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分数乘法
一、分数乘法
(一)、分数乘法的计算法则
1、分数与整数相乘分子与整数相乘的积做分子,分母不变(整数和分母约分)
2、分数与分数相乘用分子相乘的积做分子,分母相乘的积做分母
3、为了计算简便,能约分的要先约分,再计算注意当带分数进行乘法计算时,要先把带分数化成假分数再进行计算
(二)、规律(乘法中比较大小时)XKb
1.Com一个数(0除外)乘大于1的数,积大于这个数 一个数(0除外)乘小于1的数(0除外),积小于这个数 一个数(0除外)乘1,积等于这个数
(三)、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同
(四)、整数乘法的交换律、结合律和分配律,对于分数乘法也同样适用乘法交换律a×b=b×a乘法结合律a×b×c=a×b×c乘法分配律(a+b)×c=ac+bcac+bc=(a+b)×c
二、分数乘法的解决问题(已知单位“1”的量(用乘法),求单位“1”的几分之几是多少)
1、找单位“1”在分率句中分率的前面;或“占”、“是”、“比”的后面
2、求一个数的几倍一个数×几倍;求一个数的几分之几是多少一个数×
3、写数量关系式技巧
(1)“的”相当于“×”“占”、“是”、“比”相当于“=”
(2)分率前是“的”单位“1”的量×分率=分率对应量
(3)分率前是“多或少”的意思单位“1”的量×(1分率)=分率对应量
三、倒数
1、倒数的意义乘积是1的两个数互为倒数强调互为倒数,即倒数是两个数的关系,它们互相依存,倒数不能单独存在(要说清谁是谁的倒数)
2、求倒数的方法
(1)、求分数的倒数交换分子分母的位置
(2)、求整数的倒数把整数看做分母是1的分数,再交换分子分母的位置
(3)、求带分数的倒数把带分数化为假分数,再求倒数
(4)、求小数的倒数把小数化为分数,再求倒数
3、1的倒数是1;0没有倒数因为1×1=1;0乘任何数都得0,(分母不能为0)
4、对于任意数,它的倒数为;非零整数的倒数为;分数的倒数是;
5、真分数的倒数大于1;假分数的倒数小于或等于1;带分数的倒数小于1分数除法
一、分数除法XkB
1.com
1、分数除法的意义分数除法与整数除法的意义相同,表示已知两个因数的积和其中一个因数,求另一个因数的运算
2、分数除法的计算法则除以一个不为0的数,等于乘这个数的倒数
3、规律(分数除法比较大小时)
(1)、当除数大于1,商小于被除数;
(2)、当除数小于1(不等于0),商大于被除数;
(3)、当除数等于1,商等于被除数
4、“”叫做中括号一个算式里,如果既有小括号,又有中括号,要先算小括号里面的,再算中括号里面的
二、分数除法解决问题(未知单位“1”的量(用除法)已知单位“1”的几分之几是多少,求单位“1”的量)
1、数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同
(1)分率前是“的”单位“1”的量×分率=分率对应量
(2)分率前是“多或少”的意思单位“1”的量×(1分率)=分率对应量
2、解法(建议最好用方程解答)
(1)方程根据数量关系式设未知量为X,用方程解答
(2)算术(用除法)分率对应量÷对应分率=单位“1”的量
3、求一个数是另一个数的几分之几就一个数÷另一个数
4、求一个数比另一个数多(少)几分之几
①求多几分之几大数÷小数–1
②求少几分之几1-小数÷大数或
①求多几分之几(大数-小数)÷小数
②求少几分之几(大数-小数)÷大数
三、比和比的应用
(一)、比的意义
1、比的意义两个数相除又叫做两个数的比
2、在两个数的比中,比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫做比的后项比的前项除以后项所得的商,叫做比值例如1510=15÷10=(比值通常用分数表示,也可以用小数或整数表示)∶∶∶∶前项比号后项比值
3、比可以表示两个相同量的关系,即倍数关系也可以表示两个不同量的比,得到一个新量例路程÷速度=时间
4、区分比和比值比表示两个数的关系,可以写成比的形式,也可以用分数表示比值相当于商,是一个数,可以是整数,分数,也可以是小数
5、根据分数与除法的关系,两个数的比也可以写成分数形式
6、 比和除法、分数的联系比前项比号“”后项比值除法被除数除号“÷”除数商分数分子分数线“—”分母分数值
7、比和除法、分数的区别除法是一种运算,分数是一个数,比表示两个数的关系
8、根据比与除法、分数的关系,可以理解比的后项不能为0体育比赛中出现两队的分是20等,这只是一种记分的形式,不表示两个数相除的关系
(二)、比的基本性质
1、根据比、除法、分数的关系商不变的性质被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外),商不变分数的基本性质分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时(0除外),分数值不变比的基本性质比的前项和后项同时乘或除以相同的数0除外,比值不变
2、最简整数比比的前项和后项都是整数,并且是互质数,这样的比就是最简整数比
3、根据比的基本性质,可以把比化成最简单的整数比
4.化简比
①用比的前项和后项同时除以它们的最大公因数
(1)
②两个分数的比用前项后项同时乘分母的最小公倍数,再按化简整数比的方法来化简
③两个小数的比向右移动小数点的位置,先化成整数比再化简
(2)用求比值的方法注意:最后结果要写成比的形式如15∶10=15÷10==3∶25.按比例分配把一个数量按照一定的比来进行分配这种方法通常叫做按比例分配如已知两个量之比为,则设这两个量分别为
6、路程一定,速度比和时间比成反比(如路程相同,速度比是45,时间比则为54)工作总量一定,工作效率和工作时间成反比(如工作总量相同,工作时间比是32,工作效率比则是23)圆
一、认识圆
1、圆的定义圆是由曲线围成的一种平面图形
2、圆心将一张圆形纸片对折两次,折痕相交于圆中心的一点,这一点叫做圆心一般用字母O表示它到圆上任意一点的距离都相等.
3、半径连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径一般用字母r表示把圆规两脚分开,两脚之间的距离就是圆的半径
4、直径通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径一般用字母d表示直径是一个圆内最长的线段
5、圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小
6、在同圆或等圆内,有无数条半径,有无数条直径所有的半径都相等,所有的直径都相等7.在同圆或等圆内,直径的长度是半径的2倍,半径的长度是直径的用字母表示为d=2r或r=
8、轴对称图形如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形是轴对称图形折痕所在的这条直线叫做对称轴(经过圆心的任意一条直线或直径所在的直线)
9、长方形、正方形和圆都是对称图形,都有对称轴这些图形都是轴对称图形
10、只有1一条对称轴的图形有角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆只有2条对称轴的图形是长方形只有3条对称轴的图形是等边三角形只有4条对称轴的图形是正方形;有无数条对称轴的图形是圆、圆环
二、圆的周长
1、圆的周长围成圆的曲线的长度叫做圆的周长用字母C表示
2、圆周率实验在圆形纸片上做个记号,与直尺0刻度对齐,在直尺上滚动一周,求出圆的周长发现一般规律,就是圆周长与它直径的比值是一个固定数(π)3.圆周率任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数,我们把它叫做圆周率用字母π(pai)表示
(1)、一个圆的周长总是它直径的3倍多一些,这个比值是一个固定的数圆周率π是一个无限不循环小数在计算时,一般取π≈
3.14
(2)、在判断时,圆周长与它直径的比值是π倍,而不是
3.14倍
(3)、世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之
4、圆的周长公式C=πdd=C÷π或C=2πrr=C÷2π
5、在一个正方形里画一个最大的圆,圆的直径等于正方形的边长在一个长方形里画一个最大的圆,圆的直径等于长方形的宽
6、区分周长的一半和半圆的周长
(1)周长的一半等于圆的周长÷2计算方法2πr÷2即πr
(2)半圆的周长等于圆的周长的一半加直径计算方法πr+2r
三、圆的面积
1、圆的面积圆所占平面的大小叫做圆的面积用字母S表示
2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形顶点在圆心的角叫做圆心角
3、圆面积公式的推导
(1)、用逐渐逼近的转化思想体现化圆为方,化曲为直;化新为旧,化未知为已知,化复杂为简单,化抽象为具体
(2)、把一个圆等分(偶数份)成的扇形份数越多,拼成的图像越接近长方形
(3)、拼出的图形与圆的周长和半径的关系圆的半径=长方形的宽圆的周长的一半=长方形的长因为长方形面积=长×宽所以圆的面积=圆周长的一半×圆的半径S圆=πr×r圆的面积公式S圆=πr
24、环形的面积新课标第一网一个环形,外圆的半径是R,内圆的半径是r(R=r+环的宽度.)S环=πR²-πr² 或环形的面积公式S环=π(R²-r²)
5、一个圆,半径扩大或缩小多少倍,直径和周长也扩大或缩小相同的倍数而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍例如在同一个圆里,半径扩大3倍,那么直径和周长就都扩大3倍,而面积扩大9倍
6、两个圆半径比=直径比=周长比;而面积比等于这比的平方例如两个圆的半径比是2∶3,那么这两个圆的直径比和周长比都是2∶3,而面积比是4∶
97、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值,即4∶π
8、当长方形,正方形,圆的周长相等时,圆面积最大,正方形居中,长方形面积最小反之,面积相同时,长方形的周长最长,正方形居中,圆周长最短
9、确定起跑线
(1)、每条跑道的长度=两个半圆形跑道合成的圆的周长+两个直道的长度
(2)、每条跑道直道的长度都相等,而各圆周长决定每条跑道的总长度(因此起跑线不同)
(3)、每相邻两个跑道相隔的距离是2×π×跑道的宽度
(4)、当一个圆的半径增加a厘米时,它的周长就增加2πa厘米;当一个圆的直径增加a厘米时,它的周长就增加πa厘米
11、常用各π值结果π=
3.142π=
6.283π=
9.425π=
15.76π=
18.847π=
21.989π=
28.2610π=
31.416π=
50.2436π=
113.0464π=
200.9696π=
301.444π=
12.568π=
25.1225π=
78.
512、常用平方数结果=121=144=169=196=225=256=289=324=361百分数
一、百分数的意义和写法
1、百分数的意义表示一个数是另一个数的百分之几百分数是指的两个数的比,因此也叫百分率或百分比
2、千分数表示一个数是另一个数的千分之几
3、百分数和分数的主要联系与区别
(1)联系都可以表示两个量的倍比关系
(2)区别
①、意义不同百分数只表示两个数的倍比关系,不能表示具体的数量,所以不能带单位;分数既可以表示具体的数,又可以表示两个数的关系,表示具本数时可以带单位
②、百分数的分子可以是整数,也可以是小数;分数的分子不能是小数,只能是除0以外的自然数
4、百分数的写法通常不写成分数形式,而在原来分子后面加上“%”来表示
二、百分数和分数、小数的互化
(一)百分数与小数的互化
1、小数化成百分数把小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号
2.百分数化成小数把小数点向左移动两位,同时去掉百分号
(二)百分数的和分数的互化
1、百分数化成分数先把百分数化成分数,先把百分数改写成分母是否100的分数,能约分要约成最简分数
2、分数化成百分数
①用分数的基本性质,把分数分母扩大或缩小成分母是100的分数,再写成百分数形式
②先把分数化成小数(除不尽时,通常保留三位小数),再把小数化成百分数
(三)常见的分数与小数、百分数之间的互化=
0.5=50%=
0.2=20%=
0.625=
62.5%=
0.25=25%=
0.4=40%=
0.125=
12.5%=
0.75=75%=
0.6=60%=
1.375=
37.5%=
0.0625=
6.25%=
0.8=80%=
0.875=
87.5%=
0.04=4﹪=
0.08=8﹪=
0.12=12﹪=
0.16=16﹪
三、用百分数解决问题
(一)一般应用题
1、常见的百分率的计算方法
①合格率=
②发芽率=
③出勤率=
④达标率=
⑤成活率=
⑥出粉率=
⑦烘干率=
⑧含水率=一般来讲,出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%,出米率、出油率达不到100%,完成率、增长了百分之几等可以超过100%(一般出粉率在
70、80%,出油率在
30、40%)
2、已知单位“1”的量(用乘法),求单位“1”的百分之几是多少的问题数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同
(1)分率前是“的”单位“1”的量×分率=分率对应量
(2)分率前是“多或少”的意思单位“1”的量×(1分率)=分率对应量
3、未知单位“1”的量(用除法),已知单位“1”的百分之几是多少,求单位“1”解法(建议最好用方程解答)
(1)方程根据数量关系式设未知量为X,用方程解答
(2)算术(用除法)分率对应量÷对应分率=单位“1”的量
4、求一个数比另一个数多(少)百分之几的问题两个数的相差量÷单位“1”的量×100%或1求多百分之几大数-小数÷小数
②求少百分之几(大数-小数)÷大数
(二)、折扣
1、折扣商品按原定价格的百分之几出售,叫做折扣通称“打折”几折就表示十分之几,也就是百分之几十例如八折==80﹪六折五=
0.65=65﹪
2、 一成是十分之一,也就是10%三成五就是十分之三点五,也就是35%
(三)、纳税
1、纳税纳税是根据国家税法的有关规定,按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家
2、纳税的意义税收是国家财政收入的主要来源之一国家用收来的税款发展经济、科技、教育、文化和国防安全等事业
3、应纳税额缴纳的税款叫做应纳税额
4、税率应纳税额与各种收入的比率叫做税率
5、应纳税额的计算方法应纳税额=总收入×税率
(四)利息
1、存款分为活期、整存整取和零存整取等方法XkB
1.com
2、储蓄的意义人们常常把暂时不用的钱存入银行或信用社,储蓄起来,这样不仅可以支援国家建设,也使得个人用钱更加安全和有计划,还可以增加一些收入
3、本金存入银行的钱叫做本金
4、利息取款时银行多支付的钱叫做利息
5、利率利息与本金的比值叫做利率
6、利息的计算公式利息=本金×利率×时间
7、注意如要上利息税(国债和教育储藏的利息不纳税),则税后利息=利息-利息的应纳税额=利息-利息×利息税率=利息×(1-利息税率)扇形统计图
一、扇形统计图的意义用整个圆的面积表示总数,用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间的关系也就是各部分数量占总数的百分比(因此也叫百分比图)
二、常用统计图的优点
1、条形统计图可以清楚的看出各种数量的多少
2、折线统计图不仅可以看出各种数量的多少,还可以清晰看出数量的增减变化情况
3、扇形统计图能够清楚的反映出各部分数量同总数之间的关系
三、扇形的面积大小在同一个圆中,扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关,圆心角越大,扇形越大(因此扇形面积占圆面积的百分比,同时也是该扇形圆心角度数占圆周角度数的百分比)圆柱与圆锥
一、圆柱的特征
1、圆柱的两个圆面叫做底面,周围的面叫做侧面,底面是平面,侧面是曲面,
2、圆柱的高圆柱两个底面之间的距离叫做高圆柱的高有无数条
3、圆柱的侧面展开图圆柱的侧面沿高展开后是长方形,长方形的长等于圆柱底面的周长,长方形的宽等于圆柱的高,当底面周长和高相等时,侧面沿高展开后是一个正方形
4、圆柱的侧面积=底面周长×高即S侧=Ch或2πr×h
5、圆柱的表面积=圆柱的侧面积+底面积×2即S表=S侧+S底×2或2πr×h+2×πr
26、圆柱的体积=圆柱的底面积×高,即V=sh或πr2×h
7、将一张长方形围成圆柱有两种方法,将一张长方形进行旋转一般也有两种(进一法实际中,使用的材料都要比计算的结果多一些,因此,要保留数的时候,省略的位上的是4或者比4小,都要向前一位进1这种取近似值的方法叫做进一法)
二、圆锥的特征
1、圆锥只有一个底面,底面是个圆圆锥的侧面是个曲面
2、从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高圆锥只有一条高(测量圆锥的高先把圆锥的底面放平,用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面,竖直地量出平板和底面之间的距离)
3、把圆锥的侧面展开得到一个扇形
4、圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱体积的三分之一,即V锥=Sh或V锥=πr2×h
5、常见的圆柱圆锥解决问题
①、压路机压过路面面积(求侧面积);
②、压路机压过路面长度(求底面周长);
③、水桶铁皮(求侧面积和一个底面积);
④、厨师帽(求侧面积和一个底面积);通风管(求侧面积)
6、圆柱和圆锥的特征圆柱圆锥底面两个底面完全相同,都是圆形一个底面,是圆形侧面曲面,沿高剪开,展开后是长方形曲面,沿顶点到底面圆周上的一条线段剪开,展开后是扇形高两个底面之间的距离,有无数条顶点到底面圆心的距离,只有一条常用单位换算长度单位换算1千米=1000米1米=10分米1分米=10厘米1米=100厘米1厘米=10毫米面积单位换算1平方千米=100公顷1公顷=10000平方米1平方米=100平方分米1平方分米=100平方厘米1平方厘米=100平方毫米体容积单位换算1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米1立方分米=1升1立方厘米=1毫升1立方米=1000升重量单位换算1吨=1000千克1千克=1000克1千克=1公斤人民币单位换算1元=10角1角=10分1元=100分时间单位换算1世纪=100年1年=12月大月31天有:1\3\5\7\8\10\12月小月30天的有:4\6\9\11月平年2月28天闰年2月29天平年全年365天闰年全年366天1日=24小时1时=60分1分=60秒1时=3600秒新课标第一网依据比的基本性质。