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第一章 单元质量测试
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.{an}是首项a1=1,公差d=3的等差数列,如果an=2005,则序号n等于 A.667 B.668C.669D.670[解析] 由题意知,an=a1+n-1·d=1+n-1×3=3n-2,令3n-2=2005,∴n=
669.[答案] C2.等差数列{an}中,若a2+a6+a16为一确定的常数,则下列各个和中,也为确定的常数的是 A.S13B.S15C.S17D.S19[解析] ∵a2+a6+a16=3a1+21d=3a1+7d=3a8=常数.∴S15==15a8=常数,故选B.[答案] B3.如果数列{an}是等差数列,则 A.a1+a8a4+a5B.a1+a8=a4+a5C.a1+a8a4+a5D.a1a8=a4a5[解析] 当{an}是等差数列时,若有m+n=p+q,则am+an=ap+aq.∵1+8=4+5,∴a1+a8=a4+a
5.[答案] B4.下列四个命题
①若b2=ac,则a,b,c成等比数列;
②若{an}为等差数列,且常数c0且c≠1,则数列{can}为等比数列;
③若{an}为等比数列,则数列{a}为等比数列;
④非零常数列既是等差数列,又是等比数列.其中,真命题的个数是 A.1个B.2个C.3个D.4个[解析] 对于
①当a、b、c都为零时,命题不成立;
②③④成立.[答案] C5.等比数列{an}中,a7·a11=6,a4+a14=5,则= A.或B.C.D.或-[解析] 本题考查等比数列性质.在等比数列{an}中,a7·a11=a4·a14=6,又a4+a14=5,∴或又a14=a4·q10,∴q10=或,∴=q10=或.[答案] A6.一个等比数列它的前4项之和为前2项之和的2倍,则此数列的公比是 A.或-B.1C.1或-1D.2或-2[解析] 设这个等比数列首项为a1,公比为q,则a1+a1q+a1q2+a1q3=2a1+a1q,∴q3+q2=1+q,即1+q1-q2=
0.∴q=±
1.[答案] C7.数列{an}的通项公式是an=,若前n项和为10,则项数n为 A.11B.99C.120D.121[解析] ∵an==-,∴Sn=-1+-+…+-=-1=10,解得n=
120.[答案] C8.[2013·郑州一测]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且=,则= A.B.C.D.[解析] 设a1+a2+a3+a4=A1,a5+a6+a7+a8=A2,a9+a10+a11+a12=A3,a13+a14+a15+a16=A
4.∵数列{an}为等差数列,∴A1,A2,A3,A4也成等差数列,∴==.不妨设A1=1,则A2=2,A3=3,A4=4,∴===.[答案] D9.在等差数列{an}中,满足3a4=7a7,a10,Sn是其前n项和,若Sn取得最大值,则n等于 A.7B.8C.9D.10[解析] 由3a4=7a7,∴3a1+3d=7a1+6d.∴a1=-d.又∵a10,∴d
0.∴该数列为单调递减数列.∵Sn取得最大值,∴∴解得n.故n=9,故选C.[答案] C10.《九章算术》“竹九节”问题现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升.则第5节的容积为 A.1升B.升C.升D.升[解析] 设所构成数列{an}的首项为a1,公差为d,依题意即解得∴a5=a1+4d=+4×=.[答案] B11.数列{an}满足an+1=若a1=,则a2012的值为 A.B.C.D.[解析] a1=∈[,1则a2=2a1-1=∈[,1,a3=2a2-1=∈[0,,a4=2a3==a1,∴an+3=an,∴a2012=a3×670+2=a2=.[答案] B12.已知等比数列{an}的前n项和Sn=t·5n-2-,则实数t的值为 A.4B.5C.D.[解析] ∵a1=S1=t-,a2=S2-S1=t,a3=S3-S2=4t.∵{an}为等比数列,∴t2=t-·4t,∴t=5或t=0舍去.[答案] B
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上.13.仓库有一种堆垛方式,如图所示,最高一层2盒,第二层6盒,第三层12盒,第四层20盒,…,请你写出堆放层数n与盒数an的一个关系式________.[解析] a2-a1=4,a3-a2=6,a4-a3=8,…,an-an-1=2n,将这n个式子左右分别相加得an-a1=,又a1=2,∴an=n2+n-2+2,即an=nn+1.[答案] an=nn+114.设{an}是公比为q的等比数列,|q|1,令bn=an+1n=12,…,若数列{bn}有连续四项在集合{-53,-23193782}中,则6q=________.[解析] {an}有连续四项在集合{-54,-24183681},四项-2436,-5481成等比数列,公比为q=-,∴6q=-
9.[答案] -915.已知等比数列{an}为递增数列.若a10,且2an+an+2=5an+1,则数列{an}的公比q=________.[解析] 由于{an}为等比数列,其公比为q,且2an+an+2=5an+1得2a1qn-1+a1qn+1=5a1qn,解得q=或q=
2.由于等比数列{an}为递增数列且a10所以q=
2.[答案] 216.已知数列{an}满足a1=14,an+1=an-n∈N*,则使an·an+20成立的n的值为________.[解析] ∵a1=14,d=-,∴an=14-n-1,∴a21=0,a22=0,a
230.∴n=21满足条件,∴n=21成立.[答案] 21
三、解答题本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17.本小题满分10分已知等差数列{an},a6=5,a3+a8=
5.1求{an}的通项公式an;2若数列{an}满足bn=a2n-1,求{bn}的通项公式bn.[解] 1设{an}的首项为a1,公差为d,依题意∴∴an=5n-
25.2由1an=5n-25,bn=a2n-1=52n-1-25=10n-
30.18.本小题满分12分已知数列{an}的各项均为正数,且前n项和Sn满足Sn=an+1an+2.若a2,a4,a9成等比数列,求数列{an}的通项公式.[解] ∵对任意n∈N*,有Sn=an+1an+2,
①∴当n=1时,有S1=a1=a1+1a1+2,解得a1=1或a1=
2.当n≥2时,有Sn-1=an-1+1an-1+2.
②于是,由
①-
②整理可得an+an-1an-an-1-3=
0.∵{an}的各项均为正数,∴an-an-1=
3.当a1=1时,an=1+3n-1=3n-2,此时a=a2a9成立.当a1=2时,an=2+3n-1=3n-1,此时a=a2a9不成立,故a1=2舍去.∴an=3n-
2.19.本小题满分12分已知等差数列{an}的通项公式为an=10-3n,求|a1|+|a2|+…+|an|.[解] 当an=10-3n≥0时,n≤3,所以|a1|+|a2|+…+|an|===20.本小题满分12分已知等差数列{an}满足a3=7,a5+a7=26,{an}的前n项和为Sn.1求an及Sn;2令bn=n∈N*,求数列{bn}的前n项和Tn.[解] 1设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,由于a3=7,a5+a7=26,所以a1+2d=72a1+10d=26,解得a1=3,d=
2.由于an=a1+n-1d,Sn=,所以an=2n+1,Sn=nn+2.2因为an=2n+1,所以a-1=4nn+1,因此bn==-.故Tn=b1+b2+…+bn=1-+-+…+-=1-=.所以数列{bn}的前n项和Tn=.21.本小题满分12分已知数列{an}是公比大于1的等比数列,且a=a15,Sn=a1+a2+…+an,Tn=++…+,求满足SnTn的最小正整数n.[解] 设数列{an}的首项为a1,公比为q,根据题意,得a1q92=a1q14,即aq18=a1q14,∴a1q4=1,即a1=.∵q1,∴0a11,从而an0,又∵Sn=,∴Tn==·,即Tn=Sn,∵SnTn0,∴=aqn-
11.∴qn-1=q
8.又∵q1,故有n-18,n
9.∴满足SnTn的最小正整数n=
10.22.本小题满分12分[2012·江苏南京一模]将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表已知表中的第一列数a1,a2,a5,…构成一个等差数列,记为{bn},且b2=4,b5=
10.表中每一行正中间一个数a1,a3,a7,,…构成数列{cn},其前n项和为Sn.1求数列{bn}的通项公式;2若上表中,从第二行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,公比为同一个正数,且a13=1,求Sn.[解] 1设数列{bn}的公差为d,则解得所以bn=2n.2
①设每一行组成的等比数列的公比为q.由于前n行共有1+3+5+…+2n-1=n2个数,且321342,所以a10=b4=
8.所以a13=a10q3=8q3,又a13=1,解得q=.由已知可得cn=bnqn-1,因此cn=2n·n-1=.所以Sn=c1+c2+c3+…+cn=+++…+.Sn=++…++.因此Sn=+++…+-=4--=4-.解得Sn=8-.。