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文本内容:
本册综合素质检测时间120分钟,满分150分
一、选择题本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的1.2012·湖北卷已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A. B.3πC.D.6π[命题意图] 本题考察空间几何体的三视图.[答案] B[解析] 显然有三视图我们易知原几何体为一个圆柱体的一部分,并且有正视图知是一个1/2的圆柱体,底面圆的半径为1,圆柱体的高为6,则知所求几何体体积为原体积的一半为3π.选B.2.长方体一个顶点上的三条棱长分别为
3、
4、5,若它的八个顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积是 A.20πB.25πC.50πD.200π[答案] C[解析] 设长方体的体对角线长为l,球半径为R,则所以R=,所以S球=4πR2=50π.故选C.3.正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1C1中点,则直线CE垂直于 A.ACB.BDC.A1D1D.A1A[答案] B[解析] ∵B1D1⊥A1C1,B1D1⊥CC1,且A1C1∩CC1=C1,∴B1D1⊥平面CC1E,而CE⊂平面CC1E,∴B1D1⊥CE,又∵BD∥B1D1,∴BD⊥CE.4.已知m,n是两条不同直线,α,β,γ是三个不同平面,下列命题中正确的是 A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥βC.若m∥α,m∥β,则α∥βD.若m⊥α,n⊥α,则m∥n[答案] D[解析] A中还可能m,n相交或异面,所以A不正确;B、C中还可能α,β相交,所以B、C不正确.很明显D正确.5.过点-13且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程是 A.x-2y+7=0B.2x+y-1=0C.x-2y-5=0D.2x+y-5=0[答案] B[解析] 设所求直线方程为-2x-y+m=0,则-2×-1-3+m=0,所以m=1,即-2x-y+1=0,故直线方程为2x+y-1=
0.6.若P2,-1为圆x-12+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程为 A.x-y-3=0B.2x+y-3=0C.x+y-1=0D.2x-y-5=0[答案] A[解析] 设圆心为C10,则AB⊥CP,∵kCP=-1,∴kAB=1,∴y+1=x-2,即x-y-3=0,故选A.7.已知圆C1x-32+y2=1,圆C2x2+y+42=16,则圆C1,C2的位置关系为 A.相交B.相离C.内切D.外切[答案] D[解析] 圆C1,C2的圆心坐标,半径长分别为C130,r1=1;C20,-4,r2=
4.因为|C1C2|=5=r1+r2,所以圆C1,C2外切.8.在空间直角坐标系中,O为坐标原点,设A,,,B,,0,C,,,则 A.OA⊥ABB.AB⊥ACC.AC⊥BCD.OB⊥OC[答案] C[解析] |AB|=,|AC|=,|BC|=,因为|AC|2+|BC|2=|AB|2,所以AC⊥BC.9.在三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D是侧面BB1C1C的中心,则AD与平面BB1C1C所成角的大小是 A.30°B.45°C.60°D.90°[答案] C[解析] 过A作AE⊥BC于点E,则易知AE⊥面BB1C1C,则∠ADE即为所求,又tan∠ADE==,故∠ADE=60°.故选C.10.过点M-24作圆C x-22+y-12=25的切线l,且直线l1ax+3y+2a=0与l平行,则l1与l间的距离是 A.B.C.D.[答案] D[解析] 因为点M-24在圆C上,所以切线l的方程为-2-2x-2+4-1y-1=25,即4x-3y+20=
0.因为直线l与直线l1平行,所以-=,即a=-4,所以直线l1的方程是-4x+3y-8=0,即4x-3y+8=
0.所以直线l1与直线l间的距离为=.故选D.11.当a为任意实数时,直线a-1x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心,半径为的圆的方程为 A.x2+y2-2x+4y=0B.x2+y2+2x+4y=0C.x2+y2+2x-4y=0D.x2+y2-2x-4y=0[答案] C[解析] 令a=0,a=1,得方程组解得所以C-12.则圆C的方程为x+12+y-22=5,即x2+y2+2x-4y=
0.12.设Px,y是圆x2+y+42=4上任意一点,则的最小值为 A.+2B.-2C.5D.6[答案] B[解析] 如图,设A11,=|PA|,则|PA|的最小值为|AC|-r=-
2.
三、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分13.如右图所示,Rt△A′B′C′为水平放置的△ABC的直观图,其中A′C′⊥B′C′,B′O′=O′C′=1,则△ABC的面积为________.[答案] 2[解析] 由直观图画法规则将△A′B′C′还原为△ABC,如图所示,则有BO=OC=1,AO=
2.∴S△ABC=BC·AO=×2×2=
2.14.经过点P12的直线,且使A23,B0,-5到它的距离相等的直线方程为________.[答案] 4x-y-2=0或x=1[解析] x=1显然符合条件;当A23,B0,-5在所求直线同侧时,所求直线与AB平行,∵kAB=4,∴y-2=4x-1,即4x-y-2=
0.15.与x轴相切并和圆x2+y2=1外切的圆的圆心的轨迹方程是________.[答案] x2=2|y|+1[解析] 设Mx,y为所求轨迹上任一点,则由题意知1+|y|=,化简得x2=2|y|+
1.16.圆x2+y2+Dx+Ey+F=0关于直线l1x-y+4=0与直线l2x+3y=0都对称,则D=________,E=________.[答案] 6 -2[解析] 由题设知直线l1,l2的交点为已知圆的圆心.由得所以-=-3,D=6,-=1,E=-
2.
四、解答题本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17.本题满分10分直线l经过点P2,-5,且与点A3,-2和B-16的距离之比为12,求直线l的方程.[解析] ∵直线l过P2,-5,∴可设直线l的方程为y+5=k·x-2,即kx-y-2k-5=
0.∴A3,-2到直线l的距离为d1==.B-16到直线l的距离为d2==.∵d1d2=12,∴=.∴k2+18k+17=
0.解得k1=-1,k2=-
17.∴所求直线方程为x+y+3=0和17x+y-29=
0.18.本题满分12分如右图所示,已知四棱锥中P-ABCD的底面是边长为a的菱形,且∠ABC=120°,PC⊥平面ABCD,PC=a,E为PA的中点.1求证平面EBD⊥平面ABCD;2求点E到平面PBC的距离.[解析] 1证明如右图所示,连接AC,设AC∩BD=O,连接OE,在△PAC中,E为PA的中点,O为AC的中点,∴OE∥PC,又PC⊥平面ABCD,∴OE⊥平面ABCD,又OE⊂平面EBD,∴平面EBD⊥平面ABCD.2解∵OE∥PC,PC⊂面PBC,而OE⊄面PBC,∴OE∥面PBC,∴E到平面PBC的距离等于O到平面PBC的距离.过O在底面ABCD内作OG⊥BC于G,又平面PBC⊥面ABCD,且面PBC∩面ABCD=BC,∴OG⊥面PBC,即线段OG的长度为点O到平面PBC的距离.在菱形ABCD中,∵∠ABC=120°,∴∠BCD=60°,∴△BCD为正三角形,且BC=a,由余弦定理可得AC=a,∴OB=,OC=a,在Rt△BOC中,OG·BC=OB·OC,即OG·a=·a,∴OG=a.即E到平面PBC的距离为a.19.本题满分12分已知圆的半径为,圆心在直线y=2x上,圆被直线x-y=0截得的弦长为4,求圆的方程.[解析] 方法一设圆的方程是x-a2+y-b2=
10.因为圆心在直线y=2x上,所以b=2a.
①解方程组得2x2-2a+bx+a2+b2-10=0,所以x1+x2=a+b,x1·x2=.由弦长公式得·=4,化简得a-b2=
4.
②解
①②组成的方程组,得a=2,b=4,或a=-2,b=-
4.故所求圆的方程是x-22+y-42=10,或x+22+y+42=
10.方法二设圆的方程为x-a2+y-b2=10,则圆心为a,b,半径r=,圆心a,b到直线x-y=0的距离d=.由弦长、弦心距、半径组成的直角三角形得d2+2=r2,即+8=10,所以a-b2=
4.又因为b=2a,所以a=2,b=4,或a=-2,b=-
4.故所求圆的方程是x-22+y-42=10,或x+22+y+42=
10.20.本小题满分12分2012·山东卷如图,几何体E-ABCD是四棱锥,△ABD为正三角形,CB=CD,EC⊥BD.1求证BE=DE;2若∠BCD=120°,M为线段AE的中点,求证DM∥平面BEC.[解析] 1设BD中点为O,连接OC,OE,则由BC=CD知,CO⊥BD,又已知CE⊥BD,所以BD⊥平面OCE.所以BD⊥OE,即OE是BD的垂直平分线,所以BE=DE.2取AB中点N,连接MN,DN,∵M是AE的中点,∴MN∥BE,∵△ABD是等边三角形,∴DN⊥AB.由∠BCD=120°知,∠CBD=30°,所以∠ABC=60°+30°=90°,即BC⊥AB,所以ND∥BC,所以平面MND∥平面BEC,故DM∥平面BEC.21.本题满分12分如右图所示,矩形ABCD的两条对角线相交于点M20,AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,点T-11在AD边所在的直线上.求1AD边所在直线的方程;2矩形ABCD外接圆的方程.[解析] 1∵AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,且AD⊥AB,∴kAD=-
3.又∵点T-11在直线AD上,∴AD边所在直线的方程为y-1=-3x+1.即3x+y+2=
0.2由解得点A的坐标为0,-2,因为矩形ABCD两条对角线的交点为M20.所以M为矩形ABCD外接圆的圆心.又|AM|==2,则矩形ABCD外接圆的方程为x-22+y2=
8.22.本题满分12分△ABC是正三角形,线段EA和DC都垂直于平面ABC,设EA=AB=2a,DC=a,且F为BE的中点,如图所示.1求证DF∥平面ABC;2求证AF⊥BD;3求平面BDE与平面ABC所成的较小二面角的大小.[解析] 1证明如图所示,取AB中点G,连CG、FG.∵EF=FB,AG=GB,∴FG綊EA.又DC綊EA,∴FG綊DC.∴四边形CDFG为平行四边形,故DF∥CG.∵DF⊄平面ABC,CG⊂平面ABC,∴DF∥平面ABC.2证明∵EA⊥平面ABC,∴AE⊥CG.又△ABC是正三角形,∴CG⊥AB.∴CG⊥平面AEB.又∵DE∥CG,∴DF⊥平面AEB.∴平面AEB⊥平面BDE.∵AE=AB,EF=FB,∴AF⊥BE.∴AF⊥平面BED,∴AF⊥BD.3解延长ED交AC延长线于G′,连BG′.由CD=AE,CD∥AE知,D为EG′的中点,∴FD∥BG′.又CG⊥平面ABE,FD∥CG.∴BG′⊥平面ABE.∴∠EBA为所求二面角的平面角.在等腰直角三角形AEB中,易求得∠ABE=45°.。