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第二课时一元一次方程应用进阶列方程解应用题,是初中数学的重要内容之一,许多实际问题都归结为解一种方程或方程组,所以能够列出方程解应用题是数学联系实际,解决实际问题的重要方法而学好一元一次方程应用题,是学习二元一次方程应用的基础,能够很好的帮助解决日常生活中遇到的各类问题初中阶段几个主要的运用问题及其数量关系
1、行程问题
(1)基本量及关系速度×时间=路程,,
(2)相遇问题、追及问题中的相等关系各段路程之和=总路程
(3)求“平均速度”的等量关系来回的路程总和=平均速度×总时间
(4)顺(逆)风(水)问题顺速=静速+(风)水流速度逆速=静速-(风)水流速度
2、销售问题
(1)单价×数量=总价
(2)成本或进价、售价或实售价、利润或亏损额、利润率或困损率基本关系利润=售价-进价,或利润=进价×利润率
3、工效×时间=工作总量
4、单产量×数量=总产量
5、溶液×浓度=溶质,浓度=,浓度=
6、本金×利率=利息
7、日历同一列中相邻的三个数依次差7,同一行中相邻的三个数依次差1 类型1数字问题
(1)要搞清楚数的表示方法一个三位数的百位数字为a,十位数字是b,个位数字为c(其中a、b、c均为整数,且1≤a≤9,0≤b≤9,0≤c≤9)则这个三位数表示为100a+10b+c
(2)数字问题中一些表示两个连续整数之间的关系,较大的比较小的大1;偶数用2N表示,连续的偶数用2n+2或2n—2表示;奇数用2n+1或2n—1表示例
1.一个三位数,百位数字比个位数字小2,十位数字是百位数字与个位数字和的1/6若去掉百位数字后剩下的二位数的19倍比这三位数小
14.求这个三位数等量关系19×(去掉百位数字后剩下的二位数)=原三位数-14解设个位数为x,则百位数为(x-2),十位数为1/6(x-2+x),列方程得解得,x=7,1/6(x-2+x)=2,x-2=5答这个三位数是527例
2.一个两位数,个位上的数是十位上的数的2倍,如果把十位与个位上的数对调,那么所得的两位数比原两位数大36,求原来的两位数等量关系原两位数+36=对调后新两位数解设十位上的数字X,则个位上的数是2x,10×2x+x=(10x+2x)+36解得x=4,2x=
8.答略.类型2劳力调配问题这类问题要搞清人数的变化,常见题型有
(1)既有调入又有调出;
(2)只有调入没有调出,调入部分变化,其余不变;
(3)只有调出没有调入,调出部分变化,其余不变例
1.某工厂一车间有51名工人,一次接到加工两种轿车零件的生产任务每个工人每天能加工甲种零件16个,或乙种零件21个而一辆轿车只需甲零件5个和乙零件3个,为了每天能配套生产应如何安排工人等联关系甲零件的3倍=乙零件的5倍解设x个工人做甲零件,则有(51-x)个工人做乙零件,列方程得,解得,x=35,51-x=
16.答略例
2.机械厂加工车间有85名工人,平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个,已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套,问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮,才能使每天加工的大小齿轮刚好配套?等量关系小齿轮数量的2倍=大齿轮数量的3倍解设分别安排x名、(85-x)名工人加工大、小齿轮答略.类型3工程问题 工程问题中的三个量及其关系为工作总量=工作效率×工作时间经常在题目中未给出工作总量时,设工作总量为单位1例某项工作由甲单独做需24天完成,由乙单独做需16天完成现在此项工作由甲先做1天,然后甲乙合作,中间甲又休息了1天,再工作时甲乙的工作效率都提高了20%,两人又工作了3天完成任务,求甲在第几天休息分析设工程总量为单位1,等量关系为甲完成工作量+乙完成工作量=工作总量解设中间甲乙合作了x天,则甲在第(1+x+1)天休息,列方程得,,解得x=5,1+x+1=7答略类型4比例分配问题这类问题的一般思路为设其中一份为x,利用已知的比,写出相应的代数式常用等量关系各部分之和=总量 例.三个正整数的比为124,它们的和是84,那么这三个数中最大的数是几?分析等量关系三个数的和是84解设一份为x,则三个数分别为x,2x,4x答略.类型5浓度问题这一类问题要牢记公式溶液×浓度=溶质,浓度=,浓度=常用的等量关系为最后的溶液质量×最后的浓度=原本的溶质质量+后来加入的溶质质量例1现有含盐20%的盐水500克,要把它稀释成含盐15%的盐水,应加入5%的盐水多少克?解设要加入x克,列方程得,,解得,x=250(克)答略类型6和、差、倍、分问题
(1)倍数关系通过关键词语“是几倍,增加几倍,增加到几倍,增加百分之几,增长率……”来体现
(2)多少关系通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现 例
1.根据2001年3月28日新华社公布的第五次人口普查统计数据,截止到2000年11月1日0时,全国每10万人中具有小学文化程度的人口为35701人,比1990年7月1日减少了
3.66%,1990年6月底每10万人中约有多少人具有小学文化程度?分析等量关系为解设1990年6月底每10万人中约有x人具有小学文化程度答略.类型7储蓄问题⑴顾客存入银行的钱叫做本金,银行付给顾客的酬金叫利息,本金和利息合称本息和,存入银行的时间叫做期数,利息与本金的比叫做利率利息的20%付利息税⑵利息=本金×利率×期数本息和=本金+利息利息税=利息×税率(20%)例.某同学把250元钱存入银行,整存整取,存期为半年半年后共得本息和
252.7元,求银行半年期的年利率是多少?(不计利息税)分析等量关系本息和=本金×(1+利率)解设半年期的实际利率为x,250(1+x)=
252.7,x=
0.0108所以年利率为
0.0108×2=
0.0216类型8利润赢亏问题
(1)销售问题中常出现的量有进价、售价、标价、利润等
(2)有关关系式商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折扣率—商品进价商品利润率=商品利润/商品进价商品售价=商品标价×折扣率例.一家商店将某种服装按进价提高40%后标价,又以8折优惠卖出,结果每件仍获利15元,这种服装每件的进价是多少?分析探究题目中隐含的条件是关键,可直接设出成本为X元进价折扣率标价优惠价利润x元8折(1+40%)x元80%(1+40%)x15元等量关系(利润=折扣后价格—进价)折扣后价格-进价=15解设进价为X元,80%X(1+40%)—X=15,X=125答略.类型
9.和、差、倍、分问题
(1)倍数关系通过关键词语“是几倍,增加几倍,增加到几倍,增加百分之几,增长率……”来体现
(2)多少关系通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现 例
1.根据2001年3月28日新华社公布的第五次人口普查统计数据,截止到2000年11月1日0时,全国每10万人中具有小学文化程度的人口为35701人,比1990年7月1日减少了
3.66%,1990年6月底每10万人中约有多少人具有小学文化程度?分析等量关系为解设1990年6月底每10万人中约有x人具有小学文化程度答略. 类型
10.行程问题
(1)行程问题中的三个基本量及其关系路程=速度×时间
(2)基本类型有
①相遇问题;
②追及问题;常见的还有相背而行;行船问题;环形跑道问题
(3)解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系,一般情况下问题就能迎刃而解并且还常常借助画草图来分析,理解行程问题 例.甲、乙两站相距480公里,一列慢车从甲站开出,每小时行90公里,一列快车从乙站开出,每小时行140公里
(1)慢车先开出1小时,快车再开两车相向而行问快车开出多少小时后两车相遇?
(2)两车同时开出,相背而行多少小时后两车相距600公里?
(3)两车同时开出,慢车在快车后面同向而行,多少小时后快车与慢车相距600公里?
(4)两车同时开出同向而行,快车在慢车的后面,多少小时后快车追上慢车?
(5)慢车开出1小时后两车同向而行,快车在慢车后面,快车开出后多少小时追上慢车? 此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义,弄清行驶过程故可结合图形分析
(1)分析相遇问题,画图表示为等量关系是慢车走的路程+快车走的路程=480公里 解设快车开出x小时后两车相遇,由题意得,140x+90x+1=480 解这个方程,230x=390 ∴x=1答略.
(2)分析相背而行,画图表示为 等量关系是两车所走的路程和+480公里=600公里 解设x小时后两车相距600公里,由题意得,140+90x+480=600解这个方程,230x=120 ∴x= 答略.
(3)分析等量关系为快车所走路程-慢车所走路程+480公里=600公里 解设x小时后两车相距600公里,由题意得,140-90x+480=600 50x=120 ∴x=
2.4 答略.
(4)分析追及问题,画图表示为等量关系为快车的路程=慢车走的路程+480公里 解设x小时后快车追上慢车由题意得,140x=90x+480 解这个方程,50x=480 ∴x=
9.6答略.
(5)分析追及问题,等量关系为快车的路程=慢车走的路程+480公里解设快车开出x小时后追上慢车由题意得,140x=90x+1+480 50x=570 解得,x=
11.4。