还剩47页未读,继续阅读
本资源只提供10页预览,全部文档请下载后查看!喜欢就下载吧,查找使用更方便
文本内容:
2017年八年级上学期期中数学试卷两套合集十附答案解析中学八年级(上)期中数学试卷
一、选择题
1.3的平方根是( )A.9B.C.﹣D.±2.下列各组数,可以作为直角三角形的三边长的是( )A.8,12,20B.2,3,4C.8,10,6D.5,13,153.如图,下列图案是我国几家银行的标志,其中轴对称图形有( )A.1个B.2个C.3个D.4个4.已知等腰三角形的一个外角等于100°,则它的顶角是( )A.80°B.20°C.80°或20°D.不能确定5.如图所示数轴上点A所表示的数为a,则a的值是( )A.+1B.﹣+1C.D.﹣16.请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图,请你根据所学的三角形全等有关的知识,说明画出∠A′O′B′=∠AOB的依据是( )A.SASB.ASAC.AASD.SSS7.如图,四边形ABCD是直角梯形,AB∥CD,AD⊥AB,CD=3,AB=9,AD=5,点P是腰AD上的一个动点,要使PC+PB最小,其最小值为( )A.13B.C.D.8.已知如图等腰△ABC,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥BC于点D,点P是BA延长线上一点,点O是线段AD上一点,OP=OC,下面的结论
①∠APO+∠DCO=30°;
②△OPC是等边三角形;
③AC=AO+AP;
④S△ABC=S四边形AOCP.其中正确的是( )A.
①②③B.
①②④C.
①③④D.
①②③④
二、填空题
9.±= ;立方根是5的数是 .10.若2m﹣1没有平方根,则m的取值范围是 .11.若一个正数的平方根是2a+1和﹣a﹣4,则这个正数是 .12.等腰三角形的周长是24,其中一边长是10,则腰长是 .13.如图,把△ABC绕着点C顺时针旋转35°,得到△A′B′C,A′B′交AC于D点.若∠A′DC=90°,则∠A= 度.14.若直角三角形斜边上的高和中线长分别是3cm和4cm,则它的面积是 .15.某直角三角形三条边的平方和为800,则这个直角三角形的斜边长为 .16.如图所示,三角形ABC的面积为1cm2.AP垂直∠B的平分线BP于点P.则三角形PBC的面积是 .17.在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB=20,AC=16,AD平分∠BAC交BC于点D,且BD CD=54,则点D到线段AB的距离为 .18.如图,AO⊥OM,OA=8,点B为射线OM上的一个动点,分别以OB,AB为直角边,B为直角顶点,在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE,连接EF交OM于P点,当点B在射线OM上移动时,PB的长度为 .19.如图,两个边长为6的等边三角形拼出四边形ABCD,点E从点D出发,以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动,设运动时间为t秒.将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α(α=∠BCD),得到对应线段CF.当t= 时,DF的长度有最小值,最小值等于 .
三、解答题(共70分,解答时应写明演算步骤、证明过程或必要的文字说明.)20.计算
(1)(﹣3)2﹣+
(2)﹣|﹣2|﹣.21.解方程
(1)25x2=9;
(2)(x+3)3=822.如图,在6×6的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,请在所给网格中按下列要求画出图形.
(1)从点A出发的一条线段AB,使它的另一个端点落在格点(即小正方形的顶点)上,且长度为2;
(2)以
(1)中的AB为边的一个等腰△ABC,使点C在格点上,且三边中至少有两边的长度都是无理数.回答符合条件的点C共有 个,并在网格中画出符合条件的一个点C.23.已知△ABC中∠BAC=130°,BC=18cm,AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F,与AB、AC分别交于点D、G.求
(1)∠EAF的度数.
(2)求△AEF的周长.24.如图,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,D为AB延长线上一点,点E在BC边上,且BE=BD,连结AE、DE、DC.
①求证△ABE≌△CBD;
②若∠CAE=30°,求∠BDC的度数.25.如图,在△ABC中,AB=AC,BC=8,E是AC的中点,且点B与点E关于直线l对称,EF⊥BC于F,若CF=2,EF=3,直线l与BC交于点D,求BD长.26.定义三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形”.数学学习小组的同学从32根等长的火柴棒已知∠ACD=90°,MN是过点A的直线,AC=DC,DB⊥MN于点B,如图
(1).易证BD+AB=CB,过程如下过点C作CE⊥CB于点C,与MN交于点E∵∠ACB+∠BCD=90°,∠ACB+∠ACE=90°,∴∠BCD=∠ACE.∵四边形ACDB内角和为360°,∴∠BDC+∠CAB=180°.∵∠EAC+∠CAB=180°,∴∠EAC=∠BDC.又∵AC=DC,∴△ACE≌△DCB,∴AE=DB,CE=CB,∴△ECB为等腰直角三角形,∴BE=CB.又∵BE=AE+AB,∴BE=BD+AB,∴BD+AB=CB.
(1)当MN绕A旋转到如图
(2)和图
(3)两个位置时,BD、AB、CB满足什么样关系式,请写出你的猜想,并对图
(3)给予证明.
(2)MN在绕点A旋转过程中,当∠BCD=30°,BD=时,则CD= ,CB= .参考答案与试题解析
一、选择题(2015•李沧区一模)3的平方根是( )A.9B.C.﹣D.±【考点】平方根.【分析】如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根,也叫做a的二次方根.一个正数有正、负两个平方根,他们互相为相反数;零的平方根是零,负数没有平方根.【解答】解∵()2=3,∴3的平方根.故选D.【点评】本题考查了平方根的定义.注意一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根. 2.下列各组数,可以作为直角三角形的三边长的是( )A.8,12,20B.2,3,4C.8,10,6D.5,13,15【考点】勾股定理的逆定理.【专题】推理填空题.【分析】根据勾股定理的逆定理,求出两小边的平方和,再求出大边的平方,看是否相等,即可得出答案.【解答】解A、82+122=208,202=400,∴三角形不是直角三角形,故本选项错误;B、22+32=13,42=16,∴三角形不是直角三角形,故本选项错误;C、82+62=100,102=100,∴,82+62=102,故办选项正确;D、52+132=194,152=225,∴三角形不是直角三角形,故本选项错误;故选C.【点评】本题考查了对勾股定理的逆定理的运用,勾股定理的逆定理是如果一个三角形的三边分别是a、b、c(c最大)满足a2+b2=c2,则三角形是直角三角形. 3.如图,下列图案是我国几家银行的标志,其中轴对称图形有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【考点】轴对称图形.【分析】根据轴对称图形的概念如果一个图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形.据此可知只有第三个图形不是轴对称图形.【解答】解根据轴对称图形的定义第一个图形和第二个图形有2条对称轴,是轴对称图形,符合题意;第三个图形找不到对称轴,则不是轴对称图形,不符合题意.第四个图形有1条对称轴,是轴对称图形,符合题意;轴对称图形共有3个.故选C.【点评】本题考查了轴对称与轴对称图形的概念.轴对称的关键是寻找对称轴,两边图象折叠后可重合. 4.已知等腰三角形的一个外角等于100°,则它的顶角是( )A.80°B.20°C.80°或20°D.不能确定【考点】等腰三角形的性质.【专题】分类讨论.【分析】此外角可能是顶角的外角,也可能是底角的外角,需要分情况考虑,再结合三角形的内角和为180°,可求出顶角的度数.【解答】解
①若100°是顶角的外角,则顶角=180°﹣100°=80°;
②若100°是底角的外角,则底角=180°﹣100°=80°,那么顶角=180°﹣2×80°=20°.故选C.【点评】当外角不确定是底角的外角还是顶角的外角时,需分两种情况考虑,再根据三角形内角和180°、三角形外角的性质求解. 5.如图所示数轴上点A所表示的数为a,则a的值是( )A.+1B.﹣+1C.D.﹣1【考点】实数与数轴.【分析】根据数轴上点的特点和相关线段的长,利用勾股定理求出斜边的长,即知表示﹣1的点和A之间的线段的长,进而可推出a的值.【解答】解图中直角三角形的两直角边为1,2,∴斜边长为=,那么﹣1和A之间的距离为,那么a的值是﹣1,故选D.【点评】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系,其中主要利用了已知两点间的距离,求较大的数,就用较小的数加上两点间的距离. 6.请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图,请你根据所学的三角形全等有关的知识,说明画出∠A′O′B′=∠AOB的依据是( )A.SASB.ASAC.AASD.SSS【考点】作图—基本作图;全等三角形的判定与性质.【分析】由作法易得OD=O′D′,OC=O′C′,CD=C′D′,得到三角形全等,由全等得到角相等,是用的全等的性质,全等三角形的对应角相等.【解答】解由作法易得OD=O′D′,OC=O′C′,CD=C′D′,依据SSS可判定△COD≌△COD(SSS),则△COD≌△COD,即∠AOB=∠AOB(全等三角形的对应角相等).故选D.【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质;由全等得到角相等是用的全等三角形的性质,熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键. 7.如图,四边形ABCD是直角梯形,AB∥CD,AD⊥AB,CD=3,AB=9,AD=5,点P是腰AD上的一个动点,要使PC+PB最小,其最小值为( )A.13B.C.D.【考点】轴对称-最短路线问题;直角梯形.【分析】作点C关于AD的对称点C′,连接BC′与AD相交于点P,根据轴对称确定最短路线问题,点P即为使PC+PB最小的点,过点C′作C′E⊥AB交BA的延长线于E,求出BE、C′E,再利用勾股定理列式求出BC′,即为PC+PB的最小值.【解答】解如图,作点C关于AD的对称点C′,连接BC′与AD相交于点P,由轴对称确定最短路线问题,点P即为使PC+PB最小的点,PC+PB=BC′,过点C′作C′E⊥AB交BA的延长线于E,∵AB∥CD,AD⊥AB,∴∠ADC′=90°,又∵C′E⊥AB,∴四边形ADC′E是矩形,∴AE=C′D=CD=3,C′E=AD=5,∴BE=AE+AB=3+9=12,在Rt△BC′E中,由勾股定理得,BC′===13,即PC+PB的最小值=13.故选A.【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题,直角梯形的性质,矩形的判定与性质,勾股定理,熟记各性质并准确确定出点P的位置是解题的关键. 8.已知如图等腰△ABC,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥BC于点D,点P是BA延长线上一点,点O是线段AD上一点,OP=OC,下面的结论
①∠APO+∠DCO=30°;
②△OPC是等边三角形;
③AC=AO+AP;
④S△ABC=S四边形AOCP.其中正确的是( )A.
①②③B.
①②④C.
①③④D.
①②③④【考点】等腰三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质.【分析】
①利用等边对等角,即可证得∠APO=∠ABO,∠DCO=∠DBO,则∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD,据此即可求解;
②证明∠POC=60°且OP=OC,即可证得△OPC是等边三角形;
③首先证明∴△OPA≌△CPE,则AO=CE,AC=AE+CE=AO+AP.
④过点C作CH⊥AB于H,根据S四边形AOCP=S△ACP+S△AOC,利用三角形的面积公式即可求解.【解答】解连接OB,∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=CD,∠BAD=∠BAC=×120°=60°,∴OB=OC,∠ABC=90°﹣∠BAD=30°,∵OP=OC,∴OB=OC=OP,∴∠APO=∠ABO,∠DCO=∠DBO,∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°;故
①正确;∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°,∴∠APC+∠DCP=150°,∵∠APO+∠DCO=30°,∴∠OPC+∠OCP=120°,∴∠POC=180°﹣(∠OPC+∠OCP)=60°,∵OP=OC,∴△OPC是等边三角形;故
②正确;在AC上截取AE=PA,∵∠PAE=180°﹣∠BAC=60°,∴△APE是等边三角形,∴∠PEA=∠APE=60°,PE=PA,∴∠APO+∠OPE=60°,∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°,∴∠APO=∠CPE,∵OP=CP,在△OPA和△CPE中,,∴△OPA≌△CPE(SAS),∴AO=CE,∴AC=AE+CE=AO+AP;故
③正确;过点C作CH⊥AB于H,∵∠PAC=∠DAC=60°,AD⊥BC,∴CH=CD,∴S△ABC=AB•CH,S四边形AOCP=S△ACP+S△AOC=AP•CH+OA•CD=AP•CH+OA•CH=CH•(AP+OA)=CH•AC,∴S△ABC=S四边形AOCP;故
④正确.故选D.【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质,关键是正确作出辅助线.
二、填空题
9.±= ±2 ;立方根是5的数是 125 .【考点】立方根;平方根.【分析】分别根据平方根和立方根的概念直接计算即可求解.【解答】解
①±=±2;
②∵53=125∴立方根是5的数是125.【点评】本题考查了平方根和立方根的概念.注意一个正数有两个平方根,它们互为相反数,正的平方根即为它的算术平方根.立方根的性质
(1)正数的立方根是正数.
(2)负数的立方根是负数.
(3)0的立方根是0. 10.若2m﹣1没有平方根,则m的取值范围是 m< .【考点】平方根.【分析】根据平方根的定义可知2m﹣1<0,解不等式即可.【解答】解∵负数没有平方根,∴2m﹣1<0,解得m.故答案为m.【点评】本题考查了平方根的定义,一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根. 11.若一个正数的平方根是2a+1和﹣a﹣4,则这个正数是 49 .【考点】平方根.【分析】根据一个正数有两个平方根,它们互为相反数即可得出2a+1﹣a﹣4=0,求出a即可.【解答】解∵一个正数的平方根是2a+1和﹣a﹣4,∴2a+1﹣a﹣4=0,a=3,2a+1=7,∴这个正数为72=49,故答案为49.【点评】本题考查了平方根的应用,注意一个正数有两个平方根,它们互为相反数. 12.等腰三角形的周长是24,其中一边长是10,则腰长是 10或7 .【考点】等腰三角形的性质.【专题】分类讨论.【分析】由于已知的长为10的边,没有说明是底还是腰,所以要分类讨论,最后要根据三角形三边关系定理来验证所求的结果是否合理.【解答】解当腰长为10时,底长为24﹣10×2=4;10﹣4<10<10+4,能构成三角形;当底长为10时,腰长为(24﹣10)÷2=7;10﹣7<7<10+7,能构成三角形;故此等腰三角形的腰长为10或7.故填10或7.【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系;对于底和腰不等的等腰三角形,若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时,应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论. 13.如图,把△ABC绕着点C顺时针旋转35°,得到△A′B′C,A′B′交AC于D点.若∠A′DC=90°,则∠A= 55 度.【考点】旋转的性质.【分析】根据旋转的性质,可得知∠ACA′=35°,从而求得∠A′的度数,又因为∠A的对应角是∠A′,则∠A度数可求.【解答】解∵△ABC绕着点C时针旋转35°,得到△AB′C′∴∠ACA′=35°,∠ADC=90°∴∠A′=55°,∵∠A的对应角是∠A′,即∠A=∠A′,∴∠A=55°.故答案为55.【点评】根据旋转的性质,图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动.其中对应点到旋转中心的距离相等,旋转前后图形的大小和形状没有改变.解题的关键是正确确定对应角. 14.若直角三角形斜边上的高和中线长分别是3cm和4cm,则它的面积是 12cm2 .【考点】直角三角形斜边上的中线.【分析】根据直角三角形斜边上中线性质求出AB,根据三角形面积公式求出即可.【解答】解∵在Rt△ACB中,∠ACB=90°,CE是△ACB中线,CE=4cm,∴AB=2CE=8cm,∴△ACB的面积是×AB×CD=×8cm×3cm=12cm2,故答案为12cm2.【点评】本题考查了直角三角形斜边上中线性质和三角形面积的应用,注意直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 15.某直角三角形三条边的平方和为800,则这个直角三角形的斜边长为 20 .【考点】勾股定理.【分析】直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方,已知三边的平方和可以求出斜边的平方,根据斜边的平方可以求出斜边长.【解答】解∵在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和,又∵已知三边的平方和为800,则斜边的平方为三边平方和的一半,即斜边的平方为,=400,∴斜边长==20,故答案为20.【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的灵活应用,考查了勾股定理的定义,本题中正确计算斜边长的平方是解题的关键. 16.如图所示,三角形ABC的面积为1cm2.AP垂直∠B的平分线BP于点P.则三角形PBC的面积是 cm2 .【考点】等腰三角形的判定与性质;角平分线的定义;三角形的面积;全等三角形的判定与性质.【分析】过点P作PE⊥BP,垂足为P,交BC于点E,由角平分线的定义可知∠ABP=∠EBP,结合BP=BP以及∠APB=∠EPB=90°即可证出△ABP≌△EBP(ASA),进而可得出AP=EP,根据三角形的面积即可得出S△APC=SEPC,再根据S△PBC=S△BPE+SEPC=S△ABC即可得出结论.【解答】解过点P作PE⊥BP,垂足为P,交BC于点E,如图所示.∵AP垂直∠B的平分线BP于点P,∴∠ABP=∠EBP.在△ABP和△EBP中,,∴△ABP≌△EBP(ASA),∴AP=EP.∵△APC和△EPC等底同高,∴S△APC=SEPC,∴S△PBC=S△BPE+SEPC=S△ABC=cm2.故答案为cm2.【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义以及三角形的面积,根据三角形间的关系找出S△PBC=S△ABC是解题的关键. 17.在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB=20,AC=16,AD平分∠BAC交BC于点D,且BD CD=54,则点D到线段AB的距离为 .【考点】勾股定理;角平分线的性质.【分析】利用勾股定理列式求出BC的长,再求出CD的长,过点D作DE⊥AB于E,然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD.【解答】解∵∠C=90°,AB=20,AC=16,∴BC===12,∵BD CD=54,∴CD=12×=,∵AD平分∠BAC,∴DE=CD=,即点D到线段AB的距离为.故答案为.【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,熟记性质是解题的关键. 18.如图,AO⊥OM,OA=8,点B为射线OM上的一个动点,分别以OB,AB为直角边,B为直角顶点,在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE,连接EF交OM于P点,当点B在射线OM上移动时,PB的长度为 4 .【考点】全等三角形的判定与性质.【分析】过E作EM⊥OP于M,首先证明△ABO≌△BEN,得到BO=ME;进而证明△BPF≌△MPE,即可解决问题.【解答】解如图,过点E作EN⊥BM,垂足为点N;∵∠AOB=∠ABE=∠BME=90°,∴∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠MBE,∴∠BAO=∠MBE;∵△ABE、△BFO均为等腰直角三角形,∴AB=BE,BF=BO;在△ABO与△BEN中,,∴△ABO≌△BEN(AAS),∴BO=ME,BM=AO;而BO=BF,∴BF=ME;在△BPF与△MPE中,,∴△BPF≌△MPE(AAS),∴BP=MP=;而BM=AO,∴BP=AO=×8=4,故答案为4.【点评】本题考查了三角形内角和定理,全等三角形的性质和判定的应用,解题的关键是作辅助线,构造全等三角形,灵活运用有关定理来分析或解答. 19.如图,两个边长为6的等边三角形拼出四边形ABCD,点E从点D出发,以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动,设运动时间为t秒.将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α(α=∠BCD),得到对应线段CF.当t= 9 时,DF的长度有最小值,最小值等于 3 .【考点】旋转的性质;等边三角形的性质.【分析】由∠ECF=∠BCD得∠DCF=∠BCE,结合DC=BC、CE=CF证△DCF≌△BCE即可得;当点E运动至点E′时,由DF=BE′知此时DF最小,求得BE′、AE′即可得答案;【解答】解∵∠ECF=∠BCD,即∠BCE+∠DCE=∠DCF+∠DCE,∴∠DCF=∠BCE,∵四边形ABCD是菱形,∴DC=BC,在△DCF和△BCE中,∴△DCF≌△BCE(SAS),∴DF=BE;如图1,当点E运动至点E′时,DF=BE′,此时DF最小,在Rt△ABE′中,AB=6,tan∠ABC=tan∠BAE′=,∴设AE′=x,则BE′=x,∴AB=2x=6,则AE′=x=3∴DE′=6+3,DF=BE′=3,故答案为9,3;【点评】此题是旋转的性质,主要考查等边三角形的有关性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形及旋转的性质,熟练掌握灵活运用是解题的关键.
三、解答题(共70分,解答时应写明演算步骤、证明过程或必要的文字说明.)20.计算
(1)(﹣3)2﹣+
(2)﹣|﹣2|﹣.【考点】实数的运算.【分析】
(1)根据平方、算术平方根以及立方根进行计算即可;
(2)根据绝对值、算术平方根进行计算即可.【解答】解
(1)原式=9﹣9+3=3;
(2)原式=3+﹣2﹣5=﹣4.【点评】本题考查了实数的运算,掌握平方、算术平方根以及立方根运算法则是解题的关键. 21.解方程
(1)25x2=9;
(2)(x+3)3=8【考点】立方根;平方根.【分析】
(1)先把方程化为x2=的形式,直接开平方即可求解;
(2)把x﹣3作为一个整体直接开立方即可求解.【解答】解
(1)∵x2=,∴x=±∴x=±;
(2)∵(x+3)3=8,∴x+3=,∴x+3=2,∴x=﹣1.【点评】此题主要考查了平方根和立方根的运用.要熟练掌握它们的性质和解法才会在方程中灵活的运用. 22.如图,在6×6的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,请在所给网格中按下列要求画出图形.
(1)从点A出发的一条线段AB,使它的另一个端点落在格点(即小正方形的顶点)上,且长度为2;
(2)以
(1)中的AB为边的一个等腰△ABC,使点C在格点上,且三边中至少有两边的长度都是无理数.回答符合条件的点C共有 4 个,并在网格中画出符合条件的一个点C.【考点】勾股定理;无理数;等腰三角形的性质.【分析】
(1)根据勾股定理,作两直角边都是2的直角三角形的斜边即可;
(2)根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等利用网格结构作出AB的垂直平分线,经过的格点到A、B的距离是无理数的都是符合条件的顶点C.【解答】解
(1)如图所示AB即为所作;
(2)如图所示,满足条件的点C有4个,故答案为4.【点评】本题考查了勾股定理,熟练掌握网格结构与等腰三角形的判定,线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质是解题的关键. 23.已知△ABC中∠BAC=130°,BC=18cm,AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F,与AB、AC分别交于点D、G.求
(1)∠EAF的度数.
(2)求△AEF的周长.【考点】线段垂直平分线的性质.【分析】
(1)由DE垂直平分AB,FG垂直平分AC,可得EB=EA,FA=FC,又由等腰三角形的性质与三角形内角和定理,可求得∠BAE+∠FAC度数,继而求得答案;
(2)由△AEF的周长等于AE+AF+EF=BE+CF+EF=BC,即可求得答案.【解答】解
(1)∵DE垂直平分AB,FG垂直平分AC,∴EB=EA,FA=FC,∴∠BAE=∠B,∠FAC=∠C,∵△ABC中,∠BAC=130°,∴∠B+∠C=50°,∴∠BAE+∠FAC=50°,∴∠EAF=∠BAC﹣(∠BAE+∠FAC)=80°;
(2)∵BC=18cm,∴△AEF的周长为AE+AF+EF=BE+CF+EF=BC=18cm.【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质.此题难度不大,注意掌握转化思想与数形结合思想的应用. 24.(10分)(2016•陕西一模)如图,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,D为AB延长线上一点,点E在BC边上,且BE=BD,连结AE、DE、DC.
①求证△ABE≌△CBD;
②若∠CAE=30°,求∠BDC的度数.【考点】全等三角形的判定与性质;三角形的外角性质.【专题】证明题.【分析】
①利用SAS即可得证;
②由全等三角形对应角相等得到∠AEB=∠CDB,利用外角的性质求出∠AEB的度数,即可确定出∠BDC的度数.【解答】
①证明在△ABE和△CBD中,,∴△ABE≌△CBD(SAS);
②解∵在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,∴∠BAC=∠ACB=45°,∵△ABE≌△CBD,∴∠AEB=∠BDC,∵∠AEB为△AEC的外角,∴∠AEB=∠ACB+∠CAE=30°+45°=75°,则∠BDC=75°.【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质,以及三角形的外角性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键. 25.如图,在△ABC中,AB=AC,BC=8,E是AC的中点,且点B与点E关于直线l对称,EF⊥BC于F,若CF=2,EF=3,直线l与BC交于点D,求BD长.【考点】轴对称的性质.【分析】连接DE,利用轴对称得出BD=DE,利用BC=8,CF=2,可得DF=6﹣BD,利用勾股定理得出(6﹣BD)2+32=BD2,即可得出BD的值.【解答】解如图,连接DE,∵点B与点E关于直线l对称,∴BD=DE,∵BC=8,CF=2,∴DF=8﹣2﹣BD=6﹣BD,∵EF⊥BC于F,EF=3,∴DF2+EF2=DE2,即(6﹣BD)2+32=BD2,解得BD=.【点评】本题主要考查了轴对称的性质,解题的关键是正确作出辅助线,得出BD=DE. 26.定义三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形”.数学学习小组的同学从32根等长的火柴棒(2016秋•崇安区校级期中)已知∠ACD=90°,MN是过点A的直线,AC=DC,DB⊥MN于点B,如图
(1).易证BD+AB=CB,过程如下过点C作CE⊥CB于点C,与MN交于点E∵∠ACB+∠BCD=90°,∠ACB+∠ACE=90°,∴∠BCD=∠ACE.∵四边形ACDB内角和为360°,∴∠BDC+∠CAB=180°.∵∠EAC+∠CAB=180°,∴∠EAC=∠BDC.又∵AC=DC,∴△ACE≌△DCB,∴AE=DB,CE=CB,∴△ECB为等腰直角三角形,∴BE=CB.又∵BE=AE+AB,∴BE=BD+AB,∴BD+AB=CB.
(1)当MN绕A旋转到如图
(2)和图
(3)两个位置时,BD、AB、CB满足什么样关系式,请写出你的猜想,并对图
(3)给予证明.
(2)MN在绕点A旋转过程中,当∠BCD=30°,BD=时,则CD= 2 ,CB= +1或﹣1 .【考点】三角形综合题.【分析】
(1)过点C作CE⊥CB于点C,与MN交于点E,证明△ACE≌△DCB,则△ECB为等腰直角三角形,据此即可得到BE=CB,根据BE=AB﹣AE即可证得;
(2)过点B作BH⊥CD于点H,证明△BDH是等腰直角三角形,求得DH的长,在直角△BCH中,利用直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半,即可求得.【解答】解
(1)如图
(2)AB﹣BD=CB.理由如下过点C作CE⊥CB于点C,与MN交于点E,∵∠ACD=90°,∴∠ACE=90°﹣∠DCE,∠BCD=90°﹣∠ECD,∴∠BCD=∠ACE.∵DB⊥MN,∴∠CAE=90°﹣∠AFC,∠D=90°﹣∠BFD,∵∠AFC=∠BFD,∴∠CAE=∠D,在△ACE和△DCB中,,∴△ACE≌△DCB(ASA),∴AE=DB,CE=CB,∴△ECB为等腰直角三角形,∴BE=CB.又∵BE=AB﹣AE,∴BE=AB﹣BD,∴AB﹣BD=CB.如图
(3)BD﹣AB=CB.理由如下过点C作CE⊥CB于点C,与MN交于点E,∵∠ACD=90°,∴∠ACE=90°+∠ACB,∠BCD=90°+∠ACB,∴∠BCD=∠ACE.∵DB⊥MN,∴∠CAE=90°﹣∠AFB,∠D=90°﹣∠CFD,∵∠AFB=∠CFD,∴∠CAE=∠D,又∵AC=DC,∴△ACE≌△DCB,∴AE=DB,CE=CB,∴△ECB为等腰直角三角形,∴BE=CB.又∵BE=AE﹣AB,∴BE=BD﹣AB,∴BD﹣AB=CB.
(2)MN在绕点A旋转过程中,这个的意思并没有指明是哪种情况,∴综合了第一个图和第二个图两种情况,若是第1个图由
(1)得△ACE≌△DCB,CE=CB,∴△ECB为等腰直角三角形,∴∠AEC=45°=∠CBD,过D作DH⊥CB.则△DHB为等腰直角三角形.BD=BH,∴BH=DH=1.直角△CDH中,∠DCH=30°,∴CD=2DH=2,CH=.∴CB=+1;若是第二个图过D作DH⊥CB交CB延长线于H.解法类似上面,CD=2,得出CB=﹣1;故答案为2,+1或﹣1.【点评】本题是三角形综合题目,考查了全等三角形的性质和判定的应用、等腰直角三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质;证明三角形全等和三角形是等腰直角三角形是解决问题的关键.中学八年级(上)期中数学试卷
一、选择题1.我国每年都发行一套生肖邮票.下列生肖邮票中,动物的“脑袋”被设计成轴对称图案的是( )A.B.C.D.2.下列各组线段能构成直角三角形的一组是( )A.5cm,9cm,12cmB.7cm,12cm,13cmC.30cm,40cm,50cmD.3cm,4cm,6cm3.下列各数中,互为相反数的一组是( )A.﹣2与B.﹣2与C.﹣2与﹣D.|﹣2|与24.下列的式子一定是二次根式的是( )A.B.C.D.5.下列条件不能证明△ABC和△DEF全等的是( )A.AB=DE,AC=EF,BC=DFB.AB=DE,∠A=∠E,∠B=∠DC.AB=DE,∠A=∠D,AC=DFD.AB=DE,∠A=∠D,BC=EF6.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,AE为BC边上的中线,且AE=4,AD=3,则△ABC的面积为( )A.6B.8C.10D.12
二、填空题7.的立方根是 .8.有意义,则a的取值范围为 .9.近似数
2.428×105精确到 位.10.一个三角形的三边长分别为6,8,10,则这个三角形最长边上的高是 .11.若实数m,n满足(m+1)2+=0,则= .12.在等腰三角形ABC中,∠A=80°,则∠B= .13.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,过点E作MN∥BC交AB于M,交AC于N,若BM+CN=9,则线段MN的长为 .14.如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,以△ABC的各边为边在△ABC外作三个正方形,S
1、S
2、S3分别表示这三个正方形的面积.若S1=81,S2=225,则S3= .15.如图,△ABC的三边AB、BC、CA长分别为
40、
50、60.其三条角平分线交于点O,则S△ABO S△BCO S△CAO= .16.如图,在三角形ABC中,∠BAC=70°,点D在BC上,且BD=BA,点E在BC的延长线上,且CE=CA,则∠DAE= °.
三、解答题(计102分)17.(10分)计算
(1)2﹣1+﹣+()0
(2)﹣|2﹣|﹣.18.(10分)
(1)化简求值÷3×,其中a=4.
(2)已知x﹣2的平方根是±2,2x+y+7的立方根是3,求x2+y2的算术平方根.19.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°.
(1)用尺规在边BC上求作一点P,使PA=PB(不写作法,保留作图痕迹).
(2)连结AP,如果AP平分∠CAB.求∠B的度数.20.(8分)已知a、b、c满足|a﹣|++(c﹣4)2=0.
(1)求a、b、c的值;
(2)判断以a、b、c为边能否构成三角形?若能构成三角形,此三角形是什么形状?并求出三角形的面积;若不能,请说明理由.21.(10分)如图,方格纸上画有AB、CD两条线段,按下列要求作图(不保留作图痕迹,不要求写出作法)
(1)请你在图
(1)中画出线段AB关于CD所在直线成轴对称的图形;
(2)请你在图
(2)中添上一条线段,使图中的3条线段组成一个轴对称图形,请画出所有情形.22.(10分)如图,已知AC⊥BC,BD⊥AD,AC与BD交于O,AC=BD.求证
(1)BC=AD;
(2)△OAB是等腰三角形.23.(10分)已知如图,在△ABC中,D是BC上的点,AD=AB,E、F分别是AC、BD的中点,AC=6.求EF的长.24.(10分)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,若AC=6,BC=8.
(1)求BE的长;
(2)求△ADB的面积.25.(12分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,以AB长为一边作△ABD,∠ADB=90°,取AB中点E,连DE、CE、CD.
(1)求证DE=CE
(2)当∠CAB+∠DBA= 时,△DEC是等边三角形,并说明理由
(3)当∠CAB+∠DBA=45°时,若CD=5,取CD中点F,求EF的长.26.(14分)在△ABC中(如图1),AB=17,BC=21,AC=10.
(1)求△ABC的面积(某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,如图2,请你按照他们的解题思路完成解解答过程).
(2)若点P在直线BC上,当△APC为直角三角形时,求CP的长.(利用
(1)的方法)
(3)若有一点Q在在直线BC上运动,当△AQC为等腰三角形时,求BQ的长. 参考答案与试题解析
一、选择题1.我国每年都发行一套生肖邮票.下列生肖邮票中,动物的“脑袋”被设计成轴对称图案的是( )A.B.C.D.【考点】利用轴对称设计图案.【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断后即可求解.【解答】解A中图形不是轴对称图形,故此选项错误;B中图形不是轴对称图形,故此选项错误;C中图形不是轴对称图形,故此选项错误;D中图形是轴对称图形,故此选项正确;故选D.【点评】本题考查了轴对称图形,图形两部分沿对称轴折叠后可重合,轴对称图形的关键是寻找对称轴. 2.下列各组线段能构成直角三角形的一组是( )A.5cm,9cm,12cmB.7cm,12cm,13cmC.30cm,40cm,50cmD.3cm,4cm,6cm【考点】勾股定理的逆定理.【分析】根据勾股定理的逆定理进行判断,如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形.【解答】解A.∵5cm,9cm,12cm不符合勾股定理的逆定理,∴不能构成直角三角形;B.∵7cm,12cm,13cm不符合勾股定理的逆定理,∴不能构成直角三角形;C.∵30cm,40cm,50cm符合302+402=502,∴能构成直角三角形;D.∵3cm,4cm,6cm不符合勾股定理的逆定理,∴不能构成直角三角形;故选C.【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理的运用,要判断一个角是不是直角,先要构造出三角形,然后知道三条边的大小,用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较,如果相等,则三角形为直角三角形;否则不是. 3.下列各数中,互为相反数的一组是( )A.﹣2与B.﹣2与C.﹣2与﹣D.|﹣2|与2【考点】实数的性质;立方根.【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号,求解即可.【解答】解A、都是﹣2,故A错误;B、只有符号不同的两个数互为相反数,故B正确;C、绝对值不同,故C错误;D、都是2,故D错误;故选B.【点评】本题考查了相反数的意义,一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号一个正数的相反数是负数,一个负数的相反数是正数,0的相反数是0.不要把相反数的意义与倒数的意义混淆. 4.下列的式子一定是二次根式的是( )A.B.C.D.【考点】二次根式的定义.【分析】根据二次根式的被开方数是非负数对每个选项做判断即可.【解答】解A、当x=0时,﹣x﹣2<0,无意义,故本选项错误;B、当x=﹣1时,无意义;故本选项错误;C、∵x2+2≥2,∴符合二次根式的定义;故本选项正确;D、当x=±1时,x2﹣2=﹣1<0,无意义;故本选项错误;故选C.【点评】本题考查了二次根式的定义.一般形如(a≥0)的代数式叫做二次根式.当a≥0时,表示a的算术平方根;当a小于0时,非二次根式(在一元二次方程中,若根号下为负数,则无实数根). 5.下列条件不能证明△ABC和△DEF全等的是( )A.AB=DE,AC=EF,BC=DFB.AB=DE,∠A=∠E,∠B=∠DC.AB=DE,∠A=∠D,AC=DFD.AB=DE,∠A=∠D,BC=EF【考点】全等三角形的判定.【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项分析判断后利用排除法求解.【解答】解A、AB=DE,AC=EF,BC=DF,符合“SSS”,能判定△ABC和△DEF全等,故本选项不符合题意;B、AB=DE,∠A=∠E,∠B=∠D,符合“ASA”,能判定△ABC和△DEF全等,故本选项不符合题意;C、AB=DE,∠A=∠D,AC=DF,符合“SAS”,能判定△ABC和△DEF全等,故本选项不符合题意;D、AB=DE,∠A=∠D,BC=EF,不符合“SAS”,不能判定△ABC和△DEF全等,故本选项符合题意.故选D.【点评】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有SSS、SAS、ASA、AAS,熟记各方法是解题的关键. 6.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,AE为BC边上的中线,且AE=4,AD=3,则△ABC的面积为( )A.6B.8C.10D.12【考点】直角三角形斜边上的中线;三角形的面积.【分析】根据直角三角形的性质的性质即可得到结论.【解答】解∵∠BAC=90°,AE为BC边上的中线,∴BC=2AE=8,∵AD⊥BC于点D,∴△ABC的面积=BC•AD=12,故选D.【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线,三角形的面积的计算,熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键.
二、填空题7.的立方根是 2 .【考点】立方根.【分析】根据算术平方根的定义先求出,再根据立方根的定义即可得出答案.【解答】解∵=8,∴的立方根是2;故答案为2.【点评】此题主要考查了立方根的定义,求一个数的立方根,应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方.由开立方和立方是互逆运算,用立方的方法求这个数的立方根.注意一个数的立方根与原数的性质符号相同. 8.有意义,则a的取值范围为 a≥1 .【考点】二次根式有意义的条件.【分析】根据二次根式有意义的条件被开方数大于或等于0,列不等式求解.【解答】解根据二次根式有意义的条件,得a﹣1≥0,解得a≥1.故a的取值范围为a≥1.【点评】本题考查的知识点为二次根式的被开方数是非负数. 9.近似数
2.428×105精确到 百 位.【考点】近似数和有效数字.【分析】一个数精确到了哪一位,应当看这个数的末位数字实际在哪一位.【解答】解近似数
2.428×105中,
2.428的小数点前面的2表示20万,则这一位是十万位,因而
2.428的最后一位8应该是在百位上,因而这个数是精确到百位.【点评】对于用科学记数法表示的数,有效数字的计算方法以及精确到哪一位是需要识记的内容,经常会出错. 10.一个三角形的三边长分别为6,8,10,则这个三角形最长边上的高是
4.8 .【考点】勾股定理的逆定理.【分析】根据已知先判定其形状,再根据三角形的面积公式求得其高.【解答】解∵三角形的三边长分别为6,8,10,符合勾股定理的逆定理62+82=102,∴此三角形为直角三角形,则10为直角三角形的斜边,设三角形最长边上的高是h,根据三角形的面积公式得×6×8=×10h,解得h=
4.8.【点评】解答此题的关键是先判断出三角形的形状,再根据三角形的面积公式解答. 11.若实数m,n满足(m+1)2+=0,则= 2 .【考点】非负数的性质算术平方根;非负数的性质偶次方.【分析】根据非负数的性质列出算式,求出m、n的值,根据算术平方根的概念计算即可.【解答】解由题意得,m+1=0,n﹣5=0,解得,m=﹣1,n=5,则===2,故答案为2.【点评】本题考查的是非负数的性质,掌握非负数之和等于0时,各项都等于0是解题的关键. 12.在等腰三角形ABC中,∠A=80°,则∠B= 50°或20°或80° .【考点】等腰三角形的性质.【分析】分∠A是顶角,∠B是顶角,∠C是顶角三种情况,根据等腰三角形的性质和内角和定理求解.【解答】解已知等腰△ABC中∠A=80°,若∠A是顶角,则∠B=∠C,所以∠B=(180°﹣80°)=50°;若∠B是顶角,则∠A=∠C=80°,所以∠B=180°﹣80°﹣80°=20°;若∠C是顶角,则∠B=∠A=80°.故答案为50°或20°或80°.【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理;若题目中没有明确顶角或底角的度数,做题时要注意分情况进行讨论,这是十分重要的,也是解答问题的关键. 13.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,过点E作MN∥BC交AB于M,交AC于N,若BM+CN=9,则线段MN的长为 9 .【考点】等腰三角形的判定与性质;角平分线的定义;平行线的性质.【分析】由∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O,∠MBE=∠EBC,∠ECN=∠ECB,利用两直线平行,内错角相等,利用等量代换可∠MBE=∠MEB,∠NEC=∠ECN,然后即可求得结论.【解答】解∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E,∴∠MBE=∠EBC,∠ECN=∠ECB,∵MN∥BC,∴∠EBC=∠MEB,∠NEC=∠ECB,∴∠MBE=∠MEB,∠NEC=∠ECN,∴BM=ME,EN=CN,∴MN=ME+EN,即MN=BM+CN.∵BM+CN=9∴MN=9,故答案为9.【点评】题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解与掌握.此题关键是证明△BME,△CNE是等腰三角形. 14.如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,以△ABC的各边为边在△ABC外作三个正方形,S
1、S
2、S3分别表示这三个正方形的面积.若S1=81,S2=225,则S3= 144 .【考点】勾股定理.【分析】根据勾股定理求出BC2=AB2﹣AC2=144,即可得出结果.【解答】解根据题意得AB2=225,AC2=81,∵∠ACB=90°,∴BC2=AB2﹣AC2=225﹣81=144,则S3=BC2=144.故答案为144.【点评】考查了勾股定理、正方形的性质、正方形的面积;熟练掌握勾股定理,由勾股定理求出BC的平方是解决问题的关键. 15.如图,△ABC的三边AB、BC、CA长分别为
40、
50、60.其三条角平分线交于点O,则S△ABO S△BCO S△CAO= 456 .【考点】角平分线的性质.【分析】首先过点O作OD⊥AB于点D,作OE⊥AC于点E,作OF⊥BC于点F,由OA,OB,OC是△ABC的三条角平分线,根据角平分线的性质,可得OD=OE=OF,又由△ABC的三边AB、BC、CA长分别为
40、
50、60,即可求得S△ABO S△BCO S△CAO的值.【解答】解过点O作OD⊥AB于点D,作OE⊥AC于点E,作OF⊥BC于点F,∵OA,OB,OC是△ABC的三条角平分线,∴OD=OE=OF,∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为
40、
50、60,∴S△ABO S△BCO S△CAO=(AB•OD)(BC•OF)(AC•OE)=AB BCAC=405060=456.故答案为456.【点评】此题考查了角平分线的性质.此题难度不大,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用. 16.如图,在三角形ABC中,∠BAC=70°,点D在BC上,且BD=BA,点E在BC的延长线上,且CE=CA,则∠DAE= 35 °.【考点】等腰三角形的性质.【分析】由在△ABC中,∠BAC=70°,AB=AC,可求得∠ABC与∠ACB的度数,然后由BD=BA,CE=CA,分别求得∠BAD与∠CAE的度数,继而求得答案.【解答】解∵∠BAC=70°,AB=AC,∴∠B=∠ACB=55°,∵AB=BD,AC=CE,∴∠BAD=∠BDA,∠E=∠CAE,∴∠BAD=(180°﹣55°)=
62.5°,∴∠CAE=∠ACB=
27.5°,∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=70°﹣
62.5°=
7.5°,∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=35°;故答案为35【点评】此题考查等腰三角形的性质,内角和定理,外角性质等知识.多次利用外角的性质得到角之间的关系式正确解答本题的关键.
三、解答题(计102分)17.(10分)(2016秋•兴化市校级期中)计算
(1)2﹣1+﹣+()0
(2)﹣|2﹣|﹣.【考点】实数的运算;零指数幂;负整数指数幂.【分析】
(1)原式利用零指数幂、负整数指数幂法则,平方根、立方根定义计算即可得到结果;
(2)原式利用二次根式性质,绝对值的代数意义,以及立方根定义计算即可得到结果.【解答】解
(1)原式=+2﹣2+1=;
(2)原式=5﹣2+﹣3=.【点评】此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 18.(10分)(2016秋•兴化市校级期中)
(1)化简求值÷3×,其中a=4.
(2)已知x﹣2的平方根是±2,2x+y+7的立方根是3,求x2+y2的算术平方根.【考点】实数的运算.【分析】
(1)原式利用二次根式的乘除法则计算,将a的值代入计算即可求出值;
(2)利用平方根及立方根定义求出x与y的值,即可求出原式的算术平方根.【解答】解
(1)原式=×==,当a=4时,原式=;
(2)根据题意得x﹣2=4,2x+y+7=27,解得x=6,y=8,则x2+y2=100,100的算术平方根是10.【点评】此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 19.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°.
(1)用尺规在边BC上求作一点P,使PA=PB(不写作法,保留作图痕迹).
(2)连结AP,如果AP平分∠CAB.求∠B的度数.【考点】作图—复杂作图;线段垂直平分线的性质.【分析】
(1)如图,作AB的垂直平分线交BC于P,则点P满足条件;
(2)由PA=PB得到∠B=∠PAB,再由AP平分∠CAB得到∠PAB=∠CAB,则∠CAB=2∠B,然后根据三角形内角和计算∠B.【解答】解
(1)如图,点P为所作;
(2)∵PA=PB,∴∠B=∠PAB,∵AP平分∠CAB,∴∠PAB=∠CAB,∴∠CAB=2∠B,∵∠CAB+∠B=90°,即2∠B+∠B=90°,∴∠B=30°.【点评】本题考查了作图﹣复杂作图复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图,一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作. 20.已知a、b、c满足|a﹣|++(c﹣4)2=0.
(1)求a、b、c的值;
(2)判断以a、b、c为边能否构成三角形?若能构成三角形,此三角形是什么形状?并求出三角形的面积;若不能,请说明理由.【考点】勾股定理的逆定理;非负数的性质绝对值;非负数的性质偶次方;非负数的性质算术平方根.【分析】
(1)根据非负数的性质得到方程,解方程即可得到结果;
(2)根据三角形的三边关系,勾股定理的逆定理判断即可.【解答】解
(1)∵a、b、c满足|a﹣|++(c﹣4)2=0.∴|a﹣|=0,=0,(c﹣4)2=0.解得a=,b=5,c=4;
(2)∵a=,b=5,c=4,∴a+b=+5>4,∴以a、b、c为边能构成三角形,∵a2+b2=()2+52=32=
(4)2=c2,∴此三角形是直角三角形,∴S△==.【点评】本题考查了勾股定理的逆定理,非负数的性质,求三角形的面积,熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键. 21.(10分)(2016秋•太仓市期中)如图,方格纸上画有AB、CD两条线段,按下列要求作图(不保留作图痕迹,不要求写出作法)
(1)请你在图
(1)中画出线段AB关于CD所在直线成轴对称的图形;
(2)请你在图
(2)中添上一条线段,使图中的3条线段组成一个轴对称图形,请画出所有情形.【考点】作图-轴对称变换.【分析】
(1)做BO⊥CD于点O,并延长到B′,使B′O=BO,连接AB即可;
(2)轴对称图形沿某条直线折叠后,直线两旁的部分能完全重合.【解答】解所作图形如下所示【点评】本题考查对称轴作图,掌握画图的方法和图形的特点是解题的关键. 22.(10分)(2012•肇庆)如图,已知AC⊥BC,BD⊥AD,AC与BD交于O,AC=BD.求证
(1)BC=AD;
(2)△OAB是等腰三角形.【考点】全等三角形的判定与性质;等腰三角形的判定.【分析】
(1)根据AC⊥BC,BD⊥AD,得出△ABC与△BAD是直角三角形,再根据AC=BD,AB=BA,得出Rt△ABC≌Rt△BAD,即可证出BC=AD,
(2)根据Rt△ABC≌Rt△BAD,得出∠CAB=∠DBA,从而证出OA=OB,△OAB是等腰三角形.【解答】证明
(1)∵AC⊥BC,BD⊥AD,∴∠ADB=∠ACB=90°,在Rt△ABC和Rt△BAD中,∵,∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL),∴BC=AD,
(2)∵Rt△ABC≌Rt△BAD,∴∠CAB=∠DBA,∴OA=OB,∴△OAB是等腰三角形.【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质;用到的知识点是全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定等,全等三角形的判定是重点,本题是道基础题,是对全等三角形的判定的训练. 23.(10分)(2016秋•宜兴市期中)已知如图,在△ABC中,D是BC上的点,AD=AB,E、F分别是AC、BD的中点,AC=6.求EF的长.【考点】直角三角形斜边上的中线;等腰三角形的性质.【分析】连接AF,根据等腰三角形三线合一的性质可得AF⊥BD,在Rt△AFC中,再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出EF=AC.【解答】解连接AF.∵AB=AD,F是BD的中点,∴AF⊥BD,又∵E是AC的中点,∴EF=AC(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)∵AC=6,∴EF=3.故答案为3.【点评】本题考查了等腰三角形三线合一的性质,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键. 24.(10分)(2016秋•兴化市校级期中)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,若AC=6,BC=8.
(1)求BE的长;
(2)求△ADB的面积.【考点】勾股定理;角平分线的性质.【分析】
(1)根据角平分线的性质和勾股定理得出AE=AC即可;
(2)根据勾股定理得出方程求出DE,根据三角形的面积公式即可得到结论.【解答】解
(1)∵∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,∴CD=DE,AB==10,∴AD=AD,由勾股定理得AE=AC=6,∴BE=1B﹣AE=4;
(2)AB==10,设CD=DE=x,则BD=8﹣x,由勾股定理得x2+42=(8﹣x)2,解得x=3,∴DE=3,∴S△ABD=AB•DE=×10×3=15.【点评】本题主要考查角平分线的性质和勾股定理,找到CD、DE、BD之间的关系得到关于DE的方程是解题的关键.注意方程思想的应用. 25.(12分)(2016秋•兴化市校级期中)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,以AB长为一边作△ABD,∠ADB=90°,取AB中点E,连DE、CE、CD.
(1)求证DE=CE
(2)当∠CAB+∠DBA= 60°, 时,△DEC是等边三角形,并说明理由
(3)当∠CAB+∠DBA=45°时,若CD=5,取CD中点F,求EF的长.【考点】等边三角形的判定;等腰三角形的性质.【分析】
(1)由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论;
(2)证明A、B、C、D四点共圆,E是圆心,由圆周角定理得出∠BEC=2∠CAB,∠AED=2∠DBA,得出∠BEC+∠AED=2×60°=120°,求出∠DEC=60°即可;
(3)同
(2)证出∠DEC=90°,由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论.【解答】
(1)证明∵∠ACB=∠ADB=90°,E是AB的中点,∴DE=AB,CE=AB,∴DE=CE;
(2)解当∠CAB+∠DBA=60°时,△DEC是等边三角形,理由如下∵∠ACB=∠ADB=90°,∴A、B、C、D四点共圆,E是圆心,∴∠BEC=2∠CAB,∠AED=2∠DBA,∵∠CAB+∠DBA=60°,∴∠BEC+∠AED=2×60°=120°,∴∠DEC=60°,∵DE=CE,∴△DEC是等边三角形;故答案为60°;
(3)解同
(2)得∠BEC=2∠CAB,∠AED=2∠DBA,∵∠CAB+∠DBA=45°,∴∠BEC+∠AED=2×45°=90°,∴∠DEC=90°,∵F是CD的中点,∴EF=CD=
2.5.【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线性质等知识;本题有一定难度. 26.(14分)(2016秋•兴化市校级期中)在△ABC中(如图1),AB=17,BC=21,AC=10.
(1)求△ABC的面积(某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,如图2,请你按照他们的解题思路完成解解答过程).
(2)若点P在直线BC上,当△APC为直角三角形时,求CP的长.(利用
(1)的方法)
(3)若有一点Q在在直线BC上运动,当△AQC为等腰三角形时,求BQ的长.【考点】三角形综合题.【分析】
(1)作AD垂直于BC,设BD=x,则有CD=21﹣x,分别利用勾股定理表示出AD2,列出关于x的方程,求出方程的解得到x的值,进而确定出AD的长,求出三角形ABC面积即可;
(2)如图所示,分两种情况考虑当△ACP2为直角三角形时;当△ACP1为直角三角形时,分别求出CP的长即可;
(3)如图所示,分四种情况考虑当AC=CQ1=10时;当AQ2=AC=10时;当AQ3=CQ3时;当AC=CQ4=10时,分别求出BQ的长即可.【解答】解
(1)作AD⊥BC,设BD=x,则有CD=21﹣x,在Rt△ABD中,根据勾股定理得AD2=172﹣x2,在Rt△ACD中,根据勾股定理得AD2=102﹣(21﹣x)2,可得289﹣x2=100﹣(21﹣x)2,整理得42x=630,解得x=15,∴AD=8,则S=BC•AD=84;
(2)如图所示当P2与D重合时,此时△APC2为直角三角形,CP2=6;当△AP1C为直角三角形时,AD2=P1D•CD,即64=6P1D,解得P1D=,此时CP1=;
(3)如图所示,分四种情况考虑当AC=CQ1=10时,BQ1=21﹣10=11;当AQ2=AC=10时,CD=Q2D=6,此时BQ2=21﹣12=9;当AQ3=CQ3时,此时BQ3=;当AC=CQ4=10时,BQ4=21+10=31.【点评】此题属于三角形综合题,涉及的知识有勾股定理,相似三角形的判定与性质,以及线段垂直平分线定理,熟练掌握定理是解本题的关键. 。