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2017年八年级下学期期中数学试卷两套合集十附答案解析八年级(下)期中数学试卷(解析版)
一、选择题(共8小题,每小题2分,满分16分)1.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A.B.C.D.2.完成以下任务,适合用抽样调查的是( )A.调查你班同学的年龄情况B.为订购校服,了解学生衣服的尺寸C.考察一批炮弹的杀伤半径D.对航天飞机上的零部件进行检查3.要使分式有意义,那么x的取值范围是( )A.x>2B.x>3C.x≠2D.x≠34.一个黑色不透明的袋子里装有除颜色外其余都相同的7个红球和3个白球,那么从这个袋子中摸出一个红球的可能性和摸出一个白球的可能性相比( )A.摸出一个红球的可能性大B.摸出一个白球的可能性大C.两种可能性一样大D.无法确定5.分式,﹣,的最简公分母是( )A.x2yB.2x3yC.4x2yD.4x3y6.▱ABCD中,∠A=4∠B,则∠D的度数是( )A.18°B.36°C.72°D.144°7.一件工作甲单独做a小时完成,乙单独做b小时完成,甲、乙两人一起完成这项工作需要的小时数是( )A.B.C.+D.8.如图,将矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°得到矩形FGCE,点M、N分别是BD、GE的中点,若BC=14,CE=2,则MN的长( )A.7B.8C.9D.10
二、填空题(共10小题,每小题2分,满分20分)9.若分式的值为0,则x的值是______.10.在06006000600006的各个数位中,数字“6”出现的频率是______.11.计算()=______.12.“平行四边形的对角线互相垂直”是______事件.(填“必然”、“随机”、“不可能”)13.已知,则分式的值为______.14.如图,四边形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别为5cm、4cm,点A1,B1,C1,D1是四边形ABCD各边上的中点,则四边形A1B1C1D1的周长为______cm.15.如图,△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转40°后得到的图形,点C恰好在边AB上.若∠AOD=100°,则∠D的度数是______°.16.如图,在平行四边形ABCD中,AB=4cm,AD=7cm,∠ABC的角平分线交AD于点E,交CD的延长线于点F,则DE=______cm.17.如图,在平面直角坐标系xOy中,A(2,0),B(2,4),C(0,4).若直线y=kx﹣2k+1(k是常数)将四边形OABC分成面积相等的两部分,则k的值为______.18.如图,在菱形ABCD中,AB=6,∠B=60°,点G是边CD边的中点,点E、F分别是AG、AD上的两个动点,则EF+ED的最小值是______.
三、解答题(共8小题,满分64分)19.(16分)(2016春•常州期中)化简
(1)
(2)
(3)先化简,再求值(),其中a=5.20.设中学生体质健康综合评定成绩为x分,满分为100分,规定85≤x≤100为A级,75≤x≤85为B级,60≤x≤75为C级,x<60为D级.现随机抽取福海中学部分学生的综合评定成绩,整理绘制成如下两幅不完整的统计图,请根据图中的信息,解答下列问题
(1)在这次调查中,一共抽取了______名学生,α=______%;
(2)补全条形统计图;
(3)扇形统计图中C级对应的圆心角为______度;
(4)若该校共有2000名学生,请你估计该校D级学生有多少名?21.用直尺和圆规作图作出四边形ABCD关于O点成中心对称的四边形A′B′C′D′.(保留作图痕迹)22.如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长为1个单位长度.平面直角坐标系xOy的原点O在格点上,x轴、y轴都在格线上.线段AB的两个端点也在格点上.
(1)若将线段AB绕点O逆时针旋转90°得到线段A1B1,试在图中画出线段A1B1.
(2)若线段A2B2与线段A1B1关于y轴对称,请画出线段A2B2.
(3)若点P是此平面直角坐标系内的一点,当点A、B
1、B
2、P四边围成的四边形为平行四边形时,请你直接写出点P的坐标.23.如图,正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O,分别过点C、点D作CE∥BD,DE∥AC.求证四边形OCED是正方形.24.如图,在▱ABCD中,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为点E、F.
(1)求证四边形BEDF是平行四边形.
(2)若AB=13,AD=20,DE=12,求▱BEDF的面积.25.如图,平面直角坐标系xOy中,点O为坐标原点,四边形OABC为矩形,A(10,0),C(0,4),点D是OA的中点,点P在边BC上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动.
(1)当四边形PODB是平行四边形时,求t的值;
(2)在线段PB上是否存在一点Q,使得四边形ODQP为菱形?若存在,求处当四边形ODQP为菱形时t的值,并求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)△OPD为等腰三角形时,写出点P的坐标(请直接写出答案,不必写过程).26.如图,将矩形ABCD先过点A的直线L1翻折,点DA的对应点D′刚好落在边BC上,直线L1交DC于点F;再将矩形ABCD沿过点A的直线L2翻折,使点B的对应点G落在AD′上,EG的延长线交AD于点H.
(1)当四边形AED′H是平行四边形时,求∠AD′H的度数.
(2)当点H与点D刚好重合时,试判断△AEF的形状,并说明理由. 参考答案与试题解析
一、选择题(共8小题,每小题2分,满分16分)1.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A.B.C.D.【考点】中心对称图形;轴对称图形.【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.【解答】解A、既是轴对称图形,又是中心对称图形,故A正确;B、不是轴对称图形,是中心对称图形,故B错误;C、是轴对称图形,不是中心对称图形,故C错误;D、是轴对称图形,不是中心对称图形,故D错误.故选A.【点评】本题考查了中心对称及轴对称的知识,解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合. 2.完成以下任务,适合用抽样调查的是( )A.调查你班同学的年龄情况B.为订购校服,了解学生衣服的尺寸C.考察一批炮弹的杀伤半径D.对航天飞机上的零部件进行检查【考点】全面调查与抽样调查.【分析】由普查得到的调查结果比较准确,但所费人力、物力和时间较多,而抽样调查得到的调查结果比较近似.【解答】解A、调查你班同学的年龄情况,调查范围小适合抽样调查,故A错误;B、为订购校服,了解学生衣服的尺寸是要求精确度高的调查,适合普查,故B错误;C、考察一批炮弹的杀伤半径,调查具有破坏性,适合抽样调查,故C正确;D、对航天飞机上的零部件进行检查是事关重大的调查,适合普查,故D错误;故选C.【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别,选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用,一般来说,对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大,应选择抽样调查,对于精确度要求高的调查,事关重大的调查往往选用普查. 3.要使分式有意义,那么x的取值范围是( )A.x>2B.x>3C.x≠2D.x≠3【考点】分式有意义的条件.【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式,解不等式即可.【解答】解由题意得,x﹣2≠0,解得,x≠2,故选C.【点评】本题考查的是分式有意义的条件,掌握分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键. 4.一个黑色不透明的袋子里装有除颜色外其余都相同的7个红球和3个白球,那么从这个袋子中摸出一个红球的可能性和摸出一个白球的可能性相比( )A.摸出一个红球的可能性大B.摸出一个白球的可能性大C.两种可能性一样大D.无法确定【考点】可能性的大小.【分析】根据概率的求法,找准两点
①全部情况的总数;
②符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率.【解答】解∵袋子里装有除颜色外其余都相同的7个红球和3个白球,∴总球数是10,∴从这个袋子中摸出一个红球的可能性是,摸出一个白球的可能性是,∴从这个袋子中摸出一个红球的可能性和摸出一个白球的可能性相比摸出一个红球的可能性大;故选A.【点评】本题主要考查了概率的求法如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=. 5.分式,﹣,的最简公分母是( )A.x2yB.2x3yC.4x2yD.4x3y【考点】最简公分母.【分析】确定最简公分母的方法是
(1)取各分母系数的最小公倍数;
(2)凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式;
(3)同底数幂取次数最高的,得到的因式的积就是最简公分母.【解答】解分式,﹣,的最简公分母是4x3y,故选D.【点评】本题考查了最简公分母的定义及求法.通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母,这样的公分母叫做最简公分母.一般方法
①如果各分母都是单项式,那么最简公分母就是各系数的最小公倍数,相同字母的最高次幂,所有不同字母都写在积里.
②如果各分母都是多项式,就可以将各个分母因式分解,取各分母数字系数的最小公倍数,凡出现的字母(或含字母的整式)为底数的幂的因式都要取最高次幂. 6.▱ABCD中,∠A=4∠B,则∠D的度数是( )A.18°B.36°C.72°D.144°【考点】平行四边形的性质.【分析】由平行四边形的性质得出∠A+∠B=180°,再由已知条件∠A=4∠B,即可得出∠B的度数,再根据平行四边形的对角相等即可求出∠D的度数.【解答】解∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∠B=∠D,∴∠A+∠B=180°,∵∠A=4∠B,∴4∠B+∠B=180°,解得∠B=36°;∴∠D=36°,故选B.【点评】本题考查了平行四边形的性质;熟练掌握平行四边形的性质,并能进行推理计算是解决问题的关键. 7.一件工作甲单独做a小时完成,乙单独做b小时完成,甲、乙两人一起完成这项工作需要的小时数是( )A.B.C.+D.【考点】列代数式(分式).【分析】首先表示出甲的工作效率为,再表示出乙的工作效率,再利用工作量÷两人的工作效率之和即可.【解答】解∵一件工作甲单独做a小时完成,乙单独做b小时完成,∴甲的工作效率为,乙的工作效率,∴甲、乙两人一起完成这项工作需要的小时数是=.故选A.【点评】此题主要考查了列代数式,关键是正确理解题意,掌握工作量=工作时间×工作效率. 8.如图,将矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°得到矩形FGCE,点M、N分别是BD、GE的中点,若BC=14,CE=2,则MN的长( )A.7B.8C.9D.10【考点】矩形的性质;等腰直角三角形;旋转的性质.【分析】连接AC、CF、AF,由矩形的性质和勾股定理求出AC,由矩形的性质得出M是AC的中点,N是CF的中点,证出MN是△ACF的中位线,由三角形中位线定理得出MN=AF,由等腰直角三角形的性质得出AF=AC=20,即可得出结果.【解答】解连接AC、CF、AF,如图所示∵矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°得到矩形FFCE,∴∠ABC=90°,∴AC===10,AC=BD=GE=CF,AC与BD互相平分,GE与CF互相平分,∵点M、N分别是BD、GE的中点,∴M是AC的中点,N是CF的中点,∴MN是△ACF的中位线,∴MN=AF,∵∠ACF=90°,∴△ACF是等腰直角三角形,∴AF=AC=10×=20,∴MN=10.故选D.【点评】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、三角形中位线定理;熟练掌握矩形的性质,由三角形中位线定理求出MN是解决问题的关键.
二、填空题(共10小题,每小题2分,满分20分)9.若分式的值为0,则x的值是 x=﹣3 .【考点】分式的值为零的条件.【分析】分式的值为0的条件是
(1)分子为0;
(2)分母不为0.两个条件需同时具备,缺一不可.据此可以解答本题.【解答】解由题意可得x+3=0且x≠0,解得x=﹣3.故答案为x=﹣3.【点评】考查了分式的值为零的条件,由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件,所以常以这个知识点来命题. 10.在06006000600006的各个数位中,数字“6”出现的频率是 .【考点】频数与频率.【分析】根据频率的概念频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值(或者百分比),即频率=,结合题意求解即可.【解答】解∵在数字06006000600006中一共有14个数位,数字“6”一共出现了4次,∴频数为4,数据总数为14,∴数字“6”出现的频率=,故答案为.【点评】本题考查了频数与频率的知识,解答本题的关键在于掌握频率的概念,准确找出频数和数据总数,代入频率的公式求解. 11.计算()= 2 .【考点】分式的混合运算.【分析】原式括号中利用同分母分式的加法法则计算,约分即可得到结果.【解答】解原式=•=2,故答案为2【点评】此题考查了分式的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 12.“平行四边形的对角线互相垂直”是 随机 事件.(填“必然”、“随机”、“不可能”)【考点】平行四边形的性质;随机事件.【分析】根据平行四边形的性质判断即可.【解答】解因为平行四边形的对角线互相平分,但不一定互相垂直,所以平行四边形的对角线互相垂直是随机事件,故答案为随机.【点评】本题考查的是平行四边形的性质,同时考查了必然事件必然事件指在一定条件下,一定发生的事件.必然事件发生的概率为1,即P(必然事件)=1. 13.已知,则分式的值为 .【考点】分式的值.【分析】首先根据,可得y﹣x=2xy,然后把y﹣x=2xy代入分式,求出算式的值为多少即可.【解答】解∵,∴y﹣x=2xy,∴====.故答案为.【点评】此题主要考查了分式求值问题,要熟练掌握,求分式的值可以直接代入、计算.如果给出的分式可以化简,要先化简再求值. 14.如图,四边形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别为5cm、4cm,点A1,B1,C1,D1是四边形ABCD各边上的中点,则四边形A1B1C1D1的周长为 9 cm.【考点】中点四边形.【分析】根据三角形的中位线定理得出A1B1=BD,C1D1=BD,A1D1=AC,B1C1=AC,代入四边形的周长式子求出即可.【解答】解∵A1,B1,C1,D1是四边形ABCD各边上的中点,∴A1B1=BD,C1D1=BD,A1D1=AC,B1C1=AC,∴四边形EFGH的周长是A1B1+C1D1+A1D1+B1C1=(AC+BD+AC+BD)=AC+BD=9(cm).故答案为9.【点评】本题主要考查对三角形的中位线定理的理解和掌握,能熟练运用性质求出EF+GH+EH+FG=AC+BD是解此题的关键. 15.如图,△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转40°后得到的图形,点C恰好在边AB上.若∠AOD=100°,则∠D的度数是 50 °.【考点】旋转的性质.【分析】已知△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转40°后所得的图形,可得△COD≌△AOB,旋转角为40°,∵点C恰好在AB上,可得△AOC为等腰三角形,可结合三角形的内角和定理求∠B的度数.【解答】解根据旋转性质得△COD≌△AOB,∴CO=AO,∠D=∠B由旋转角为40°,∴∠AOC=∠BOD=40°,∴∠OAC=(180°﹣∠AOC)÷2=70°,∴∠BOC=∠AOD﹣∠AOC﹣∠BOD=20°,∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=60°,在△AOB中,由内角和定理得∠B=180°﹣∠OAC﹣∠AOB=180°﹣70°﹣60°=60°.∴∠D=∠B=50°故答案为50°.【点评】此题是旋转的性质题,主要考查了旋转变化前后,对应角相等,同时充分用三角形的内角和定理,等腰三角形的性质,解本题的关键是用等腰三角形的性质求角的度数. 16.如图,在平行四边形ABCD中,AB=4cm,AD=7cm,∠ABC的角平分线交AD于点E,交CD的延长线于点F,则DE= 3 cm.【考点】平行四边形的性质;等腰三角形的判定与性质.【分析】利用平行四边形的性质得出AD∥BC,进而得出∠AEB=∠CBF,再利用角平分线的性质得出∠ABF=∠CBF,进而得出∠AEB=∠ABF,即可得出AE的长,即可得出答案.【解答】解∵在平行四边形ABCD中,∴AD∥BC,∴∠AEB=∠CBF,∵∠ABC的角平分线交AD于点E,∴∠ABF=∠CBF,∴∠AEB=∠ABF,∴AB=AE,∵AB=4cm,AD=7cm,∴DE=3cm.故答案为3.【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及角平分线的性质,得出∠AEB=∠ABF是解题关键. 17.如图,在平面直角坐标系xOy中,A(2,0),B(2,4),C(0,4).若直线y=kx﹣2k+1(k是常数)将四边形OABC分成面积相等的两部分,则k的值为 ﹣1 .【考点】一次函数图象上点的坐标特征.【分析】由条件可先求得矩形OABC的中心坐标,再由直线分矩形面积相等的两部分可知直线过矩形的中心,代入可求得k的值.【解答】解如图,连接OB、AC交于点D,过D作DE⊥x轴,过D作DF⊥y轴,垂足分别为E、F,∵A(2,0),B(2,4),C(0,4),∴四边形OABC为矩形,∴DE=OC=×4=2,DF=OA=×2=1,∴D(1,2),∵直线y=kx﹣2k+1(k是常数)将四边形OABC分成面积相等的两部分,∴直线过点D,∴2=k﹣2k+1,解得k=﹣1,故答案为﹣1.【点评】本题主要考查矩形的判定和性质,掌握过矩形中心的直线平分矩形面积是解题的关键. 18.如图,在菱形ABCD中,AB=6,∠B=60°,点G是边CD边的中点,点E、F分别是AG、AD上的两个动点,则EF+ED的最小值是 3 .【考点】菱形的性质;轴对称-最短路线问题.【分析】作DH⊥AC垂足为H与AG交于点E,点H关于AG的对称点为F,此时EF+ED最小=DH,先证明△ADC是等边三角形,在RT△DCH中利用勾股定理即可解决问题.【解答】解如图作DH⊥AC垂足为H与AG交于点E,∵四边形ABCD是菱形,∵AB=AD=CD=BC=6,∵∠B=60°,∴∠ADC=∠B=60°,∴△ADC是等边三角形,∵AG是中线,∴∠GAD=∠GAC∴点H关于AG的对称点F在AD上,此时EF+ED最小=DH.在RT△DHC中,∵∠DHC=90°,DC=6,∠CDH=∠ADC=30°,∴CH=DC=3,DH===3,∴EF+DE的最小值=DH=3故答案为3.【点评】本题考查菱形的性质、垂线段最短、等边三角形的判定、勾股定理等知识,解决问题的关键是利用垂线段最短解决最小值问题,属于中考常考题型.
三、解答题(共8小题,满分64分)19.(16分)(2016春•常州期中)化简
(1)
(2)
(3)先化简,再求值(),其中a=5.【考点】分式的化简求值;分式的混合运算.【分析】
(1)先通分,再把分子相加减即可;
(2)根据分式的除法法则进行计算即可;
(3)先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再把a的值代入进行计算即可.【解答】解
(1)原式=﹣===;
(2)原式=÷=•=;
(3)原式=[﹣]÷=[﹣]•=•=﹣,当a=5时,原式=﹣.【点评】本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键. 20.设中学生体质健康综合评定成绩为x分,满分为100分,规定85≤x≤100为A级,75≤x≤85为B级,60≤x≤75为C级,x<60为D级.现随机抽取福海中学部分学生的综合评定成绩,整理绘制成如下两幅不完整的统计图,请根据图中的信息,解答下列问题
(1)在这次调查中,一共抽取了 50 名学生,α= 24 %;
(2)补全条形统计图;
(3)扇形统计图中C级对应的圆心角为 72 度;
(4)若该校共有2000名学生,请你估计该校D级学生有多少名?【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图.【分析】
(1)根据B级的人数和所占的百分比求出抽取的总人数,再用A级的人数除以总数即可求出a;
(2)用抽取的总人数减去A、B、D的人数,求出C级的人数,从而补全统计图;
(3)用360度乘以C级所占的百分比即可求出扇形统计图中C级对应的圆心角的度数;
(4)用D级所占的百分比乘以该校的总人数,即可得出该校D级的学生数.【解答】解
(1)在这次调查中,一共抽取的学生数是=50(人),a=×100%=24%;故答案为50,24;
(2)等级为C的人数是50﹣12﹣24﹣4=10(人),补图如下
(3)扇形统计图中C级对应的圆心角为×360°=72°;故答案为72;
(4)根据题意得2000×=160(人),答该校D级学生有160人.【点评】此题考查了是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小. 21.用直尺和圆规作图作出四边形ABCD关于O点成中心对称的四边形A′B′C′D′.(保留作图痕迹)【考点】作图-旋转变换;中心对称.【分析】连接AO并延长至A′,使AO=A′O,则A′就是点A的对称点;同理作出其它各点的对称点,连接成四边形即可.【解答】解作法
①连接AO并延长至A′,使AO=A′O,
②同理作出点B′、C′、D′,
③将A′、B′、C′、D′连接成四边形,则四边形A′B′C′D′就是所求作的四边形.【点评】本题是关于中心对称的作图题,考查了中心对称的性质,关于中心对称的两个图形,对应点的连线都经过对称中心,并且被对称中心平分,根据这一性质进行作图,基本方法是将各点与对称中心相连,并延长至相等长度,得该点的对称点. 22.如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长为1个单位长度.平面直角坐标系xOy的原点O在格点上,x轴、y轴都在格线上.线段AB的两个端点也在格点上.
(1)若将线段AB绕点O逆时针旋转90°得到线段A1B1,试在图中画出线段A1B1.
(2)若线段A2B2与线段A1B1关于y轴对称,请画出线段A2B2.
(3)若点P是此平面直角坐标系内的一点,当点A、B
1、B
2、P四边围成的四边形为平行四边形时,请你直接写出点P的坐标.【考点】作图-旋转变换;作图-轴对称变换.【分析】
(1)利用网格特点和旋转性质画出点A、B的对应点A
1、B1即可;
(2)根据关于y轴对称的点的坐标特征写出A2和B2的坐标,然后描点即可;
(3)利用平行四边形的判定方法,分类讨论当AB2为对角线可得到点P1;当AB1为对角线可得到点P2;当B1B2为对角线可得到点P3,然后写出对应的P点坐标.【解答】解
(1)如图,线段A1B1为所作;
(2)如图,线段A2B2为所作;
(3)点P的坐标为(﹣4,﹣1)或(4,﹣1)或(0,5).【点评】本题考查了作图﹣旋转变换根据旋转的性质可知,对应角都相等都等于旋转角,对应线段也相等,由此可以通过作相等的角,在角的边上截取相等的线段的方法,找到对应点,顺次连接得出旋转后的图形.也考查了轴对称变换. 23.如图,正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O,分别过点C、点D作CE∥BD,DE∥AC.求证四边形OCED是正方形.【考点】正方形的判定与性质.【分析】先证明四边形OCED是平行四边形,由正方形的性质得出OA=OC=OB=OD,AC⊥BD,即可得出四边形OCED是正方形.【解答】证明∵CE∥BD,DE∥AC,∴四边形OCED是平行四边形,∵四边形ABCD是正方形,∴OA=OC=OB=OD,AC⊥BD,∴四边形OCED是正方形.【点评】本题考查了正方形的判定与性质、平行四边形的判定;熟练掌握正方形的性质是解决问题的关键. 24.如图,在▱ABCD中,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为点E、F.
(1)求证四边形BEDF是平行四边形.
(2)若AB=13,AD=20,DE=12,求▱BEDF的面积.【考点】平行四边形的判定与性质.【分析】
(1)由平行四边形的性质得出AB=CD,AB∥CD,证出∠BAC=∠DCA,由垂线的性质得出BF∥DE,∠AFB=∠CED=90°,由AAS证明△ABF≌△CDE,得出BF=DE,AF=EC,即可得出四边形BEDF是平行四边形.
(2)由勾股定理求出EC,得出AF,由勾股定理求出AE,得出EF,即可得出▱BEDF的面积.【解答】
(1)证明∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD,∴∠BAC=∠DCA,∵DE⊥AC,BF⊥AC,∴BF∥DE,∠AFB=∠CED=90°,在△ABF和△CDE中,,∴△ABF≌△CDE(AAS),∴BF=DE,AF=EC,∴四边形BEDF是平行四边形.
(2)∵AB=13,∴CD=13,∴EC===5,∴AF=5,∵AE===16,∴EF=AE﹣AF=11,∴▱BEDF的面积=2××11×12=132.【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质,全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂线的性质;熟练掌握平行四边形的判定与性质,证明三角形全等是解决问题的关键. 25.如图,平面直角坐标系xOy中,点O为坐标原点,四边形OABC为矩形,A(10,0),C(0,4),点D是OA的中点,点P在边BC上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动.
(1)当四边形PODB是平行四边形时,求t的值;
(2)在线段PB上是否存在一点Q,使得四边形ODQP为菱形?若存在,求处当四边形ODQP为菱形时t的值,并求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)△OPD为等腰三角形时,写出点P的坐标(请直接写出答案,不必写过程).【考点】四边形综合题.【分析】
(1)根据平行四边形的性质就可以知道PB=5,可以求出PC=5,从而可以求出t的值.
(2)要使ODQP为菱形,可以得出PO=5,由三角形的勾股定理就可以求出CP的值而求出t的值.
(3)当P1O=OD=5或P2O=P2D或P3D=OD=5或P4D=OD=5时分别作P2E⊥OA于E,DF⊥BC于F,P4G⊥OA于G,利用勾股定理P1C,OE,P3F,DG的值,就可以求出P的坐标.【解答】解
(1)∵四边形PODB是平行四边形,∴PB=OD=5,∴PC=5,∴t=5.
(2)∵ODQP为菱形,∴OD=OP=PQ=5,∴在Rt△OPC中,由勾股定理得PC=,∴t=3,PQ=PC+PQ=3+5=8,∴点Q的坐标为(8,4).
(3)当P1O=OD=5时,由勾股定理可以求得P1C=3,P2O=P2D时,作P2E⊥OA,∴OE=ED=
2.5;当P3D=OD=5时,作DF⊥BC,由勾股定理,得P3F=3,∴P3C=2;当P4D=OD=5时,作P4G⊥OA,由勾股定理,得DG=3,∴OG=8.∴P1(2,4),P2(
2.5,4),P3(3,4),P4(8,4).【点评】本题考查了矩形的性质,坐标与图形的性质,等腰三角形的性质,平行四边形的判定及性质,菱形的判定及性质,勾股定理的运用.解决本题的关键是熟记平行四边形、菱形的判定. 26.如图,将矩形ABCD先过点A的直线L1翻折,点DA的对应点D′刚好落在边BC上,直线L1交DC于点F;再将矩形ABCD沿过点A的直线L2翻折,使点B的对应点G落在AD′上,EG的延长线交AD于点H.
(1)当四边形AED′H是平行四边形时,求∠AD′H的度数.
(2)当点H与点D刚好重合时,试判断△AEF的形状,并说明理由.【考点】翻折变换(折叠问题).【分析】
(1)如图1中,在RT△ABC中,由AD′=2AB推出∠AD′B=30°,再证明四边形AED′H是菱形即可解决问题.
(2)如图2中,先证明△DD′G≌△DD′C得出DG=DC=AB=AG,发现△AGD、△GED′、△DEC都是等腰直角三角形,再证明△ABE≌△ECF即可解决问题.【解答】解
(1)如图1中,∵四边形AED′H是平行四边形,∴AG=GD,∵EH⊥AD,∴四边形AED′H是菱形,∴∠AD′H=∠AD′B,∵△AEG是由△AEB翻折得到,∴AB=AG=D′G,∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=90°,∴∠AD′B=30°,∴∠AD′H=30°.
(2)结论△AEF是等腰直角三角形.理由如图2中,垃圾DD′.∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠ADD′=∠DD′C,AB=DC,∠B=∠C=90°,∵AD=AD′,∴∠ADD′=∠AD′D,∴∠DD′A=∠DD′C,在△DD′G和△DD′C中,,∴△DD′G≌△DD′C,∴DG=DC=AB=AG,∵∠AGD=90°,∴∠GAD=∠GDA=∠AD′E=∠DED′=45°,∴EG=GD′=BE=CD′,∵∠AD′B+∠FD′C=90°,∴∠FD′C=′D′FC=45°,∴CD′=CF=BE,∵∠CED=∠CDE=45°,∴EC=CD=AB,在△ABE和△ECF中,,∴△ABE≌△ECF,∴AE=EF,∠BAE=∠CEF,∵∠BAE+∠AEB=90°,∴∠AEB+∠CEF=90°,∴∠AEF=90°,∴△AEF是等腰直角三角形.【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定等知识,第一问的关键是菱形性质的应用,第二个问题的关键是正确寻找全等三角形,利用特殊三角形解决问题,属于中考常考题型. 八年级(下)期中数学试卷
一、选择题(共8小题,每小题2分,满分16分)1.下列四张扑克牌中,属于中心对称的图形是( )A.红桃7B.方块4C.梅花6D.黑桃52.下列样本的选取具有代表性的是( )A.利用某地七月份的日平均气温估计当地全年的日平均气温B.为了解我国居民的年平均阅读时间,从大学生中随机抽取10万人进行抽查C.调查某些七年级
(1)班学生的身高;来估计该校全体学生的身高D.为了了解一批洗衣粉的质量情况,从仓库中任意抽取100袋进行检验3.从只装有4个红球的袋中随机摸出一球,若摸到白球的概率是p1,摸到红球的概率是p2,则( )A.p1=1,p2=1B.p1=0,p2=1C.p1=0,p2=D.p1=p2=4.已知▱ABCD中,若∠A+∠C=120°,则∠B的度数是( )A.100°B.120°C.80°D.60°5.某校图书管理员清理课外书籍时,将其中甲、乙、丙三类书籍的有关数据制成如图不完整的统计图,已知甲类书有30本,则丙类书的本数是( )A.80B.144C.200D.906.如图,E是正方形ABCD的边BC延长线上一点,且CE=AC,则∠E=( )A.90°B.45°C.30°D.
22.5°7.菱形具有而矩形不一定具有的性质是( )A.内角和等于360°B.对角相等C.对角线互相垂直D.对边平行且相等8.如图,菱形纸片ABCD中,∠A=60°,折叠菱形纸片ABCD,使点C落在DP(P为AB中点)所在的直线上,得到经过点D的折痕DE.则∠DEC的大小为( )A.78°B.75°C.60°D.45°
二、填空题(共10小题,每小题3分,满分30分)9.在菱形ABCD中,AB=5,则BC= .10.平行四边形的周长为24cm,相邻两边长的比为31,那么这个平行四边形较短的边长为 cm.11.袋中共有2个红球,4个黄球,从中任取一个球是白球,这个事件是 事件.12.袋子里有5只红球,3只白球,每只球除颜色以外都相同,从中任意摸出1只球,是红球的可能性 (选填“大于”“小于”或“等于”)是白球的可能性.13.若四边形的两条对角线垂直,则顺次连接该四边形各边中点所得的四边形是 .14.某校公布了反映该校各年级学生体育达标情况的两张统计图,该校
七、
八、九三个年级共有学生800人.甲、乙、丙三个同学看了这两张图后,甲说“七年级的体育达标率最高.”乙说“八年级共有学生264人.”丙说“九年级的体育达标率最高.”甲、乙、丙三个同学中,说法错误的是 .15.在四边形ABCD中,AB=DC,AD=BC,请再添加一个条件,使四边形ABCD是矩形.你添加的条件是 .(写出一种即可)16.如图,在正方形ABCD的外侧,作等边△ADE,则∠BED的度数是 .17.如图,在▱ABCD中,AD=6,点E、F分别是BD、CD的中点,则EF= .18.如图,在长方形ABCD中,E是AD的中点,F是CE的中点.若△BDF的面积是5平方厘米,则长方形ABCD的面积是 平方厘米.
三、解答题(共9小题,满分74分)19.如图,四边形ABCD中,AB∥CD,∠B=∠D,BC=6,AB=3,求四边形ABCD的周长.20.如图,作出将△ABC绕点O逆时针旋转180°后的△A1B1C1.21.如图,已知AB∥CD,BE⊥AD,垂足为点E,CF⊥AD,垂足为点F,并且AE=DF.求证
(1)BE=CF;
(2)四边形BECF是平行四边形.22.某校想了解学生每周的课外阅读时间情况,随机调查了部分学生,对学生每周的课外阅读时间x(单位小时)进行分组整理,并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图根据图中提供的信息,解答下列问题
(1)共随机调查了 名学生,课外阅读时间在6﹣8小时之间有 人,并补全频数分布直方图;
(2)求扇形统计图中m的值和E组对应的圆心角度数;
(3)请估计该校3000名学生每周的课外阅读时间不小于6小时的人数.23.一只不透明的袋子中有2个红球、3个绿球和5个白球,这些球处颜色外都相同,将球搅匀,从中任意摸出1个球.
(1)会出现哪些可能的结果?
(2)能够确定摸到的一定是红球吗?
(3)你认为摸到哪种颜色的球可能性最大?哪种颜色的球可能性最小?
(4)怎样改变袋子中红球、绿球和白球的个数,使摸到这三种颜色的球的概率相同?24.如图,矩形ABCD中,AC与BD交于O点,BE⊥AC于E,CF⊥BD于F.求证
(1)∠ACB=∠DBC;
(2)BE=CF.25.在▱ABCD中,点O是对角线AC、BD的交点,AC垂直于BC,且AB=10cm,AD=8cm.求
(1)AC的长;
(2)求OB的长.26.已知如图,在矩形ABCD中,M,N分别是边AD,BC的中点,E,F分别是线段BM,CM的中点.
(1)求证△ABM≌△DCM;
(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形,并证明你的结论;
(3)当AD AB= 时,四边形MENF是正方形(只写结论,不需证明).27.如图
①,已知△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,点D是BC的中点.作正方形DEFG,使点A,C分别在DG、DE上,连接AE、BG.
(1)试猜想线段BG和AE的数量关系,请直接写出你得到的结论;
(2)将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后(旋转角度大于0°,小于或等于360°),如图
②,
(1)中的结论是否仍然成立?如果成立,请予以证明;如果不成立,请说明理由. 参考答案与试题解析
一、选择题(共8小题,每小题2分,满分16分)1.下列四张扑克牌中,属于中心对称的图形是( )A.红桃7B.方块4C.梅花6D.黑桃5【考点】中心对称图形.【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可.【解答】解红桃7不是中心对称的图形;方块4是中心对称的图形;梅花6不是中心对称的图形;黑桃5不是中心对称的图形,故选B.【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合. 2.下列样本的选取具有代表性的是( )A.利用某地七月份的日平均气温估计当地全年的日平均气温B.为了解我国居民的年平均阅读时间,从大学生中随机抽取10万人进行抽查C.调查某些七年级
(1)班学生的身高;来估计该校全体学生的身高D.为了了解一批洗衣粉的质量情况,从仓库中任意抽取100袋进行检验【考点】抽样调查的可靠性.【分析】抽取样本注意事项就是要考虑样本具有广泛性与代表性,所谓代表性,就是抽取的样本必须是随机的,即各个方面,各个层次的对象都要有所体现.【解答】解A、利用某地七月份的日平均气温估计当地全年的日平均气温不具代表性,故A错误;B、为了解我国居民的年平均阅读时间,从大学生中随机抽取10万人进行抽查,调查不具代表性,故B错误;C、调查某些七年级
(1)班学生的身高;来估计该校全体学生的身高,调查不具代表性,故C误;D、为了了解一批洗衣粉的质量情况,从仓库中任意抽取100袋进行检验,调查具有广泛性,代表性,故D正确;故选D.【点评】本题考查了抽样调查的可靠性,样本具有代表性是指抽取的样本必须是随机的,即各个方面,各个层次的对象都要有所体现. 3.从只装有4个红球的袋中随机摸出一球,若摸到白球的概率是p1,摸到红球的概率是p2,则( )A.p1=1,p2=1B.p1=0,p2=1C.p1=0,p2=D.p1=p2=【考点】概率的意义.【分析】必然发生的事件就是一定发生的事件,因而概率是1.不可能发生的事件就是一定不会发生的事件,因而概率为0.【解答】解因为袋中没有白球,所以摸到白球是不可能发生的事件,因而p1=0,袋中只有红球,所以摸到红球是必然发生的事件,因而p2=1.故选B.【点评】必然事件发生的概率为1,即P(必然事件)=1;不可能事件发生的概率为0,即P(不可能事件)=0;如果A为不确定事件,那么0<P(A)<1. 4.已知▱ABCD中,若∠A+∠C=120°,则∠B的度数是( )A.100°B.120°C.80°D.60°【考点】平行四边形的性质.【分析】由四边形ABCD是平行四边形,可得平行四边形的对角相等,邻角互补,继而求得答案.【解答】解∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,∠A+∠B=180°,∵∠A+∠C=120°,∴∠A=60°,∴∠B=120°.故选B.【点评】此题考查了平行四边形的性质.注意平行四边形的对角线相等,邻角互补. 5.某校图书管理员清理课外书籍时,将其中甲、乙、丙三类书籍的有关数据制成如图不完整的统计图,已知甲类书有30本,则丙类书的本数是( )A.80B.144C.200D.90【考点】扇形统计图.【分析】根据甲类书籍有30本,占总数的15%即可求得总书籍数,丙类所占的比例是1﹣15%﹣45%,所占的比例乘以总数即可求得丙类书的本数.【解答】解总数是30÷15%=200(本),丙类书的本数是200×(1﹣15%﹣45%)=200×40%=80(本)故选A.【点评】本题考查了扇形统计图,正确求得总书籍数是关键. 6.如图,E是正方形ABCD的边BC延长线上一点,且CE=AC,则∠E=( )A.90°B.45°C.30°D.
22.5°【考点】正方形的性质.【分析】根据正方形的性质得∠ACB=45°,再根据等腰三角形的性质得∠E=∠CAE,再根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和即可解决问题.【解答】解∵四边形ABCD是正方形,∴∠BCA=∠ACD=45°,∵CE=CA,∴∠CAE=∠E,∵∠BCA=∠E+∠CAE,∴∠E=∠CAE=
22.5°,故选D.【点评】本题考查正方形的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角等于两个不相邻的内角的和,解题的关键是熟练掌握这些性质,属于基础题,中考常考题型. 7.菱形具有而矩形不一定具有的性质是( )A.内角和等于360°B.对角相等C.对角线互相垂直D.对边平行且相等【考点】矩形的性质;菱形的性质.【分析】根据菱形的各种性质及矩形的各种性质以及四边形的内角和定理对各个选项进行分析,从而得到最后的答案.【解答】解A、因为矩形和菱形都是四边形,所以内角和都为360°;故本选项符不合要求;B、菱形和矩形的对角都相等;故本选项不符合要求;C、菱形的对角线互相垂直,而矩形的对角线相等;故本选项符合要求;D、菱形和矩形的对边都平行且相等;故本选项不符合要求;故选C.【点评】此题主要考查了学生对菱形及矩形的性质的理解及运用.菱形和矩形都具有平行四边形的性质,但是菱形的特性是对角线互相垂直、平分,四条边都相等. 8.如图,菱形纸片ABCD中,∠A=60°,折叠菱形纸片ABCD,使点C落在DP(P为AB中点)所在的直线上,得到经过点D的折痕DE.则∠DEC的大小为( )A.78°B.75°C.60°D.45°【考点】翻折变换(折叠问题);菱形的性质.【专题】计算题.【分析】连接BD,由菱形的性质及∠A=60°,得到三角形ABD为等边三角形,P为AB的中点,利用三线合一得到DP为角平分线,得到∠ADP=30°,∠ADC=120°,∠C=60°,进而求出∠PDC=90°,由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°,利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数.【解答】解连接BD,∵四边形ABCD为菱形,∠A=60°,∴△ABD为等边三角形,∠ADC=120°,∠C=60°,∵P为AB的中点,∴DP为∠ADB的平分线,即∠ADP=∠BDP=30°,∴∠PDC=90°,∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°,在△DEC中,∠DEC=180°﹣(∠CDE+∠C)=75°.故选B.【点评】此题考查了翻折变换(折叠问题),菱形的性质,等边三角形的性质,以及内角和定理,熟练掌握折叠的性质是解本题的关键.
二、填空题(共10小题,每小题3分,满分30分)9.在菱形ABCD中,AB=5,则BC= 5 .【考点】菱形的性质.【分析】由菱形的四条边相等即可得出结果.【解答】解∵四边形ABCD是菱形,∴BC=AB=5;故答案为5.【点评】本题考查了菱形的性质;熟记菱形的四条边相等是解决问题的关键. 10.平行四边形的周长为24cm,相邻两边长的比为31,那么这个平行四边形较短的边长为 3 cm.【考点】平行四边形的性质.【分析】根据平行四边形中对边相等和已知条件即可求得较短边的长.【解答】解如图∵平行四边形的周长为24cm∴AB+BC=24÷2=12∵BC AB=31∴AB=3cm故答案为3.【点评】本题利用了平行四边形的对边相等的性质,设适当的参数建立方程求解. 11.袋中共有2个红球,4个黄球,从中任取一个球是白球,这个事件是 不可能 事件.【考点】随机事件.【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件.【解答】解袋中共有2个红球,4个黄球,从中任取一个球是白球,这个事件是不可能事件;故答案为不可能.【点评】本题考查了随机事件,解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件. 12.袋子里有5只红球,3只白球,每只球除颜色以外都相同,从中任意摸出1只球,是红球的可能性 大于 (选填“大于”“小于”或“等于”)是白球的可能性.【考点】可能性的大小.【分析】根据“哪种球的数量大哪种球的可能性就打”直接确定答案即可.【解答】解∵袋子里有5只红球,3只白球,∴红球的数量大于白球的数量,∴从中任意摸出1只球,是红球的可能性大于白球的可能性.故答案为大于.【点评】本题考查了可能性的大小,可能性大小的比较只要总情况数目相同,谁包含的情况数目多,谁的可能性就大;反之也成立;若包含的情况相当,那么它们的可能性就相等. 13.若四边形的两条对角线垂直,则顺次连接该四边形各边中点所得的四边形是 矩形 .【考点】中点四边形.【分析】首先根据题意画出图形,写出已知和求证,再根据三角形中位线的性质,可得到这个四边形是平行四边形,再由对角线垂直,能证出有一个角等于90°,则这个四边形为矩形.【解答】已知四边形ABCD中,AC⊥BD,E、F、G、H分别为各边的中点,连接点E、F、G、H.求证四边形EFGH是矩形;证明∵E、F、G、H分别为各边的中点,∴EF∥AC,GH∥AC,EH∥BD,FG∥BD,(三角形的中位线平行于第三边)∴四边形EFGH是平行四边形,(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)∵AC⊥BD,EF∥AC,EH∥BD,∴∠EMO=∠ENO=90°,∴四边形EMON是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形),∴∠MEN=90°,∴四边形EFGH是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形).【点评】本题考查的是矩形的判定方法,常用的方法有三种
①一个角是直角的平行四边形是矩形.
②三个角是直角的四边形是矩形.
③对角线相等的平行四边形是矩形. 14.某校公布了反映该校各年级学生体育达标情况的两张统计图,该校
七、
八、九三个年级共有学生800人.甲、乙、丙三个同学看了这两张图后,甲说“七年级的体育达标率最高.”乙说“八年级共有学生264人.”丙说“九年级的体育达标率最高.”甲、乙、丙三个同学中,说法错误的是 甲 .【考点】条形统计图;扇形统计图.【分析】根据学校总人数和各年级所占的百分比求出三个年级的人数以及达标率,然后作出判断即可.【解答】解七年级学生总人数800×37%=296,达标率×100%≈
87.84%,八年级学生总人数800×33%=264,达标率×100%≈
94.70%,九年级学生总人数800×30%=240,达标率×100%≈
97.92%,所以,甲的说法是错误的,乙、丙的说法正确.故答案为甲.【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小. 15.在四边形ABCD中,AB=DC,AD=BC,请再添加一个条件,使四边形ABCD是矩形.你添加的条件是 对角线相等 .(写出一种即可)【考点】矩形的判定.【专题】开放型.【分析】已知两组对边相等,如果其对角线相等可得到△ABD≌△ABC≌△ADC≌△BCD,进而得到,∠A=∠B=∠C=∠D=90°,使四边形ABCD是矩形.【解答】解若四边形ABCD的对角线相等,则由AB=DC,AD=BC可得.△ABD≌△ABC≌△ADC≌△BCD,所以四边形ABCD的四个内角相等分别等于90°即直角,所以四边形ABCD是矩形,故答案为对角线相等.【点评】此题属开放型题,考查的是矩形的判定,根据矩形的判定,关键是要得到四个内角相等即直角. 16.如图,在正方形ABCD的外侧,作等边△ADE,则∠BED的度数是 45° .【考点】正方形的性质;等边三角形的性质.【分析】根据正方形的性质,可得AB与AD的关系,∠BAD的度数,根据等边三角形的性质,可得AE与AD的关系,∠AED的度数,根据等腰三角形的性质,可得∠AEB与∠ABE的关系,根据三角形的内角和,可得∠AEB的度数,根据角的和差,可得答案.【解答】解∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAD=90°.∵等边三角形ADE,∴AD=AE,∠DAE=∠AED=60°.∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°,AB=AE,∠AEB=∠ABE=(180°﹣∠BAE)÷2=15°,∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60°﹣15°=45°,故答案为45°.【点评】本题考查了正方形的性质,先求出∠BAE的度数,再求出∠AEB,最后求出答案. 17.如图,在▱ABCD中,AD=6,点E、F分别是BD、CD的中点,则EF= 3 .【考点】三角形中位线定理;平行四边形的性质.【分析】由四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形的对边相等,可得BC=AD=8,又由点E、F分别是BD、CD的中点,利用三角形中位线的性质,即可求得答案.【解答】解∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC=AD=6,∵点E、F分别是BD、CD的中点,∴EF=BC=×6=3.故答案为3.【点评】此题考查了平行四边形的性质与三角形中位线的性质.此题比较简单,注意掌握数形结合思想的应用. 18.如图,在长方形ABCD中,E是AD的中点,F是CE的中点.若△BDF的面积是5平方厘米,则长方形ABCD的面积是 40 平方厘米.【考点】三角形的面积.【分析】设这个长方形ABCD的长为a厘米,宽为b厘米.即BC=a,AB=b,则其面积为ab平方厘米,过F作FG⊥CD,FQ⊥BC且分别交CD于G、BC于Q,求出则FQ=b,FG=a,得到△BFC的面积,同理求出△FCD的面积,根据△BDF的面积=△BCD的面积﹣(△BFC的面积+△CDF的面积),得到6=ab﹣(ab+ab)=ab,可求出ab的值,即可得到答案.【解答】解设这个长方形ABCD的长为a厘米,宽为b厘米.即BC=a,AB=b,则其面积为ab平方厘米.∵E为AD的中点,F为CE的中点,∴过F作FG⊥CD,FQ⊥BC且分别交CD于G、BC于Q,则FQ=CD=b,FG=a.∵△BFC的面积=BC•FQ=a•b,同理△FCD的面积=•b•a,∴△BDF的面积=△BCD的面积﹣(△BFC的面积+△CDF的面积),即5=ab﹣(ab+ab)=ab∴ab=40.∴长方形ABCD的面积是40平方厘米.故答案为40.【点评】本题主要考查了三角形的面积,矩形的性质,三角形的中位线,解一元一次方程等知识点,根据已知求出ab的值是解此题的关键.
三、解答题(共9小题,满分74分)19.如图,四边形ABCD中,AB∥CD,∠B=∠D,BC=6,AB=3,求四边形ABCD的周长.【考点】平行四边形的判定与性质.【分析】先证明四边形ABCD是平行四边形,再利用平行四边形的性质可求出四边形ABCD的周长.【解答】解解法一∵AB∥CD∴∠B+∠C=180°,又∵∠B=∠D,∴∠C+∠D=180°,∴AD∥BC即得ABCD是平行四边形,∴AB=CD=3,BC=AD=6,∴四边形ABCD的周长=2×6+2×3=18;解法二连接AC,∵AB∥CD,∴∠BAC=∠DCA,又∵∠B=∠D,AC=CA,∴△ABC≌△CDA,∴AB=CD=3,BC=AD=6,∴四边形ABCD的周长=2×6+2×3=18;解法三连接BD,∵AB∥CD∴∠ABD=∠CDB,又∵∠ABC=∠CDA,∴∠CBD=∠ADB,∴AD∥BC即ABCD是平行四边形,∴AB=CD=3,BC=AD=6(5分)∴四边形ABCD的周长=2×6+2×3=18.【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质,熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键.平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应,每种方法都对应着一种性质,在应用时应注意它们的区别与联系. 20.如图,作出将△ABC绕点O逆时针旋转180°后的△A1B1C1.【考点】作图-旋转变换.【分析】延长CO到A1使A1O=OA,则A1点为A的对应点,同样方法作出点B和C的对应点B
1、C1,从而得到△A1B1C1.【解答】解如图,△A1B1C1为所求.【点评】本题考查了作图﹣旋转变换根据旋转的性质可知,对应角都相等都等于旋转角,对应线段也相等,由此可以通过作相等的角,在角的边上截取相等的线段的方法,找到对应点,顺次连接得出旋转后的图形. 21.如图,已知AB∥CD,BE⊥AD,垂足为点E,CF⊥AD,垂足为点F,并且AE=DF.求证
(1)BE=CF;
(2)四边形BECF是平行四边形.【考点】平行四边形的判定;全等三角形的判定与性质.【专题】证明题.【分析】
(1)通过全等三角形(△AEB≌△DFC)的对应边相等证得BE=CF;
(2)由“在同一平面内,同垂直于同一条直线的两条直线相互平行”证得BE∥CF.易得四边形BECF是平行四边形.【解答】证明
(1)∵BE⊥AD,CF⊥AD,∴∠AEB=∠DFC=90°,∵AB∥CD,∴∠A=∠D,在△AEB与△DFC中,,∴△AEB≌△DFC(ASA),∴BE=CF;
(2)∵BE⊥AD,CF⊥AD,∴BE∥CF,∵BE=CF,∴四边形BECF是平行四边形.【点评】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 22.某校想了解学生每周的课外阅读时间情况,随机调查了部分学生,对学生每周的课外阅读时间x(单位小时)进行分组整理,并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图根据图中提供的信息,解答下列问题
(1)共随机调查了 100 名学生,课外阅读时间在6﹣8小时之间有 25 人,并补全频数分布直方图;
(2)求扇形统计图中m的值和E组对应的圆心角度数;
(3)请估计该校3000名学生每周的课外阅读时间不小于6小时的人数.【考点】扇形统计图;用样本估计总体;频数(率)分布直方图.【分析】
(1)A组人数÷A组所占百分比=被调查总人数,将总人数×D组所占百分比=D组人数;
(2)m=C组人数÷调查总人数×100,E组对应的圆心角度数=E组占调查人数比例×360°;
(3)将样本中课外阅读时间不小于6小时的百分比乘以3000可得.【解答】解
(1)随机调查学生数为10÷10%=100(人),课外阅读时间在6﹣8小时之间的人数为100×25%=25(人),补全图形如下
(2)m==40,E组对应的圆心角为×360°=
14.4°;
(3)3000×(25%+4%)=870(人).答估计该校3000名学生每周的课外阅读时间不小于6小时的人数约为870人.故答案为
(1)100,25.【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小. 23.一只不透明的袋子中有2个红球、3个绿球和5个白球,这些球处颜色外都相同,将球搅匀,从中任意摸出1个球.
(1)会出现哪些可能的结果?
(2)能够确定摸到的一定是红球吗?
(3)你认为摸到哪种颜色的球可能性最大?哪种颜色的球可能性最小?
(4)怎样改变袋子中红球、绿球和白球的个数,使摸到这三种颜色的球的概率相同?【考点】概率公式.【分析】
(1)由一只不透明的袋子中有2个红球、3个绿球和5个白球,即可求得答案;
(2)由随机事件的意义可求得答案;
(3)由一只不透明的袋子中有2个红球、3个绿球和5个白球,即可知摸到哪种颜色的球可能性最大?哪种颜色的球可能性最小?
(4)将袋子中的红球、绿球与白球的个数设计一样多,则摸到这三种颜色的球的概率相同.【解答】解
(1)∵一只不透明的袋子中有2个红球、3个绿球和5个白球,∴会出现可能的结果有红球、绿球、白球;
(2)不能;
(3)摸到白球可能性最大,红球可能性最小;
(4)将袋子中的红球、绿球与白球的个数设计一样多,则摸到这三种颜色的球的概率相同.【点评】此题考查了概率公式的应用.用到的知识点为概率=所求情况数与总情况数之比. 24.如图,矩形ABCD中,AC与BD交于O点,BE⊥AC于E,CF⊥BD于F.求证
(1)∠ACB=∠DBC;
(2)BE=CF.【考点】矩形的性质;全等三角形的判定与性质.【专题】证明题.【分析】
(1)根据矩形的性质得出AC=BD,AB=DC,根据SSS推出△ABC≌△DCB,根据全等三角形的性质得出即可;
(2)求出∠BEC=∠CFB=90°,根据全等三角形的判定得出△BEC≌△CFB,根据全等三角形的性质得出即可.【解答】证明
(1)∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,AB=DC,在△ABC和△DCB中,,∴△ABC≌△DCB(SSS),∴∠ACB=∠DBC;
(2)∵BE⊥AC于E,CF⊥BD于F,∴∠BEC=∠CFB=90°,在△BEC和△CFB中,,∴△BEC≌△CFB(AAS),∴BE=CF.【点评】本题考查了矩形的性质和全等三角形的性质和判定的应用,能灵活利用定理进行推理是解此题的关键,注意矩形的对角线相等,矩形的对边相等. 25.在▱ABCD中,点O是对角线AC、BD的交点,AC垂直于BC,且AB=10cm,AD=8cm.求
(1)AC的长;
(2)求OB的长.【考点】平行四边形的性质;勾股定理.【分析】根据平行四边形的性质得到BC=AD=8cm,根据勾股定理即可得到结论.【解答】解在▱ABCD中BC=AD=8cm,
(1)∵AC垂直于BC,∴∠ACB=90°,∴AC==6cm;
(2)∵OC=AC=3cm,∴OB==.【点评】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理;熟练掌握平行四边形的性质,并能进行推理计算是解决问题的关键. 26.已知如图,在矩形ABCD中,M,N分别是边AD,BC的中点,E,F分别是线段BM,CM的中点.
(1)求证△ABM≌△DCM;
(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形,并证明你的结论;
(3)当AD AB= 21 时,四边形MENF是正方形(只写结论,不需证明).【考点】矩形的性质;全等三角形的判定与性质;菱形的判定;正方形的判定.【分析】
(1)根据矩形的性质可得AB=CD,∠A=∠D=90°,再根据M是AD的中点,可得AM=DM,然后再利用SAS证明△ABM≌△DCM;
(2)四边形MENF是菱形.首先根据中位线的性质可证明NE∥MF,NE=MF,可得四边形MENF是平行四边形,再根据△ABM≌△DCM可得BM=CM进而得ME=MF,从而得到四边形MENF是菱形;
(3)当AD AB=21时,四边形MENF是正方形,证明∠EMF=90°根据有一个角为直角的菱形是正方形得到结论.【解答】
(1)证明∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,∠A=∠D=90°,又∵M是AD的中点,∴AM=DM.在△ABM和△DCM中,,∴△ABM≌△DCM(SAS).
(2)解四边形MENF是菱形.证明如下∵E,F,N分别是BM,CM,CB的中点,∴NE∥MF,NE=MF.∴四边形MENF是平行四边形.由
(1),得BM=CM,∴ME=MF.∴四边形MENF是菱形.
(3)解当AD AB=21时,四边形MENF是正方形.理由∵M为AD中点,∴AD=2AM.∵AD AB=21,∴AM=AB.∵∠A=90,∴∠ABM=∠AMB=45°.同理∠DMC=45°,∴∠EMF=180°﹣45°﹣45°=90°.∵四边形MENF是菱形,∴菱形MENF是正方形.故答案为21.【点评】此题主要考查了矩形的性质,以及菱形的判定和正方形的判定,关键是掌握菱形和正方形的判定方法. 27.如图
①,已知△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,点D是BC的中点.作正方形DEFG,使点A,C分别在DG、DE上,连接AE、BG.
(1)试猜想线段BG和AE的数量关系,请直接写出你得到的结论;
(2)将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后(旋转角度大于0°,小于或等于360°),如图
②,
(1)中的结论是否仍然成立?如果成立,请予以证明;如果不成立,请说明理由.【考点】正方形的性质;全等三角形的判定与性质.【分析】
(1)在Rt△BDG与Rt△EDA;根据边角边定理易得Rt△BDG≌Rt△EDA;故BG=AE;
(2)连接AD,根据直角三角形与正方形的性质可得Rt△BDG≌Rt△EDA;进而可得BG=AE.【解答】解
(1)BG=AE.理由如下如图
①,∵△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,点D是BC的中点,∴BD=CD=AD,∵在△BDG和△ADE中,,∴△BDG≌△ADE(SAS),∴BG=AE;
(2)证明连接AD,∵Rt△BAC中,D为斜边BC的中点,∴AD=BD,AD⊥BC,∴∠ADG+∠GDB=90°,∵EFGD为正方形,∴DE=DG,且∠GDE=90°,∴∠ADG+∠ADE=90°,∴∠BDG=∠ADE,在△BDG和△ADE中,,∴△BDG≌△ADE(SAS),∴BG=AE.【点评】本题考查了正方形的性质.解答本题要充分利用正方形的特殊性质.注意在正方形中的特殊三角形的应用,搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系,可有助于提高解题速度和准确率. 。