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电大工程数学期末复习考试必备资料小抄
一、单项选择题
1.设，则（A ）．A.
2.设是矩阵，是矩阵，则下列运算中有意义的是（ D）．D.
3.已知，若，则（B）．B.
4.都是阶矩阵（，则下列命题正确的是D．D．
5.若是对称矩阵，则等式（C）成立．C.
6.若，则（D）．D.
7.若，则秩（B）．B.
18.向量组的秩是（A）．A.
49.向量组的一个极大无关组可取为（B）．B.
10.向量组，则（B）．
11.线性方程组解的情况是（D）D.有无穷多解
12.若线性方程组只有零解，则线性方程组（C）．C.可能无解
13.若元线性方程组有非零解，则（ A）成立．A.
14.下列事件运算关系正确的是（ A）．A.
15.对于随机事件，下列运算公式（A）成立．A.
16.袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球的概率是（D）．
17.若随机事件满足，则结论（B）成立．与互不相容
18.若满足（C），则与是相互独立．C.
19.下列数组中，（C）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布．
20.设，则（B）． B．
0.
421.随机变量，则（D）．D.
22.已知，若，那么（C）．
23.若，（C），则．C.
24.设是来自正态总体均未知）的样本，则（A）是统计量．A.
25.设是来自正态总体的样本，则（D）是无偏估计．D.⒈设，则（D ）．D.－6⒉若，则（A ）．A.⒊乘积矩阵中元素（C ）．C.10⒋设均为阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（ B）．⒌设均为阶方阵，且，则下列等式正确的是（D ）．⒍下列结论正确的是（ A）．若是正交矩阵，则也是正交矩阵⒎矩阵的伴随矩阵为（ C）．⒏方阵可逆的充分必要条件是（B ）．⒐设均为阶可逆矩阵，则（D ）．⒑设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（A ）．⒈用消元法得的解为（C ）．⒉线性方程组（B ）．有唯一解⒊向量组的秩为（ A）．A.3⒋设向量组为，则（B ）是极大无关组．⒌与分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（D）．秩秩⒍若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A ）．可能无解⒎以下结论正确的是（D ）．齐次线性方程组一定有解⒏若向量组线性相关，则向量组内（A）可被该向量组内其余向量线性表出．至少有一个向量10．设Ａ，Ｂ，Ｐ为阶矩阵，若等式（Ｃ ）成立，则称Ａ和Ｂ相似．⒈为两个事件，则（B）成立．⒉如果（C）成立，则事件与互为对立事件．且⒊10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中恰有1人中奖的概率为（D ）．
4.对于事件，命题（C ）是正确的．如果对立，则对立⒌某随机试验的成功率为则在3次重复试验中至少失败1次的概率为（D ）．
6.设随机变量，且，则参数与分别是（A ）．A.
60.
87.设为连续型随机变量的密度函数，则对任意的，（A ）．
8.在下列函数中可以作为分布密度函数的是（B ）．
9.设连续型随机变量的密度函数为，分布函数为，则对任意的区间，则（ D）．
10.设为随机变量，，当（C ）时，有．⒈设是来自正态总体（均未知）的样本，则（A）是统计量．⒉设是来自正态总体（均未知）的样本，则统计量（D）不是的无偏估计．
1.若，则（A）．A.
32.已知2维向量组，则至多是（B）．ABCD
3.设为阶矩阵，则下列等式成立的是（C）．
4.若满足（B），则与是相互独立．
5.若随机变量的期望和方差分别为和，则等式（D）成立．
1.设为矩阵，为矩阵，当为（B）矩阵时，乘积有意义．
2.向量组的极大线性无关组是（A）．
3.若线性方程组的增广矩阵为，则当＝（D）时线性方程组有无穷多解．
4.掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为4”的概率是（C）.
5.在对单正态总体的假设检验问题中，检验法解决的问题是（B）．未知方差，检验均值
二、填空题
1.是关于的一个多项式，该式中一次项系数是 2 ．
2.设是3阶矩阵，其中，则 12 ．
3.设均为n阶矩阵，其中可逆，则矩阵方程的解．
4.若方阵满足，则是对称矩阵．5．设矩阵，则 1 ．
6.．
7.向量组线性相关，则.8．含有零向量的向量组一定是线性 相关 的．
9.若元线性方程组满足，则该线性方程组有非零解．
10.线性方程组中的一般解的自由元的个数是2，其中A是矩阵，则方程组增广矩阵=3．
11.齐次线性方程组的系数矩阵经初等行变换化为则方程组的一般解为 ．是自由未知量）
12.当= 1时，方程组有无穷多解．
13.若，则 ．
14.设，为两个事件，若，则称与 相互独立 ．
15.设随机变量，则．
16.设随机变量的概率密度函数为，则常数k=．
17.设随机变量，则．
18.设随机变量的概率密度函数为，则．
19.已知随机变量，那么 3 ．
20.设随机变量，则 15 ．
21.设随机变量的期望存在，则 0 ．
22.设随机变量，若，则．
23.不含未知参数的样本函数称为统计量．
24.设是来自正态总体的一个样本，则．
25.若参数的两个无偏估计量和满足，则称比更 有效 ．⒈7．⒉是关于的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是2．⒊若为矩阵，为矩阵，切乘积有意义，则为5×4矩阵．⒋二阶矩阵．⒌设，则⒍设均为3阶矩阵，且，则72．⒎设均为3阶矩阵，且，则－3．⒏若为正交矩阵，则0．⒐矩阵的秩为2．⒑设⒈当１时，齐次线性方程组有非零解．⒉向量组线性相关．⒊向量组的秩是３．⒋设齐次线性方程组的系数行列式，则这个方程组有无穷多解，且系数列向量是线性相关的．⒌向量组的极大线性无关组是．⒍向量组的秩与矩阵的秩相同．⒎设线性方程组中有5个未知量，且秩，则其基础解系中线性无关的解向量有２个．⒏设线性方程组有解，是它的一个特解，且的基础解系为，则的通解为．9．若是Ａ的特征值，则是方程 的根． 10．若矩阵Ａ满足 ，则称Ａ为正交矩阵．是两个可逆矩阵，则．⒈从数字12345中任取3个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为．
2.已知，则当事件互不相容时，
0.8，
0.3．
3.为两个事件，且，则．
4.已知，则．
5.若事件相互独立，且，则．
6.已知，则当事件相互独立时，
0.65，
0.3．
7.设随机变量，则的分布函数．
8.若，则6．
9.若，则．
10.称为二维随机变量的协方差．1．统计量就是不含未知参数的样本函数．2．参数估计的两种方法是点估计和区间估计．常用的参数点估计有矩估计法和最大似然估计两种方法．3．比较估计量好坏的两个重要标准是无偏性，有效性．4．设是来自正态总体（已知）的样本值，按给定的显著性水平检验，需选取统计量．5．假设检验中的显著性水平为事件（u为临界值）发生的概率．
1.设均为n阶可逆矩阵，逆矩阵分别为，则
2.向量组线性相关，则.
3.已知，则．
4.已知随机变量，那么．
5.设是来自正态总体的一个样本，则．
1.设均为3阶矩阵，且，则．
2.设，则．
23.设是三个事件，那么发生，但至少有一个不发生的事件表示为.
4.设随机变量，则．
5.设是来自正态总体的一个样本，，则．
三、计算题
1.已知，证明可逆，并求．解，因为，所以可逆且
2.设矩阵，求
（1），
（2）．解
（1）
（2）利用初等行变换得 即
3.设矩阵，求及． 解利用初等行变换得 即 由矩阵乘法得
4.已知，其中，求．解由方程，得，且利用初等行变换得 即 由矩阵乘法得
5.设矩阵，求矩阵的秩．解用初等行变换将矩阵化为阶梯形 由此可知矩阵的秩为2．
6.求向量组，，，的秩，并求该向量组的一个极大无关组．解将向量组组成的矩阵化为阶梯形 由此可知该向量组的秩为3，且是一个极大无关组．
7.分别说明当取何值时，线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解．在有无穷多解的情况下求出一般解． 解将方程组的增广矩阵化为阶梯形 … 当时，方程组无解当时，方程组有唯一解当时，方程组有无穷多解 在方程组有无穷多解的情况下，一般解为 （其中为自由未知量）
8.求线性方程组的全部解．解将方程组的增广矩阵化为阶梯形 此时齐次方程组化为 分别令，和，得齐次方程组的一组基础解系 令，得非齐次方程组的一个特解 由此得原方程组的全部解为 （其中为任意常数）
9.设齐次线性方程组的系数矩阵经过初等行变换，得求此齐次线性方程组的一个基础解系和通解．解因为得一般解（其中是自由元）令，得；令，得．所以，是方程组的一个基础解系．方程组的通解为，其中是任意常数．10．当取何值时，线性方程组有解，在有解的情况下求方程组的全部解．解将方程组的增广矩阵化为阶梯形 由此可知当时，方程组无解当时，方程组有解 此时齐次方程组化为 分别令及，得齐次方程组的一个基础解系 令，得非齐次方程组的一个特解 由此得原方程组的全部解为 （其中为任意常数）
11.假设为两事件，已知，求．解
12.一批产品分别来自甲、乙、丙三个厂家，其中50%来自甲厂、30%来自乙厂、20%来自丙厂，已知这三个厂家的次品率分别为
0.01，
0.02和
0.04现从这批产品中任取一件，求取出的产品是合格品的概率.解设如下事件 “产品来自甲厂” “产品来自乙厂”“产品来自丙厂”“产品是合格品”由全概公式有 由对立事件的关系可知
13.一袋中有10个球，其中3个黑球7个白球．今从中依次无放回地抽取两个，求第2次抽取出的是黑球的概率.解设如下事件 “第1次抽取出的是黑球”“第2次抽取出的是黑球”显然有，由全概公式得
14.已知某批零件的加工由两道工序完成，第一道工序的次品率为
0.03，第二道工序的次品率为
0.01，两道工序的次品率彼此无关，求这批零件的合格率.解设如下事件 “第一道工序加工的零件是次品”“第二道工序加工的零件是次品”“零件是合格品”由事件的关系有 已知相互独立，由加法公式得 由对立事件的关系可知
15.设，求；
（2）；
（3）.解
（1）
（2）
（3）
16.设，试求⑴；⑵．（已知）解⑴ ……⑵
17.设，求⑴；⑵．解⑴由期望的定义得 ⑵
18.某车间生产滚珠，已知滚珠直径服从正态分布．今从一批产品里随机取出9个，测得直径平均值为
15.1mm，若已知这批滚珠直径的方差为，试找出滚珠直径均值的置信度为
0.95的置信区间．解由于已知，故选取样本函数 已知，经计算得 滚珠直径均值的置信度为
0.95的置信区间为，又由已知条件，故此置信区间为
19.据资料分析，某厂生产的一批砖，其抗断强度，今从这批砖中随机地抽取了9块，测得抗断强度（单位kg／cm2）的平均值为
31.12，问这批砖的抗断强度是否合格（）．解零假设．由于已知，故选取样本函数 已知，经计算得， 由已知条件，故拒绝零假设，即这批砖的抗断强度不合格
20.对一种产品的某项技术指标进行测量，该指标服从正态分布，今从这种产品中随机地抽取了16件，测得该项技术指标的平均值为
31.06，样本标准差为
0.35，求该项技术指标置信度为
0.95的置信区间（）．解由于未知，故选取样本函数 已知，经计算得 该项技术指标置信度为
0.95的置信区间为，又由已知条件，故此置信区间为 ⒈设，求⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹．答案⒉设，求．解⒊已知，求满足方程中的．解⒋写出4阶行列式中元素的代数余子式，并求其值．答案⒌用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵⑴；⑵；⑶．解
（1）
（2）过程略3⒍求矩阵的秩．解 1．用消元法解线性方程组解 方程组解为２．设有线性方程组为何值时，方程组有唯一解或有无穷多解解］当且时，，方程组有唯一解当时，，方程组有无穷多解３．判断向量能否由向量组线性表出，若能，写出一种表出方式．其中解向量能否由向量组线性表出，当且仅当方程组有解这里 方程组无解不能由向量线性表出４．计算下列向量组的秩，并且
（1）判断该向量组是否线性相关解该向量组线性相关５．求齐次线性方程组的一个基础解系．解方程组的一般解为 令，得基础解系 ６．求下列线性方程组的全部解．解 方程组一般解为令，，这里，为任意常数，得方程组通解７．试证任一４维向量都可由向量组，，，线性表示，且表示方式唯一，写出这种表示方式．证明 任一４维向量可唯一表示为 ⒏试证线性方程组有解时，它有唯一解的充分必要条件是相应的齐次线性方程组只有零解．证明设为含个未知量的线性方程组 该方程组有解，即从而有唯一解当且仅当而相应齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是有唯一解的充分必要条件是相应的齐次线性方程组只有零解9．设是可逆矩阵Ａ的特征值，且，试证是矩阵的特征值．证明是可逆矩阵Ａ的特征值 存在向量，使即是矩阵的特征值10．用配方法将二次型化为标准型．解 令，，，即则将二次型化为标准型
1.设为三个事件，试用的运算分别表示下列事件⑴中至少有一个发生；⑵中只有一个发生；⑶中至多有一个发生；⑷中至少有两个发生；⑸中不多于两个发生；⑹中只有发生．解:
1234562.袋中有3个红球，2个白球，现从中随机抽取2个球，求下列事件的概率⑴2球恰好同色；⑵2球中至少有1红球．解:设=“2球恰好同色”，=“2球中至少有1红球”
3.加工某种零件需要两道工序，第一道工序的次品率是2%，如果第一道工序出次品则此零件为次品；如果第一道工序出正品，则由第二道工序加工，第二道工序的次品率是3%，求加工出来的零件是正品的概率．解设“第i道工序出正品”（i=12）
4.市场供应的热水瓶中，甲厂产品占50%，乙厂产品占30%，丙厂产品占20%，甲、乙、丙厂产品的合格率分别为90%85%80%，求买到一个热水瓶是合格品的概率．解设
5.某射手连续向一目标射击，直到命中为止．已知他每发命中的概率是，求所需设计次数的概率分布．解……………………故X的概率分布是
6.设随机变量的概率分布为试求．解
7.设随机变量具有概率密度试求．解
8.设，求．解
9.设，计算⑴；⑵．解
10.设是独立同分布的随机变量，已知，设，求．解1．设对总体得到一个容量为10的样本值
4.
52.
01.
01.
53.
54.
56.
55.
03.
54.0试分别计算样本均值和样本方差．解2．设总体的概率密度函数为试分别用矩估计法和最大似然估计法估计参数．解提示教材第214页例3矩估计最大似然估计，3．测两点之间的直线距离5次，测得距离的值为（单位m）
108.
5109.
0110.
0110.
5112.0测量值可以认为是服从正态分布的，求与的估计值．并在⑴；⑵未知的情况下，分别求的置信度为
0.95的置信区间．解
（1）当时，由1－α＝
0.95，查表得故所求置信区间为
（2）当未知时，用替代，查t
40.05，得故所求置信区间为4．设某产品的性能指标服从正态分布，从历史资料已知，抽查10个样品，求得均值为17，取显著性水平，问原假设是否成立．解，由，查表得因为
1.96，所以拒绝5．某零件长度服从正态分布，过去的均值为
20.0，现换了新材料，从产品中随机抽取8个样品，测得的长度为（单位cm）
20.
020.
220.
120.
020.
220.
319.
819.5问用新材料做的零件平均长度是否起了变化（）．解由已知条件可求得∵|T|
2.62∴接受H0即用新材料做的零件平均长度没有变化
2.当取何值时，线性方程组有解，在有解的情况下求方程组的全部解．解将方程组的增广矩阵化为阶梯形 由此可知当时，方程组无解当时，方程组有解 ………8分 此时相应齐次方程组的一般解为 （是自由未知量）分别令及，得齐次方程组的一个基础解系 令，得非齐次方程组的一个特解 由此得原方程组的全部解为 （其中为任意常数）
4.已知某种零件重量，采用新技术后，取了9个样品，测得重量（单位kg）的平均值为
14.9，已知方差不变，问平均重量是否仍为15（）？解零假设．由于已知，故选取样本函数 已知，经计算得 ， 由已知条件，故接受零假设，即零件平均重量仍为15． 1已知，其中，求．解利用初等行变换得 即 由矩阵乘法运算得
2.求线性方程组的全部解．解将方程组的增广矩阵化为阶梯形 方程组的一般解为 （其中为自由未知量）令=0，得到方程的一个特解.方程组相应的齐次方程的一般解为 （其中为自由未知量）令=1，得到方程的一个基础解系.于是，方程组的全部解为（其中为任意常数）
3.设，求和.（其中）解设 ==
4.某一批零件重量，随机抽取4个测得重量（单位千克）为
14.
715.
114.
815.2，可否认为这批零件的平均重量为15千克已知？解零假设．由于已知，故选取样本函数 经计算得 ，已知，故接受零假设，即可以认为这批零件的平均重量为15千克
四、证明题
1.设是阶矩阵，可逆，且，试证．证明在的两端右乘，得 上式左端为右端为故有证毕
2.设是同阶对称矩阵，试证也是对称矩阵．证明因故可知是对称矩阵．证毕
3.可逆的对称矩阵的逆矩阵也是对称矩阵．证明设可逆，且则，所以也是对称矩阵．证毕
4.设是线性无关的，证明也线性无关.证明设有一组数，使得成立，即，由已知线性无关，故有该方程组只有零解，得，故是线性无关的证毕
5.设是两个随机事件，试证．证明由事件的关系可知 而，故由加法公式和乘法公式可知 证毕
6.已知随机事件满足，试证．证明已知，由事件的关系可知 而，故由概率的性质可知 即 证毕
7.设随机事件满足，试证．证明由可知，因此得，故 由因为，故有 证毕
8.设随机变量的均值、方差都存在且，试证随机变量的均值为0．证明结论得证．⒎对任意方阵，试证是对称矩阵．证明是对称矩阵⒏若是阶方阵，且，试证或．证明是阶方阵，且或⒐若是正交矩阵，试证也是正交矩阵．证明是正交矩阵即是正交矩阵
9.设为随机事件，试证． 证明由事件的关系可知 而，故由概率的性质可知 即 证毕 请您删除一下内容，O∩_∩O谢谢！！！【Chinas10must-seeanimations】TheChineseanimationindustryhasseenconsiderablegrowthinthelastseveralyears.Itwentthroughagoldenageinthelate1970sand1980swhensuccessivelybrilliantanimationworkwasproduced.Hereare10must-seeclassicsfromChinasanimationoutpouringthatarenottobemissed.Letsrecallthesecolorfulimagesthatbroughtthecountrygreatjoy.CalabashBrothersCalabashBrothersChinese:葫芦娃isaChineseanimationTVseriesproducedby Shanghai Animation Film Studio.Inthe1980stheserieswasoneofthemostpopularanimationsinChina.ItwasreleasedatapointwhentheChineseanimationindustrywasinarelativelydownedstatecomparedtotherestoftheinternationalcommunity.Stilltheserieswastranslatedinto7differentlanguages.Theepisodeswereproducedwithavastamountofpaper-cutanimations.BlackCatDetectiveBlackCatDetectiveChinese:黑猫警长isaChineseanimationtelevisionseriesproducedbytheShanghaiAnimationFilmStudio.ItissometimesknownasMr.Black.Theserieswasoriginallyairedfrom1984to
1987.InJune2006arebroadcastingoftheoriginalserieswasannounced.Criticsbemoantheseriesviolenceandlackofsuitabilityforchildrenseducation.Proponentsoftheshowclaimthatitismerelyforentertainment.EffendiEffendimeaningsirand teacherinTurkishistherespectfulnameforpeoplewhoownwisdomandknowledge.TheherosrealnamewasNasreddin.Hewaswiseandwittyandmoreimportantlyhehadthecouragetoresisttheexploitationofnoblemen.Hewasalsofullofcompassionandtriedhisbesttohelppoorpeople.AdventureofShukeandBeita【舒克与贝塔】AdventureofShukeandBeitaChinese:舒克和贝塔isaclassicanimationbyZhengYuanjiewhoisknownasKingofFairyTalesinChina.ShukeandBeitaaretwomicewhodontwanttostealfoodlikeothermice.ShukebecameapilotandBeitabecameatankdriverandthepairmetaccidentallyandbecamegoodfriends.ThentheybefriendedaboynamedPipilu.WiththehelpofPiPilutheyco-foundedanairlinenamedShukeBeitaAirlinestohelpotheranimals.Althoughthereareonly13episodesinthisseriesthecontentisverycompactandattractive.Theanimationshowsthepreciousnessoffriendshipandhowpeopleshouldbebravewhenfacingdifficulties.Evenadultsrecallingthisanimationtodaycanstillfeeltouchedbysomescenes.SecretsoftheHeavenlyBookSecretsoftheHeavenlyBookChinese:天书奇谈 alsoreferredtoasLegendoftheSealedBookorTalesabouttheHeavenlyBookwasreleasedin
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1989.McDull【麦兜】McDullisacartoonpigcharacterthatwascreatedin HongKong byAliceMakandBrianTse.AlthoughMcDullmadehisfirstappearancesasasupportingcharacterintheMcMugcomicsMcDullhassincebecomeacentralcharacterinhisownrightattractingahugefollowinginHongKong.ThefirstMcDullmovieMcMugStoryMyLifeasMcDulldocumentedhislifeandtherelationshipbetweenhimandhismother.TheMcMugStoryMyLifeasMcDullisalsobeingtranslatedintoFrenchandshowninFrance.InthisversionMakBingisthemotherofMcDullnothisfather..。
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