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北师大版数学八年级下册第一章第二节直角三角形课时练习
一、选择题(共15小题)1.下列说法中不正确的是( )A.平行四边形是中心对称图形B.斜边及一锐角分别相等的两直角三角形全等C.两个锐角分别相等的两直角三角形全等D.一直角边及斜边分别相等的两直角三角形全等答案D解析解答A.平行四边形是中心对称图形,说法正确;B.斜边及一锐角分别相等的两直角三角形全等,说法正确;C.两个锐角分别相等的两直角三角形全等,说法错误;D.一直角边及斜边分别相等的两直角三角形全等,说法正确;故选C.分析根据中心对称图形的定义可得A说法正确;根据AAS定理可得B正确;根据全等三角形的判定定理可得要证明两个三角形全等,必须有边对应相等可得C正确;根据HL定理可得D正确.2.将一副直角三角尺如图放置,若∠AOD=20°,则∠BOC的大小为( )A.140°B.160°C.170°D.150°答案B解析解答∵将一副直角三角尺如图放置,∠AOD=20°,∴∠COA=90°﹣20°=70°,∴∠BOC=90°+70°=160°.故选B.分析利用直角三角形的性质以及互余的关系,进而得出∠COA的度数,即可得出答案.3.Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=46°,则∠A=( )A.44°B.34°C.54°D.64°答案A解析解答∵∠C=90°,∠B=46°,∴∠A=90°﹣46°=44°.故选A.分析根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解.4.如图,一个矩形纸片,剪去部分后得到一个三角形,则图中∠1+∠2的度数是( )A.30°B.60°C.90°D.120°答案C解析解答由题意得,剩下的三角形是直角三角形,所以,∠1+∠2=90°.故选C.分析根据直角三角形两锐角互余解答.5.如图,若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD,则还需补充条件( )A.∠BAC=∠BADB.AC=AD或BC=BDC.AC=AD且BC=BDD.以上都不正确答案B解析解答从图中可知AB为Rt△ABC和Rt△ABD的斜边,也是公共边.依据“HL”定理,证明Rt△ABC≌Rt△ABD,还需补充一对直角边相等,即AC=AD或BC=BD,故选B.分析根据“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD,因图中已经有AB为公共边,再补充一对直角边相等的条件即可.6.下列可使两个直角三角形全等的条件是( )A.一条边对应相等B.两条直角边对应相等C.一个锐角对应相等D.两个锐角对应相等答案B解析解答两直角三角形隐含一个条件是两直角相等,要判定两直角三角形全等,起码还要两个条件,故可排除A、C;而D构成了AAA,不能判定全等;B构成了SAS,可以判定两个直角三角形全等.故选B.分析判定两个直角三角形全等的方法有SAS、SSS、AAS、ASA、HL五种.据此作答.7.如图,O是∠BAC内一点,且点O到AB,AC的距离OE=OF,则△AEO≌△AFO的依据是( )A.HLB.AASC.SSSD.ASA答案A解析解答∵OE⊥AB,OF⊥AC,∴∠AEO=∠AFO=90°,又∵OE=OF,AO为公共边,∴△AEO≌△AFO.故选A.分析利用点O到AB,AC的距离OE=OF,可知△AEO和△AFO是直角三角形,然后可直接利用HL求证△AEO≌△AFO,即可得出答案.8.如图所示,AB⊥BD,AC⊥CD,∠D=35°,则∠A的度数为( )A.65°B.35°C.55°D.45°答案B解析解答∵AB⊥BD,AC⊥CD,∴∠B=∠C=90°,∴∠A+∠AEB=∠D+∠CED=90°,又∵∠AEB=∠CED,∴∠A=∠D=35°.故选B.分析先由AB⊥BD,AC⊥CD可得∠B=∠C=90°,再根据直角三角形两锐角互余得出∠A+∠AEB=∠D+∠CED=90°,由对顶角相等有∠AEB=∠CED,然后利用等角的余角相等得出∠A=∠D=35°.9.在直角三角形中,其中一个锐角是另一个锐角的2倍,则此三角形中最小的角是( )A.15°B.30°C.60°D.90°答案B解析解答设较小的锐角是x°,则另一个锐角是2x°,由题意得,x+2x=90,解得x=30,即此三角形中最小的角是30°.故选B.分析设较小的锐角是x,然后根据直角三角形两锐角互余列出方程求解即可.10.直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角的度数为( )A.100度B.120度C.135度D.140度答案C解析解答如图,∵∠C=90°,∴∠BAC+∠ABC=180°﹣90°=90°,∵AD、BE分别是∠BAC和∠ABC的平分线,∴∠OAB+∠OBA=×90°=45°,∴∠AOB=180°﹣(∠OAB+∠OBA)=180°﹣45°=135°.故选C.分析作出图形,根据直角三角形两锐角互余可得∠BAC+∠ABC=90°,再根据角平分线的定义可得∠OAB+∠OBA=45°,然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解.11.如图所示,H是△ABC的高AD,BE的交点,且DH=DC,则下列结论
①BD=AD;
②BC=AC;
③BH=AC;
④CE=CD中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案B解析解答
①∵BE⊥AC,AD⊥BC∴∠AEH=∠ADB=90°∵∠HBD+∠BHD=90°,∠EAH+∠AHE=90°,∠BHD=∠AHE∴∠HBD=∠EAH∵DH=DC∴△BDH≌△ADC(AAS)∴BD=AD,BH=AC
②∵BC=AC∴∠BAC=∠ABC∵由
①知,在Rt△ABD中,BD=AD∴∠ABC=45°∴∠BAC=45°∴∠ACB=90°∵∠ACB+∠DAC=90°,∠ACB<90°∴结论
②为错误结论.
③由
①证明知,△BDH≌△ADC∴BH=AC解
④∵CE=CD∵∠ACB=∠ACB;∠ADC=∠BEC=90°∴△BEC≌△ADC由于缺乏条件,无法证得△BEC≌△ADC∴结论
④为错误结论综上所述,结论
①,
③为正确结论,结论
②,
④为错误结论,根据题意故选B.故选B.分析可以采用排除法对各个选项进行验证,从而得出最后的答案.12.如果两个直角三角形的两条直角边对应相等,那么这两个直角三角形全等的依据是( )A.SSSB.AASC.SASD.HL答案C解析解答两边及夹角对应相等的两个三角形全等,这为“边角边”定理,简写成“SAS”.故选C.分析根据三角形全等的判定定理,两条直角边对应相等,还有一个直角,则利用了SAS.13.如图,在△ABC中,∠C=60°,∠B=50°,D是BC上一点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,则∠EDF的度数为( )A.90°B.100°C.110°D.120°答案C解析解答如图,∵在△ABC中,∠C=60°,∠B=50°,∴∠A=70°.∵DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,∴∠AED=∠AFD=90°,∴∠EDF=360°﹣∠A﹣∠AED﹣∠AFD=110°.故选C.分析由三角形内角和定理求得∠A=70°;由垂直的定义得到∠AED=∠AFD=90°;然后根据四边形内角和是360度进行求解.14.已知,如图,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,则图中相等的锐角的对数有( )A.4对B.3对C.2对D.1对答案C解析解答相等的锐角有∠B=∠CAD,∠C=∠BAD共2对.故选C.分析根据直角三角形两锐角互余和同角的余角相等写出相等的角即可.15.下列说法错误的是( )A.直角三角板的两个锐角互余B.经过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行C.如果两个角互补,那么,这两个角一定都是直角D.平行于同一条直线的两条直线平行答案C解析解答A.直角三角形中的两个锐角互余,所以直角三角板的两个锐角互余,故本选项说法正确;B.根据平行公理可知过直线外一点作已知直线的平行线,能作且只能作一条,故本选项说法正确;C.如果两个角互补,那么,这两个角和一定是180°,但是它们不一定都是直角,故本选项说法错误;D.根据平行线的递等性知平行于同一条直线的两条直线平行.故本选项说法正确;故选C.分析
①根据直角三角形的性质判断;
②过直线外一点作已知直线的平行线,能作且只能作一条;
③根据补角的定义进行判断;
④根据平行线的性质进行判断.
二、填空题(共5小题)16.如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,AD与CE交于点F,请你添加一个适当的条件 (答案不唯一),使△ADB≌△CEB.答案AB=BC解析解答AB=BC,AD⊥BC,CE⊥AB,∠B=∠B∴△ADB≌△CEB(AAS).答案AB=BC.分析要使△ADB≌△CEB,已知∠B为公共角,∠BEC=∠BDA,具备了两组角对应相等,故添加AB=BC或BE=BD或EC=AD后可分别根据AAS、ASA、AAS能判定△ADB≌△CEB.17.如图,已知AB⊥CD,垂足为B,BC=BE,若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE,则需要添加的一个条件是 .答案AC=DE解析解答AC=DE,理由是∵AB⊥DC,∴∠ABC=∠DBE=90°,在Rt△ABC和Rt△DBE中,,∴Rt△ABC≌Rt△DBE(HL).故答案为AC=DE.分析先求出∠ABC=∠DBE=90°,再根据直角三角形全等的判定定理推出即可.18.如图,在Rt△ABC中,AC⊥BC,CD⊥AB,∠1=∠2,有下列结论
①AC∥DE;
②∠A=∠3;
③∠B=∠1;
④∠B与∠2互余;
⑤∠A=∠2.其中正确的有 (填写所有正确的序号).答案
①②③解析解答∵AC⊥BC,CD⊥AB,∴△ACD与△ACB都为直角三角形,∴∠A+∠1=90°,∠A+∠B=90°,∴∠1=∠B,选项
③正确;∵∠1=∠2,∴AC∥DE,选项
①正确;∴∠A=∠3,选项
②正确;∵∠1=∠B,∠1=∠2,∴∠2=∠B,即∠2与∠B不互余,选项
④错误;∠2不一定等于∠A,选项
⑤错误;则正确的选项有
①②③,故答案为
①②③.分析由同角的余角相等得到∠1=∠B,由已知内错角相等得到AC与DE平行,由两直线平行同位角相等得到∠A=∠3,再利用等量代换得到∠2与∠B相等,∠2不一定等于∠A.19.在一个直角三角形中,有一个锐角等于30°,则另一个锐角的大小为 度.答案60解析解答∵三角形是直角三角形,一个锐角等于30°,∴另一个锐角为90°﹣30°=60°,故答案为60.分析根据直角三角形的两个锐角互余求出另一个锐角的度数即可.20.在△ABC中,高AD和BE交于H点,且BH=AC,则∠ABC= .答案45°或135°解析解答有2种情况,如图
(1),
(2),∵∠BHD=∠AHE,又∠AEH=∠ADC=90°,∴∠DAC+∠C=90°,∠HAE+∠AHE=90°,∴∠AHE=∠C,∴∠C=∠BHD,∵BH=AC,∠HBD=∠DAC,∠C=∠BHD,∴△HBD≌△CAD,∴AD=BD.如图
(1)时∠ABC=45°;如图
(2)时∠ABC=135°.∵AD=BD,AD⊥BD,∴△ADB是等腰直角三角形,∴∠ABD=45°,∴∠ABC=180°﹣45°=135°,故答案为45°或135°.分析根据高的可能位置,有2种情况,如图
(1),
(2),通过证明△HBD≌△CAD得AD=BD后求解.
三、解答题(共5小题)21.如图,已知∠A=∠D=90°,E、F在线段BC上,DE与AF交于点O,且AB=CD,BE=CF.求证Rt△ABF≌Rt△DCE.答案证明∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE,∵∠A=∠D=90°,∴△ABF与△DCE都为直角三角形,在Rt△ABF和Rt△DCE中,,∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL).解析分析由于△ABF与△DCE是直角三角形,根据直角三角形全等的判定的方法即可证明.22.已知AB⊥BC,AD⊥DC,∠1=∠2,问△ABC≌△ADC吗?说明理由.答案解△ABC≌△ADC.理由如下∵AB⊥BC,AD⊥DC,∴∠B=∠D=90°.在△ABC与△ADC中,,∴△ABC≌△ADC(AAS).解析分析根据全等三角形的判定定理AAS进行证明.23.如图,AD∥BC,∠A=90°,E是AB上的一点,且AD=BE,∠1=∠2.求证△ADE≌△BEC.答案证明∵∠1=∠2,∴DE=CE.∵AD∥BC,∠A=90°,∴∠B=90°.∴△ADE和△EBC是直角三角形,而AD=BE.∴△ADE≌△BEC.解析分析此题比较简单,根据已知条件,利用直角三角形的特殊判定方法可以证明题目结论.24.如图,在直角△ABC中,∠ACB=90°,D是AB上一点,且∠ACD=∠B.求证CD⊥AB.答案证明∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°,∵∠ACD=∠B,∴∠A+∠ACD=90°,∴∠ADC=90°,∴CD⊥AB.解析分析25.在△ABC中,OE⊥AB,OF⊥AC且OE=OF.
(1)如图,当点O在BC边中点时,试说明AB=AC;答案证明∵OE=OF,OB=OC,∴Rt△OBE≌Rt△OCF(HL);∴∠B=∠C,∴AB=AC.
(2)如图,当点O在△ABC内部时,且OB=OC,试说明AB与AC的关系;答案AB=AC.证明同
(1)可证得Rt△OBE≌Rt△OCF;∴∠OBE=∠OCF;∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB;∴∠ABC=∠ACB;∴AB=AC.
(3)当点O在△ABC外部时,且OB=OC,试判断AB与AC的关系.(画出图形,写出结果即可,无须说明理由)答案解当BC的垂直平分线与∠A的平分线重合时,AB=AC成立,如图
①;当BC的垂直平分线与∠A的平分线不在一条直线上时,结论不成立,如图
②.(图形不唯一,符合题意,画图规范即可)解析分析
(1)证△BOE≌△COF,可得∠B=∠C,通过等角对等边,得出AB=AC;
(2)与
(1)类似,在证得△BOE≌△COF后,得∠OBE=∠OCF,OB=OC;则∠OBC=∠OCB,可证得∠ABC=∠ACB,根据等角对等边得出AB=AC;
(3)由前两问的解答过程可知,BC的垂直平分线与∠A的角平分线重合时,AB=AC的结论才成立(等腰三角形三线合一).。