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《第1章勾股定理》
一、选择题1.下列说法不能得到直角三角形的( )A.三个角度之比为123的三角形B.三个边长之比为345的三角形C.三个边长之比为81617的三角形D.三个角度之比为112的三角形2.一个直角三角形,两直角边长分别为3和4,下列说法正确的是( )A.斜边长为5B.三角形的周长为25C.斜边长为25D.三角形的面积为203.下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是( )A.
1.5,2,3B.7,24,25C.6,8,10D.9,12,154.已知一直角三角形的木版,三边的平方和为1800cm2,则斜边长为( )A.80cmB.30cmC.90cmD.120cm5.将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是( )A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰三角形6.如图所示,一圆柱高8cm,底面半径为2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程(π取3)是( )A.20cmB.10cmC.14cmD.无法确定7.已知Rt△ABC中,∠C=90°,若a+b=14cm,c=10cm,则Rt△ABC的面积是( )A.24cm2B.36cm2C.48cm2D.60cm2
二、填空题8.等腰三角形的面积为48cm2,底边上的高为6cm,腰长为 cm.9.如图,
64、400分别为所在正方形的面积,则图中字母所代表的正方形面积是 .10.如图,直角三角形中未知边的长度x= .11.三角形的三边长分别是15,36,39,这个三角形是 三角形.12.已知甲乙两个人从一个地点出,甲往东走了4km,乙往南走了3km,这时甲、乙俩人相距 .13.如图,带阴影的正方形面积是 .14.如图,每个小正方形的边长为1,则△ABC的面积等于 .
三、解答题15.暑假中,小明到某海岛探宝,如图,他到达海岛登陆点后先往东走8km,又往北走2km,遇到障碍后又往西走3km,再折向北走6km处往东一拐,仅1km就找到宝藏,问登陆点到埋宝藏点的直线距离是多少?16.如图,一根长度为50cm的木棒的两端系着一根长度为70cm的绳子,现准备在绳子上找一点,然后将绳子拉直,使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形,这个点将绳子分成的两段各有多长?17.如图,长方体的长BE=20cm,宽AB=10cm,高AD=15cm,点M在CH上,且CM=5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M,需要爬行的最短距离是多少? 附加题18.如图折叠长方形ABCD(四个角都是直角,对边相等)的一边AD,点D落在BC边的F处,已知AB=8cm,BC=10cm,则EC= . 《第1章勾股定理》参考答案与试题解析
一、选择题1.下列说法不能得到直角三角形的( )A.三个角度之比为123的三角形B.三个边长之比为345的三角形C.三个边长之比为81617的三角形D.三个角度之比为112的三角形【考点】勾股定理的逆定理;三角形内角和定理.【分析】A、根据角的比值求出各角的度数,便可判断出三角形的形状;B、根据比值并结合勾股定理的逆定理即可判断出三角形的形状;C、根据比值并结合勾股定理的逆定理即可判断出三角形的形状;D、根据角的比值求出各角的度数,便可判断出三角形的形状.【解答】解A、最大角=180°×=90°,故为直角三角形;B、32+42=52,故为直角三角形;C、82+162≠172,故不为直角三角形;D、最大角=180°×=90°,故为直角三角形.故选C.【点评】此题考查了解直角三角形的相关知识,根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理结合解方程是解题的关键. 2.一个直角三角形,两直角边长分别为3和4,下列说法正确的是( )A.斜边长为5B.三角形的周长为25C.斜边长为25D.三角形的面积为20【考点】勾股定理.【分析】利用勾股定理求出后直接选取答案.【解答】解两直角边长分别为3和4,∴斜边==5;故选A.【点评】此题较简单关键是熟知勾股定理在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方. 3.下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是( )A.
1.5,2,3B.7,24,25C.6,8,10D.9,12,15【考点】勾股定理的逆定理.【分析】根据勾股定理的逆定理如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.如果没有这种关系,这个就不是直角三角形.【解答】解A、
1.52+22≠32,不符合勾股定理的逆定理,故正确;B、72+242=252,符合勾股定理的逆定理,故错误;C、62+82=102,符合勾股定理的逆定理,故错误;D、92+122=152,符合勾股定理的逆定理,故错误.故选A.【点评】本题考查了勾股定理的逆定理,在应用勾股定理的逆定理时,应先认真分析所给边的大小关系,确定最大边后,再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系,进而作出判断. 4.已知一直角三角形的木版,三边的平方和为1800cm2,则斜边长为( )A.80cmB.30cmC.90cmD.120cm【考点】勾股定理.【分析】设此直角三角形的斜边是c,根据勾股定理及已知不难求得斜边的长.【解答】解设此直角三角形的斜边是c,根据勾股定理知,两条直角边的平方和等于斜边的平方.所以三边的平方和即2c2=1800,c=±30(负值舍去),取c=30.故选B.【点评】熟练运用勾股定理进行计算,从而求出斜边的长. 5.将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是( )A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰三角形【考点】相似三角形的性质.【分析】根据三组对应边的比相等的三角形相似,依据相似三角形的性质就可以求解.【解答】解将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形与原三角形相似,因而得到的三角形是直角三角形.故选C.【点评】本题主要考查相似三角形的判定以及性质. 6.如图所示,一圆柱高8cm,底面半径为2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程(π取3)是( )A.20cmB.10cmC.14cmD.无法确定【考点】平面展开-最短路径问题.【分析】先将图形展开,根据两点之间,线段最短,利用根据勾股定理即可得出结论.【解答】解如图所示沿AC将圆柱的侧面展开,∵底面半径为2cm,∴BC==2π≈6cm,在Rt△ABC中,∵AC=8cm,BC=6cm,∴AB===10cm.故选B.【点评】本题考查的是平面展开﹣最短路径问题,熟知两点之间,线段最短是解答此类问题的关键. 7.已知Rt△ABC中,∠C=90°,若a+b=14cm,c=10cm,则Rt△ABC的面积是( )A.24cm2B.36cm2C.48cm2D.60cm2【考点】勾股定理;完全平方公式.【分析】要求Rt△ABC的面积,只需求出两条直角边的乘积.根据勾股定理,得a2+b2=c2=100.根据勾股定理就可以求出ab的值,进而得到三角形的面积.【解答】解∵a+b=14∴(a+b)2=196∴2ab=196﹣(a2+b2)=96∴ab=24.故选A.【点评】这里不要去分别求a,b的值,熟练运用完全平方公式的变形和勾股定理.
二、填空题8.等腰三角形的面积为48cm2,底边上的高为6cm,腰长为 10 cm.【考点】勾股定理;等腰三角形的性质.【分析】根据面积先求出底边长,再利用勾股定理即可求出.【解答】解∵等腰三角形的面积为48cm2,底边上的高为6cm,∴底边长=16cm,根据勾股定理,腰长==10cm.【点评】此题主要考查等腰三角形的“三线合一”的性质和勾股定理的应用. 9.如图,
64、400分别为所在正方形的面积,则图中字母所代表的正方形面积是 336 .【考点】勾股定理.【分析】要求图中字母所代表的正方形面积,根据面积=边长×边长=边长的平方,设A的边长为a,直角三角形斜边的长为c,另乙直角边为b,则c2=400,b2=64,已知斜边和以直角边的平方,由勾股定理可求出A的边长的平方,即求出了图中字母所代表的正方形的面积.【解答】解设A的边长为a,直角三角形斜边的长为c,另乙直角边为b,则c2=400,b2=64,如图所示,在该直角三角形中,由勾股定理得a2=c2﹣b2=400﹣64=336,所以,图中字母所代表的正方形面积是a2=336.【点评】本题主要考查勾股定理的应用和正方形的面积公式,关键在于熟练运用勾股定理求出正方形的边长的平方. 10.如图,直角三角形中未知边的长度x= 13 .【考点】勾股定理.【专题】计算题.【分析】根据勾股定理直接解答即可.【解答】解根据勾股定理可得52+122=x2,解得x=13或﹣13(舍去).故答案为13.【点评】本题考查了勾股定理的知识,难度不大,注意细心运算即可. 11.三角形的三边长分别是15,36,39,这个三角形是 直角 三角形.【考点】勾股定理的逆定理.【分析】根据勾股定理逆定理,三角形两短边的平方和等于长边的平方,即可得出其为直角三角形.【解答】解∵152+362=392,∴可得三角形为直角三角形.【点评】熟练掌握勾股定理逆定理的应用. 12.已知甲乙两个人从一个地点出,甲往东走了4km,乙往南走了3km,这时甲、乙俩人相距 5km .【考点】勾股定理的应用.【分析】因为甲向东走,乙向南走,其刚好构成一个直角.两人走的距离分别是两直角边,则根据勾股定理可求得斜边即两人的距离.【解答】解如图,∵∠AOB=90°,OA=4km,OB=3km,∴AB==5km,故答案为5km.【点评】此题主要考查学生对勾股定理的理解及实际生活中的运用. 13.如图,带阴影的正方形面积是 100 .【考点】勾股定理.【分析】设带阴影的正方形面的边长为a,在该直角三角形中,由勾股定理可求出a2,正方形的面积=边长×边长=a2,将求出的a2代入即可求出该正方形的面积.【解答】解设带阴影的正方形面的边长为a,如上图所示在直角三角形中,由勾股定理可得a2=62+82=100,该正方形的面积为a2=100.【点评】本题考查了勾股定理和求正方形的面积公式,在直角三角形,由勾股定理可求出正方形边长的平方,即求出了正方形的面积. 14.(2009春•绵阳期末)如图,每个小正方形的边长为1,则△ABC的面积等于 7 .【考点】三角形的面积.【分析】根据图形,则三角形的面积等于矩形的面积减去3个直角三角形的面积.【解答】解△ABC的面积=4×5﹣(2×5+4×3+2×2)=20﹣13=7.【点评】此类题要善于把不规则图形的面积转化为规则图形的面积.
三、解答题15.(2011秋•都江堰市校级期末)暑假中,小明到某海岛探宝,如图,他到达海岛登陆点后先往东走8km,又往北走2km,遇到障碍后又往西走3km,再折向北走6km处往东一拐,仅1km就找到宝藏,问登陆点到埋宝藏点的直线距离是多少?【考点】勾股定理的应用.【分析】通过行走的方向和距离得出对应的线段的长度,构造直角三角形利用勾股定理求解.【解答】解过点B作BD⊥AC于点D,根据题意可知,AD=8﹣3+1=6千米,BD=2+6=8千米,在Rt△ADB中,由勾股定理得AB==10千米,答登陆点到宝藏处的距离为10千米.【点评】本题考查了矩形的性质以及勾股定理的应用,解题的根据是结合图形,读懂题意,根据题意找到需要的数量关系,运用勾股定理求线段的长度. 16.如图,一根长度为50cm的木棒的两端系着一根长度为70cm的绳子,现准备在绳子上找一点,然后将绳子拉直,使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形,这个点将绳子分成的两段各有多长?【考点】勾股定理的应用.【分析】设使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形的位置为点C,则AC+BC=70cm,设AC=x,则BC=(70﹣x)cm,利用勾股定理建立方程,解方程即可求出x的值.【解答】解已知如图设AC=x,则BC=(70﹣x)cm,由勾股定理得502=x2+(70﹣x)2,解得x=40或30,若AC为斜边,则502+(70﹣x)2=x2,解得x=,若BC为斜边,则502+x2=(70﹣x)2,解得x=,所以这个点将绳子分成的两段各有30cm或40cm或cm或cm.【点评】此题主要考查了勾股定理的应用,正确的记忆勾股定理确定好斜边与直角边是解决问题的关键. 17.如图,长方体的长BE=20cm,宽AB=10cm,高AD=15cm,点M在CH上,且CM=5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M,需要爬行的最短距离是多少?【考点】平面展开-最短路径问题.【分析】首先将长方体沿CH、HE、BE剪开,向右翻折,使面ABCD和面BEHC在同一个平面内,连接AM;或将长方体沿CH、C′D、C′H剪开,向上翻折,使面ABCD和面DCHC′在同一个平面内,连接AM,或将长方体沿AB、AF、EF剪开,向下翻折,使面CBEH和下面在同一个平面内,连接AM,然后分别在Rt△ADM与Rt△ABM与Rt△ACM,利用勾股定理求得AM的长,比较大小即可求得需要爬行的最短路程.【解答】解将长方体沿CH、HE、BE剪开,向右翻折,使面ABCD和面BEHC在同一个平面内,连接AM,如图1,由题意可得MD=MC+CD=5+10=15cm,AD=15cm,在Rt△ADM中,根据勾股定理得AM=15cm;将长方体沿CH、C′D、C′H剪开,向上翻折,使面ABCD和面DCHC′在同一个平面内,连接AM,如图2,由题意得BM=BC+MC=5+15=20(cm),AB=10cm,在Rt△ABM中,根据勾股定理得AM=10cm,连接AM,如图3,由题意得AC=AB+CB=10+15=25(cm),MC=5cm,在Rt△ACM中,根据勾股定理得AM=5cm,∵15<10<5,则需要爬行的最短距离是15cm.【点评】此题考查了最短路径问题,利用了转化的思想,解题的关键是将立体图形展为平面图形,利用勾股定理的知识求解. 附加题18.如图折叠长方形ABCD(四个角都是直角,对边相等)的一边AD,点D落在BC边的F处,已知AB=8cm,BC=10cm,则EC= 3cm .【考点】翻折变换(折叠问题).【专题】数形结合.【分析】利用勾股定理可得BF的长,也就求得了FC的长,进而利用勾股定理可得EC的长.【解答】解由折叠可知AF=AD=BC=10,DE=EF.∵AB=8,∴BF==6,∴FC=4,EF=ED=8﹣EC,在Rt△EFC中,EC2+FC2=EF2,即EC2+42=(8﹣EC)2,解得EC=3.故答案为3cm.【点评】考查有关折叠问题的应用;利用两次勾股定理得到所需线段长是解决本题的关键. 。