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1.1因动点产生的相似三角形问题C12010年义乌市中考第24题如图1,已知梯形OABC,抛物线分别过点O(0,0)、A(2,0)、B(6,3).
(1)直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标;
(2)将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移,分别交抛物线于点O
1、A
1、C
1、B1,得到如图2的梯形O1A1B1C1.设梯形O1A1B1C1的面积为S,A
1、B1的坐标分别为x1,y
1、x2,y2.用含S的代数式表示x2-x1,并求出当S=36时点A1的坐标;
(3)在图1中,设点D的坐标为1,3,动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动,动点Q从点D出发,以与点P相同的速度沿着线段DM运动.P、Q两点同时出发,当点Q到达点M时,P、Q两点同时停止运动.设P、Q两点的运动时间为t,是否存在某一时刻t,使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.图1图2思路点拨1.第
(2)题用含S的代数式表示x2-x1,我们反其道而行之,用x1,x2表示S.再注意平移过程中梯形的高保持不变,即y2-y1=3.通过代数变形就可以了.2.第
(3)题最大的障碍在于画示意图,在没有计算结果的情况下,无法画出准确的位置关系,因此本题的策略是先假设,再说理计算,后验证.3.第
(3)题的示意图,不变的关系是直线AB与x轴的夹角不变,直线AB与抛物线的对称轴的夹角不变.变化的是直线PQ的斜率,因此假设直线PQ与AB的交点G在x轴的下方,或者假设交点G在x轴的上方.满分解答
(1)抛物线的对称轴为直线,解析式为,顶点为M(1,).
(2)梯形O1A1B1C1的面积,由此得到.由于,所以.整理,得.因此得到.当S=36时,解得此时点A1的坐标为(6,3).
(3)如图3,设直线AB与PQ交于点G,直线AB与抛物线的对称轴交于点E,直线PQ与x轴交于点F,那么要探求相似的△GAF与△GQE,有一个公共角∠G.在△GEQ中,∠GEQ是直线AB与抛物线对称轴的夹角,为定值.在△GAF中,∠GAF是直线AB与x轴的夹角,也为定值,而且∠GEQ≠∠GAF.因此只存在∠GQE=∠GAF的可能,△GQE∽△GAF.这时∠GAF=∠GQE=∠PQD.由于,,所以.解得.图3图4考点伸展第
(3)题是否存在点G在x轴上方的情况?如图4,假如存在,说理过程相同,求得的t的值也是相同的.事实上,图3和图4都是假设存在的示意图,实际的图形更接近图3.C22011年上海市闸北区中考模拟第25题直线分别交x轴、y轴于A、B两点,△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△COD,抛物线y=ax2+bx+c经过A、C、D三点.1写出点A、B、C、D的坐标;2求经过A、C、D三点的抛物线表达式,并求抛物线顶点G的坐标;3在直线BG上是否存在点Q,使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.思路点拨1.图形在旋转过程中,对应线段相等,对应角相等,对应线段的夹角等于旋转角.2.用待定系数法求抛物线的解析式,用配方法求顶点坐标.3.第
(3)题判断∠ABQ=90°是解题的前提.4.△ABQ与△COD相似,按照直角边的比分两种情况,每种情况又按照点Q与点B的位置关系分上下两种情形,点Q共有4个.满分解答
(1)A3,0,B0,1,C0,3,D-1,0.
(2)因为抛物线y=ax2+bx+c经过A3,
0、C0,
3、D-1,0三点,所以解得所以抛物线的解析式为y=-x2+2x+3=-x-12+4,顶点G的坐标为1,4.
(3)如图2,直线BG的解析式为y=3x+1,直线CD的解析式为y=3x+3,因此CD//BG.因为图形在旋转过程中,对应线段的夹角等于旋转角,所以AB⊥CD.因此AB⊥BG,即∠ABQ=90°.因为点Q在直线BG上,设点Q的坐标为x,3x+1,那么.Rt△COD的两条直角边的比为1∶3,如果Rt△ABQ与Rt△COD相似,存在两种情况
①当时,.解得.所以,.
②当时,.解得.所以,.图2图3考点伸展第
(3)题在解答过程中运用了两个高难度动作一是用旋转的性质说明AB⊥BG;二是.我们换个思路解答第
(3)题如图3,作GH⊥y轴,QN⊥y轴,垂足分别为H、N.通过证明△AOB≌△BHG,根据全等三角形的对应角相等,可以证明∠ABG=90°.在Rt△BGH中,,.
①当时,.在Rt△BQN中,,.当Q在B上方时,;当Q在B下方时,.
②当时,.同理得到,.§
1.2因动点产生的等腰三角形问题C32011年湖州市中考第24题如图1,已知正方形OABC的边长为2,顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,M是BC的中点.P0m是线段OC上一动点(C点除外),直线PM交AB的延长线于点D.
(1)求点D的坐标(用含m的代数式表示);
(2)当△APD是等腰三角形时,求m的值;
(3)设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E,过点O作直线ME的垂线,垂足为H(如图2).当点P从O向C运动时,点H也随之运动.请直接写出点H所经过的路长(不必写解答过程).图1图2思路点拨1.用含m的代数式表示表示△APD的三边长,为解等腰三角形做好准备.2.探求△APD是等腰三角形,分三种情况列方程求解.3.猜想点H的运动轨迹是一个难题.不变的是直角,会不会找到不变的线段长呢?Rt△OHM的斜边长OM是定值,以OM为直径的圆过点H、C.满分解答
(1)因为PC//DB,所以.因此PM=DM,CP=BD=2-m.所以AD=4-m.于是得到点D的坐标为2,4-m.
(2)在△APD中,,,.
①当AP=AD时,.解得(如图3).
②当PA=PD时,.解得(如图4)或(不合题意,舍去).
③当DA=DP时,.解得(如图5)或(不合题意,舍去).综上所述,当△APD为等腰三角形时,m的值为,或.图3图4图5
(3)点H所经过的路径长为.C4(10重庆潼南)如图已知抛物线与y轴相交于C,与x轴相交于A、B,点A的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,-1).1)求抛物线的解析式;2)点E是线段AC上一动点,过点E作DE⊥x轴于点D,连结DC,当△DCE的面积最大时,求点D的坐标;3)在直线BC上是否存在一点P,使△ACP为等腰三角形,若存在,求点P的坐标,若不存在,说明理由.答案解
(1)∵二次函数的图像经过点A(2,0)C0-1∴HYPERLINKhttp://www.gzsxw.net/EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3解得b=-c=-1∴二次函数的解析式为2)设点D的坐标为(m,0)0<m<2)∴OD=m∴AD=2-m由△ADE∽△AOC得,∴∴DE=∴△CDE的面积=××m==HYPERLINKhttp://www.gzsxw.net/EMBEDEquation.3当m=1时,△CDE的面积最大∴点D的坐标为(1,0)3)存在由1知二次函数的解析式为设y=0则解得x1=2x2=-1∴点B的坐标为(-1,0)C(0,-1)设直线BC的解析式为y=kx+b∴解得k=-1b=-1∴直线BC的解析式为:y=-x-1在Rt△AOC中,∠AOC=900OA=2OC=1由勾股定理得AC=∵点B-10点C(0,-1)∴OB=OC∠BCO=4501以点C为顶点且PC=AC=时,设Pk-k-1过点P作PH⊥y轴于H∴∠HCP=∠BCO=450CH=PH=∣k∣在Rt△PCH中k2+k2=解得k1=,k2=-∴P1(,-)P2(-,)
②以A为顶点,即AC=AP=设Pk-k-1,过点P作PG⊥x轴于GAG=∣2-k∣GP=∣-k-1∣在Rt△APG中AG2+PG2=AP22-k2+-k-12=5解得k1=1k2=0舍∴P31-2
③以P为顶点,PC=AP设Pk-k-1过点P作PQ⊥y轴于点QPL⊥x轴于点L,∴Lk0∴△QPC为等腰直角三角形,PQ=CQ=k由勾股定理知CP=PA=k∴AL=∣k-2∣PL=|-k-1|在Rt△PLA中k2=k-22+k+12解得k=∴P4-综上所述存在四个点P1(,-)P2(-,HYPERLINKhttp://www.gzsxw.net/EMBEDEquation.3)P31-2P4-§
1.3因动点产生的直角三角形问题C52010甘肃)12分如图,抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,-3),设抛物线的顶点为D.
(1)求该抛物线的解析式与顶点D的坐标;
(2)以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗?为什么?
(3)探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似?若存在,请指出符合条件的点P的位置,并直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.解
(1)设该抛物线的解析式为,由抛物线与y轴交于点C(0,-3)可知.即抛物线的解析式为.把A(-1,0)、B(3,0)代入得解得.∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3.∴顶点D的坐标为.说明只要学生求对,不写“抛物线的解析式为y=x2-2x-3”不扣分.
(2)以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形.过点D分别作轴、轴的垂线,垂足分别为E、F.在Rt△BOC中,OB=3,OC=3,∴.在Rt△CDF中,DF=1,CF=OF-OC=4-3=1,∴.…………………………7分在Rt△BDE中,DE=4,BE=OB-OE=3-1=2,∴.…………………………8分∴,故△BCD为直角三角形.…………………………9分
(3)连接AC,可知Rt△COA∽Rt△BCD,得符合条件的点为O(0,0).………10分过A作AP1⊥AC交y轴正半轴于P1,可知Rt△CAP1∽Rt△COA∽Rt△BCD,求得符合条件的点为.…………………………………………11分过C作CP2⊥AC交x轴正半轴于P2,可知Rt△P2CA∽Rt△COA∽Rt△BCD,求得符合条件的点为P2(9,0).…………………………………………12分∴符合条件的点有三个O(0,0),,P2(9,0).§
1.4 因动点产生的平行四边形问题C62010年河南省中考第23题在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A-
40、B0-
4、C20三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值.
(3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=-x上的动点,判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标.图1图2思路点拨1.求抛物线的解析式,设交点式比较简便.2.把△MAB分割为共底MD的两个三角形,高的和为定值OA.3.当PQ与OB平行且相等时,以点P、Q、B、O为顶点的四边形是平行四边形,按照P、Q的上下位置关系,分两种情况列方程.1因为抛物线与x轴交于A-
40、C20两点,故可设y=ax+4x-2.代入点B0-4,求得.所以抛物线的解析式为.2如图2,直线AB的解析式为y=-x-4.过点M作x轴的垂线交AB于D,那么.所以.因此当时,S取得最大值,最大值为4.3设点Q的坐标为,点P的坐标为.
①如果PQ//OB,那么PQ=OB=4.当点P在点Q上方时,.解得.此时点Q的坐标为(如图3),或(如图4).当点Q在点P上方时,.解得或(与点O重合,舍去).此时点Q的坐标为-44(如图5).
②如果PO//BQ,那么PO=BQ=4.此时点Q的坐标为4-4(如图5).图3图4图5考点伸展在本题情境下,以点P、Q、B、O为顶点的四边形能成为直角梯形吗?如图6,Q2-2;如图7,Q-22;如图8,Q4-4.图6图7图8C7§
1.5 因动点产生的梯形问题C82011年义乌市中考第24题已知二次函数的图象经过A(2,0)、C0,12两点,且对称轴为直线x=4,设顶点为点P,与x轴的另一交点为点B.
(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标;
(2)如图1,在直线y=2x上是否存在点D,使四边形OPBD为等腰梯形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图2,点M是线段OP上的一个动点(O、P两点除外),以每秒个单位长度的速度由点P向点O运动,过点M作直线MN//x轴,交PB于点N.将△PMN沿直线MN对折,得到△P1MN.在动点M的运动过程中,设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S,运动时间为t秒,求S关于t的函数关系式.思路点拨1.第
(2)题可以根据对边相等列方程,也可以根据对角线相等列方程,但是方程的解都要排除平行四边形的情况.2.第
(3)题重叠部分的形状分为三角形和梯形两个阶段,临界点是PO的中点.满分解答
(1)设抛物线的解析式为,代入A(2,0)、C0,12两点,得解得所以二次函数的解析式为,顶点P的坐标为(4,-4).
(2)由,知点B的坐标为(6,0).假设在等腰梯形OPBD,那么DP=OB=6.设点D的坐标为x,2x.由两点间的距离公式,得.解得或x=-2.如图3,当x=-2时,四边形ODPB是平行四边形.所以,当点D的坐标为,时,四边形OPBD为等腰梯形.图3图4图5
(3)设△PMN与△POB的高分别为PH、PG.在Rt△PMH中,,.所以.在Rt△PNH中,,.所以.
①如图4,当0<t≤2时,重叠部分的面积等于△PMN的面积.此时.
②如图5,当2<t<4时,重叠部分是梯形,面积等于△PMN的面积减去△P′DC的面积.由于,所以.此时.§
1.6 因动点产生的面积问题C92011年上海市闵行区中考模拟第24题如图1,已知抛物线y=x2+bx-3与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,并且OA=OC.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)过点C作CE//x轴,交抛物线于点E,设抛物线的顶点为点D,试判断△CDE的形状,并说明理由;
(3)设点M在抛物线的对称轴l上,且△MCD的面积等于△CDE的面积,请写出点M的坐标(无需写出解题步骤).图1思路点拨1.求抛物线的解析式,关键是求点A的坐标,根据已知条件,数形结合.2.判断△CDE的形状是等腰直角三角形,可以方便第
(3)求解点M的坐标.满分解答
(1)因为抛物线y=x2+bx-3与y轴交于点C0,-3,OA=OC,所以点A的坐标为-3,0.将A-3,0代入y=x2+bx-3,解得b=2.因此抛物线的解析式为y=x2+2x-3.
(2)由y=x2+2x-3=x+12-4,得顶点D的坐标为-1,-4.因为CE//x轴,所以点C与点E关于抛物线的对称轴对称.因此CE=2,DE=DC.由两点间的距离公式,求得DC=.于是可得DE2+DC2=CE2.所以△CDE是等腰直角三角形.
(3)M1(-1,-2),M2(-1,-6).考点伸展第
(3)题的解题思路是这样的如图2,如图3,因为△MCD与△CDE是同底的两个三角形,如果面积相等,那么过点E作CD的平行线,与抛物线的对称轴的交点就是要探求的点M.再根据对称性,另一个符合条件的点M在点D的下方,这两个点M关于点D对称.还有更简单的几何说理方法因为△CDE是等腰直角三角形,对于点D上方的点M,四边形CDEM是正方形,容易得到点M的坐标为(-1,-2).再根据对称性,得到另一个点M的坐标为(-1,-6).图2图3C102011年上海市松江区中考模拟第24题如图1,在平面直角坐标系xOy中,直角梯形OABC的顶点O为坐标原点,顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上,CB∥OA,OC=4,BC=3,OA=5,点D在边OC上,CD=3,过点D作DB的垂线DE,交x轴于点E.
(1)求点E的坐标;
(2)二次函数y=-x2+bx+c的图像经过点B和点E.
①求二次函数的解析式和它的对称轴;
②如果点M在它的对称轴上且位于x轴上方,满足S△CEM=2S△ABM,求点M的坐标.图1思路点拨1.这三道题目步步为赢,错一道题目,就要影响下一道的计算.2.点M在抛物线的对称轴上且位于x轴上方,要分两种情况讨论,分别为点M在线段FB和FB的延长线上.因为用点M的纵坐标表示△ABM的底边长,因点M的位置不同而不同.满分解答
(1)因为BC∥OA,所以BC⊥CD.因为CD=CB=3,所以△BCD是等腰直角三角形.因此∠BCD=45°.又因为BC⊥CD,所以∠ODE=45°.所以△ODE是等腰直角三角形,OE=OD=1.所以点E的坐标是(1,0).
(2)
①因为抛物线y=-x2+bx+c经过点B(3,4)和点E(1,0),所以解得所以二次函数的解析式为y=-x2+6x-5,抛物线的对称轴为直线x=3.
②如图2,如图3,设抛物线的对称轴与x轴交于点F,点M的坐标为(3,t)..(ⅰ)如图2,当点M位于线段BF上时,.解方程,得.此时点M的坐标为(3,).(ⅱ)如图3,当点M位于线段FB延长线上时,.解方程,得.此时点M的坐标为(3,8).图2图3考点伸展对于图2,还有几个典型结论此时,C、M、A三点在同一条直线上;△CEM的周长最小.可以求得直线AC的解析式为,当x=3时,.因此点M(3,)在直线AC上.因为点A、E关于抛物线的对称轴对称,所以ME+MC=MA+MC.当A、M、C三点共线时,ME+MC最小,△CEM的周长最小.§
1.7 因动点产生的线段和差问题C112011年福州市中考第22题已知,如图1,二次函数y=ax2+2ax-3a(a≠0)的图像的顶点为H,与x轴交于A、B两点(B在A的右侧),点H、B关于直线l对称.
(1)求A、B两点的坐标,并证明点A在直线l上;
(2)求二次函数的解析式;
(3)过点B作BK//AH交直线l于点K,M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点,联结HN、NM、MK,求HN+NM+MK和的最小值.图1答案
(1)点A的坐标为(-3,0),点B的坐标为(1,0).
(2)二次函数的解析式为.
(3)如图2,点B与点H关于直线AK对称,点K′与点K关于直线AH对称,那么HN+NM+MK=BN+NM+MK′,当M、N落在线段BK′上时,BN+NM+MK′的和最小,最小值为BK′如图3.点K的坐标为.在30°的Rt△BDK中,BK=4.在30°的Rt△BKK′中,BK′=8.图2图3C122011年嘉兴市中考第24题已知直线y=kx+3k<0分别交x轴、y轴于A、B两点,线段OA上有一动点P由原点O向点A运动,速度为每秒1个单位长度,过点P作x轴的垂线交直线AB于点C,设运动时间为t秒.
(1)当k=-1时,线段OA上另有一动点Q由A向O运动,它与点P以相同速度同时出发,当P到达点A时两点同时停止运动(如图1).
①直接写出t=1秒时C、Q两点的坐标;
②若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似,求t的值.
(2)当时,设以C为顶点的抛物线y=x+m2+n与直线AB的另一个交点为D(如图2).
①求CD的长;
②设△COD的OC边上的高为h,当t为何值时,h的值最大?图1图2思路点拨1.第
(1)题中的△AOB是等腰直角三角形,那么△ACQ为等腰直角三角形存在两个时刻,按照直角顶点分类讨论.2.第
(2)题求OC边上的高为h的最大值,直觉是什么?经验有哪些?传统的求函数的最大值显然行不通,经典的垂线段最短是否能行,关键就是确定定长的线段,直觉很重要,CD为定长.
(1)直线y=-x+3交x轴于点A
30、交y轴于点B03.
①当t=1秒时,点C的坐标为12,点Q的坐标为21.
②如图3,情形一,当∠AQC=90°时,P、Q重合,t=
1.5秒.如图4,情形二,当∠ACQ=90°时,PC垂直平分AQ,t=2秒.图3图4
(2)点C在直线上,点C的坐标可以表示为.因此抛物线可以表示为.如图6,设C、D两点间的水平距离CE=4a,那么C、D两点间的垂直距离DE=3a.于是点D的坐标可以表示为.将D代入抛物线,得.解得.因此△CDE的形状、大小是确定的,CD=5a=.所以△COD的OC边上的高为h的值最大为,此时OC⊥AB(如图5,图7).由于,所以.图5图6图7考点伸展第
(2)题
②的核心是求证CD为定值,根据垂线段最短,h的最大值就是CD的长.解法二,由方程组消去y,整理得.由,得.所以为定值.§
2.1由比例线段产生的函数关系问题C132008年上海市卢湾区中考模拟第24题如图1,已知点是轴上一点,过点作轴的垂线,垂足为点,点是上一动点(不与、重合),连结、,过点作,交于点,过点作∥,交于点.
(1)设点的纵坐标为,求关于的函数关系式,并写出的取值范围.
(2)若存在一点,使四边形是矩形,求的值.思路点拨1.证明△∽△,根据对应边成比例,得到关于的函数关系式.2.根据有三个角是直角的四边形是矩形,假设,那么△CMA∽△AOB,根据对应边成比例,列关于的方程.满分解答解
(1)∴.又,∴△∽△.∴,即.∴.
(2)当时,四边形是矩形.过点C作CM⊥y轴,垂足为M.此时△CMA∽△AOB.∴,即.解得.考点伸展在图2中,当四边形是矩形时,图中的4个直角三角形都是相似的,请您写出它们的相似比.解△CMA、△AOB、△BDE与△EFC的相似比为2∶2∶1∶.§
2.2由面积公式产生的函数关系问题C142011年乐山市中考数学试题第26题.已知顶点为A15的抛物线经过点B
51.1求抛物线的解析式;2如图
(1)设CD分别是轴、轴上的两个动点,求四边形ABCD周长的最小值;
(3)在
(2)中,当四边形ABCD的周长最小时,作直线CD.设点P是直线上的一个动点,Q是OP的中点,以PQ为斜边按图
(2)所示构造等腰直角三角形PRQ.
①当△PBR与直线CD有公共点时求的取值范围;
②在
①的条件下,记△PBR与△COD的公共部分的面积为S.求S关于的函数关系式,并求S的最大值C
14.解
(1)∵抛物线的顶点为A(1,5),∴设抛物线的解析式为,将点B(5,1)代入,得,解得,∴
(2)作A关于y轴的对称点,作B关于x轴的对称点,显然,如图
5.1,连结分别交x轴、y轴于C、D两点,∵,∴此时四边形ABCD的周长最小,最小值就是而,∴四边形ABCD周长的的最小值为
(3)
①点B关于x轴的对称点B′(),点A关于y轴的对称点A′(﹣1,5),连接A′B′,与x轴,y轴交于C,D点,∴CD的解析式为,联立错误!未找到引用源,得∵点P在上,点Q是OP的中点,∴要使等腰直角三角形与直线CD有公共点,则.故的取值范围是.
②如图点E(2,2),当EP=EQ时,,得,当时,当时,.当错误!未找到引用源时,当时,.故的最大值为.C152010年嘉兴市中考数学试题第24题如图,已知抛物线交x轴的正半轴于点A,交y轴于点B.
(1)求A、B两点的坐标,并求直线AB的解析式;
(2)设()是直线上的一点,Q是OP的中点(O是原点),以PQ为对角线作正方形PEQF.若正方形PEQF与直线AB有公共点,求x的取值范围;
(3)在
(2)的条件下,记正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S,求S关于x的函数解析式,并探究S的最大值.
(1)令,得,即,解得,,所以.令,得,所以.设直线AB的解析式为,则,解得,所以直线AB的解析式为.…5分
(2)当点在直线AB上时,,解得,当点在直线AB上时,,解得.所以,若正方形PEQF与直线AB有公共点,则.…4分
(3)当点在直线AB上时,(此时点F也在直线AB上),解得.
①当时,直线AB分别与PE、PF有交点,设交点分别为C、D,此时,,又,所以,从而,.因为,所以当时,.
②当时,直线AB分别与QE、QF有交点,设交点分别为M、N,此时,,又,所以,即.其中当时,.综合
①②得,当时,.…5分§
3.1代数计算及通过代数计算进行说理问题C16如图,在直角坐标系,O为原点,一次函数的图像分别与x轴y轴交与AB两点,是等边三角形
(1)求ABC的坐标
(2)已知二次函数的图像经过ABC三点,求这个二次函数的解析式
(3)将
(2)所得的二次函数的图像向下平移,使得平移后的函数图像经过原点,其顶点为P,求四边形ABOP的面积C172008年江西省南昌市数学中考试卷24题如图,抛物线相交于两点.
(1)求值;
(2)设与轴分别交于两点(点在点的左边),与轴分别交于两点(点在点的左边),观察四点的坐标,写出一条正确的结论,并通过计算说明;
(3)设两点的横坐标分别记为,若在轴上有一动点,且,过作一条垂直于轴的直线,与两条抛物线分别交于C,D两点,试问当为何值时,线段CD有最大值?其最大值为多少?解
(1)点在抛物线上,,2分解得.3分
(2)由
(1)知,抛物线,.5分当时,解得,.点在点的左边,,.6分当时,解得,.点在点的左边,,.7分,,点与点对称,点与点对称.8分
(3).抛物线开口向下,抛物线开口向上.9分根据题意,得.11分,当时,有最大值.12分说明第
(2)问中,结论写成“,四点横坐标的代数和为0”或“”均得1分.§
3.2 几何证明及通过几何计算进行说理问题C18黄浦区2009年初三学业考试模拟考24题如图,二次函数的图像经过点,且与轴交于点.
(1)试求此二次函数的解析式;
(2)试证明(其中是原点);
(3)若是线段上的一个动点(不与、重合),过作轴的平行线,分别交此二次函数图像及轴于、两点,试问是否存在这样的点,使?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.解
(1)∵点与在二次函数图像上,∴,——————————————————(2分)解得,——————————————————————(1分)∴二次函数解析式为.——————————(1分)
(2)过作轴于点,由
(1)得,————————(1分)则在中,,又在中,,———————(1分)∵,————————————————(1分)∴.———————————————————(1分)
(3)由与,可得直线的解析式为,—(1分)设,则,∴.∴.——————————————(1分)当,解得(舍去),∴.——————————————————————(1分)当,解得(舍去),∴.——————————————————————(1分)综上所述,存在满足条件的点,它们是与.§
4.1图形的平移C192009年台州市中考数学试题24题如图,已知直线 交坐标轴于两点,以线段为边向上作正方形,过点的抛物线与直线另一个交点为.
(1)请直接写出点的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线下滑,直至顶点落在轴上时停止.设正方形落在轴下方部分的面积为,求关于滑行时间的函数关系式,并写出相应自变量的取值范围;
(4)在
(3)的条件下,抛物线与正方形一起平移,同时停止,求抛物线上两点间的抛物线弧所扫过的面积.
(1);…………………………………………………2分
(2)设抛物线为,抛物线过,解得…………………………………………………2分∴.……………………………………………………………1分
(3)
①当点A运动到点F时,当时,如图1,∵,∴∴∴;……2分
②当点运动到轴上时,,当时,如图2,∴∴,∵,∴;…………(2分)
③当点运动到轴上时,,当时,如图3,∵,∴,∵,∽∴,∴,∴=.………(2分)(解法不同的按踩分点给分)
(4)∵∴ ………………………………………………(2分)==.……………………………………………………………(1分)C202009年舟山市中考数学试题24题
24.(本题12分)如图,已知点A-4,8和点B2,n在抛物线上. 1 求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标,并在x轴上找一点Q,使得AQ+QB最短,求出点Q的坐标; 2 平移抛物线,记平移后点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,点C-2,0和点D-4,0是x轴上的两个定点.
① 当抛物线向左平移到某个位置时,A′C+CB′最短,求此时抛物线的函数解析式;
② 当抛物线向左或向右平移时,是否存在某个位置,使四边形A′B′CD的周长最短?若存在,求出此时抛物线的函数解析式;若不存在,请说明理由.解1将点A-4,8的坐标代入,解得.……1分将点B2,n的坐标代入,求得点B的坐标为2,2,则点B关于x轴对称点P的坐标为2,-2. ……1分直线AP的解析式是. ……1分令y=0,得.即所求点Q的坐标是,0. ……1分2
① 解法1CQ=︱-2-︱=, ……1分故将抛物线向左平移个单位时,A′C+CB′最短,……2分此时抛物线的函数解析式为.……1分解法2设将抛物线向左平移m个单位,则平移后A′,B′的坐标分别为A′-4-m,8和B′2-m,2,点A′关于x轴对称点的坐标为A′′-4-m,-8.直线A′′B′的解析式为. ……1分要使A′C+CB′最短,点C应在直线A′′B′上,……1分将点C-2,0代入直线A′′B′的解析式,解得.……1分故将抛物线向左平移个单位时A′C+CB′最短,此时抛物线的函数解析式为.……1分
② 左右平移抛物线,因为线段A′B′和CD的长是定值,所以要使四边形A′B′CD的周长最短,只要使A′D+CB′最短;……1分第一种情况如果将抛物线向右平移,显然有A′D+CB′AD+CB,因此不存在某个位置,使四边形A′B′CD的周长最短.……1分第二种情况设抛物线向左平移了b个单位,则点A′和点B′的坐标分别为A′-4-b,8和B′2-b,2.因为CD=2,因此将点B′向左平移2个单位得B′′-b,2,要使A′D+CB′最短,只要使A′D+DB′′最短. ……1分点A′关于x轴对称点的坐标为A′′-4-b,-8,直线A′′B′′的解析式为.要使A′D+DB′′最短,点D应在直线A′′B′′上,将点D-4,0代入直线A′′B′′的解析式,解得.故将抛物线向左平移时,存在某个位置,使四边形A′B′CD的周长最短,此时抛物线的函数解析式为. ……1分§
4.2图形的翻折C212011年石景山区初三一模数学试题25题已知二次函数的图象与轴交于点,
0、点,与轴交于点.
(1)求点坐标;
(2)点从点出发以每秒1个单位的速度沿线段向点运动,到达点后停止运动,过点作交于点,将四边形沿翻折,得到四边形,设点的运动时间为.
①当为何值时,点恰好落在二次函数图象的对称轴上;
②设四边形落在第一象限内的图形面积为,求关于的函数关系式,并求出的最大值.解
(1)将A,0代入解得………1分∴函数的解析式为令,解得∴B,0……………………………………………………………………2分
(2)
①由解析式可得点二次函数图象的对称轴方程为△中∵∴∴,过点A′作轴于点,则∴………………………3分解得则,∴……………………………………………………4分
②分两种情况ⅰ)当时,四边形PQA′C′落在第一象限内的图形为等腰三角形QA’N.当时,有最大值Sⅱ)当时,设四边形PQA′C′落在第一象限内的图形为四边形MOQA′.当时,有最大值综上当时,四边形PQA’C’落在第一象限内的图形面积有最大值是.C222010年芜湖市中考数学试题24题§
4.3图形的旋转C232011年昌平区中考数学模拟试题25题已知如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=2,OC=3.过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D,连接DC,过点D作DE⊥DC,交OA于点E.
(1)求过点E、D、C的抛物线的解析式;
(2)将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后,角的一边与y轴的正半轴交于点F,另一边与线段OC交于点G.如果EF=2OG,求点G的坐标.
(3)对于
(2)中的点G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q,使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.解
(1)∵OD平分∠AOC∠AOC=90°∴∠AOD=∠DOC=45°∵在矩形ABCD中,∠BAO=∠B=∠BOC=90°OA=BC=2AB=OC=3∴△AOD是等腰Rt△………………………………1分∵∠AOE+∠BDC=∠BCD+∠BDC=90°∴∠AOE=∠BCD∴△AED≌△BDC∴AE=DB=1∴D22E01C30…………………………2分则过D、E、C三点的抛物线解析式为……………3分
(2)DH⊥OC于点H∴∠DHO=90°∵矩形ABCD中∠BAO=∠AOC=90°∴四边形AOHD是矩形∴∠ADH=90°.∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°∴∠1=∠3∵AD=OA=2,∴四边形AOHD是正方形.∴△FAD≌△GHD∴FA=GH………………………………4分∴设点G(x,0),∴OG=x,GH=2-x∵EF=2OG=2x,AE=1,∴2-x=2x-1,∴x=
1.∴G10……………………………………………5分3由题意可知点P若存在,则必在AB上,假设存在点P使△PCG是等腰三角形1)当点P为顶点,既CP=GP时,易求得P1
(22),既为点D时,此时点Q、与点P
1、点D重合,∴点Q122……………………………………………6分2当点C为顶点,既CP=CG=2时易求得P232∴直线GP2的解析式求交点Q:可求的交点()和(-1,-2)∵点Q在第一象限∴Q2()……………………………………………7分3当点G为顶点,既GP=CG=2时易求得P312∴直线GP3的解析式求交点Q:可求的交点()∴Q3()……………………………………………8分所以,所求Q点的坐标为Q
122、Q2()、Q3().C242010年延庆县中考数学试题24题如图,已知抛物线C1的顶点为P,与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左边),点B的横坐标是1.
(1)求P点坐标及a的值;
(2)如图
(1),抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称,将抛物线C2向右平移,平移后的抛物线记为C3,C3的顶点为M,当点P、M关于点B成中心对称时,求C3的解析式;
(3)如图
(2),点Q是x轴正半轴上一点,将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4.抛物线C4的顶点为N,与x轴相交于E、F两点(点E在点F的左边),当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时,求点Q的坐标.解
(1)由抛物线C1得顶点P的为(-2,-5)………2分∵点B(1,0)在抛物线C1上∴解得,a=………4分
(2)连接PM,作PH⊥x轴于H,作MG⊥x轴于G∵点P、M关于点B成中心对称∴PM过点B,且PB=MB∴△PBH≌△MBG∴MG=PH=5,BG=BH=3∴顶点M的坐标为(4,5)………5分抛物线C2由C1关于x轴对称得到,抛物线C3由C2平移得到∴抛物线C3的表达式为………6分
(3)∵抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到∴顶点N、P关于点Q成中心对称由
(2)得点N的纵坐标为5设点N坐标为(m,5)………7分作PH⊥x轴于H,作NG⊥x轴于G作PK⊥NG于K∵旋转中心Q在x轴上∴EF=AB=2BH=6∴FG=3,点F坐标为(m+3,0)H坐标为(2,0),K坐标为(m,-5),根据勾股定理得PN2=NK2+PK2=m2+4m+104PF2=PH2+HF2=m2+10m+50NF2=52+32=34………8分
①当∠PNF=90º时,PN2+NF2=PF2,解得m=,∴Q点坐标为(,0)
②当∠PFN=90º时,PF2+NF2=PN2,解得m=,∴Q点坐标为(,0)
③∵PN>NK=10>NF,∴∠NPF≠90º综上所得,当Q点坐标为(,0)或(,0)时,以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形.………9分图1图2(第24题)(第24题)(第24题备用)yxPAOBByxPAOBBMENFyxPAOBDQC(第24题)图1图2图3图4第24题4x22A8-2O-2-4y6BCD-44第24题14x22A8-2O-2-4y6BCD-44QP第24题2
①4x22A′8-2O-2-4y6B′CD-44A′′第24题2
②4x22A′8-2O-2-4y6B′CD-44A′′B′′yxAOBPM图1C1C2C3图24-1yxAOBPN图2C1C4QEF图24-2yxAOBPN图2C1C4QEFHGK。