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四年级数学A班奥数专题-“最大与最小”问题在应用数学知识解决日常生活中的一些实际问题时,经常会出现解决方案不止一种,有时还会有无数种的情况在这种情况下,我们往往需要找最大量或最小量例1试求乘积为36,和为最小的两个自然数分析与解不考虑因数顺序,乘积是36的两个自然数有以下五种情况1×
36、2×
18、3×
12、4×
9、6×6相应的两个乘数的和是1+36=
37、2+18=
20、3+12=
15、4+9=
13、6+6=12显然,乘积是36,和为最小的两个自然数是6与6例2试求乘积是80,和为最小的三个自然数分析与解不考虑因数顺序,乘积是80的三个自然数有以下八种情况1×2×
40、1×4×
20、1×5×
16、1×8×
10、2×2×
20、2×4×
10、2×5×
8、4×4×5经过计算,容易得知,乘积是80,和为最小的三个自然数是
4、
4、5结论一从上述两例可见,m个自然数的乘积是一个常数,则当这m个乘数相等或最相近时,其和最小例3试求和为8,积为最大的两个自然数分析与解不考虑加数顺序,和为8的两个自然数有以下四种情况1+
7、2+
6、3+
5、4+4相对应的两个加数的积是1×7=
7、2×6=
12、3×5=
15、4×4=16显然,和为8,积为最大的两个自然数是4和4例4试求和为13,积为最大的两个自然数分析与解不考虑加数顺序,和为13的两个自然数有以下六种情况1+
12、2+
11、3+
10、4+
9、5+
8、6+7经过计算,不难发现,和为13,积为最大的两个结论二从上述两例可知,m个自然数的和是一个常数,则当这m个数相等或最相近时,其积最大例5砌一平方米的围墙要用砖50块,现有5600块砖,用来砌一个矩形晒谷场的围墙如果围墙高2米,则砌成的晒谷场的长和宽各是多少米时,晒的谷最多?分析与解根据题意,首先可知5600块砖可砌围墙(5600÷50÷2=)56米,即长方形晒谷场的周长为56米要使晒谷场晒的谷最多,实际就是长方形晒谷场的面积(长×宽)要最大而长方形的周长56米一定,即长与宽的和(56÷2=)28米也一定,因此只有当长与宽相等(都是14米)时,面积才最大所以,晒谷场的长和宽都是14米时,晒的谷最多这时晒谷场的面积是 14×14=196(平方米)例6要用竹篱笆围一个面积为6400平方米的矩形养鸡场如果每米篱笆要用去30千克毛竹,那么该怎样围,才能使毛竹最省?分析与解要使毛竹最省,就是养鸡场的周长要最小,而矩形养鸡场的面积6400平方米一定,即长与宽的积一定,因此,只有当长与宽相等(都是80米)时,周长才最小所以,只有当养鸡场的长和宽都为80米时,所用毛竹最省这时所需毛竹是 30×〔(80+80)×2〕=30×320=9600(千克)例7用2到9这八个数字分别组成两个四位数,使这两个四位数的乘积最大分析与解用
2、
3、
4、
5、
6、
7、
8、9这八个数字组成两个四位数,使乘积最大,显然,9和8应分别作两个数的千位数,7和6应分别作百位数,但7和6分别放在9和8谁的后面呢? 因为97+86=183,96+87=183,它们的和相等又有 97-86=11,96-87=9 显然,96与87之间比97与86之间相隔更少,更相近所以,96与87的乘积一定大于97与86的乘积 所以,7应放在8后面,6应放在9后面 同理,可安排后面两位数字,得到的两个四位数是9642和8753它们的积是 9642×8753=84396426例8试比较下列两数的大小 a=8753689×7963845 b=8753688×7963846分析与解此题若采用转化法或设置中间数法都能比较出结果,但过程复杂仔细观察两数会发现,a中两个因数的和与b中两个因数的和相等因此,要比较a与b谁大,只要看a与b哪一个数中的两个因数之间相隔更少,更相近很容易看出8753688与7963846之间比8753689与7963845之间相隔更少,更相近,所以,可得出b>a专题训练
(十二)
1、用四张纸片
1、
9、9和5,可组成的四位数中,则最小的数与最大的数之和是
2、把47个苹果分放在盘内,要求每个盘子都有苹果,且个数不相同,这些苹果最多可放多少盘?
3、七人参加数学竞赛,共得110分,但每人得分都不相等,最高分是20分,得分最低的至少是多少分?
4、小明看一本90页的童话故事,每天看的页数不同,而且一天中最少看3次,那么小明看完这本书最多需要几天?
5、把自然数
1、
2、
3、
4、……、
39、40依次排列,1234567891011……3940,划去65个数字得到的多位数最大是多少?
6、a、b是两个自然数,a+b=16,那么a×b最大是多少?
7、a、b是两个自然数,a×b=49,那么a+b最小是多少?
8、用40厘米长的铁丝围成的长方形中,最大一个面积是多少?
9、教室一个窗户的面积是225平方分米,怎样设计窗户的形状和尺寸最省材料? 10把16拆成若干个自然数的和,要求这些自然数的积尽量大,应如何拆?50呢?
11、在下面的一排数字之间添上五个加号,组成一个连加算式,求这个连加算式的结果的最小值 123456789
12、三个两位的连续偶数,它们的个位数字的和是7的倍数,这三个数的和最少是多少?“抽屉原理”教学设计 【教学内容】 《义务教育课程标准实验教科书·数学》六年级下册第68页 【教学目标】
1.经历“抽屉原理”的探究过程初步了解“抽屉原理”会用“抽屉原理”解决简单的实际问题
2.通过操作发展学生的类推能力形成比较抽象的数学思维
3.通过“抽屉原理”的灵活应用感受数学的魅力 【教学重点】 经历“抽屉原理”的探究过程初步了解“抽屉原理” 【教学难点】 理解“抽屉原理”并对一些简单实际问题加以“模型化” 【教具、学具准备】 每组都有相应数量的盒子、铅笔、书 【教学过程】
一、课前游戏引入 师:同学们在我们上课之前先做个小游戏:老师这里准备了4把椅子请5个同学上来谁愿来学生上来后 师:听清要求老师说开始以后请你们5个都坐在椅子上每个人必须都坐下好吗好这时教师面向全体背对那5个人 师:开始 师:都坐下了吗 生:坐下了 师:我没有看到他们坐的情况但是我敢肯定地说:“不管怎么坐总有一把椅子上至少坐两个同学”我说得对吗 生:对! 师:老师为什么能做出准确的判断呢道理是什么这其中蕴含着一个有趣的数学原理这节课我们就一起来研究这个原理下面我们开始上课可以吗
二、通过操作探究新知 一教学例1
1.出示题目:有3枝铅笔2个盒子把3枝铅笔放进2个盒子里怎么放有几种不同的放法 师:请同学们实际放放看谁来展示一下你摆放的情况指名摆根据学生摆的情况师板书各种情况3021 师:5个人坐在4把椅子上不管怎么坐总有一把椅子上至少坐两个同学3支笔放进2个盒子里呢 生:不管怎么放总有一个盒子里至少有2枝笔 是:是这样吗谁还有这样的发现再说一说 师:那么把4枝铅笔放进3个盒子里怎么放有几种不同的放法请同学们实际放放看师巡视了解情况个别指导 师:谁来展示一下你摆放的情况指名摆根据学生摆的情况师板书各种情况 400 310 220 211 师:还有不同的放法吗 生:没有了 师:你能发现什么 生:不管怎么放总有一个盒子里至少有2枝铅笔 师:“总有”是什么意思 生:一定有 师:“至少”有2枝什么意思 生:不少于两只可能是2枝也可能是多于2枝 师:就是不能少于2枝通过操作让学生充分体验感受 师:把3枝笔放进2个盒子里和把4枝笔饭放进3个盒子里不管怎么放总有一个盒子里至少有2枝铅笔这是我们通过实际操作现了这个结论那么我们能不能找到一种更为直接的方法只摆一种情况也能得到这个结论呢 学生思考——组内交流——汇报 师:哪一组同学能把你们的想法汇报一下 组1生:我们发现如果每个盒子里放1枝铅笔最多放3枝剩下的1枝不管放进哪一个盒子里总有一个盒子里至少有2枝铅笔 师:你能结合操作给大家演示一遍吗学生操作演示 师:同学们自己说说看同位之间边演示边说一说好吗 师:这种分法实际就是先怎么分的 生众:平均分 师:为什么要先平均分组织学生讨论 生1:要想发现存在着“总有一个盒子里一定至少有2枝”先平均分余下1枝不管放在那个盒子里一定会出现“总有一个盒子里一定至少有2枝” 生2:这样分只分一次就能确定总有一个盒子至少有几枝笔了 师:同意吗那么把5枝笔放进4个盒子里呢可以结合操作说一说 师:哪位同学能把你的想法汇报一下 生:一边演示一边说5枝铅笔放在4个盒子里不管怎么放总有一个盒子里至少有2枝铅笔 师:把6枝笔放进5个盒子里呢还用摆吗 生:6枝铅笔放在5个盒子里不管怎么放总有一个盒子里至少有2枝铅笔 师:把7枝笔放进6个盒子里呢 把8枝笔放进7个盒子里呢 把9枝笔放进8个盒子里呢…… : 你发现什么 生1:笔的枝数比盒子数多1不管怎么放总有一个盒子里至少有2枝铅笔 师:你的发现和他一样吗一样你们太了不起了!同桌互相说一遍
2.解决问题 1课件出示:5只鸽子飞回4个鸽笼至少有2只鸽子要飞进同一个鸽笼里为什么 学生活动—独立思考自主探究 2交流、说理活动 师:谁能说说为什么 生1:如果一个鸽笼里飞进一只鸽子最多飞进4只鸽子还剩一只要飞进其中的一个鸽笼里不管怎么飞至少有2只鸽子要飞进同一个鸽笼里 生2:我们也是这样想的 生3:把5只鸽子平均分到4个笼子里每个笼子1只剩下1只放到任何一个笼子里就能保证至少有2只鸽子飞进同一个笼里 生4:可以用5÷4=1……1余下的1只飞到任何一个鸽笼里都能保证至少有2只鸽子飞进一个个笼里所以“至少有2只鸽子飞进同一个笼里”的结论是正确的 师:许多同学没有再摆学具证明这个结论是正确的用的什么方法 生:用平均分的方法就能说明存在“总有一个鸽笼至少有2只鸽子飞进一个个笼里” 师:同意吗生:同意老师把这位同学说的算式写下来板书:5÷4=1……1 师:同位之间再说一说对这种方法的理解 师:现在谁能说说你对“总有一个鸽笼里至少飞进2只鸽子的理解” 生:我们发现这是必然存在的一个现象不管鸽子怎样飞回鸽笼一定会有一个鸽笼里至少有2只鸽子 师:同学们都有这个发现吗 生众:发现了 师:同学们非常了不起善于运用观察、分析、思考、推理、证明的方法研究问题得出结论同学们的思维也在不知不觉中提升了许多那么让我们再来看这样一组问题 二教学例2
1.出示题目:把5本书放进2个抽屉里不管怎么放总有一个抽屉里至少有几本书 把7本书放进2个抽屉里不管怎么放总有一个抽屉里至少有几本书 把9本书放进2个抽屉里不管怎么放总有一个抽屉里至少有几本书 留给学生思考的空间师巡视了解各种情况
2.学生汇报 生1:把5本书放进2个抽屉里如果每个抽屉里先放2本还剩1本这本书不管放到哪个抽屉里总有一个抽屉里至少有3本书 板书:5本2个2本……余1本总有一个抽屉里至有3本书 7本2个3本……余1本总有一个抽屉里至有4本书 9本2个4本……余1本总有一个抽屉里至有5本书 师:2本、3本、4本是怎么得到的生答完成除法算式 5÷2=2本……1本商加1 7÷2=3本……1本商加1 9÷2=4本……1本商加1 师:观察板书你能发现什么 生1:“总有一个抽屉里的至少有2本”只要用“商+1”就可以得到 师:如果把5本书放进3个抽屉里不管怎么放总有一个抽屉里至少有几本书 生:“总有一个抽屉里的至少有3本”只要用5÷3=1本……2本用“商+2”就可以了 生:不同意!先把5本书平均分放到3个抽屉里每个抽屉里先放1本还剩2本这2本书再平均分不管分到哪两个抽屉里总有一个抽屉里至少有2本书不是3本书 师:到底是“商+1”还是“商+余数”呢谁的结论对呢在小组里进行研究、讨论 交流、说理活动: 生1:我们组通过讨论并且实际分了分结论是总有一个抽屉里至少有2本书不是3本书 生2:把5本书平均分放到3个抽屉里每个抽屉里先放1本余下的2本可以在2个抽屉里再各放1本结论是“总有一个抽屉里至少有2本书” 生3∶我们组的结论是5本书平均分放到3个抽屉里“总有一个抽屉里至少有2本书”用“商加1”就可以了不是“商加2” 师:现在大家都明白了吧那么怎样才能够确定总有一个抽屉里至少有几个物体呢 生4:如果书的本数是奇数用书的本数除以抽屉数再用所得的商加1就会发现“总有一个抽屉里至少有商加1本书”了 师:同学们同意吧 师:同学们的这一发现称为“抽屉原理”“抽屉原理”又称“鸽笼原理”最先是由19世纪的德国数学家狄利克雷提出来的所以又称“狄里克雷原理”也称为“鸽巢原理”这一原理在解决实际问题中有着广泛的应用“抽屉原理”的应用是千变万化的用它可以解决许多有趣的问题并且常常能得到一些令人惊异的结果下面我们应用这一原理解决问题
3.解决问题71页第3题独立完成交流反馈 小结:经过刚才的探索研究我们经历了一个很不简单的思维过程我们获得了解决这类问题的好办法下面让我们轻松一下做个小游戏
三、应用原理解决问题 师:我这里有一副扑克牌去掉了两张王牌还剩52张我请五位同学每人任意抽1张听清要求不要让别人看到你抽的是什么牌请大家猜测一下同种花色的至少有几张为什么 生:2张/因为5÷4=1…1 师:先验证一下你们的猜测:举牌验证 师:如有3张同花色的符合你们的猜测吗 师:如果9个人每一个人抽一张呢 生:至少有3张牌是同一花色因为9÷4=2…1
四、全课小结。