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文本内容:
初中相似三角形的判定与性质
一、知识回顾
1、相似三角形的判定
(1)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似
(2)平行于三角形一边的直线与其它两边相交,所构成的三角形与原三角形相似
(3)如果两个三角形的两组对应边的比相等,且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似
(4)如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似
2、相似三角形的性质
(1)对应边的比相等,对应角相等
(2)相似三角形的周长比等于相似比
(3)相似三角形的面积比等于相似比的平方
(4)相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比
二、典型例题 例1如图,已知直线AB y=4/3x+b交x轴于点A(-3,0),交y轴于点B,过点B作BC⊥AB交x轴于点C. 2012-8-2317:21:47上传下载附件
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(1)试证明△ABC∽△AOB;
(2)求△ABC的周长.分析
(1)根据三角形的判定与性质得出∠ABC=∠AOB,∠A=∠A,AB=BA,即可证出△ABC∽△AOB;
(2)根据直线AB y=4/3x+b交x轴于点A(-3,0),得出B点的坐标,即可求出AB的值,再根据△ABC∽△AOB,得出BC的值,再根据直角三角形的性质得出AC的值,然而求出△ABC的周长. 解答
(1)∵BC⊥AB∴∠ABC=∠AOB∵∠A=∠A∴△ABC∽△AOB
(2)∵直线AB y=4/3x+b交x轴于点A(-3,0),∴b=4 ∴B(0,4)∴OB=4 ∵A(-3,0)∴OA=3∴AB=5 ∵△ABC∽△AOB ∴AB BC=AO BO∴5BC=34 ∴BC=20/3∴AC=25/3 ∴△ABC的周长=AB+BC+AC=5+20/3+25/3=20 例2如图,一次函数y=kx+b的图象经过点A(-1,0)和点(1,4)交y轴于点B. 2012-8-2317:21:47上传下载附件
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(1)求一次函数解析式和B点坐标.
(2)过B点的另一直线1与直线AB垂直,且交X轴正半轴于点P,求点P的坐标.
(3)点M(0,a)为y轴正半轴上的动点,点N(b,O)为X轴正半轴上的动点,当直线MN⊥直线AB时,求a b的值. 分析
(1)把(-1,0),(1,4)代入一次函数的解析式得到方程组求出方程组的解即可;
(2)证△AOB∽△BOP,求出OP即可;
(3)证△OMN∽△OBP,得到比例式,代入求出即可. 解答
(1)把(-1,0),(1,4)代入y=kx+b 得0=-k+b4=k+b 解得k=2,b=2 ∴y=2x+2 在y=2x+2中,令x=0,得y=2 ∴B(0,2) 答一次函数解析式是y=2x+2,B点坐标是(0,2)
(2)∵∠ABP=90°,∠AOB=90° ∴∠BAO+∠ABO=90°,∠ABO+∠PBO=90° ∴∠BAO=∠PBO,∠AOB=∠POB=90° ∴△AOB∽△BOP ∴OB2=OA·OP ∴OP=4 ∴P(4,0) 答点P的坐标是(4,0)
(3)∵MN∥BP ∴△OMN∽△OBP 2012-8-2317:21:50上传下载附件
5.04KB 答a b的值是12 例3(2000·陕西)如图,在矩形ABCD中,EF是BD的垂直平分线,已知BD=20,EF=15,求矩形ABCD的周长. 2012-8-2317:21:51上传下载附件
4.03KB 分析设长AB=x,宽BC=y,根据题意可证Rt△DAB∽Rt△EOB,于是有一个比值,根据这个方程组可以求出AB,BC的长x,y即可求矩形周长. 解答设长AB=x,宽BC=y, ∵∠DAB=90°=∠EOB=90°,∠B=∠B ∴Rt△DAB∽Rt△EOB ∴AB OB=BD BE ∵AD=BC,DF=BE ∴{x2+y2=202 2012-8-2317:21:51上传下载附件
2.76KB 解得x1=16,y1=12 ;x2=-16,y2=-12 (舍去) ∴矩形周长为56 例4(2010·攀枝花)如图所示,在△ABC中,BC>AC,点D在BC上,且DC=AC,∠ACB的平分线CF交AD于点F.点E是AB的中点,连接EF. 2012-8-2317:21:51上传下载附件
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(1)求证EF∥BC;
(2)若△ABD的面积是6,求四边形BDFE的面积. 分析
(1)在等腰△ACD中,CF是顶角∠ACD的平分线,根据等腰三角形三线合一的性质知F是底边AD的中点,由此可证得EF是△ABD的中位线,即可得到EF∥BC的结论;
(2)易证得△AEF∽△ABD,根据两个相似三角形的面积比(即相似比的平方),可求出△ABD的面积,而四边形BDFE的面积为△ABD和△AEF的面积差,由此得解. 解答
(1)证明△ACD中,DC=AC,CF平分∠ACD; ∴AF=FD,即F是AD的中点; 又∵E是AB的中点, ∴EF是△ABD的中位线; ∴EF∥BC;
(2)解由
(1)易证得△AEF∽△ABD ∴S△AEF S△ABD=(AE AB)2=14 ∴S△ABD=4S△AEF=6 ∴S△AEF=
1.5 ∴S四边形BDFE=S△ABD-S△AEF=6-
1.5=
4.5
三、解题经验 熟练掌握相似三角形的性质和判定是本节的重中之重,一定要多做练习多一些综合性比较强的题目,因为这类题在大题中一般和函数、圆结合起来作为难度系数较高的题,分值很高,但是难度较大。