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第14章整式的乘法与因式分解
一、选择题1.把ax2﹣4axy+4ay2分解因式正确的是( )A.a(x2﹣4xy+4y2)B.a(x﹣4y)2C.a(2x﹣y)2D.a(x﹣2y)22.把x3﹣9x分解因式,结果正确的是( )A.x(x2﹣9)B.x(x﹣3)2C.x(x+3)2D.x(x+3)(x﹣3)3.下列因式分解正确的是( )A.2x2﹣2=2(x+1)(x﹣1)B.x2+2x﹣1=(x﹣1)2C.x2+1=(x+1)2D.x2﹣x+2=x(x﹣1)+24.因式分解a2b﹣b的正确结果是( )A.b(a+1)(a﹣1)B.a(b+1)(b﹣1)C.b(a2﹣1)D.b(a﹣1)25.把多项式4x2y﹣4xy2﹣x3分解因式的结果是( )A.4xy(x﹣y)﹣x3B.﹣x(x﹣2y)2C.x(4xy﹣4y2﹣x2)D.﹣x(﹣4xy+4y2+x2)
二、填空题6.分解因式a3b﹣9ab= ;不等式组的解集是 .7.分解因式a2b﹣6ab2+9b3= .8.分解因式3m2﹣27= .9.分解因式a3﹣4ab2= .10.分解因式x2y﹣y= .11.分解因式3a2+6a+3= .12.分解因式2x2﹣4x+2的最终结果是 .13.因式分解a3﹣4a= .14.分解因式8(a2+1)﹣16a= .15.下列运算正确的个数有 个.
①分解因式ab2﹣2ab+a的结果是a(b﹣1)2;
②(﹣2)0=0;
③3﹣=3.16.分解因式x3﹣4x= .17.分解因式x3﹣6x2+9x= .18.分解因式a3﹣4a2+4a= .19.分解因式a3﹣2a2+a= .20.因式分解x3﹣4xy2= .21.分解因式2x3﹣4x2+2x= .22.因式分解x3﹣9xy2= .23.分解因式a3b﹣2a2b2+ab3= .24.分解因式x3﹣4x2y+4xy2= .25.把多项式3m2﹣6mn+3n2分解因式的结果是 .26.分解因式my2﹣9m= .27.a﹣4ab2分解因式结果是 .28.4x•(﹣2xy2)= ;分解因式xy2﹣4x= .29.分解因式m3﹣m= .30.分解因式2m2﹣2= . 第14章整式的乘法与因式分解参考答案与试题解析
一、选择题1.把ax2﹣4axy+4ay2分解因式正确的是( )A.a(x2﹣4xy+4y2)B.a(x﹣4y)2C.a(2x﹣y)2D.a(x﹣2y)2【考点】提公因式法与公式法的综合运用.【专题】计算题.【分析】原式提取a后,利用完全平方公式分解即可.【解答】解原式=a(x﹣2y)2.故选D【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键. 2.把x3﹣9x分解因式,结果正确的是( )A.x(x2﹣9)B.x(x﹣3)2C.x(x+3)2D.x(x+3)(x﹣3)【考点】提公因式法与公式法的综合运用.【专题】因式分解.【分析】先提取公因式x,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.【解答】解x3﹣9x,=x(x2﹣9),=x(x+3)(x﹣3).故选D.【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止. 3.下列因式分解正确的是( )A.2x2﹣2=2(x+1)(x﹣1)B.x2+2x﹣1=(x﹣1)2C.x2+1=(x+1)2D.x2﹣x+2=x(x﹣1)+2【考点】提公因式法与公式法的综合运用.【分析】A直接提出公因式a,再利用平方差公式进行分解即可;B和C不能运用完全平方公式进行分解;D是和的形式,不属于因式分解.【解答】解A、2x2﹣2=2(x2﹣1)=2(x+1)(x﹣1),故此选项正确;B、x2﹣2x+1=(x﹣1)2,故此选项错误;C、x2+1,不能运用完全平方公式进行分解,故此选项错误;D、x2﹣x+2=x(x﹣1)+2,还是和的形式,不属于因式分解,故此选项错误;故选A.【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止. 4.因式分解a2b﹣b的正确结果是( )A.b(a+1)(a﹣1)B.a(b+1)(b﹣1)C.b(a2﹣1)D.b(a﹣1)2【考点】提公因式法与公式法的综合运用.【专题】因式分解.【分析】先提取公因式b,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.【解答】解a2b﹣b=b(a2﹣1)=b(a+1)(a﹣1).故选A.【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止. 5.把多项式4x2y﹣4xy2﹣x3分解因式的结果是( )A.4xy(x﹣y)﹣x3B.﹣x(x﹣2y)2C.x(4xy﹣4y2﹣x2)D.﹣x(﹣4xy+4y2+x2)【考点】提公因式法与公式法的综合运用.【分析】先提公因式﹣x,再运用完全平方公式进行分解即可得到答案.【解答】解4x2y﹣4xy2﹣x3=﹣x(x2﹣4xy+4y2)=﹣x(x﹣2y)2,故选B.【点评】本题考查的是因式分解的知识,掌握提公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键.
二、填空题6.分解因式a3b﹣9ab= ab(a+3)(a﹣3) ;不等式组的解集是 ﹣2<x<3 .【考点】提公因式法与公式法的综合运用;解一元一次不等式组.【专题】计算题.【分析】原式提取ab,再利用平方差公式分解即可;分别求出不等式组中两不等式的解集,找出解集的公共部分即可.【解答】解a3b﹣9ab=ab(a2﹣9)=ab(a+3)(a﹣3);,不等式
①的解集为x>﹣2,不等式
②的解集为x<3,∴不等组的解集为﹣2<x<3.故答案为ab(a+3)(a﹣3),﹣2<x<3【点评】本题考查了分解因式和解一元一次不等式,对于因式分解解题的关键是理解因式分解的分析步骤,对于不等式组解题关键是正确解出每个不等式的解集. 7.分解因式a2b﹣6ab2+9b3= b(a﹣3b)2 .【考点】提公因式法与公式法的综合运用.【专题】计算题.【分析】原式提取公因式,再利用完全平方公式分解即可.【解答】解原式=b(a2﹣6ab+9b2)=b(a﹣3b)2.故答案为b(a﹣3b)2【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键. 8.分解因式3m2﹣27= 3(m+3)(m﹣3) .【考点】提公因式法与公式法的综合运用.【专题】因式分解.【分析】应先提取公因式3,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.【解答】解3m2﹣27,=3(m2﹣9),=3(m2﹣32),=3(m+3)(m﹣3).故答案为3(m+3)(m﹣3).【点评】本题考查了提公因式法和平方差公式分解因式,需要进行二次分解因式,分解因式要彻底. 9.分解因式a3﹣4ab2= a(a+2b)(a﹣2b) .【考点】提公因式法与公式法的综合运用.【专题】因式分解.【分析】观察原式a3﹣4ab2,找到公因式a,提出公因式后发现a2﹣4b2符合平方差公式的形式,再利用平方差公式继续分解因式.【解答】解a3﹣4ab2=a(a2﹣4b2)=a(a+2b)(a﹣2b).故答案为a(a+2b)(a﹣2b).【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式,有公因式的首先提取公因式,最后一定要分解到各个因式不能再分解为止. 10.分解因式x2y﹣y= y(x+1)(x﹣1) .【考点】提公因式法与公式法的综合运用.【专题】因式分解.【分析】观察原式x2y﹣y,找到公因式y后,提出公因式后发现x2﹣1符合平方差公式,利用平方差公式继续分解可得.【解答】解x2y﹣y,=y(x2﹣1),=y(x+1)(x﹣1),故答案为y(x+1)(x﹣1).【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止. 11.分解因式3a2+6a+3= 3(a+1)2 .【考点】提公因式法与公式法的综合运用.【专题】因式分解.【分析】先提取公因式3,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.【解答】解3a2+6a+3,=3(a2+2a+1),=3(a+1)2.故答案为3(a+1)2.【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止. 12.分解因式2x2﹣4x+2的最终结果是 2(x﹣1)2 .【考点】提公因式法与公式法的综合运用.【专题】因式分解.【分析】先提取公因式2,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.【解答】解2x2﹣4x+2,=2(x2﹣2x+1),=2(x﹣1)2.故答案为2(x﹣1)2.【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止. 13.因式分解a3﹣4a= a(a+2)(a﹣2) .【考点】提公因式法与公式法的综合运用.【专题】因式分解.【分析】首先提取公因式a,进而利用平方差公式分解因式得出即可.【解答】解a3﹣4a=a(a2﹣4)=a(a+2)(a﹣2).故答案为a(a+2)(a﹣2).【点评】此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式,熟练掌握平方差公式是解题关键. 14.分解因式8(a2+1)﹣16a= 8(a﹣1)2 .【考点】提公因式法与公式法的综合运用.【专题】因式分解.【分析】首先提取公因式8,进而利用完全平方公式分解因式得出即可.【解答】解8(a2+1)﹣16a=8(a2+1﹣2a)=8(a﹣1)2.故答案为8(a﹣1)2.【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式,熟练应用完全平方公式是解题关键. 15.下列运算正确的个数有 1 个.
①分解因式ab2﹣2ab+a的结果是a(b﹣1)2;
②(﹣2)0=0;
③3﹣=3.【考点】提公因式法与公式法的综合运用;零指数幂;二次根式的加减法.【分析】
①先提取公因式a,再根据完全平方公式进行二次分解;
②根据任何非零数的零指数次幂等于1解答;
③合并同类二次根式即可.【解答】解
①ab2﹣2ab+a,=a(b2﹣2b+1),=a(b﹣1)2,故本小题正确;
②(﹣2)0=1,故本小题错误;
③3﹣=2,故本小题错误;综上所述,运算正确的是
①,共1个.故答案为1.【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止. 16.分解因式x3﹣4x= x(x+2)(x﹣2) .【考点】提公因式法与公式法的综合运用.【专题】因式分解.【分析】应先提取公因式x,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.【解答】解x3﹣4x,=x(x2﹣4),=x(x+2)(x﹣2).故答案为x(x+2)(x﹣2).【点评】本题考查了提公因式法,公式法分解因式,提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解,分解因式一定要彻底,直到不能再分解为止. 17.分解因式x3﹣6x2+9x= x(x﹣3)2 .【考点】提公因式法与公式法的综合运用.【专题】因式分解.【分析】先提取公因式x,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.【解答】解x3﹣6x2+9x,=x(x2﹣6x+9),=x(x﹣3)2.故答案为x(x﹣3)2.【点评】本题考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式,关键在于需要进行二次分解因式. 18.分解因式a3﹣4a2+4a= a(a﹣2)2 .【考点】提公因式法与公式法的综合运用.【专题】因式分解.【分析】观察原式a3﹣4a2+4a,找到公因式a,提出公因式后发现a2﹣4a+4是完全平方公式,利用完全平方公式继续分解可得.【解答】解a3﹣4a2+4a,=a(a2﹣4a+4),=a(a﹣2)2.故答案为a(a﹣2)2.【点评】本题考查了对一个多项式因式分解的能力.一般地,因式分解有两种方法,提公因式法,公式法,能提公因式先提公因式,然后再考虑公式法(完全平方公式).要求灵活运用各种方法进行因式分解. 19.分解因式a3﹣2a2+a= a(a﹣1)2 .【考点】提公因式法与公式法的综合运用.【专题】因式分解.【分析】此多项式有公因式,应先提取公因式a,再对余下的多项式进行观察,有3项,可利用完全平方公式继续分解.【解答】解a3﹣2a2+a=a(a2﹣2a+1)=a(a﹣1)2.故答案为a(a﹣1)2.【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式,要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解,一般来说,如果可以先提取公因式的要先提取公因式,再考虑运用公式法分解. 20.因式分解x3﹣4xy2= x(x+2y)(x﹣2y) .【考点】提公因式法与公式法的综合运用.【专题】计算题.【分析】先提公因式x,再利用平方差公式继续分解因式.【解答】解x3﹣4xy2,=x(x2﹣4y2),=x(x+2y)(x﹣2y).【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式,提取公因式后继续进行二次因式分解是关键,注意分解因式要彻底. 21.分解因式2x3﹣4x2+2x= 2x(x﹣1)2 .【考点】提公因式法与公式法的综合运用.【分析】先提取公因式2x,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.【解答】解2x3﹣4x2+2x,=2x(x2﹣2x+1),=2x(x﹣1)2.故答案为2x(x﹣1)2.【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止. 22.因式分解x3﹣9xy2= x(x+3y)(x﹣3y) .【考点】提公因式法与公式法的综合运用.【专题】因式分解.【分析】先提取公因式x,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.【解答】解x3﹣9xy2,=x(x2﹣9y2),=x(x+3y)(x﹣3y).【点评】本题考查了提公因式法与公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止. 23.分解因式a3b﹣2a2b2+ab3= ab(a﹣b)2 .【考点】提公因式法与公式法的综合运用.【专题】因式分解.【分析】先提取公因式ab,再根据完全平方公式进行二次分解即可求得答案.完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2.【解答】解a3b﹣2a2b2+ab3=ab(a2﹣2ab+b2)=ab(a﹣b)2.故填ab(a﹣b)2.【点评】本题考查了提公因式法,公式法分解因式,提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解,注意分解要彻底. 24.分解因式x3﹣4x2y+4xy2= x(x﹣2y)2 .【考点】提公因式法与公式法的综合运用.【专题】因式分解.【分析】先提取公因式x,然后利用完全平方差公式进行二次分解即可.【解答】解x3﹣4x2y+4xy2=x(x2﹣2xy+4y2)=x(x﹣2y)2.故答案是x(x﹣2y)2.【点评】本题考查了提公因式法,公式法分解因式,提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解,注意分解要彻底. 25.把多项式3m2﹣6mn+3n2分解因式的结果是 3(m﹣n)2 .【考点】提公因式法与公式法的综合运用.【专题】因式分解.【分析】首先提取公因式3,再利用完全平方公式进行二次分解.【解答】解3m2﹣6mn+3n2=3(m2﹣2mn+n2)=3(m﹣n)2.故答案为3(m﹣n)2.【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止. 26.分解因式my2﹣9m= m(y+3)(y﹣3) .【考点】提公因式法与公式法的综合运用.【专题】因式分解.【分析】首先提取公因式m,进而利用平方差公式进行分解即可.【解答】解my2﹣9m=m(y2﹣9)=m(y+3)(y﹣3).故答案为m(y+3)(y﹣3).【点评】此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式,熟练掌握平方差公式是解题关键. 27.a﹣4ab2分解因式结果是 a(1﹣2b)(1+2b) .【考点】提公因式法与公式法的综合运用.【专题】因式分解.【分析】首先提取公因式a,再利用平方差公式进行二次分解即可.【解答】解原式=a(1﹣4b2)=a(1﹣2b)(1+2b),故答案为a(1﹣2b)(1+2b).【点评】此题主要考查了提公因式法和公式法分解因式,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止. 28.4x•(﹣2xy2)= ﹣8x2y2 ;分解因式xy2﹣4x= x(y+2)(y﹣2) .【考点】提公因式法与公式法的综合运用;单项式乘单项式.【分析】4x•(﹣2xy2)根据单项式与单项式相乘的法则,把系数相乘作为积的系数,相同的字母相乘作为积的因式,只在一个单项式中含有的字母也作为积的一个因式计算即可;xy2﹣4x只需先提得公因子x,然后再运用平方差公式展开即可【解答】解4x•(﹣2xy2),=4×(﹣2)•(x•x)•y2,=﹣8x2y2.xy2﹣4x=x(y2﹣4)=x(y+2)(y﹣2).故答案为﹣8x2y2,x(y+2)(y﹣2).【点评】本题考查了单项式与单项式的乘法,提公因式法与公式法的综合运用,关键是对平方差公式的掌握. 29.分解因式m3﹣m= m(m+1)(m﹣1) .【考点】提公因式法与公式法的综合运用.【专题】压轴题.【分析】先提取公因式m,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.【解答】解m3﹣m,=m(m2﹣1),=m(m+1)(m﹣1).【点评】本题考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式,关键在于需要进行二次分解因式. 30.分解因式2m2﹣2= 2(m+1)(m﹣1) .【考点】提公因式法与公式法的综合运用.【专题】压轴题.【分析】先提取公因式2,再对剩余的多项式利用平方差公式继续分解因式.【解答】解2m2﹣2,=2(m2﹣1),=2(m+1)(m﹣1).故答案为2(m+1)(m﹣1).【点评】本题考查了提公因式法,公式法分解因式,关键在于提取公因式后继续利用平方差公式进行二次因式分解. 。