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第六章一元一次函数
6.1函数
一、常量和变量在行程问题中,当速度v保持不变时,行走的路程s是随时间的变化而变化的,那么在这一过程中,是常量,而和是变量.当路程s是个定值时,行走的时间t是随速度v的变化而变化,那么在这一过程中,是常量,而与是变量.概念在一个变化的过程中,可以取不同数值的量叫做变量,数值保持不变的量叫做常量.[注意]变量和常量往往是相对的,是相对某个变化过程的.如svt三者之间,在不同研究过程中,变量与常量的身份是可以互相转换的.例题1指出下列关系式中的常量和变量
(1);
(2);
(3)(a、h为已知数)
二、函数的定义问题1小明暑假第一次去北京.汽车驶上A地的高速公路后小明观察里程碑发现汽车的平均车速是95千米/小时.已知A地直达北京的高速公路全程为570千米,小明想知道汽车从A地驶出后距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系,以便根据时间估计自己和北京的距离.分析我们知道汽车距北京的路程随着行车时间而变化要想找出这两个变化着的量的关系并据此得出相应的值显然应该探求这两个变量的变化规律.为此我们设汽车在高速公路上行驶时间为t小时汽车距北京的路程为s千米根据题意s和t的函数关系式是s=570-95t.说明找出问题中的变量并用字母表示是探求函数关系的第一步这里的s、t是两个变量,s是t的函数,t是自变量,s是因变量.问题2小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来.他已存有50元从现在起每个月节存12元.试写出小张的存款与从现在开始的月份之间的关系式.分析我们设从现在开始的月份数为x小张的存款数为y元得到所求的函数关系式为y=50+12x.函数的概念一般地,在某个变化的过程中,有两个变量x和y,如果在x允许的范围内给定一个x值,相应地就唯一确定了一个y值,称x是自变量,y是因变量,y是x的函数.如问题1中路程的s是时间t的函数,问题2中存款数y是月份数x的函数.例题2中国淡水资源总量约为亿立方米,则人均占有淡水资源y(立方米)与人口数x的关系为.例题3写出下列问题的函数关系式,并指出自变量和因变量.1面积为10cm2的三角形的底acm与这边上的高hcm;2长为8cm的平行四边形的周长Lcm与宽bcm; 3食堂原有煤120吨,每天要用去5吨,x天后还剩下煤y吨; 4汽车每小时行40千米,行驶的路程s(千米)和时间t(小时). 5汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶路程中y(千米)与行驶时间x(时)之间的关系式; 6圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)之间的关系;7一棵树现在高50cm,每个月长高2cm,x月后这棵树的高度为y(cm)
三、对函数定义的理解
(1)在一个变化过程中必须有两个变量x和y,如x+y=
3、x-y=
5、y=5x+6等.
(2)对于自变量x的取值,必须要使代数式有意义,如y=2x+1中自变量可以在实数范围内取值;中被开方数要满足,即,另外,在实际问题中,自变量x的取值必须要有实际意义,如人数、多边形变数、机器数等要为正整数,时间要为非负数等.
(3)函数的实质是揭示两个变量时间的关系.X每取一个值,y要有一个且有且只有一个值与之对应,否则y就不是x的函数,如,在实数范围内,y就不是x的函数,因为在x0时,x取一个值,如x=-2,y没有一个值与它对应,所以在x0时,y就不是x的函数再如,当x=4时,,此时y有两个值与x对应,所以y也不是x的函数.
(4)判断两个函数是不是同一个函数,应该根据自变量的取值范围,函数y的取值范围,函数解析式是否一致来判断.如y=x和,其中的x可以取任意实数,中x取不等于0的实数,所以不是同一个函数.例题4求下列函数自变量的取值范围
(1)
(2)
(3)
(4)例题5小强在劳动技术课中要制作一个周长为80cm的等腰三角形,请你写出底边长y(cm)与一腰长x(cm)的函数关系式,并求出自变量x的取值范围.
3.例题6已知
(1)求当x取
1、-1时的函数值;
(2)求当时x的值.
5、函数图像把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标,在直角坐标系内描出它的对应点,所有的点组成的图形叫做该函数的图像.反之,在函数图像上所有点的横坐标、纵坐标作为自变量、因变量满足函数表达式.作函数图像的一般步骤是
(1)列表列表给出自变量与函数的一些对应值;
(2)描点以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点;
(3)连线按照自变量由小到大的顺序,把所描的点用平滑的曲线连接起来.[注意]列表时自变量的取值要注意兼顾原则,既要有代表性,又不能过大或过小,以利于描点和全面反映图像情况.例题7如图是某地一天的气温随时间变化的图象,根据这张图回答在这一天中,
(1)什么时间气温最高?什么时间气温最低?最高气温和最低气温各是多少度?
(2)20时的气温是多少?
(3)什么时候气温为6℃?
(4)哪段时间内气温不断下降?
(5)哪段时间内气温持续不变?例题8星期天,小王去朋友家借书,下图是他离家的距离y(千米)与时间x(分钟)的函数图象,根据图象信息,下列说法正确的是HYPERLINKhttp://f.hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b3fb43166d224f4a359167a10af790529822d
173.jpg\o点击查看大图\thttp://zhidao.baidu.com/_blankINCLUDEPICTUREhttp://f.hiphotos.baidu.com/zhidao/wh=600800/sign=3be8824e7fd98d1076810437110f9436/b3fb43166d224f4a359167a10af790529822d
173.jpg\*MERGEFORMAT[ ]A.小王去时的速度大于回家的速度B.小王在朋友家停留了10分钟 C.小王去时所花的时间少于回家所花的时间D.小王去时走上坡路,回家时走下坡路例题9某天早晨,小强从家出发,以V1的速度前往学校,途中在一家饮食店吃早点,之后以V2的速度向学校行进.已知V1>V2,下面哪一幅图能较好刻画小强今天早晨从家到学校的时间t与路程s之间的关系( )A.HYPERLINKhttp://d.hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/f31fbe096b63f624c8c1adb58444ebf81b4ca3ec.jpg\o点击查看大图\thttp://zhidao.baidu.com/_blankINCLUDEPICTUREhttp://d.hiphotos.baidu.com/zhidao/wh=600800/sign=ec6374e48635e5dd9079add946f68bd7/f31fbe096b63f624c8c1adb58444ebf81b4ca3ec.jpg\*MERGEFORMATB.HYPERLINKhttp://e.hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/bf096b63f6246b60a89226c2e8f81a4c500fa2ec.jpg\o点击查看大图\thttp://zhidao.baidu.com/_blankINCLUDEPICTUREhttp://e.hiphotos.baidu.com/zhidao/wh=600800/sign=71c324b3e6dde711e7874bf097dfe223/bf096b63f6246b60a89226c2e8f81a4c500fa2ec.jpg\*MERGEFORMATC.HYPERLINKhttp://a.hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/0d338744ebf81a4cf9ae787fd42a6059242da6ec.jpg\o点击查看大图\thttp://zhidao.baidu.com/_blankINCLUDEPICTUREhttp://a.hiphotos.baidu.com/zhidao/wh=600800/sign=384ed740a4efce1bea7ec0cc9f61dfe6/0d338744ebf81a4cf9ae787fd42a6059242da6ec.jpg\*MERGEFORMATD.HYPERLINKhttp://d.hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/1b4c510fd9f9d72acbf884abd72a2834359bbbec.jpg\o点击查看大图\thttp://zhidao.baidu.com/_blankINCLUDEPICTUREhttp://d.hiphotos.baidu.com/zhidao/wh=600800/sign=65ba3c90fefaaf5184b689b9bc64b8d6/1b4c510fd9f9d72acbf884abd72a2834359bbbec.jpg\*MERGEFORMAT
6.2一次函数
一、一次函数和正比例函数的定义一般地,如果,那么y叫做x的一次函数.如等都是一次函数.特别地,当一次函数中的b为0时,则.这时,y叫做x的正比例函数.如等都是正比例函数.[注意]
(1)由一次函数和正比例函数的定义可知函数是一次函数其解析式可化为的形式.函数是正比函数其解析式可化为的形式.
(2)一次函数解析式的结构特征;x的次数为1;常数项b可以是任意实数.
(3)正比例函数解析式的结构特征;x的次数为1;常数项b=0[说明]若k=0,则y=b(b为常数).这样的函数叫做常量函数,它不是一次函数.
(4)自变量x的取值范围例题1已知,当m为何值时,y是x的一次函数?例题2当m为何值时,函数是一次函数?例题3已知y-3与x成正比例,且x=2时y=
7.
(1)写出y与x之间的函数关系式;
(2)当x=4时,求y的值;
(3)当y=4时,求x的值.例题4如果函数是正比例函数,求m的值.
2、一次函数、正比例函数的关系正比例函数是一次函数的特例,一次函数包含正比例函数.用集合表示正比例函数与一次函数的关系图如图所示.
3、一次函数、正比函数图象的主要特征一次函数的图象是经过点(0,b)的直线;正比例函数的图象是经过原点
(00)的直线.如直线经过点
(01),经过点(0,-1),经过点
(03),经过
(02);直线都经过原点
(00).[注意]点(0,b)是直线与y轴的交点.当时,此交点在y轴的正半轴上;当b0时,此交点在y轴的负半轴上;当b=0时,此交点在原点,此时的一次函数就是正比例函数.
4、用待定系数法求一次函数的解析式
(1)待定系数法先设待求函数关系式(其中含有未知系数),再根据条件例出方程或方程组,求出未知系数,从而得到所求结果的方法,叫做待定系数法.
(2)用待定系数法求一次函数的解析式先设出一次函数的关系式,由于它有两个待定系数,需要用两个条件建立两个方程,组成方程组,借以求得kb的值.例题5汽车行驶中,司机从判断出现了紧急情况到进行刹车时,这一段汽车走过的路程称为刹车反应距离.某研究机构收集了有关刹车反应距离的数据如下表表中x为汽车行驶速度(英里/小时),y为刹车反应距离(英尺);m、n为丢失的数据.由表中给出的有序实数对,在直角坐标系中对应的点如图所示.
(1)请用平滑曲线顺次连接图中各点后,估计y与x的关系最近似于哪一种函数关系,并说明估计的理由;
(2)请利用估计得到的函数关系中,求出表中m、n的值例题6已知函数的图象过点P(-30)和点Q
(04),求此一次函数的表达式.例题7已知某一次函数过点A(-42)且与直线y=-2x平行,求此函数的表达式.
五、函数与方程、函数与不等式之间的联系
(1)直线与x轴交点的横坐标是一元一次方程的解.求直线与x轴的交点,可令y=0,得到方程,解方程得.就是直线与x轴的交点的横坐标;反之,根据函数的图象也能求出对应一元一次方程的解.
(2)使一次函数的函数值y0(或y0)的自变量x的所有值,就是一元一次不等式的解集.
5、技巧点设法找出两个变量的关系,注意条件的合理运用.[例题]当k为何值时,函数是正比函数?[错解]要使函数是正比例函数,只要,解这个方程,得k1=1k2=-
2.当k=1或-2时,函数是正比函数.[正解]要使函数是正比例函数,必须由得k1=1k2=-
2.代入中检验当k=1时,.当k=2时,,应舍去.当k=1时,函数是正比函数.
6.3一次函数的图象
1、正比例函数图象正比例函数的图象是一条经过原点
(00)的直线.
2、正比例函数图象y=kx的图象的特点正比例函数的图象是一条经过原点的直线,当k0,y随x的增大而增大;当k0时,y随x增大而减小.特点1必过点(0,0)、(1,k)2走向k0时,图像经过
一、三象限;k0时,图像经过
二、四象限3增减性k0,y随x的增大而增大;k0,y随x增大而减小4倾斜度|k|越大,越接近y轴;|k|越小,越接近x轴例题1
(1)正比例函数的图象经过第象限,y随x的增大而.
(2)已知是正比例函数,且y随x的增大而减小,则m的值为.
3、一次函数图象
1、一次函数图象是一条直线,为了方便,常取图象与坐标轴的两个交点(0,b)和
(0).
2、直线中,k和b决定着直线的位置.
(1)k0b0直线经过第
一、第
二、第三象限;
(2)k0b0直线经过第
一、第
三、第四象限;
(3)k0b0直线经过第
一、第
二、第四象限;
(4)k0b0直线经过第
二、第
三、第四象限.直线的图象可由直线y=kx向上或向下平移个单位得到,当b0时,将直线y=kx的图象向上平移b个单位;当b0时,将直线y=kx的图象向下平移b个单位.
3、倾斜度|k|越大,图象越接近于y轴;|k|越小,图象越接近于x轴.
4、两条直线,当k值相同时,两直线平行;当b值相同时,两直线交于y轴上同一点.
5、求两直线的交点坐标的方法是解方程组,求得的xy的值即分别为两条直线的交点的横坐标、纵坐标.
4、一次函数的性质
(1)当k0时,y随x的增大而增大.
(2)当k0时,y随x的增大而减小.
(3)一次函数和正比例函数的性质是类似的.一次函数,符号图象性质随的增大而增大随的增大而减小
五、一次函数y=kx+b的图象的画法根据几何知识经过两点能画出一条直线,并且只能画出一条直线,即两点确定一条直线,所以画一次函数的图象时,只要先描出两点,再连成直线即可.一般情况下是先选取它与两坐标轴的交点(0,b),.即横坐标或纵坐标为0的点. b0b0b=0k0经过第
一、
二、三象限经过第
一、
三、四象限经过第
一、三象限图象从左到右上升,y随x的增大而增大k0经过第
一、
二、四象限经过第
二、
三、四象限经过第
二、四象限图象从左到右下降,y随x的增大而减小
六、正比例函数与一次函数之间的关系一次函数y=kx+b的图象是一条直线,它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到(当b0时,向上平移;当b0时,向下平移)
七、正比例函数和一次函数及性质正比例函数一次函数概念一般地,形如y=kxk是常数,k≠0的函数叫做正比例函数,其中k叫做比例系数一般地,形如y=kx+bkb是常数,k≠0,那么y叫做x的一次函数.当b=0时,是y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.自变量范围X为全体实数图象一条直线必过点(0,0)、(1,k)(0,b)和(-,0)走向k0时,直线经过
一、三象限;k0时,直线经过
二、四象限k>0,b>0直线经过第
一、
二、三象限k>0,b<0直线经过第
一、
三、四象限k<0,b>0直线经过第
一、
二、四象限k<0,b<0直线经过第
二、
三、四象限增减性k0,y随x的增大而增大;(从左向右上升)k0,y随x的增大而减小(从左向右下降)倾斜度|k|越大,越接近y轴;|k|越小,越接近x轴图像的平移b0时,将直线y=kx的图象向上平移个单位;b0时,将直线y=kx的图象向下平移个单位.
八、直线()与()的位置关系
(1)两直线平行且;
(2)两直线相交
(3)两直线重合且;
(4)两直线垂直例题2根据画函数图象的一般步骤,画出函数y=x+1的图象,并根据图象回答
(1)x为何值时,y的值为0;
(2)y为何值时,x的值为0;
(3)x为何值时,y0;
(4)x为何值时,y随x增大而增大.一次函数正比例函数。