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数学必修4平面向量综合练习题
一、选择题【共12道小题】
1、下列说法中正确的是 A.两个单位向量的数量积为1 B.若a·b=a·c且a≠0则b=cC. D.若b⊥c则a+c·b=a·b参考答案与解析:解析A中两向量的夹角不确定;B中若a⊥ba⊥cb与c反方向则不成立;C中应为;D中b⊥cb·c=0所以a+c·b=a·b+c·b=a·b.答案D主要考察知识点:向量、向量的运算
2、设e是单位向量=2e=-2e||=2则四边形ABCD是 A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形参考答案与解析:解析所以||=||且AB∥CD所以四边形ABCD是平行四边形.又因为||=||=2所以四边形ABCD是菱形.答案B主要考察知识点:向量、向量的运算
3、已知|a|=|b|=1,a与b的夹角为90°且c=2a+3b,d=ka-4b若c⊥d则实数k的值为 A.6 B.-6 C.3 D.-3参考答案与解析:解析∵c⊥d∴c·d=2a+3b·ka-4b=0即2k-12=0∴k=
6.答案A主要考察知识点:向量、向量的运算
4、设0≤θ<2π已知两个向量=cosθ,sinθ=2+sinθ,2-cosθ,则向量长度的最大值是 A. B. C. D.参考答案与解析:解析=2+sinθ-cosθ2-cosθ-sinθ所以||=≤=.答案C主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示
5、设向量a=1-3,b=-24,c=-1-2,若表示向量4a、4b-2c、2a-c、d的有向线段首尾相接能构成四边形,则向量d为 A.26 B.-26 C.2-6 D.-2-6参考答案与解析:解析依题意4a+4b-2c+2a-c+d=0所以d=-6a+4b-4c=-2,-
6.答案D主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示
6、已知向量a=3,4,b=-3,1,a与b的夹角为θ则tanθ等于 A. B.- C.3 D.-3参考答案与解析:解析由已知得a·b=3×-3+4×1=-5,|a|=5,|b|=,所以cosθ=.由于θ∈[0,π]所以sinθ=.所以tanθ==-
3.答案D主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示
7、向量a与b不共线=a+kb=la+bk、l∈R且与共线则k、l应满足 A.k+l=0 B.k-l=0 C.kl+1=0 D.kl-1=0参考答案与解析:解析因为与共线所以设=λλ∈R即la+b=λa+kb=λa+λkb所以l-λa+1-λkb=
0.因为a与b不共线所以l-λ=0且1-λk=0消去λ得1-lk=0即kl-1=
0.答案D主要考察知识点:向量、向量的运算
8、已知平面内三点A-10B56P34且AP=λPB则λ的值为 A.3 B.2 C. D.参考答案与解析:解析因为=λ所以4,4=λ2,
2.所以λ=.答案C主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示
9、设平面向量a1,a2,a3的和a1+a2+a3=0,如果平面向量b1,b2,b3满足|bi|=2|ai|,且ai顺时针旋转30°后与bi同向,其中i=1,2,3,则 A.-b1+b2+b3=0 B.b1-b2+b3=0C.b1+b2-b3=0 D.b1+b2+b3=0参考答案与解析:解析根据题意由向量的物理意义共点的向量模伸长为原来的2倍三个向量都顺时针旋转30°后合力为原来的2倍原来的合力为零所以由a1+a2+a3=0可得b1+b2+b3=
0.答案D主要考察知识点:向量、向量的运算
10、设过点Px,y的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点,若且·=1则P点的轨迹方程是 A.3x2+y2=1x>0y>0 B.3x2y2=1x>0y>0C.x2-3y2=1x>0y>0 D.x2+3y2=1x>0y>0参考答案与解析:解析设Pxy则Q-xy.设AxAxAB0yByB0=xy-yB=xAx-y.∵=2PA∴x=2xAxy-yB=2yxA=xyB=3yx>0y>
0.又∵·=1-xy·-xAyB=1∴-xy·x3y=1即x2+3y2=1x>0y>
0.答案D主要考察知识点:向量、向量的运算
11、已知△ABC中,点D在BC边上,且,若则r+s的值是 A. B.0 C. D.-3参考答案与解析:解析△ABC中,===-,故r+s=
0.答案B主要考察知识点:向量、向量的运算
12、定义a※b=|a||b|sinθ,θ是向量a和b的夹角,|a|、|b|分别为a、b的模,已知点A-
32、B23O是坐标原点,则※等于 参考答案与解析:解析由题意可知=-32=23计算得·=-3×2+2×3=0,另一方面·=||||cosθ,∴cosθ=0又θ∈0π,从而sinθ=1,∴※=||||sinθ=
13.答案D主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示
二、填空题【共4道小题】
1、已知a+b+c=0且|a|=3|b|=5|c|=7则向量a与b的夹角是____________.参考答案与解析:解析由已知得a+b=-c两边平方得a2+2a·b+b2=c2所以2a·b=72-32-52=
15.设a与b的夹角为θ则cosθ===所以θ=60°.答案60°主要考察知识点:向量、向量的运算
2、若=2e1+e2=e1-3e2=5e1+λe2且B、C、D三点共线则实数λ=___________.参考答案与解析:解析由已知可得=e1-3e2-2e1+e2=-e1-4e2=5e1+λe2-e1-3e2=4e1+λ+3e
2.由于B、C、D三点共线所以存在实数m使得即-e1-4e2=m[4e1+λ+3e2].所以-1=4m且-4=mλ+3消去m得λ=
13.答案13主要考察知识点:向量、向量的运算
3、已知e
1、e2是夹角为60°的两个单位向量则a=2e1+e2和b=2e2-3e1的夹角是__________.参考答案与解析:解析运用夹角公式cosθ=,代入数据即可得到结果.答案120°主要考察知识点:向量、向量的运算
4、如图2-1所示,两射线OA与OB交于O,则下列选项中向量的终点落在阴影区域内的是_________________.图2-1
①
②+
③
④+
⑤-参考答案与解析:解析由向量减法法则可知
③⑤不符合条件
①②显然满足,
④不满足.答案
①②主要考察知识点:向量、向量的运算
三、解答题【共6道小题】
1、如图2-2所示,在△ABC中=c=a=b且a·b=b·c=c·a,试判断△ABC的形状.图2-2参考答案与解析:解∵a·b=b·c∴b·a-c=
0.又b=-a+c∴-a+c·a-c=0即c2-a2=
0.∴|c|=|a|.同理|b|=|a|故|a|=|b|=|c|所以△ABC为等边三角形.主要考察知识点:向量、向量的运算
2、如图2-3所示已知||=||=1,、的夹角为120°与的夹角为45°||=5用,表示.注cos75°=图2-3参考答案与解析:解设=λ+μ则·=λ+μ·=λ+μ·=λ+μcos120°=λμ.又·=||||cos45°=5cos45°=∴λμ=·=λ+μ·=λ·+μ=λcos120°+μ=λ+μ.又·=||·||cos120°-45°=5cos75°=∴λ+μ=.∴λ=μ=.∴=+.主要考察知识点:向量、向量的运算
3、在四边形ABCD中A、B、C、D顺时针排列=6,1,=-2,-
3.若有∥又有⊥求的坐标.参考答案与解析:解设=xy则=6+x1+y=4+xy-2=-x-42-y=x-2y-
3.又∥及⊥所以x2-y--x-4y=0
①6+xx-2+1+yy-3=
0.
②解得或∴=-63或2-
1.主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示
4、已知平面向量a=-1b=.1证明a⊥b;2若存在不同时为零的实数k、t使得x=a+t2-3by=-ka+tb且x⊥y求函数关系式k=ft.参考答案与解析:1证明因为a·b=,-1·,=+-1×=0,所以a⊥b.2解由已知得|a|==2,|b|==1由于x⊥y所以x·y=0即[a+t2-3b]·-ka+tb=
0.所以-ka2+ta·b-kt2-3b·a+tt2-3b2=
0.由于a·b=0所以-4k+tt2-3=
0.所以k=tt2-
3.由已知k,t不同时为零得k=tt2-3t≠
0.主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示
5、已知a、b、c是同一平面内的三个向量其中a=
12.1若|c|=且c∥a求c的坐标;2若|b|=且a+2b与2a-b垂直求a与b的夹角θ.参考答案与解析:解1设c=x,y∵|c|=∴即x2+y2=20
①∵c∥aa=1,2∴2x-y=0即y=2x.
②联立
①②得或∴c=24或-2-
4.2∵a+2b⊥2a-b∴a+2b·2a-b=0即2a2+3a·b-2b2=
0.∴2|a|2+3a·b-2|b|2=
0.
①∵|a|2=5,|b|2=代入
①式得a·b=.∴cosθ==-
1.又∵θ∈[0,π],∴θ=π.主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示
6、如图2-4所示已知△AOB其中=a=b而M、N分别是△AOB的两边OA、OB上的点且=λa0<λ<1=μb0<μ<1设BM与AN相交于P试将向量=p用a、b表示出来.图2-4参考答案与解析:解由题图可知p=或p=而=λa,设=m=mb-λa又∵=μb,设=n=na-μb∴p==λa+mb-λa=λ1-ma+mb,p==μb+na-μb=na+μ1-nb.∵a、b不共线且表示方法唯一,∴解得∴p=λ[]a+,即p=.主要考察知识点:向量、向量的运算
1、如果我们做与不做都会有人笑,如果做不好与做得好还会有人笑,那么我们索性就做得更好,来给人笑吧!
2、现在你不玩命的学,以后命玩你
3、我不知道年少轻狂,我只知道胜者为王
4、不要做金钱、权利的奴隶;应学会做“金钱、权利”的主人
5、什么时候离光明最近?那就是你觉得黑暗太黑的时候
6、最值得欣赏的风景,是自己奋斗的足迹
7、压力不是有人比你努力,而是那些比你牛×几倍的人依然比你努力。