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2017年八年级下学期期中数学试卷两套合集三附答案解析八年级(下)期中数学试卷
一、选择题1.下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )A.B.C.D.2.下列事件中,为必然事件的是( )A.购买一张彩票,中奖B.打开电视机,正在播放广告C.抛一牧捌币,正面向上D.一个袋中装有5个黑球,从中摸出一个球是黑球3.代数式,,,中分式有( )A.1个B.2个C.3个D.4个4.若分式有意义,则x的取值范围是( )A.x≠2B.x≠﹣2C.x>﹣2D.x>25.若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形,则四边形ABCD一定满足( )A.对角线相等B.对角线互相平分C.对角线互相垂直D.对角线相等且相互平分6.已知菱形的周长为40cm,两条对角线之比34,则菱形面积为( )A.962B.48cm2C.24cm2D.12cm27.如图,已知四边形ABCD中,R,P分别是BC,CD上的点,E,F分别是AP,RP的中点,当点P在CD上从C向D移动而点R不动时,那么下列结论成立的是( )A.线段EF的长逐渐增大B.线段EF的长逐渐减少C.线段EF的长不变D.线段EF的长与点P的位置有关8.如图,AB∥CD,E,F分别为AC,BD的中点,若AB=5,CD=3,则EF的长是( )A.4B.3C.2D.1
二、填空题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)9.某电视台综艺节目接到热线电话3000个,现要从中抽取“幸运观众”50名,小明打通了一次热线电话,那么他成为“幸运观众”的概率为 .10.在一个不透明的布袋中,红色、黑色、白色的玻璃球共有60个,除颜色外,形状、大小、质地等完全相同,小刚通过多次摸球实验后发现其中摸到红色球的频率稳定在15%,则口袋中红色球的个数很可能是 个.11.已知,在▱ABCD中,∠A=∠B,则∠A= .12.矩形两条对角线的夹角为60°,其中矩形中较短的边长为5,则矩形对角线的长为 .13.某校对去年毕业的350名学生的毕业去向进行跟踪调查,并绘制出扇形统计图(如图所示),则该校去年毕业生在家待业人数有 人.14.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,E是AC的中点.若DE=5,则AB的长为 .15.如图,在▱ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,若AE=4,AF=6,▱ABCD的周长为40,则▱ABCD的面积为 .16.如图,将△ABC的绕点A顺时针旋转得到△AED,点D正好落在BC边上.已知∠C=80°,则∠EAB= °.17.如图,菱形ABCD的两条对角线分别长6和8,点P是对角线AC上的一个动点,点M、N分别是边AB、BC的中点,则PM+PN的最小值是 .18.如图所示,P是矩形ABCD内的任意一点,连接PA、PB、PC、PD,得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA,设它们的面积分别是S
1、S
2、S
3、S4,给出如下结论
①S1+S4=S2+S3;
②S2+S4=S1+S2;
③若S3=2S1,则S4=2S2;
④若S1=S2,则S3=S4,其中正确结论的序号是 .
三、解答题(本大题共3小题,共32分)19.
(1)计算﹣
(2)先化简,再求值÷(x+2﹣),其中x=1.20.方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形,在建立平面直角坐标系后,△ABC的顶点均在格点上,点C的坐标为(4,﹣1).
(1)试作出△ABC以C为旋转中心,沿顺时针方向旋转90°后的图形△A1B1C;
(2)以原点O为对称中心,再画出与△ABC关于原点O对称的△A2B2C2,并写出点C2的坐标 .21.若a>0,M=,N=
(1)当a=1时,M= ,N= ;当a=3时,M= ,N= ;
(2)猜想M与N的大小关系,并证明你的猜想.
四、解答题(本大题共2小题,每小题10分,共20分)22.学生的学业负担过重会严重影响学生对待学习的态度.为此我市教育部门对部分学校的八年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查(把学习态度分为三个层级,A级对学习很感兴趣;B级对学习较感兴趣;C级对学习不感兴趣),并将调查结果绘制成图
①和图
②的统计图(不完整).请根据图中提供的信息,解答下列问题
(1)此次抽样调查中,共调查了 名学生;
(2)将图
①补充完整;
(3)求出图
②中C级所占的圆心角的度数;
(4)根据抽样调查结果,请你估计我市近8000名八年级学生中大约有多少名学生学习态度达标(达标包括A级和B级)?23.已知如图,在▱ABCD中,M、N是对角线BD上的两点,且BM=DN.求证四边形AMCN是平行四边形.
五、解答题(本大题共2小题,每小题10分,共20分)24.如图,E,F分别是矩形ABCD的边AD,AB上的点,若EF=EC,且EF⊥EC.
(1)求证AE=DC;
(2)已知DC=,求BE的长.25.探究如图
①,在四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°,AB=AD,AE⊥CD于点E,若AE=8,求四边形ABCD的面积.应用如图
②,在四边形ABCD中,∠ABC+∠ADC=180°,AB=AD,AE⊥BC于点E,若AE=20,BC=10,CD=6,则四边形ABCD的面积为 .
六、解答题(本题14分)26.已知如图,O为坐标原点,四边形OABC为矩形,A(10,0),C(0,4),点D是OA中点,点P在BC上以每秒1个单位的速度由C向B运动,设运动时间为t秒.
(1)△ODP的面积S= .
(2)t为何值时,四边形PODB是平行四边形?
(3)在线段PB上是否存在一点Q,使得ODQP为菱形?若存在,求t的值,并求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)若△OPD为等腰三角形,请写出所有满足条件的点P的坐标(请直接写出答案,不必写过程) 参考答案与试题解析
一、选择题1.下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )A.B.C.D.【考点】中心对称图形;轴对称图形.【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可.【解答】解A、是轴对称图形,不是中心对称图形;B、不是轴对称图形,是中心对称图形;C、是轴对称图形,也是中心对称图形;D、是轴对称图形,不是中心对称图形.故选C.【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合. 2.下列事件中,为必然事件的是( )A.购买一张彩票,中奖B.打开电视机,正在播放广告C.抛一牧捌币,正面向上D.一个袋中装有5个黑球,从中摸出一个球是黑球【考点】随机事件.【专题】分类讨论.【分析】必然事件就是一定会发生的事件,即发生概率是1的事件,依据定义即可作出判断.【解答】解A、可能发生,也可能不发生,属于随机事件,不一定会中奖,不符合题意;B、可能发生,也可能不发生,属于随机事件,不符合题意;C、可能发生,也可能不发生,属于随机发生,不符合题意.D、是必然事件,符合题意;故选D.【点评】本题主要考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念,理解概念是解决基础题的主要方法.用到的知识点为必然事件指在一定条件下一定发生的事件;不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件. 3.代数式,,,中分式有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【考点】分式的定义.【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母,如果含有字母则是分式,如果不含有字母则不是分式.【解答】解,是分式,故选B.【点评】本题主要考查分式的定义,含有字母则是分式,如果不含有字母则不是分式,注意π不是字母,是常数. 4.若分式有意义,则x的取值范围是( )A.x≠2B.x≠﹣2C.x>﹣2D.x>2【考点】分式有意义的条件.【分析】分式有意义的条件是分母不为0,【解答】解分式有意义,则x﹣2≠0,∴x≠2.故选A.【点评】本题比较简单,考查了分式有意义的条件分母不能为0. 5.若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形,则四边形ABCD一定满足( )A.对角线相等B.对角线互相平分C.对角线互相垂直D.对角线相等且相互平分【考点】中点四边形;矩形的判定.【分析】此题要根据矩形的性质和三角形中位线定理求解;首先根据三角形中位线定理知所得四边形的对边都平行且相等,那么其必为平行四边形,若所得四边形是矩形,那么邻边互相垂直,故原四边形的对角线必互相垂直,由此得解.【解答】解已知如右图,四边形EFGH是矩形,且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点,求证四边形ABCD是对角线垂直的四边形.证明由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点,根据三角形中位线定理得EH∥FG∥BD,EF∥AC∥HG;∵四边形EFGH是矩形,即EF⊥FG,∴AC⊥BD,故答案为对角线互相垂直.【点评】本题主要考查了矩形的性质和三角形中位线定理,解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答. 6.已知菱形的周长为40cm,两条对角线之比34,则菱形面积为( )A.962B.48cm2C.24cm2D.12cm2【考点】菱形的性质.【分析】设菱形的对角线分别为3a,4a,列出方程求出a2,根据菱形的面积=×3a×4a=6a2即可解决问题.【解答】解设菱形的对角线分别为3a,4a,∵菱形的周长为40,∴菱形的边长为10,∴()2+(2a)2=102,∴a2=16,∴菱形的面积=×3a×4a=6a2=96.故选A.【点评】本题考查菱形的性质等知识,记住菱形的面积等于对角线乘积的一半,学会设未知数构建方程解决问题,属于中考常考题型. 7.如图,已知四边形ABCD中,R,P分别是BC,CD上的点,E,F分别是AP,RP的中点,当点P在CD上从C向D移动而点R不动时,那么下列结论成立的是( )A.线段EF的长逐渐增大B.线段EF的长逐渐减少C.线段EF的长不变D.线段EF的长与点P的位置有关【考点】三角形中位线定理.【专题】压轴题.【分析】因为AR的长度不变,根据中位线定理可知,线段EF的长不变.【解答】解因为AR的长度不变,根据中位线定理可知,EF平行与AR,且等于AR的一半.所以当点P在CD上从C向D移动而点R不动时,线段EF的长不变.故选C.【点评】主要考查中位线定理.在解决与中位线定理有关的动点问题时,只要中位线所对应的底边不变,则中位线的长度也不变. 8.如图,AB∥CD,E,F分别为AC,BD的中点,若AB=5,CD=3,则EF的长是( )A.4B.3C.2D.1【考点】三角形中位线定理;全等三角形的判定与性质.【专题】压轴题.【分析】连接DE并延长交AB于H,由已知条件可判定△DCE≌△HAE,利用全等三角形的性质可得DE=HE,进而得到EF是三角形DHB的中位线,利用中位线性质定理即可求出EF的长.【解答】解连接DE并延长交AB于H,∵CD∥AB,∴∠C=∠A,∠CDE=∠AHE,∵E是AC中点,∴AE=CE,∴△DCE≌△HAE(AAS),∴DE=HE,DC=AH,∵F是BD中点,∴EF是△DHB的中位线,∴EF=BH,∴BH=AB﹣AH=AB﹣DC=2,∴EF=1.故选D.【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的中位线的判定和性质,解题的关键是连接DE和AB相交构造全等三角形,题目设计新颖.
二、填空题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)9.某电视台综艺节目接到热线电话3000个,现要从中抽取“幸运观众”50名,小明打通了一次热线电话,那么他成为“幸运观众”的概率为 .【考点】概率公式.【分析】让“幸运观众”数除以打电话的总数即为所求的概率.【解答】解因为共接到的3000个热线电话中,从中抽取50名“幸运观众”,小明打通了一次热线电话,所以他成为“幸运观众”的概率是=.故答案为.【点评】此题考查概率的求法如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=. 10.在一个不透明的布袋中,红色、黑色、白色的玻璃球共有60个,除颜色外,形状、大小、质地等完全相同,小刚通过多次摸球实验后发现其中摸到红色球的频率稳定在15%,则口袋中红色球的个数很可能是 9 个.【考点】利用频率估计概率.【分析】在同样条件下,大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近,可以从比例关系入手,根据红球的频率,乘以总球数求解即可.【解答】解60×15%=9(个).故答案为9.【点评】此题考查利用频率估计概率,解答此题的关键是根据出口袋中红色球所占的比例,来计算其个数. 11.已知,在▱ABCD中,∠A=∠B,则∠A= 60° .【考点】平行四边形的性质.【分析】根据题意画出图形,直接由平行四边形的性质即可得出结论.【解答】解如图,∵在▱ABCD中,∠A=∠B,∴设∠A=x,则∠B=2x.∵∠A+∠B=180°,即3x=180°,解得x=60°,∴∠A=60°.故答案为60°.【点评】本题考查的是平行四边形的性质,用到的知识点为平行四边形的对边互相平行. 12.矩形两条对角线的夹角为60°,其中矩形中较短的边长为5,则矩形对角线的长为 10 .【考点】矩形的性质.【分析】首先根据题意画出图形,然后由矩形两条对角线的夹角为60°,证得△AOB是等边三角形,继而求得答案.【解答】解如图,∵四边形ABCD是矩形,∴OA=AC,OB=BD,AC=BD,∴OA=OB,∵∠AOB=60°,∴△AOB是等边三角形,∴OA=OB=AB=5,∴AC=2OA=10.即矩形对角线的长为10.故答案为10.【点评】此题考查了矩形的性质以及等边三角形的判定与性质.注意根据题意画出图形,结合图形求解是关键. 13.某校对去年毕业的350名学生的毕业去向进行跟踪调查,并绘制出扇形统计图(如图所示),则该校去年毕业生在家待业人数有 28 人.【考点】扇形统计图.【分析】首先求得在家待业的百分比,然后乘以毕业的总人数即可.【解答】解在家待业的毕业生所占百分比为1﹣24%﹣68%=8%,故该校去年毕业生在家待业人数有350×8%=28人,故答案为28.【点评】此题考查了扇形统计图的知识,解题的关键是了解扇形统计图的作用. 14.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,E是AC的中点.若DE=5,则AB的长为 10 .【考点】直角三角形斜边上的中线;等腰三角形的性质.【分析】根据垂线的性质推知△ADC是直角三角形;然后在直角三角形ADC中,利用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半,求得AC=10;最后由等腰三角形ABC的两腰AB=AC,求得AB=10.【解答】解∵在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,∴△ADC是直角三角形;∵E是AC的中点.∴DE=AC(直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半);又∵DE=5,AB=AC,∴AB=10;故答案为10.【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质.此题是一道基础题,只要同学们在做题过程中多一份细心,就会多一份收获的. 15.如图,在▱ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,若AE=4,AF=6,▱ABCD的周长为40,则▱ABCD的面积为 48 .【考点】平行四边形的性质.【分析】根据平行四边形的周长求出BC+CD=20,再根据平行四边形的面积求出BC=CD,然后求出CD的值,再根据平行四边形的面积公式计算即可得解.【解答】解∵▱ABCD的周长=2(BC+CD)=40,∴BC+CD=20
①,∵AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,AE=4,AF=6,∴S▱ABCD=4BC=6CD,整理得,BC=CD
②,联立
①②解得,CD=8,∴▱ABCD的面积=AF•CD=6CD=6×8=48.故答案为48.【点评】本题考查了平行四边形的性质,根据平行四边形的周长与面积得到关于BC、CD的两个方程并求出CD的值是解题的关键. 16.如图,将△ABC的绕点A顺时针旋转得到△AED,点D正好落在BC边上.已知∠C=80°,则∠EAB= 20 °.【考点】旋转的性质.【分析】根据旋转的性质可得AC=AD,∠BAC=∠EAD,再根据等边对等角可得∠C=∠ADC,然后求出∠CAD,∠BAE=∠CAD,从而得解.【解答】解∵△ABC的绕点A顺时针旋转得到△AED,∴AC=AD,∠BAC=∠EAD,∵点D正好落在BC边上,∴∠C=∠ADC=80°,∴∠CAD=180°﹣2×80°=20°,∵∠BAE=∠EAD﹣∠BAD,∠CAD=∠BAC﹣∠BAD,∴∠BAE=∠CAD,∴∠EAB=20°.故答案为20.【点评】本题考查了旋转的性质,等腰三角形的性质,熟记性质并确定出△ACD是等腰三角形是解题的关键. 17.如图,菱形ABCD的两条对角线分别长6和8,点P是对角线AC上的一个动点,点M、N分别是边AB、BC的中点,则PM+PN的最小值是 5 .【考点】轴对称-最短路线问题.【专题】动点型.【分析】要求PM+PN的最小值,PM、PN不能直接求,可考虑通过作辅助线转化PN、PM的值,从而找出其最小值求解.【解答】解如图作ME⊥AC交AD于E,连接EN,则EN就是PM+PN的最小值,∵M、N分别是AB、BC的中点,∴BN=BM=AM,∵ME⊥AC交AD于E,∴AE=AM,∴AE=BN,AE∥BN,∴四边形ABNE是平行四边形,∴EN=AB,EN∥AB,而由题意可知,可得AB==5,∴EN=AB=5,∴PM+PN的最小值为5.故答案为5.【点评】考查菱形的性质和轴对称及平行四边形的判定等知识的综合应用.综合运用这些知识是解决本题的关键. 18.如图所示,P是矩形ABCD内的任意一点,连接PA、PB、PC、PD,得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA,设它们的面积分别是S
1、S
2、S
3、S4,给出如下结论
①S1+S4=S2+S3;
②S2+S4=S1+S2;
③若S3=2S1,则S4=2S2;
④若S1=S2,则S3=S4,其中正确结论的序号是
②④ .【考点】矩形的性质.【分析】根据矩形的对边相等可得AB=CD,AD=BC,设点P到AB、BC、CD、DA的距离分别为h
1、h
2、h
3、h4,然后利用三角形的面积公式列式整理即可判断出
②④正确,
①③不正确,即可得出结论.【解答】解如图,过点P分别作PF⊥AD于点F,PE⊥AB于点E,∵△APD以AD为底边,△PBC以BC为底边,∴此时两三角形的高的和为AB,即可得出S1+S3=矩形ABCD面积;同理可得出S2+S4=矩形ABCD面积;∴
②S2+S4=S1+S3正确;当点P在矩形的两条对角线的交点时,S1+S2=S3+S4.但P是矩形ABCD内的任意一点,所以该等式不一定成立.故
①不一定正确;
③若S3=2S1,只能得出△APD与△PBC高度之比,S4不一定等于2S2;故此选项错误;∵S2+S4=S1+S3;若S1=S2,则S3=S4,∴
④正确.故答案为
②④.【点评】本题考查了矩形的性质,三角形的面积,以及矩形对角线上点的判定,用矩形的面积表示出相对的两个三角形的面积的和是解题的关键,也是本题的难点.
三、解答题(本大题共3小题,共32分)19.
(1)计算﹣
(2)先化简,再求值÷(x+2﹣),其中x=1.【考点】分式的化简求值.【专题】计算题;分式.【分析】
(1)原式变形后,利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果;
(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法法则变形,约分得到最简结果,把x的值代入计算即可求出值.【解答】解
(1)原式=+===1;
(2)原式=÷=﹣•=﹣,当x=1时,原式=﹣.【点评】此题考查了分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 20.方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形,在建立平面直角坐标系后,△ABC的顶点均在格点上,点C的坐标为(4,﹣1).
(1)试作出△ABC以C为旋转中心,沿顺时针方向旋转90°后的图形△A1B1C;
(2)以原点O为对称中心,再画出与△ABC关于原点O对称的△A2B2C2,并写出点C2的坐标 (﹣4,1) .【考点】作图-旋转变换.【专题】作图题.【分析】
(1)根据题意所述的旋转三要素,依此找到各点旋转后的对应点,顺次连接可得出△A1B1C;
(2)根据中心对称点平分对应点连线,可找到各点的对应点,顺次连接可得△A2B2C2,结合直角坐标系可得出点C2的坐标.【解答】解根据旋转中心为点C,旋转方向为顺时针,旋转角度为90°,所作图形如下.
(2)所作图形如下结合图形可得点C2坐标为(﹣4,1).【点评】此题考查了旋转作图的知识,解答本题关键是仔细审题,找到旋转的三要素,另外要求我们掌握中心对称点平分对应点连线,难度一般. 21.若a>0,M=,N=
(1)当a=1时,M= ,N= ;当a=3时,M= ,N= ;
(2)猜想M与N的大小关系,并证明你的猜想.【考点】分式的加减法.【分析】
(1)直接代入计算即可;
(2)利用求差法比较M与N的大小关系,根据分式的加减法运算法则进行计算,最后判断其正负.【解答】解
(1)当a=1时,M===,N===,当a=3时,M===,N===,故答案为,,,;
(2)M<N,理由是M﹣N=﹣,=,=﹣,∵a>0,∴(a+1)(a+2)>0,∴﹣<0,即M﹣N<0,∴M<N.【点评】本题考查了分式的加减法和分式大小比较,分式的通分必须注意整个分子和整个分母,分母是多项式时,必须先分解因式,分子是多项式时,要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘,而不能只同其中某一项相乘;对于大小比较问题,方法为
①求商法,
②求差法,
③平方法等.
四、解答题(本大题共2小题,每小题10分,共20分)22.学生的学业负担过重会严重影响学生对待学习的态度.为此我市教育部门对部分学校的八年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查(把学习态度分为三个层级,A级对学习很感兴趣;B级对学习较感兴趣;C级对学习不感兴趣),并将调查结果绘制成图
①和图
②的统计图(不完整).请根据图中提供的信息,解答下列问题
(1)此次抽样调查中,共调查了 200 名学生;
(2)将图
①补充完整;
(3)求出图
②中C级所占的圆心角的度数;
(4)根据抽样调查结果,请你估计我市近8000名八年级学生中大约有多少名学生学习态度达标(达标包括A级和B级)?【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图.【分析】
(1)根据A级人数除以A级所占的百分比,可得抽测的总人数;
(2)根据抽测总人数减去A级、B级人数,可得C级人数,根据C级人数,可得答案;
(3)根据圆周角乘以C级所占的百分比,可得答案;
(4)根据学校总人数乘以A级与B级所占百分比的和,可得答案.【解答】解
(1)此次抽样调查中,共调查了50÷25%=200名学生,故答案为200;
(2)C级人数为200﹣50﹣120=30(人),条形统计图;
(3)C级所占圆心角度数360°×(1﹣25%﹣60%)=360°×15%=54°
(4)达标人数约有8000×(25%+60%)=6800(人).【点评】本题考查了条形统计图,观察统计图获得有效信息是解题关键. 23.已知如图,在▱ABCD中,M、N是对角线BD上的两点,且BM=DN.求证四边形AMCN是平行四边形.【考点】平行四边形的判定与性质.【专题】证明题.【分析】连结AC,交BD于点O,由平行四边形的性质可知OA=OC,OB=OD,再证明OM=ON即可证明四边形AMCN是平行四边形.【解答】证明如图,连结AC,交BD于点O.∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,∵对角线BD上的两点M、N满足BM=DN,∴OB﹣BM=OD﹣DN,即OM=ON,∴四边形AMCN是平行四边形.【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质,正确的添加辅助线是解题的关键.
五、解答题(本大题共2小题,每小题10分,共20分)24.如图,E,F分别是矩形ABCD的边AD,AB上的点,若EF=EC,且EF⊥EC.
(1)求证AE=DC;
(2)已知DC=,求BE的长.【考点】矩形的性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理.【专题】证明题.【分析】
(1)根据矩形的性质和已知条件可证明△AEF≌△DCE,可证得AE=DC;
(2)由
(1)可知AE=DC,在Rt△ABE中由勾股定理可求得BE的长.【解答】
(1)证明在矩形ABCD中,∠A=∠D=90°,∴∠1+∠2=90°,∵EF⊥EC,∴∠FEC=90°,∴∠2+∠3=90°,∴∠1=∠3,在△AEF和△DCE中,,∴△AEF≌△DCE(AAS),∴AE=DC;
(2)解由
(1)得AE=DC,∴AE=DC=,在矩形ABCD中,AB=CD=,在R△ABE中,AB2+AE2=BE2,即()2+()2=BE2,∴BE=2.【点评】本题主要考查矩形的性质和全等三角形的判定和性质,在
(1)中证得三角形全等是解题的关键,在
(2)中注意勾股定理的应用. 25.探究如图
①,在四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°,AB=AD,AE⊥CD于点E,若AE=8,求四边形ABCD的面积.应用如图
②,在四边形ABCD中,∠ABC+∠ADC=180°,AB=AD,AE⊥BC于点E,若AE=20,BC=10,CD=6,则四边形ABCD的面积为 160 .【考点】全等三角形的判定与性质.【分析】探究过A作AF⊥BC,交CB的延长线于F,求出四边形AFCE是矩形,根据矩形的性质得出∠FAE=90°,求出∠DAE=∠BAF=90°﹣∠BAE,根据AAS得出△AFB≌△AED,根据全等得出AE=AF=10,S△AFB=S△AED,求出S正方形AFCE=100,求出S四边形ABCD=S正方形AFCE,代入求出即可;应用过A作AF⊥CD,交CD的延长线于F,求出∠BAE=∠FAD,根据AAS推出△AEB≌△AFD,根据全等得出AE=AF=19,BE=DF,设BE=DF=x,由勾股定理得出AC2=AE2+CE2=AF2+CF2,推出10﹣x=6+x,求出x,求出S正方形AFCE=152和S四边形ABCD=S正方形AFCE,代入求出即可.【解答】解探究如图1,过A作AF⊥BC,交CB的延长线于F,∵AE⊥CD,∠C=90°∴∠AED=∠F=∠C=90°,∴四边形AFCE是矩形,∴∠FAE=90°,∵∠DAB=90°,∴∠DAE=∠BAF=90°﹣∠BAE,在△AFB和△AED中,,∴△AFB≌△AED(AAS),∴AE=AF=8,S△AFB=S△AED,∵四边形AFCE是矩形,∴四边形AFCE是正方形,∴S正方形AFCE=8×8=64,∴S四边形ABCD=S四边形ABCE+S△AED=S四边形ABCE+S△AFB=S正方形AFCE=64;应用如图2,过A作AF⊥CD,交CD的延长线于F,∵AE⊥CD,∴∠AED=∠F=90°,∴∠FAE+∠BCD=180°,∵∠ABC+∠ADC=180°,∴∠BAD+∠BCD=180°,∴∠BAD=∠EAF,∴∠BAD﹣∠EAD=∠EAF﹣∠EAD,∴∠BAE=∠FAD,在△AEB和△AFD中,,∴△AEB≌△AFD(AAS),∴AE=AF=19,BE=DF,设BE=DF=x,∵BC=10,CD=6,∴CE=10﹣x,CF=6+x,由勾股定理得;AC2=AE2+CE2=AF2+CF2,∵AE=AF,∴CE=CF,即10﹣x=6+x,解得x=2,∴CE=CF=8,∵△AEB≌△AFD∴S△AEB=S△AFD,∴S正方形AFCE=×8×20+×8×20=160.∴S四边形ABCD=S△AEB+S四边形AECD=S△AFD+S四边形AECD=S正方形AFCE=160.故答案为160.【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定,矩形的性质和判定,勾股定理,正方形的性质和判定的应用,能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键.
六、解答题(本题14分)26.已知如图,O为坐标原点,四边形OABC为矩形,A(10,0),C(0,4),点D是OA中点,点P在BC上以每秒1个单位的速度由C向B运动,设运动时间为t秒.
(1)△ODP的面积S= 10 .
(2)t为何值时,四边形PODB是平行四边形?
(3)在线段PB上是否存在一点Q,使得ODQP为菱形?若存在,求t的值,并求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)若△OPD为等腰三角形,请写出所有满足条件的点P的坐标(请直接写出答案,不必写过程)【考点】四边形综合题.【分析】
(1)根据三角形的面积公式即可求出△ODP的面积S;
(2)由于PB∥OD,根据平行四边形的判定可知当PB=OD=5时,四边形PODB是平行四边形,再求出PC=5,从而求出t的值;
(3)根据菱形的判定,当OD=OP=PQ=5时,ODQP为菱形,在Rt△OPC中,利用勾股定理求出CP的值,进而求出t的值及Q点的坐标;
(4)当△OPD为等腰三角形时,分三种情况进行讨论
①如果O为顶点,那么OP=OD=5;
②如果P为顶点,那么PO=PD;
③如果D为顶点,那么DP=DO=5.【解答】解
(1)∵O为坐标原点,A(10,0),四边形OABC为矩形,C(0,4),∴OA=BC=10,OC=4,∵点D是OA中点,∴OD=DA=OA=5,∴△ODP的面积S=OD•OC=×5×4=10.故答案为10;
(2)∵PB∥OD,∴当PB=OD时,四边形PODB是平行四边形,∵OD=5,∴PB=5,∴PC=BC﹣PB=10﹣5=5,∵点P在BC上以每秒1个单位的速度由C向B运动,∴t=5;
(3)当OD=OP=PQ=5时,ODQP为菱形,在Rt△OPC中,由勾股定理得PC===3,∴t=3,CQ=CP+PQ=3+5=8,∴Q点的坐标为(8,4);
(4)△OPD为等腰三角形时,分三种情况
①如果O为顶点,那么OP=OD=5,由勾股定理可以求得PC=3,此时P1(3,4);
②如果P为顶点,那么PO=PD,作PE⊥OA于E,则OE=ED=
2.5,此时P2(
2.5,4);
③如果D为顶点,那么DP=DO=5,作DF⊥BC于F,由勾股定理,得PF=3,∴P3C=5﹣3=2或P4C=5+3=8,此时P3(2,4),P4(8,4).综上所述,满足条件的点P的坐标为P1(3,4),P2(
2.5,4),P3(2,4),P4(8,4).【点评】本题是四边形综合题,考查了矩形的性质,坐标与图形的性质,等腰三角形的性质,平行四边形的判定及性质,菱形的判定及性质,勾股定理的运用.利用数形结合、分类讨论是解题的关键.XX中学八年级(下)期中数学试卷
一、选择题1.下列各式一定是二次根式的是( )A.B.C.D.2.下列线段不能构成直角三角形的是( )A.5,12,13B.2,3,C.4,7,5D.1,,3.正方形面积为36,则对角线的长为( )A.6B.C.9D.4.▱ABCD中,∠A∠B=12,则∠C的度数为( )A.30°B.45°C.60°D.120°5.下列说法中正确的是( )A.两条对角线相等的四边形是矩形B.两条对角线互相垂直的四边形是菱形C.两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形6.如图,菱形ABCD中,E、F分别是AB、AC的中点,若EF=3,则菱形ABCD的周长是( )A.12B.16C.20D.247.如图,正方形ABCD中,以对角线AC为一边作菱形AEFC,则∠FAB等于( )A.
22.5°B.45°C.30°D.135°8.如图,在▱ABCD中,已知AD=5cm,AB=3cm,AE平分∠BAD交BC边于点E,则EC等于( )A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm9.如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠,点D落在点D′处,则重叠部分△AFC的面积为( )A.6B.8C.10D.1210.能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是( )A.AB∥CD,AD=BCB.∠A=∠B,∠C=∠DC.AB∥CD,∠C=∠AD.AB=AD,CB=CD11.等腰三角形的一腰长为13,底边长为10,则它的面积为( )A.65B.60C.120D.13012.先化简再求值当a=9时,求a+的值,甲乙两人的解答如下甲的解答为原式=;乙的解答为原式=.在两人的解法中( )A.甲正确B.乙正确C.都不正确D.无法确定
二、填空13.如图,数轴上的点A所表示的数为x,则点A坐标为 .14.在△ABC中,AB=12cm,AC=5cm,BC=13cm,则BC边上的高AD= cm.15.矩形的两条对角线的夹角为60°,较短的边长为12cm,则对角线长为 cm.16.已知,则= .17.如图,在四边形ABCD中,P是对角线BD的中点,E,F分别是AB,CD的中点,AD=BC,∠PEF=18°,则∠PFE的度数是 度.18.如图,正方形ABCD的边长为1,以对角线AC为边作第二个正方形ACEF,再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH,如此下去第n个正方形的边长为 .
三、计算题(15分)19.(15分)
(1)
(2)(3﹣2+)÷2
(3)先化简,再求值其中a=+1.
四、解答题(共5小题,总分45分)20.(8分)如图正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,请你根据所学的知识求△ABC的面积.21.(8分)如图,E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点,AE=CF.求证四边形DEBF是平行四边形.22.(9分)如图,O为矩形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD.
(1)试判断四边形OCED的形状,并说明理由;
(2)若AB=6,BC=8,求四边形OCED的面积.23.(10分)如图所示,正方形ABCD的边长为8,M在DC上,且DM=2,N是AC上的一动点,求DN+MN的最小值.24.(10分)如图1,已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是AC上一点,连结EB,过点A作AM⊥BE,垂足为M,AM交BD于点F.
(1)试说明OE=OF;
(2)如图21,若点E在AC的延长线上,AM⊥BE于点M,交DB的延长线于点F,其它条件不变,则结论“OE=OF”还成立吗?如果成立,请给出说明理由;如果不成立,请说明理由. 参考答案与试题解析
一、选择题1.下列各式一定是二次根式的是( )A.B.C.D.【考点】二次根式的定义.【分析】依据二次根式的被开方数大于等于0求解即可.【解答】解∵x2≥0,∴x2+1>0.∴一定有意义.故选C.【点评】本题主要考查的是二次根式的定义,掌握二次根式的定义是解题的关键. 2.下列线段不能构成直角三角形的是( )A.5,12,13B.2,3,C.4,7,5D.1,,【考点】勾股定理的逆定理.【分析】由勾股定理的逆定理,只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即【解答】解A、52+122=169=132,故是直角三角形,不符合题意;B、22+()2=9=32,故是直角三角形,不符合题意;C、42+52=41≠72,故不是直角三角形,符合题意;C、12+()2=()2,故是直角三角形,不符合题意.故选C.【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形,已知三角形三边的长,只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可. 3.正方形面积为36,则对角线的长为( )A.6B.C.9D.【考点】正方形的性质.【分析】根据对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半,且正方形对角线相等,列方程解答即可.【解答】解设对角线长是x.则有x2=36,解得x=6.故选B.【点评】本题考查了正方形的性质,注意结论对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半.此题也可首先根据面积求得正方形的边长,再根据勾股定理进行求解. 4.▱ABCD中,∠A∠B=12,则∠C的度数为( )A.30°B.45°C.60°D.120°【考点】平行四边形的性质.【分析】先根据平行四边形的性质得出∠A+∠B=180°,∠A=∠C,再由∠A∠B=12可求出∠A的度数,进而可得出结论.【解答】解∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A+∠B=180°,∠A=∠C,∵∠A∠B=12,∴∠A=×180°=60°,∴∠C=60°.故选C.【点评】本题考查的是平行四边形的性质,熟知平行四边形的对角相等是解答此题的关键. 5.下列说法中正确的是( )A.两条对角线相等的四边形是矩形B.两条对角线互相垂直的四边形是菱形C.两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形【考点】多边形.【分析】根据矩形的判定,菱形的判定,正方形的判定,平行四边形的判定,可得答案.【解答】解A、两条对角线相等的平行四边形是矩形,故A错误;B、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形,故B错误;C、两条对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形,故C错误;D、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形,故D正确.故选D.【点评】本题考查了多边形,熟记平行四边形的判定与性质,特殊平行四边形的判定与性质是解题关键. 6.如图,菱形ABCD中,E、F分别是AB、AC的中点,若EF=3,则菱形ABCD的周长是( )A.12B.16C.20D.24【考点】菱形的性质;三角形中位线定理.【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出BC,再根据菱形的周长公式列式计算即可得解.【解答】解∵E、F分别是AB、AC的中点,∴EF是△ABC的中位线,∴BC=2EF=2×3=6,∴菱形ABCD的周长=4BC=4×6=24.故选D.【点评】本题主要考查了菱形的四条边都相等,三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半,求出菱形的边长是解题的关键. 7.如图,正方形ABCD中,以对角线AC为一边作菱形AEFC,则∠FAB等于( )A.
22.5°B.45°C.30°D.135°【考点】正方形的性质;菱形的性质.【分析】根据正方形的性质求出∠CAB=45°,再根据菱形的性质∠FAB=∠CAB,即可解决问题.【解答】解∵四边形ABCD是正方形,∴∠CAB=∠DAB=×90°=45°,∵四边形AEFC是菱形,∴∠FAB=∠CAE=×45°=
22.5°,故选A.【点评】本题考查正方形的性质、菱形的性质等知识,解题的关键是熟练记住正方形、菱形的性质,属于基础题,中考常考题型. 8.如图,在▱ABCD中,已知AD=5cm,AB=3cm,AE平分∠BAD交BC边于点E,则EC等于( )A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm【考点】平行四边形的性质.【分析】由平行四边形的性质和角平分线定义得出∠AEB=∠BAE,证出BE=AB=3cm,得出EC=BC﹣BE=2cm即可.【解答】解∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC=AD=5cm,AD∥BC,∴∠DAE=∠AEB,∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE,∴∠AEB=∠BAE,∴BE=AB=3cm,∴EC=BC﹣BE=5﹣3=2cm;故选B.【点评】本题看成了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线定义;熟练掌握平行四边形的性质,证出BE=AB是解决问题的关键. 9.如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠,点D落在点D′处,则重叠部分△AFC的面积为( )A.6B.8C.10D.12【考点】翻折变换(折叠问题).【分析】因为BC为AF边上的高,要求△AFC的面积,求得AF即可,求证△AFD′≌△CFB,得BF=D′F,设D′F=x,则在Rt△AFD′中,根据勾股定理求x,于是得到AF=AB﹣BF,即可得到结果.【解答】解易证△AFD′≌△CFB,∴D′F=BF,设D′F=x,则AF=8﹣x,在Rt△AFD′中,(8﹣x)2=x2+42,解之得x=3,∴AF=AB﹣FB=8﹣3=5,∴S△AFC=•AF•BC=10.故选C.【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题,勾股定理的正确运用,本题中设D′F=x,根据直角三角形AFD′中运用勾股定理求x是解题的关键. 10.能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是( )A.AB∥CD,AD=BCB.∠A=∠B,∠C=∠DC.AB∥CD,∠C=∠AD.AB=AD,CB=CD【考点】平行四边形的判定.【分析】根据已知条件结合平行四边形的性质直接作出判断即可.【解答】解根据平行四边形的判定可知A、若AB∥CD,AD=BC,则可以判定四边形是梯形,故A错误,B、两组邻角相等也有可能是等腰梯形,故B错误.C、可判定是平行四边形的条件,故C正确.D、此条件下无法判定四边形的形状,还可能是等腰梯形,故D错误.故选D.【点评】本题主要考查平行四边形的判定的知识点,解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理,此题基础题,比较简单. 11.等腰三角形的一腰长为13,底边长为10,则它的面积为( )A.65B.60C.120D.130【考点】勾股定理;等腰三角形的性质.【分析】根据题意画出图形,先根据勾股定理求出等腰三角形底边上的高,再求出其面积即可.【解答】解如图所示∵等腰△ABC中,AB=AC=13,BC=10,AD⊥BC于点D,∴BD=BC=×10=5,∴AD===12,∴S△ABC=BC•AD=×10×12=60.故选B.【点评】本题考查的是勾股定理及等腰三角形的性质,根据题意画出图形,利用数形结合求解是解答此题的关键. 12.先化简再求值当a=9时,求a+的值,甲乙两人的解答如下甲的解答为原式=;乙的解答为原式=.在两人的解法中( )A.甲正确B.乙正确C.都不正确D.无法确定【考点】二次根式的化简求值.【分析】由于二次根式的结果为非负数,甲计算中的根号的结果错误,乙计算的正确.【解答】解∵a+=,∴乙计算正确.故选B.【点评】注意算术平方根的结果是一个非负数.
二、填空13.如图,数轴上的点A所表示的数为x,则点A坐标为 ﹣+1 .【考点】数轴.【分析】根据图形特点,求出斜边BC的长,即得OA的长,即可解决问题.【解答】解如图,∵OB=OC=1,∴BC==,∴AC=BC=,OA=﹣1,∴点A表示的数为﹣+1,故答案为﹣+1.【点评】本题需注意确定点A的符号后,点A所表示的数的大小是距离原点的距离. 14.在△ABC中,AB=12cm,AC=5cm,BC=13cm,则BC边上的高AD= cm.【考点】勾股定理的逆定理.【分析】根据勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形,再利用面积公式求解.【解答】解∵AB=12cm,AC=5cm,BC=13cm,即52+122=132,∴△ABC为直角三角形,∵直角边为AB,AC,设斜边BC上的高为h,根据三角形的面积公式有S=×5×12=×13h,∴h=.∴BC边上的高AD=cm.【点评】本题需要学生利用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形的和直角三角形的面积公式结合求解.隐含了整体的数学思想和正确运算的能力. 15.矩形的两条对角线的夹角为60°,较短的边长为12cm,则对角线长为 24 cm.【考点】矩形的性质.【分析】根据矩形对角线相等且互相平分性质和题中条件易得△AOB为等边三角形,即可得到矩形对角线一半长,进而求解即可.【解答】解如图AB=12cm,∠AOB=60°.∵四边形是矩形,AC,BD是对角线.∴OA=OB=OD=OC=BD=AC.在△AOB中,OA=OB,∠AOB=60°.∴OA=OB=AB=12cm,BD=2OB=2×12=24cm.故答案为24.【点评】矩形的两对角线所夹的角为60°,那么对角线的一边和两条对角线的一半组成等边三角形.本题比较简单,根据矩形的性质解答即可. 16.已知,则= .【考点】二次根式有意义的条件.【分析】根据二次根式的性质,被开方数大于等于0,求出满足两个被开方数条件的x的值.【解答】解依题意有x﹣2≥0且2﹣x≥0,解得x=2,此时y=,则=.【点评】主要考查了二次根式的意义和性质.概念式子(a≥0)叫二次根式,此时≥0;性质二次根式中的被开方数必须是非负数,否则二次根式无意义. 17.如图,在四边形ABCD中,P是对角线BD的中点,E,F分别是AB,CD的中点,AD=BC,∠PEF=18°,则∠PFE的度数是 18 度.【考点】三角形中位线定理.【分析】根据中位线定理和已知,易证明△EPF是等腰三角形.【解答】解∵在四边形ABCD中,P是对角线BD的中点,E,F分别是AB,CD的中点,∴FP,PE分别是△CDB与△DAB的中位线,∴PF=BC,PE=AD,∵AD=BC,∴PF=PE,故△EPF是等腰三角形.∵∠PEF=18°,∴∠PEF=∠PFE=18°.故答案为18.【点评】本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的性质,解题时要善于根据已知信息,确定应用的知识. 18.如图,正方形ABCD的边长为1,以对角线AC为边作第二个正方形ACEF,再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH,如此下去第n个正方形的边长为 ()n﹣1. .【考点】正方形的性质.【分析】首先求出AC、AE、AG的长度,然后猜测命题中隐含的数学规律,即可解决问题;【解答】解∵四边形ABCD为正方形,∴AB=BC=1,∠B=90°,∴AC2=12+12,AC=同理可得AE=()2,AG=()3…,∴第n个正方形的边长an=()n﹣1.故答案为()n﹣1.【点评】此题主要考查了正方形的性质、勾股定理及其应用问题;应牢固掌握正方形有关定理并能灵活运用.
三、计算题(15分)19.(15分)(2016春•六合区校级期中)
(1)
(2)(3﹣2+)÷2
(3)先化简,再求值其中a=+1.【考点】二次根式的混合运算;分式的化简求值.【分析】
(1)先化简各二次根式,再根据混合运算的顺序依次计算可得;
(2)先化简括号内的二次根式并合并同类二次根式,再计算除法即可得;
(3)先化简分式,再代入计算可得.【解答】解
(1)原式=4﹣+9﹣
(2)2=4﹣+9﹣12=4﹣﹣3;
(2)原式=(6﹣+4)=÷2=;
(3)原式=(﹣)÷a=×=,当a=+1时,原式===.【点评】本题主要考查二次根式的化简求值和分式的化简求值,熟练掌握二次根式的性质和混合运算的顺序是解题的关键.
四、解答题(共5小题,总分45分)20.如图正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,请你根据所学的知识求△ABC的面积.【考点】三角形的面积.【分析】先得到△ABC的面积等于大矩形的面积减去三个直角三角形的面积,然后根据三角形面积公式矩形计算.【解答】解△ABC的面积=4×4﹣×1×2﹣×4×3﹣×4×2=16﹣1﹣6﹣4=5.答△ABC的面积为5【点评】本题考查了三角形的面积,关键是根据三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半解答. 21.如图,E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点,AE=CF.求证四边形DEBF是平行四边形.【考点】平行四边形的判定与性质;全等三角形的性质.【分析】首先连接BD,交AC于点O,由四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形的对角线互相平分,即可求得OA=OC,OB=OD,又由AE=CF,可得OE=OF,然后根据对角线互相相平分的四边形是平行四边形.【解答】证明连接BD,交AC于点O,∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,∵AE=CF,∴OA﹣AE=OC﹣CF,即OE=OF,∴四边形DEBF是平行四边形.【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用. 22.如图,O为矩形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD.
(1)试判断四边形OCED的形状,并说明理由;
(2)若AB=6,BC=8,求四边形OCED的面积.【考点】菱形的判定;平行四边形的判定;矩形的性质.【分析】
(1)首先可根据DE∥AC、CE∥BD判定四边形ODEC是平行四边形,然后根据矩形的性质矩形的对角线相等且互相平分,可得OC=OD,由此可判定四边形OCED是菱形.
(2)连接OE,通过证四边形BOEC是平行四边形,得OE=BC;根据菱形的面积是对角线乘积的一半,可求得四边形ODEC的面积.【解答】解
(1)四边形OCED是菱形.∵DE∥AC,CE∥BD,∴四边形OCED是平行四边形,又在矩形ABCD中,OC=OD,∴四边形OCED是菱形.
(2)连接OE.由菱形OCED得CD⊥OE,又∵BC⊥CD,∴OE∥BC(在同一平面内,垂直于同一条直线的两直线平行),又∵CE∥BD,∴四边形BCEO是平行四边形;∴OE=BC=8(7分)∴S四边形OCED=OE•CD=×8×6=24.【点评】本题主要考查矩形的性质,平行四边形、菱形的判定,菱形面积的求法;菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据,常用三种方法
①定义;
②四边相等;
③对角线互相垂直平分. 23.(10分)(2016春•六合区校级期中)如图所示,正方形ABCD的边长为8,M在DC上,且DM=2,N是AC上的一动点,求DN+MN的最小值.【考点】轴对称-最短路线问题;正方形的性质.【分析】要求DN+MN的最小值,DN,MN不能直接求,可考虑通过作辅助线转化DN,MN的值,从而找出其最小值求解.【解答】解如图,连接BM,∵点B和点D关于直线AC对称,∴NB=ND,则BM就是DN+MN的最小值,∵正方形ABCD的边长是8,DM=2,∴CM=6,∴BM==10,∴DN+MN的最小值是10.【点评】本考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用,解题的难点在于确定满足条件的点N的位置利用轴对称的方法.然后熟练运用勾股定理. 24.(10分)(2016春•六合区校级期中)如图1,已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是AC上一点,连结EB,过点A作AM⊥BE,垂足为M,AM交BD于点F.
(1)试说明OE=OF;
(2)如图21,若点E在AC的延长线上,AM⊥BE于点M,交DB的延长线于点F,其它条件不变,则结论“OE=OF”还成立吗?如果成立,请给出说明理由;如果不成立,请说明理由.【考点】正方形的性质;全等三角形的判定与性质.【分析】根据正方形对角线互相垂直平分的性质可以证明OA=OB,
(1)求证∠1=∠2,进而证明Rt△BOE≌Rt△AOF,即可得OE=OF.
(2)求证∠E=∠F,进而证明Rt△AOF≌Rt△BOE,根据全等三角形对应边相等的性质即可得OE=OF.【解答】解
(1)证明∵四边形ABCD是正方形∴∠BOE=∠AOF=90°,OB=OA,又∵AM⊥BE,∴∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE,∴∠MEA=∠AFO,∴Rt△BOE≌Rt△AOF,∴OE=OF;
(2)OE=OF成立;证明∵四边形ABCD是正方形,∴∠BOE=∠AOF=90°,OB=OA,又∵AM⊥BE,∴∠F+∠MBF=90°=∠B+∠OBE,又∵∠MBF=∠OBE,∴∠F=∠E,∴Rt△BOE≌Rt△AOF,∴OE=OF.【点评】本题考查了正方形各边长相等、各内角为直角的性质,考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形对应边相等的性质,本题中求证Rt△AOF≌Rt△BOE是解题的关键. 。