ABE≌△ACE(AAS);或BE=CE时,△ABE≌△ACE(SAS);或∠BAE=∠CAE时,△ABE≌△ACE(ASA).【点评】此题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角. 15.若关于x的分式方程有增根,则m的值为 2 .【考点】分式方程的增根.【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根.所以应先确定增根的可能值,让最简公分母(x﹣2)=0,得到x=2,然后代入化为整式方程的方程算出m的值.【解答】解方程两边都乘(x﹣2),得x﹣2(x﹣2)=m∵原方程有增根,∴最简公分母(x﹣2)=0,解得x=2,当x=2时,m=2.故答案为2.【点评】本题考查了分式方程的增根,增根问题可按如下步骤进行
①让最简公分母为0确定增根;
②化分式方程为整式方程;
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值. 16.如图,△ABC的周长为18,且AB=AC,AD⊥BC于D,△ACD的周长为13,那么AD的长为 4 .【考点】等腰三角形的性质.【分析】由已知条件根据等腰三角形三线合一的性质可得到BD=DC,再根据三角形的周长定义求解.【解答】解∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=DC.∵AB+AC+BC=18,即AB+BD+CD+AC=18,∴AC+DC=9,又∵AC+DC+AD=13,∴AD=13﹣9=4.故答案为4.【点评】本题考查等腰三角形的性质;由已知条件结合图形发现并利用AC+CD是△ABC的周长的一半是正确解答本题的关键.
三、解答题(本大题共8小题,共72分)17.(10分)(2016秋•永定区期中)计算
(1)|﹣2|﹣(﹣1)0+()﹣1
(2)(﹣)2×()﹣2÷(a2b)﹣1.【考点】分式的乘除法;零指数幂;负整数指数幂.【分析】
(1)原式利用零指数幂、负整数指数幂法则,以及绝对值的代数意义计算即可得到结果;
(2)原式利用负整数指数幂法则计算即可得到结果.【解答】解
(1)原式=2﹣1+2=3;
(2)原式=••a2b=b5.【点评】此题考查了分式的乘除法,以及实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 18.解分式方程+=4.【考点】解分式方程.【分析】分式方程变形后,去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.【解答】解方程整理得﹣=4,去分母得x﹣2=4(x﹣1),去括号得x﹣2=4x﹣4,移项合并得3x=2,解得x=,经检验x=是原方程的解.【点评】此题考查了解分式方程,利用了转化的思想,解分式方程注意要检验. 19.先化简,再求值(﹣)÷,其中a=﹣6.【考点】分式的化简求值.【分析】先对原式化简,然后将a的值代入即可解答本题.【解答】解原式===,当a=﹣6时,原式==1.【点评】本题考查分式的化简求值,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件. 20.如图,已知AD=BC,AC=BD.
(1)求证△ADB≌△BCA;
(2)OA与OB相等吗?若相等,请说明理由.【考点】全等三角形的判定与性质;等腰三角形的判定.【分析】
(1)根据SSS定理推出全等即可;
(2)根据全等得出∠OAB=∠OBA,根据等角对等边得出即可.【解答】
(1)证明∵在△ADB和△BCA中,,∴△ADB≌△BCA(SSS);
(2)解OA=OB,理由是∵△ADB≌△BCA,∴∠ABD=∠BAC,∴OA=OB.【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定,等腰三角形的判定的应用,能正确运用定理进行推理是解此题的关键. 21.某商场购进甲、乙两种商品,乙商品的单价是甲商品单价的2倍,购买240元甲商品的数量比购买300元乙商品的数量多10件,求两种商品单价各为多少元?【考点】分式方程的应用.【分析】设甲商品的单价为x元,乙商品的单价为2x元,根据购买240元甲商品的数量比购买300元乙商品的数量多10件列出方程,求出方程的解即可得到结果.【解答】解设甲商品的单价为x元,乙商品的单价为2x元,根据题意,得,解这个方程,得x=9,经检验,x=9是所列方程的根,∴2x=2×9=18(元),答甲、乙两种商品的单价分别为9元、18元.【点评】此题考查了分式方程的应用,找出题中的等量关系“购买240元甲商品的数量比购买300元乙商品的数量多10件”是解本题的关键. 22.如图,△ABC中,AB=AC,且AC上的中线BD把这个三角形的周长分成了12cm和6cm的两部分,求这个三角形的腰长和底边的长.【考点】等腰三角形的性质;解二元一次方程组;三角形三边关系.【分析】设AD=CD=x,AB=AC=2x,BC=y,再分AB+AD=12和AB+AD=6两种情况进行讨论.【解答】解设AD=CD=x,AB=AC=2x,BC=y,当AB+AD=12时,,解得;当AB+AD=6时,,解得(不合题意,舍去).答这个三角形的腰长是8,底边长是2.【点评】本题考查的是等腰三角形的性质,在解答此题时要注意进行分类讨论. 23.(10分)(2016秋•永定区期中)如图,在△ABC中,∠B=38°,∠C=112°.
(1)画出下列图形
①BC边上的高AD;
②∠A的角平分线AE.(保留作图痕迹)
(2)试求∠DAE的度数.【考点】作图—复杂作图;三角形内角和定理.【分析】
(1)
①过点A作AD⊥BC即可;
②作∠A的角平分线AE即可;
(2)先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数,由角平分线的定义求出∠BAE的度数,再由直角三角形的性质可得出∠BAD的度数,进而可得出结论.【解答】解
(1)如图所示;
(2)在△ABC中,∠BAC=180°﹣112°﹣38°=30°,∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠BAC=15°,在Rt△ADB中,∠BAD=90°﹣∠B=52°,∴∠DAE=∠DAB﹣∠BAE=37°.【点评】本题考查的是作图﹣复杂作图,熟知角平分线的作法是解答此题的关键. 24.(12分)(2016秋•永定区期中)如图,已知△ABC中,AB=AC=8厘米,BC=6厘米,点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动,同时点Q在线段CA上由C点向A点运动.当一个点停止运动时,另一个点也随之停止运动.设运动时间为t.
(1)当点P运动t秒时CP的长度为 (6﹣2t)cm (用含t的代数式表示);
(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由;
(3)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPD与△CQP全等?【考点】勾股定理;全等三角形的判定;等腰三角形的性质.【分析】
(1)先表示出BP,根据PC=BC﹣BP,可得出答案;
(2)根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长,根据SAS判定两个三角形全等.
(3)根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系,再根据路程=速度×时间公式,先求得点P运动的时间,再求得点Q的运动速度;【解答】解
(1)BP=2t,则PC=BC﹣BP=6﹣2t;故答案为(6﹣2t)cm.
(2)当t=1时,BP=CQ=2×1=2厘米,∵AB=8厘米,点D为AB的中点,∴BD=4厘米.又∵PC=BC﹣BP,BC=6厘米,∴PC=6﹣2=4厘米,∴PC=BD,又∵AB=AC,∴∠B=∠C,在△BPD和△CQP中,,∴△BPD≌△CQP(SAS);
③∵vP≠vQ,∴BP≠CQ,又∵△BPD≌△CPQ,∠B=∠C,∴BP=PC=3cm,CQ=BD=4cm,∴点P,点Q运动的时间t==秒,∴VQ===厘米/秒.【点评】此题考查了全等三角形的判定,主要运用了路程=速度×时间的公式,要求熟练运用全等三角形的判定和性质. 中学八年级(上)期中数学试卷
一、选择题1.我国每年都发行一套生肖邮票.下列生肖邮票中,动物的“脑袋”被设计成轴对称图案的是( )A.B.C.D.2.下列各组线段能构成直角三角形的一组是( )A.5cm,9cm,12cmB.7cm,12cm,13cmC.30cm,40cm,50cmD.3cm,4cm,6cm3.下列各数中,互为相反数的一组是( )A.﹣2与B.﹣2与C.﹣2与﹣D.|﹣2|与24.下列的式子一定是二次根式的是( )A.B.C.D.5.下列条件不能证明△ABC和△DEF全等的是( )A.AB=DE,AC=EF,BC=DFB.AB=DE,∠A=∠E,∠B=∠DC.AB=DE,∠A=∠D,AC=DFD.AB=DE,∠A=∠D,BC=EF6.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,AE为BC边上的中线,且AE=4,AD=3,则△ABC的面积为( )A.6B.8C.10D.12
二、填空题7.的立方根是 .8.有意义,则a的取值范围为 .9.近似数
2.428×105精确到 位.10.一个三角形的三边长分别为6,8,10,则这个三角形最长边上的高是 .11.若实数m,n满足(m+1)2+=0,则= .12.在等腰三角形ABC中,∠A=80°,则∠B= .13.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,过点E作MN∥BC交AB于M,交AC于N,若BM+CN=9,则线段MN的长为 .14.如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,以△ABC的各边为边在△ABC外作三个正方形,S
1、S
2、S3分别表示这三个正方形的面积.若S1=81,S2=225,则S3= .15.如图,△ABC的三边AB、BC、CA长分别为
40、
50、60.其三条角平分线交于点O,则S△ABO S△BCO S△CAO= .16.如图,在三角形ABC中,∠BAC=70°,点D在BC上,且BD=BA,点E在BC的延长线上,且CE=CA,则∠DAE= °.
三、解答题(计102分)17.(10分)计算
(1)2﹣1+﹣+()0
(2)﹣|2﹣|﹣.18.(10分)
(1)化简求值÷3×,其中a=4.
(2)已知x﹣2的平方根是±2,2x+y+7的立方根是3,求x2+y2的算术平方根.19.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°.
(1)用尺规在边BC上求作一点P,使PA=PB(不写作法,保留作图痕迹).
(2)连结AP,如果AP平分∠CAB.求∠B的度数.20.(8分)已知a、b、c满足|a﹣|++(c﹣4)2=0.
(1)求a、b、c的值;
(2)判断以a、b、c为边能否构成三角形?若能构成三角形,此三角形是什么形状?并求出三角形的面积;若不能,请说明理由.21.(10分)如图,方格纸上画有AB、CD两条线段,按下列要求作图(不保留作图痕迹,不要求写出作法)
(1)请你在图
(1)中画出线段AB关于CD所在直线成轴对称的图形;
(2)请你在图
(2)中添上一条线段,使图中的3条线段组成一个轴对称图形,请画出所有情形.22.(10分)如图,已知AC⊥BC,BD⊥AD,AC与BD交于O,AC=BD.求证
(1)BC=AD;
(2)△OAB是等腰三角形.23.(10分)已知如图,在△ABC中,D是BC上的点,AD=AB,E、F分别是AC、BD的中点,AC=6.求EF的长.24.(10分)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,若AC=6,BC=8.
(1)求BE的长;
(2)求△ADB的面积.25.(12分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,以AB长为一边作△ABD,∠ADB=90°,取AB中点E,连DE、CE、CD.
(1)求证DE=CE
(2)当∠CAB+∠DBA= 时,△DEC是等边三角形,并说明理由
(3)当∠CAB+∠DBA=45°时,若CD=5,取CD中点F,求EF的长.26.(14分)在△ABC中(如图1),AB=17,BC=21,AC=10.
(1)求△ABC的面积(某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,如图2,请你按照他们的解题思路完成解解答过程).
(2)若点P在直线BC上,当△APC为直角三角形时,求CP的长.(利用
(1)的方法)
(3)若有一点Q在在直线BC上运动,当△AQC为等腰三角形时,求BQ的长. 参考答案与试题解析
一、选择题1.我国每年都发行一套生肖邮票.下列生肖邮票中,动物的“脑袋”被设计成轴对称图案的是( )A.B.C.D.【考点】利用轴对称设计图案.【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断后即可求解.【解答】解A中图形不是轴对称图形,故此选项错误;B中图形不是轴对称图形,故此选项错误;C中图形不是轴对称图形,故此选项错误;D中图形是轴对称图形,故此选项正确;故选D.【点评】本题考查了轴对称图形,图形两部分沿对称轴折叠后可重合,轴对称图形的关键是寻找对称轴. 2.下列各组线段能构成直角三角形的一组是( )A.5cm,9cm,12cmB.7cm,12cm,13cmC.30cm,40cm,50cmD.3cm,4cm,6cm【考点】勾股定理的逆定理.【分析】根据勾股定理的逆定理进行判断,如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形.【解答】解A.∵5cm,9cm,12cm不符合勾股定理的逆定理,∴不能构成直角三角形;B.∵7cm,12cm,13cm不符合勾股定理的逆定理,∴不能构成直角三角形;C.∵30cm,40cm,50cm符合302+402=502,∴能构成直角三角形;D.∵3cm,4cm,6cm不符合勾股定理的逆定理,∴不能构成直角三角形;故选C.【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理的运用,要判断一个角是不是直角,先要构造出三角形,然后知道三条边的大小,用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较,如果相等,则三角形为直角三角形;否则不是. 3.下列各数中,互为相反数的一组是( )A.﹣2与B.﹣2与C.﹣2与﹣D.|﹣2|与2【考点】实数的性质;立方根.【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号,求解即可.【解答】解A、都是﹣2,故A错误;B、只有符号不同的两个数互为相反数,故B正确;C、绝对值不同,故C错误;D、都是2,故D错误;故选B.【点评】本题考查了相反数的意义,一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号一个正数的相反数是负数,一个负数的相反数是正数,0的相反数是0.不要把相反数的意义与倒数的意义混淆. 4.下列的式子一定是二次根式的是( )A.B.C.D.【考点】二次根式的定义.【分析】根据二次根式的被开方数是非负数对每个选项做判断即可.【解答】解A、当x=0时,﹣x﹣2<0,无意义,故本选项错误;B、当x=﹣1时,无意义;故本选项错误;C、∵x2+2≥2,∴符合二次根式的定义;故本选项正确;D、当x=±1时,x2﹣2=﹣1<0,无意义;故本选项错误;故选C.【点评】本题考查了二次根式的定义.一般形如(a≥0)的代数式叫做二次根式.当a≥0时,表示a的算术平方根;当a小于0时,非二次根式(在一元二次方程中,若根号下为负数,则无实数根). 5.下列条件不能证明△ABC和△DEF全等的是( )A.AB=DE,AC=EF,BC=DFB.AB=DE,∠A=∠E,∠B=∠DC.AB=DE,∠A=∠D,AC=DFD.AB=DE,∠A=∠D,BC=EF【考点】全等三角形的判定.【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项分析判断后利用排除法求解.【解答】解A、AB=DE,AC=EF,BC=DF,符合“SSS”,能判定△ABC和△DEF全等,故本选项不符合题意;B、AB=DE,∠A=∠E,∠B=∠D,符合“ASA”,能判定△ABC和△DEF全等,故本选项不符合题意;C、AB=DE,∠A=∠D,AC=DF,符合“SAS”,能判定△ABC和△DEF全等,故本选项不符合题意;D、AB=DE,∠A=∠D,BC=EF,不符合“SAS”,不能判定△ABC和△DEF全等,故本选项符合题意.故选D.【点评】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有SSS、SAS、ASA、AAS,熟记各方法是解题的关键. 6.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,AE为BC边上的中线,且AE=4,AD=3,则△ABC的面积为( )A.6B.8C.10D.12【考点】直角三角形斜边上的中线;三角形的面积.【分析】根据直角三角形的性质的性质即可得到结论.【解答】解∵∠BAC=90°,AE为BC边上的中线,∴BC=2AE=8,∵AD⊥BC于点D,∴△ABC的面积=BC•AD=12,故选D.【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线,三角形的面积的计算,熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键.
二、填空题7.的立方根是 2 .【考点】立方根.【分析】根据算术平方根的定义先求出,再根据立方根的定义即可得出答案.【解答】解∵=8,∴的立方根是2;故答案为2.【点评】此题主要考查了立方根的定义,求一个数的立方根,应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方.由开立方和立方是互逆运算,用立方的方法求这个数的立方根.注意一个数的立方根与原数的性质符号相同. 8.有意义,则a的取值范围为 a≥1 .【考点】二次根式有意义的条件.【分析】根据二次根式有意义的条件被开方数大于或等于0,列不等式求解.【解答】解根据二次根式有意义的条件,得a﹣1≥0,解得a≥1.故a的取值范围为a≥1.【点评】本题考查的知识点为二次根式的被开方数是非负数. 9.近似数
2.428×105精确到 百 位.【考点】近似数和有效数字.【分析】一个数精确到了哪一位,应当看这个数的末位数字实际在哪一位.【解答】解近似数
2.428×105中,
2.428的小数点前面的2表示20万,则这一位是十万位,因而
2.428的最后一位8应该是在百位上,因而这个数是精确到百位.【点评】对于用科学记数法表示的数,有效数字的计算方法以及精确到哪一位是需要识记的内容,经常会出错. 10.一个三角形的三边长分别为6,8,10,则这个三角形最长边上的高是
4.8 .【考点】勾股定理的逆定理.【分析】根据已知先判定其形状,再根据三角形的面积公式求得其高.【解答】解∵三角形的三边长分别为6,8,10,符合勾股定理的逆定理62+82=102,∴此三角形为直角三角形,则10为直角三角形的斜边,设三角形最长边上的高是h,根据三角形的面积公式得×6×8=×10h,解得h=
4.8.【点评】解答此题的关键是先判断出三角形的形状,再根据三角形的面积公式解答. 11.若实数m,n满足(m+1)2+=0,则= 2 .【考点】非负数的性质算术平方根;非负数的性质偶次方.【分析】根据非负数的性质列出算式,求出m、n的值,根据算术平方根的概念计算即可.【解答】解由题意得,m+1=0,n﹣5=0,解得,m=﹣1,n=5,则===2,故答案为2.【点评】本题考查的是非负数的性质,掌握非负数之和等于0时,各项都等于0是解题的关键. 12.在等腰三角形ABC中,∠A=80°,则∠B= 50°或20°或80° .【考点】等腰三角形的性质.【分析】分∠A是顶角,∠B是顶角,∠C是顶角三种情况,根据等腰三角形的性质和内角和定理求解.【解答】解已知等腰△ABC中∠A=80°,若∠A是顶角,则∠B=∠C,所以∠B=(180°﹣80°)=50°;若∠B是顶角,则∠A=∠C=80°,所以∠B=180°﹣80°﹣80°=20°;若∠C是顶角,则∠B=∠A=80°.故答案为50°或20°或80°.【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理;若题目中没有明确顶角或底角的度数,做题时要注意分情况进行讨论,这是十分重要的,也是解答问题的关键. 13.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,过点E作MN∥BC交AB于M,交AC于N,若BM+CN=9,则线段MN的长为 9 .【考点】等腰三角形的判定与性质;角平分线的定义;平行线的性质.【分析】由∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O,∠MBE=∠EBC,∠ECN=∠ECB,利用两直线平行,内错角相等,利用等量代换可∠MBE=∠MEB,∠NEC=∠ECN,然后即可求得结论.【解答】解∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E,∴∠MBE=∠EBC,∠ECN=∠ECB,∵MN∥BC,∴∠EBC=∠MEB,∠NEC=∠ECB,∴∠MBE=∠MEB,∠NEC=∠ECN,∴BM=ME,EN=CN,∴MN=ME+EN,即MN=BM+CN.∵BM+CN=9∴MN=9,故答案为9.【点评】题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解与掌握.此题关键是证明△BME,△CNE是等腰三角形. 14.如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,以△ABC的各边为边在△ABC外作三个正方形,S
1、S
2、S3分别表示这三个正方形的面积.若S1=81,S2=225,则S3= 144 .【考点】勾股定理.【分析】根据勾股定理求出BC2=AB2﹣AC2=144,即可得出结果.【解答】解根据题意得AB2=225,AC2=81,∵∠ACB=90°,∴BC2=AB2﹣AC2=225﹣81=144,则S3=BC2=144.故答案为144.【点评】考查了勾股定理、正方形的性质、正方形的面积;熟练掌握勾股定理,由勾股定理求出BC的平方是解决问题的关键. 15.如图,△ABC的三边AB、BC、CA长分别为
40、
50、60.其三条角平分线交于点O,则S△ABO S△BCO S△CAO= 456 .【考点】角平分线的性质.【分析】首先过点O作OD⊥AB于点D,作OE⊥AC于点E,作OF⊥BC于点F,由OA,OB,OC是△ABC的三条角平分线,根据角平分线的性质,可得OD=OE=OF,又由△ABC的三边AB、BC、CA长分别为
40、
50、60,即可求得S△ABO S△BCO S△CAO的值.【解答】解过点O作OD⊥AB于点D,作OE⊥AC于点E,作OF⊥BC于点F,∵OA,OB,OC是△ABC的三条角平分线,∴OD=OE=OF,∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为
40、
50、60,∴S△ABO S△BCO S△CAO=(AB•OD)(BC•OF)(AC•OE)=AB BCAC=405060=456.故答案为456.【点评】此题考查了角平分线的性质.此题难度不大,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用. 16.如图,在三角形ABC中,∠BAC=70°,点D在BC上,且BD=BA,点E在BC的延长线上,且CE=CA,则∠DAE= 35 °.【考点】等腰三角形的性质.【分析】由在△ABC中,∠BAC=70°,AB=AC,可求得∠ABC与∠ACB的度数,然后由BD=BA,CE=CA,分别求得∠BAD与∠CAE的度数,继而求得答案.【解答】解∵∠BAC=70°,AB=AC,∴∠B=∠ACB=55°,∵AB=BD,AC=CE,∴∠BAD=∠BDA,∠E=∠CAE,∴∠BAD=(180°﹣55°)=
62.5°,∴∠CAE=∠ACB=
27.5°,∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=70°﹣
62.5°=
7.5°,∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=35°;故答案为35【点评】此题考查等腰三角形的性质,内角和定理,外角性质等知识.多次利用外角的性质得到角之间的关系式正确解答本题的关键.
三、解答题(计102分)17.(10分)(2016秋•兴化市校级期中)计算
(1)2﹣1+﹣+()0
(2)﹣|2﹣|﹣.【考点】实数的运算;零指数幂;负整数指数幂.【分析】
(1)原式利用零指数幂、负整数指数幂法则,平方根、立方根定义计算即可得到结果;
(2)原式利用二次根式性质,绝对值的代数意义,以及立方根定义计算即可得到结果.【解答】解
(1)原式=+2﹣2+1=;
(2)原式=5﹣2+﹣3=.【点评】此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 18.(10分)(2016秋•兴化市校级期中)
(1)化简求值÷3×,其中a=4.
(2)已知x﹣2的平方根是±2,2x+y+7的立方根是3,求x2+y2的算术平方根.【考点】实数的运算.【分析】
(1)原式利用二次根式的乘除法则计算,将a的值代入计算即可求出值;
(2)利用平方根及立方根定义求出x与y的值,即可求出原式的算术平方根.【解答】解
(1)原式=×==,当a=4时,原式=;
(2)根据题意得x﹣2=4,2x+y+7=27,解得x=6,y=8,则x2+y2=100,100的算术平方根是10.【点评】此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 19.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°.
(1)用尺规在边BC上求作一点P,使PA=PB(不写作法,保留作图痕迹).
(2)连结AP,如果AP平分∠CAB.求∠B的度数.【考点】作图—复杂作图;线段垂直平分线的性质.【分析】
(1)如图,作AB的垂直平分线交BC于P,则点P满足条件;
(2)由PA=PB得到∠B=∠PAB,再由AP平分∠CAB得到∠PAB=∠CAB,则∠CAB=2∠B,然后根据三角形内角和计算∠B.【解答】解
(1)如图,点P为所作;
(2)∵PA=PB,∴∠B=∠PAB,∵AP平分∠CAB,∴∠PAB=∠CAB,∴∠CAB=2∠B,∵∠CAB+∠B=90°,即2∠B+∠B=90°,∴∠B=30°.【点评】本题考查了作图﹣复杂作图复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图,一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作. 20.已知a、b、c满足|a﹣|++(c﹣4)2=0.
(1)求a、b、c的值;
(2)判断以a、b、c为边能否构成三角形?若能构成三角形,此三角形是什么形状?并求出三角形的面积;若不能,请说明理由.【考点】勾股定理的逆定理;非负数的性质绝对值;非负数的性质偶次方;非负数的性质算术平方根.【分析】
(1)根据非负数的性质得到方程,解方程即可得到结果;
(2)根据三角形的三边关系,勾股定理的逆定理判断即可.【解答】解
(1)∵a、b、c满足|a﹣|++(c﹣4)2=0.∴|a﹣|=0,=0,(c﹣4)2=0.解得a=,b=5,c=4;
(2)∵a=,b=5,c=4,∴a+b=+5>4,∴以a、b、c为边能构成三角形,∵a2+b2=()2+52=32=
(4)2=c2,∴此三角形是直角三角形,∴S△==.【点评】本题考查了勾股定理的逆定理,非负数的性质,求三角形的面积,熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键. 21.(10分)(2016秋•太仓市期中)如图,方格纸上画有AB、CD两条线段,按下列要求作图(不保留作图痕迹,不要求写出作法)
(1)请你在图
(1)中画出线段AB关于CD所在直线成轴对称的图形;
(2)请你在图
(2)中添上一条线段,使图中的3条线段组成一个轴对称图形,请画出所有情形.【考点】作图-轴对称变换.【分析】
(1)做BO⊥CD于点O,并延长到B′,使B′O=BO,连接AB即可;
(2)轴对称图形沿某条直线折叠后,直线两旁的部分能完全重合.【解答】解所作图形如下所示【点评】本题考查对称轴作图,掌握画图的方法和图形的特点是解题的关键. 22.(10分)(2012•肇庆)如图,已知AC⊥BC,BD⊥AD,AC与BD交于O,AC=BD.求证
(1)BC=AD;
(2)△OAB是等腰三角形.【考点】全等三角形的判定与性质;等腰三角形的判定.【分析】
(1)根据AC⊥BC,BD⊥AD,得出△ABC与△BAD是直角三角形,再根据AC=BD,AB=BA,得出Rt△ABC≌Rt△BAD,即可证出BC=AD,
(2)根据Rt△ABC≌Rt△BAD,得出∠CAB=∠DBA,从而证出OA=OB,△OAB是等腰三角形.【解答】证明
(1)∵AC⊥BC,BD⊥AD,∴∠ADB=∠ACB=90°,在Rt△ABC和Rt△BAD中,∵,∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL),∴BC=AD,
(2)∵Rt△ABC≌Rt△BAD,∴∠CAB=∠DBA,∴OA=OB,∴△OAB是等腰三角形.【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质;用到的知识点是全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定等,全等三角形的判定是重点,本题是道基础题,是对全等三角形的判定的训练. 23.(10分)(2016秋•宜兴市期中)已知如图,在△ABC中,D是BC上的点,AD=AB,E、F分别是AC、BD的中点,AC=6.求EF的长.【考点】直角三角形斜边上的中线;等腰三角形的性质.【分析】连接AF,根据等腰三角形三线合一的性质可得AF⊥BD,在Rt△AFC中,再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出EF=AC.【解答】解连接AF.∵AB=AD,F是BD的中点,∴AF⊥BD,又∵E是AC的中点,∴EF=AC(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)∵AC=6,∴EF=3.故答案为3.【点评】本题考查了等腰三角形三线合一的性质,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键. 24.(10分)(2016秋•兴化市校级期中)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,若AC=6,BC=8.
(1)求BE的长;
(2)求△ADB的面积.【考点】勾股定理;角平分线的性质.【分析】
(1)根据角平分线的性质和勾股定理得出AE=AC即可;
(2)根据勾股定理得出方程求出DE,根据三角形的面积公式即可得到结论.【解答】解
(1)∵∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,∴CD=DE,AB==10,∴AD=AD,由勾股定理得AE=AC=6,∴BE=1B﹣AE=4;
(2)AB==10,设CD=DE=x,则BD=8﹣x,由勾股定理得x2+42=(8﹣x)2,解得x=3,∴DE=3,∴S△ABD=AB•DE=×10×3=15.【点评】本题主要考查角平分线的性质和勾股定理,找到CD、DE、BD之间的关系得到关于DE的方程是解题的关键.注意方程思想的应用. 25.(12分)(2016秋•兴化市校级期中)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,以AB长为一边作△ABD,∠ADB=90°,取AB中点E,连DE、CE、CD.
(1)求证DE=CE
(2)当∠CAB+∠DBA= 60°, 时,△DEC是等边三角形,并说明理由
(3)当∠CAB+∠DBA=45°时,若CD=5,取CD中点F,求EF的长.【考点】等边三角形的判定;等腰三角形的性质.【分析】
(1)由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论;
(2)证明A、B、C、D四点共圆,E是圆心,由圆周角定理得出∠BEC=2∠CAB,∠AED=2∠DBA,得出∠BEC+∠AED=2×60°=120°,求出∠DEC=60°即可;
(3)同
(2)证出∠DEC=90°,由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论.【解答】
(1)证明∵∠ACB=∠ADB=90°,E是AB的中点,∴DE=AB,CE=AB,∴DE=CE;
(2)解当∠CAB+∠DBA=60°时,△DEC是等边三角形,理由如下∵∠ACB=∠ADB=90°,∴A、B、C、D四点共圆,E是圆心,∴∠BEC=2∠CAB,∠AED=2∠DBA,∵∠CAB+∠DBA=60°,∴∠BEC+∠AED=2×60°=120°,∴∠DEC=60°,∵DE=CE,∴△DEC是等边三角形;故答案为60°;
(3)解同
(2)得∠BEC=2∠CAB,∠AED=2∠DBA,∵∠CAB+∠DBA=45°,∴∠BEC+∠AED=2×45°=90°,∴∠DEC=90°,∵F是CD的中点,∴EF=CD=
2.5.【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线性质等知识;本题有一定难度. 26.(14分)(2016秋•兴化市校级期中)在△ABC中(如图1),AB=17,BC=21,AC=10.
(1)求△ABC的面积(某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,如图2,请你按照他们的解题思路完成解解答过程).
(2)若点P在直线BC上,当△APC为直角三角形时,求CP的长.(利用
(1)的方法)
(3)若有一点Q在在直线BC上运动,当△AQC为等腰三角形时,求BQ的长.【考点】三角形综合题.【分析】
(1)作AD垂直于BC,设BD=x,则有CD=21﹣x,分别利用勾股定理表示出AD2,列出关于x的方程,求出方程的解得到x的值,进而确定出AD的长,求出三角形ABC面积即可;
(2)如图所示,分两种情况考虑当△ACP2为直角三角形时;当△ACP1为直角三角形时,分别求出CP的长即可;
(3)如图所示,分四种情况考虑当AC=CQ1=10时;当AQ2=AC=10时;当AQ3=CQ3时;当AC=CQ4=10时,分别求出BQ的长即可.【解答】解
(1)作AD⊥BC,设BD=x,则有CD=21﹣x,在Rt△ABD中,根据勾股定理得AD2=172﹣x2,在Rt△ACD中,根据勾股定理得AD2=102﹣(21﹣x)2,可得289﹣x2=100﹣(21﹣x)2,整理得42x=630,解得x=15,∴AD=8,则S=BC•AD=84;
(2)如图所示当P2与D重合时,此时△APC2为直角三角形,CP2=6;当△AP1C为直角三角形时,AD2=P1D•CD,即64=6P1D,解得P1D=,此时CP1=;
(3)如图所示,分四种情况考虑当AC=CQ1=10时,BQ1=21﹣10=11;当AQ2=AC=10时,CD=Q2D=6,此时BQ2=21﹣12=9;当AQ3=CQ3时,此时BQ3=;当AC=CQ4=10时,BQ4=21+10=31.【点评】此题属于三角形综合题,涉及的知识有勾股定理,相似三角形的判定与性质,以及线段垂直平分线定理,熟练掌握定理是解本题的关键. 。