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《分式与分式方程》单元检测
一、选择题(每小题4分,共10小题,满分40分)
1.下列各式-3x,,,-,,,中,分式的个数为( )A.1B.2C.3D.4【考点】分式的定义.【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母,如果含有字母则是分式,如果不含有字母则不是分式.【解答】解-3x,,的分母中均不含有字母,因此它们是整式,而不是分式.-,,,分母中含有字母,因此是分式.故选D.
2.若分式的x和y均扩大为原来各自的10倍,则分式的值( )A.不变B.缩小到原分式值的C.缩小到原分式值的D.缩小到原分式值的【解答】解式的x和y均扩大为原来各自的10倍,得==,故选C.
3.化简的结果是( )A.B.C.D.【考点】分式的乘除法.【专题】计算题.【分析】原式利用除法法则变形,约分即可得到结果.【解答】解原式==.故选A.
4.计算a3()2的结果是( )A.aB.a5C.a6D.a8【考点】分式的乘除法.【专题】计算题.【分析】原式先计算乘方运算,再计算乘法运算即可得到结果.【解答】解原式=a3=a,故选A
5.若m个人完成某项工程需要a天,则(m+n)个人完成此项工程需要的天数( )A.a+mB.C.D.【解答】解因为m个人完成某项工程需要a天,所以工作总量为ma,所以(m+n)个人完成此项工程需要的天数为.故选B.
6.若分式方程=a无解,则a的值( )A.1B.-1C.±1D.0【解答】解在方程两边同乘(x+1)得x-a=a(x+1),整理得x(1-a)=2a,当1-a=0时,即a=1,整式方程无解,当x+1=0,即x=-1时,分式方程无解,把x=-1代入x(1-a)=2a得-(1-a)=2a,解得a=-1,故选C.
7.化简的结果是( )A.x-1B.C.x+1D.【考点】分式的加减法.【专题】计算题;分式.【分析】原式变形后,通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果.【解答】解原式===,故选B
8.已知,则的值是( )A.9B.11C.7D.1【考点】分式的乘除法.【分析】根据已知式左边右边都平方,可得所求式的形式,可得答案.【解答】解∵,(m+)2=m2+2+=9,∴m2+=9-2=7,故选C.
9.如果,,那么等于( )A.1B.2C.3D.4【考点】分式的化简求值.【分析】所求分式涉及字母a、c,故要消除b,根据两个已知等式中b的倒数关系消除b,再把所得等式变形即可.【解答】解由已知得=1-a,b=1-,两式相乘,得(1-a)(1-)=1,展开,得1--a+=1去分母,得ac+2=2a两边同除以a,得c+=2.故选B.
10.对于非零的两个实数a,b,规定a*b=-,若5*(3x-1)=2,则x的值为( )A.B.C.D.-【考点】解分式方程.【专题】新定义.【分析】根据规定5*(3x-1)可化成-,再根据解分式方程的步骤即可得出答案.【解答】解根据题意得-=2,解得x=;经检验x=是原方程的解;故选B.
二、填空题
11.x的值为 -1 时,分式无意义.【考点】分式有意义的条件.【分析】根据分母不为零分式有意义,可得答案.【解答】解由分式无意义,得x+1=0,解得x=-1,
12.计算= -1 .【解答】解原式=-==-1.故答案为-1.
13.化简()的结果是 x+2 .【解答】解原式===x+2.故答案为x+2.
14.已知关于x的方程的解是负数,则m的取值范围为 m>-8且m≠-4 .【解答】解,2x-m=4x+8,-2x=8+m,x=-,∵关于x的方程的解是负数,∴-<0,解得m>-8,∵方程,∴x+2≠0,即-≠-2,∴m≠-4,故答案为m>-8且m≠-4.
15.当x= 1 时,分式=0.【解答】解由题意可得x-1=0且x+2≠0,解得x=1.故答案为x=1.
16.关于x的方程=-1无解,则m= -1或- .【考点】分式方程的解.【专题】计算题.【分析】先按照一般步骤解方程,用含m的代数式表示x,然后根据原方程无解,即最简公分母为0,求出m的值.【解答】解化为整式方程得3-2x-2-mx=3-x整理得x(1+m)=-2当此整式方程无解时,1+m=0即m=-1;当最简公分母x-3=0得到增根为x=3,当分式方程无解时,把增根代入,得m=-.故m=-1或-.
17.某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化,由于施工时增加了2名工人,结果比计划提前3小时完成任务,若每人每小时绿化面积相同,求每人每小时的绿化面积.设每人每小时的绿化面积.设每人每小时的绿化面积为x平方米,请列出满足题意的方程是 -=3 .【考点】由实际问题抽象出分式方程.【分析】设每人每小时的绿化面积为x平方米,等量关系为6名工人比8名工人完成任务多余3小时,据此列方程即可.【解答】解设每人每小时的绿化面积为x平方米,由题意得,-=3.故答案为-=3.
18.某工厂原计划生产7200顶帐篷,后来有一个地区突然发生地震,要求工厂生产的帐篷比原计划多20%,并且需提前4天完成任务.已知实际生产时比原计划多生产720顶帐篷,设实际每天生产x顶帐篷,根据题意可列方程为 -=720 .【解答】解设实际需要x天完成生产任务.根据题意得-=720,故答案为-=720.
三、解答题
19.先化简,再求值÷(-x-2),其中x为-1≤x≤3的整数.【考点】分式的化简求值.【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再选出合适的x的值代入进行计算即可.【解答】解原式=÷==,∵x为2时,原代数式无意义,∴x=-1或0或1或3,当x=-1时,原式=-.
20.先化简,再求值,其中x是不等式组的一个整数解.【解答】解原式===-(x+2)(x-1)=-x2-x+2,解不等式组,由
①得x≤2,由
②得x>-1,所以不等式组的解集为-1<x≤2,其整数解为0,1,2,由于x不能取1和2,所以当x=0时,原式=-0-0+2=2.
21.先化简,并从0,-1,2中选一个合适的数作为a的值代入求值.【考点】分式的化简求值.【专题】计算题;开放型.【分析】首先把括号的分式通分化简,后面的分式的分子分解因式,然后约分化简,接着计算分式的乘法,最后代入数值计算即可求解.【解答】解=×,=×=-,当a=0时,原式=1.
22.先化简,再求值(-)÷(-),其中x=,y=1.【考点】分式的化简求值.【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再把x=,y=1代入进行计算即可.【解答】解原式=[-][-]===-,当x=,y=1是,原式=-=2-3.
23.材料阅读将分式拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和(差)的形式.解由分母为x+3,可设x2+2x-5=(x+3)(x+a)+b,则由x2+2x-5=(x+3)(x+a)+b=x2+ax+3x+3a+b=x2+(a+3)x+(3a+b).∵对于任意x,上述等式均成立,∴,解得.∴==-=x-1-这样,分式就被拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和(差)的形式.
(1)将分式拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和(差)的形式;
(2)将分式拆分成整式与一个分式(分子为整数)的和(差)的形式.【解答】解
(1)由分母为x-1,可设x2+3x+6=(x-1)(x+a)+b,则x2+3x+6=(x-1)(x+a)+b=x2+(a-1)x+(b-a).∵对于任意x,上述等式均成立,∴,解得,∴==x+4+;
(2)由分母为-x2+1,可设-2x4-x2+5=(-x2+1)(2x2+a)+b,则由-2x4-x2+5=(-x2+1)(2x2+a)+b=-2x4+2x2-ax2+a+b=-2x4+(2-a)x2+(a+b).∵对于任意x,上述等式均成立,∴,解得,,∴==2x2+3+.
24.【阅读】我们分析解决某些数学问题时,经常要比较两个数或代数式的大小,而解决问题的策略一般要进行一定的转化,其中“作差法”就是常用的方法之一.所谓“作差法”就是通过作差、变形,并利用差的符号确定他们的大小,即要比较代数式M、N的大小,只要作出它们的差M-N,若M-N>0,则M>N;若M-N=0,则M=N;若M-N<0,则M<N.【运用】利用“作差法”解决下列问题
(1)小丽和小颖分别两次购买同一种商品,小丽两次都买了m千克商品,小颖两次购买商品均花费n元,已知第一次购买该商品的价格为a元/千克,第二次购买该商品的价格为b元/千克(a,b是整数,且a≠b),试比较小丽和小颖两次所购买商品的平均价格的高低.
(2)奶奶提一篮子玉米到集贸市场去兑换大米,每2kg玉米兑换1kg大米,商贩用秤称得连篮子带玉米恰好20kg,于是商贩连篮子带大米给奶奶共10kg,在这个过程中谁吃了亏?并说明理由.【考点】列代数式(分式).【分析】
(1)根据题意分别表示出小丽和小颖两次所购买商品的平均价格,利用作差法比较即可;
(2)设篮子的质量为xkg,根据题意可得奶奶有的玉米数量为(20-x)kg,小贩给小莲的大米数量为(10-)kg,再根据玉米大米兑换比例即可得解.【解答】解
(1)∵=,=,∴-==>0。