机械优化设计习题参考答案-孙靖民-第四版资料.doc

结构优化设计structuraloptimaldesignoptimumstructuraldesign参考书:

1.孙靖民:机械优化设计机械工业出版社

20032.孙德敏:工程最优化方法和应用中国科大出版社

19973.施光燕:最优化方法高教出版社1999绪论

1.内容基本概念:结构structure广义—系统组成;窄义—承受载荷､维持系统几何形状不变的部分如梁杆板壳及其组合｡结构是用来支承有效载荷的｡设计design完成一项新产品､新工程前的方案构思如大小､尺寸､形状､材料､工艺过程等｡数据—数字化--CAE优化optimization从几种方案中选出最好的—优选;从设计空间中的无数种方案中用计算机选出最好的—优化｡

2.工程中的优化问题1）桥梁2）等强度梁铁塔3）飞机､航天器4）其他领域控制､化工

3.发展史:牛顿计算机钱令希;MATLAB—优化工具箱;遗传算法MATLAB—面向工程的高级语言OptimizationToolbox主要功能:1线性规划——2二次规划——

1、概述入门实例一､举例

1.人字架优化已知:2B=152cmT=

0.25cmE=

2.1×105Mpaρ=

7.8×103kg/m3σ=420Mpa2F=3×105N求:min[mDh]满足强度和稳定要求解:变量Dh载荷--单杆内力应力临界应力强度条件稳定条件目标函数:解析法:不考虑稳定条件由强度条件建立Dh关系极限情况校核稳定条件没问题｡图解法p

62.汽车减振设计变量目标函数

3.管理p94甲9公斤3工时4千瓦600元乙41051200360公斤/天300工时/天200千瓦/天

4.求解非线性方程组例方程组:二.数学模型mathematicalmodel1设计变量designvariables1）目标函数objectivefunction2）约束constrainss.t.3）例:标准模型管理例s.t.subjectto作业:二.数学基础矢量代数数学规划一方向导数和梯度

1.方向导数directionderivative偏导数方向导数定义:梯度gradient单位向量结论:方向导数等于梯度与该方向的单位向量的点积｡推广:n维向量.

2.梯度的性质梯度是向量;函数沿梯度方向变化最大;等值线面沿等值线面的切线方向函数变化率最小=0;沿等值线面的法线函数变化率最大｡二Taylor级数—Taylorseries

1.一元函数

2.二元函数

3.多元函数--Hess矩阵三极小值条件

1.一元函数驻点极小极大

2.二元函数;

3.多元函数梯度为零;Hess矩阵正定的各阶主子式的行列式大于零｡四凸规划—convexprogramming

1.全局最优和局部最优极值--globaloptimumandlocaloptimum

2.凸集—convexset几何解释:图任选有线段则A为凸集｡凸集的性质:A为凸集α为实数则αA也是凸集;A､B为凸集则也为凸集;A､B为凸集则AB的交集也是凸集｡

3.凸函数函数在定义域内是凸函数的必要条件是:域内任选有

4.凸性条件函数在定义域内是凸函数的条件是Hess矩阵正定或半正定｡

5.凸规划定义:目标函数和约束方程都是凸函数｡性质:的区域为凸集;所围成的区域是凸集｡凸规划有唯一的极小值—全局极小值｡例题:--作业1判断凸性2判断凸规划3建立数学模型

1.一维优化搜索方法一概述

1.一维问题:多维问题优化问题可分解为很多个一维优化问题—沿某个方向优化问题｡

2.非凸规划问题的优化方法网格法缩小区间继续搜索｡MonteCarlo方法随机数｡比较各次得到的得解遗传算法专题二区间消去法凸函数

1.搜索区间的确定:高—低--高则区间内有极值｡

2.区间消去法原理:在区间[ab]内插两个点a1b1保留有极值点区间消去多余区间｡缩短率:三

0.618法

1.Fibonacci法—理想方法不常用｡

2.黄金分割法

0.618法原理:提高搜索效率:1每次只插一个值利用一个前次的插值;2每次的缩短率λ相同｡左右对称｡程序:p52四插值方法

1.抛物线法原理:任意插3点:算得:;;要求:设函数用经过3点的抛物线代替有解线代数方程解得:程序框图p

572.3次曲线插值方法已知:;;｡设:近似曲线取正号得极小值方程:解出AB

3.牛顿法已知导数作业:推导3次曲线插值法四无约束优化方法unconstrainedoptimizationmethods

（1）引言

1.必要性:存在少量无约束问题;有约束问题可以变为无约束问题｡

2.策略:多维问题变为多个一维问题选初始点搜索方向;--优化步长因子二梯度法gradientmethod—最速下降法

1.原理:取则图示相邻两个方向相互垂直

2.算例;应有解:;图p62继续..……经7次迭代可接近极值点

003.框图p

634.方法特点远离极值点收敛快近则慢;方法简单编程容易｡坐标变换—椭圆变圆;坐标轮换法椭圆主轴与坐标轴一致简单三牛顿法Newton—Raphson法

1.一元函数极值条件解得图解切线法

2.多元函数极小值解得:牛顿方向:例题p64特点:收敛快牛顿方向改进了梯度方向a.要求二阶导数矩阵求逆b.只适宜凸规划问题

3.方法改进和梯度法结合;阻尼牛顿法

4.框图p65四共轭方向法conjugatedirectionmethod

1.共轭方向二次函数4-1--正定对称有极小值｡等值线面是椭圆球｡对二元二次函数一维搜索是极值点其方向导数为0应与等值线相切与梯度方向垂直｡有要求找不沿梯度方向直指有由4-1知极值点上式左乘得-------加权正交称为共轭方向｡定义:对多元函数;--共轭方向向量

2.共轭方向的性质n维问题最多只有n个独立的共轭向量;共轭向量是线性无关的;n维问题沿共轭向量方向搜索最多n次到达极值点｡

3.Gram—Schmidt方法任意选择一组线性无关n个n维向量系;令由得令由;得

4.算例p

685.特点:求二阶导数共轭方向法不常用｡五共轭梯度法conjugategradientmethod

1.相邻两点的梯度差二次函数一维搜索相邻位移相邻梯度左乘共轭得:结论:相邻梯度差与共轭向量正交｡

2.共轭梯度法步骤1选定计算计算2找共轭方向共轭条件:得:递推公式证明:共轭条件注意相互正交解得得穷举下去得递推公式

3.算例p

734.框图p

725.特点作业:

1.

2.六变尺度法

1.引言坐标变换二次函数令为尺度变换矩阵有因为正定对称矩阵存在使得;--尺度矩阵

2.变尺度矩阵的建立牛顿法--不用求逆得到在迭代中逐步趋近｡正定对称;｡--校正矩阵;满足拟牛顿条件迭代公式;

3.框图p

774.DFPDavidon—Fletcher--Powell算法--待定代入拟牛顿条件因为待定可取又因是数量可取;得;得例题p

784.BFGS法p

805.统一公式

6.框图八Powell方法

1.共轭方向的生成二次函数从不同两点沿同一方向得到两极小点则连线方向为共轭方向｡因则因则

2.基本算法1二维问题坐标轮换法沿新方向沿得沿共轭方向沿共轭方向2多维问题自做

3.改进算法每轮产生的新沿共轭向量代替原向量中最坏的向量｡

4.框图p

855.算例p86九单形替换法

1.原理单纯形—n+1个顶点构成的封闭图形｡二维问题设中点反射点1）扩张若若保留｡保留｡2）收缩若保留否则3）缩边若

2.多元函数1）选初始单纯形i=012…n2）计算各顶点值3）比较得4）检查精度5）计算重心反射点不动:6）扩张若7）收缩若外缩否则内缩8缩边

3.框图

4.算例

5.特点总结:无约束优化方法只算函数值方法1）坐标轮换法:小规模收敛慢无耦合问题快;2）单形替换法:中小规模收敛较快;3）格点法:非凸问题;4）MonteCarlo法:非凸问题｡计算一阶导数方法1）梯度法:中小规模开始快;2）共轭梯度法:中大规模收敛快程序简单;3）变尺度法:中大规模收敛快;4）Powell方法:中大规模收敛快｡计算二阶导数方法1）Newton方法:收敛快计算难度大;2）共轭方向法:收敛快计算难度大｡五线性规划

（1）标准形式

1.示例----利润----材料约束----工时约束----电力约束----选值约束标准化:最小等式选值非负｡

2.线性规划的标准模型设计变量目标函数约束方程

3.非标准问题转为标准问题12引入松弛变量有3引入松弛变量有4非零约束引入新变量代替它5可正可负另｡

4.图解p96基本解—m个方程n个未知数得不定解｡可设m-n个未知数为0得到的解称基本解｡个数为可行域—约束允许的区域｡基本可行解—满足非负要求的基本解｡它是可行域的顶点｡二基本可行解的转换

1.基本可行解的形成Gauss消去法转轴运算其中第l行非l行例2不是基本可行解因系数是负的;是基本可行解但不一定是最优解｡

2.基本可行解的转换已选好一组基本变量想转换到另一组用代换某一个有时才能做转轴元素;将入基代替出基后得因是出基元素应有得θ法则—取l行中[]里最小的定为入基元素｡

3.初始基本可行解的求法—令松弛变量等于右端项其余为零｡三单纯形法

1.从基本可行解最后转换到最优解对一组基本可行解有转换到另一基本可行解后得对应的目标函数为令得--相对价值系数要求下降越多越好希望为负越小越好有

2.单纯形法两规则规则—基本可行解转换规则最速下降规则

3.框图

4.矩阵运算数学模型或对于基本可行解有目标函数六非线性规划约束优化一引言

1.约束规划问题

2.方法a.直接方法b.间接方法二数学基础

1.消元法降维法--等式约束

2.Lagrange乘子法—等式约束新目标函数极值条件--l个约束方程说明:因为满足l个约束方程此时则极值相同｡例题:p

391483.Kuhn—Tucker条件问题Kuhn—Tucker条件说明引入松弛因子求极值1233—满足约束方程;2--极值点在边界上;极值点不在边界上在可行域内可作为无约束问题处理｡1可写为--表示各梯度向量和“平衡”｡或可以证明Kuhn—Tucker条件定义:J—起作用的约束的集合｡或证明:图例题p45三惩罚函数法penaltyfunctionmethod

1.内点法问题惩罚函数或r—惩罚因子有惩罚项—函数永远在可行域内越靠近边界惩罚值越大保证不能越过边界｡例:解:

2.外点法惩罚函数惩罚因子例:前例

3.混合法问题惩罚函数例:求球A和圆柱B的最小距离｡已知AB数学模型用内点法或混合法取直接方法一随机方向法

1.在可行域产生一个初始点因约束则--01的随机数｡

2.找k个随机方向每个方向有n个方向余弦要产生kn个随机数随机方向的单位向量为

3.取一试验步长计算每个方向的最优点

4.找出可行域中的最好点得搜索方向｡以为起点为搜索方向得｡最优点必须在可行域内或边界上为此要逐步增加步长｡

5.方法框图p126二复合形法

1.复合形--个顶点构成的封闭图形它是由若干个单纯形组成的｡

2.初始复合形的产生在可行域内产生k个随机点若可行域为凸集则k个顶点在可行域内｡否则内缩p128｡

3.搜索计算各顶点目标函数得计算重心反射点若--不动若--扩张若--收缩内缩､外缩缩边三可行方向法可行方向—约束允许的､函数减小的方向｡图约束边界的切线与函数等高线的切线方向形成的区域｡1．搜索策略:初始点沿负梯度方向;好点在可行域内选之;好点在可行域外缩至边界;在边界沿可行方向｡多目标优化方法

1.引言汽车设计:速度快耗油少成本低结构轻舒适性好振动､噪声｡主目标法统一目标法｡

2.主目标法选第k个为主目标有

3.统一目标法线性加权法理想点法设为的单目标优化点则有或加权分目标乘除法得专题:动态规划

1.引言多阶段决策问题1951年R.Bellman提出最优性原理;重点:离散确定性问题｡目标:在每个阶段采取合适的策略使整个过程最优｡例

2.最优路线问题例:图

11.1由A到B有20条路线走那条最省枚举法:计算100次加法19次比较｡动态规划举例--表示从K到B的最优路线最小费用｡末一级:末二级:;;末三级:;;末四级:;末五级:;末六级:动态规划:24次加法9次比较｡

3.最优原理从A到C的最优轨线是ABCⅠ+Ⅱ则从该轨线上任一点B到C的最优轨线Ⅱ是原轨线BC｡证明:如果存在最优轨线Ⅱ则Ⅰ+Ⅱ是A到C的最优轨线与前提矛盾｡

4.动态规划递推公式时间离散系统的系统方程其中--n维状态向量;--m维控制向量;--时间变量或阶段变量｡性能指标目标函数:--第k阶段的性能指标泛函或代价函数｡定义:--由k级达到末级N的最小性能指标泛函｡分解得动态规划递推公式通常从末级开始有则遗传算法简介近年来发展了一种模拟生物进化的优化方法称为“遗传算法Geneticalgorithm--GA”｡它是在1975年由美国教授J.Holland提出的一种人工智能方法是在计算机上按生物进化过程进行模拟的一种搜索寻优算法｡我们在介绍随机方向法时提到了可以通过计算机产生的一个随机数列做为一个可行的初始方向一个向量然后按一定条件在搜索空间内对函数进行寻优｡类似地按照遗传算法的思路它是把函数的搜索空间看成是一个映射的遗传空间而在此空间进行寻优搜索的可行解看成是由一个向量染色体个体组成的集合群体｡染色体chromosome是由基因gene元素组成的向量｡在遗传算法中目标函数被转化成对应各个个体的适应度fitness适应度是根据预定的目标函数对每个个体染色体进行评价的一个表述可用F表示它反映个体对目标适应的概率｡相应的第i个个体的适应度用Fi表示它可用来表示各个个体的适应性能并据此指导寻优搜索｡Fi值越大说明其性能越好｡计算开始时就是要从随机产生的一系列染色体个体中选择那些适应度高性能好的染色体个体组成初始的寻优群体初始可行解称为“种群”reproduction｡遗传算法先把优化问题的一组基本可行解染色体用二进制或十进制的字符串进行编码例如二进制的字符串001101和100111就可分别表示两个染色体｡其中的一位或几位字符的组合称为一个基因元素｡这两个染色体就可表示二维遗传空间的两个可行解可作为二维遗传空间中的一个寻优的初始点种群｡当然维数越高要求遗传空间内染色体的群体个数越多即和它的维数相对应｡而且遗传空间内的可行解会有多种组合它们组成了可行解的空间｡改变染色体中某个基因所处的位置例如把001101和100111中的后三位字符基因组进行交换即得001111和100101的另外两个染色体可行解它可以作为遗传空间中的一组新的寻优试探点｡这种基因交换称为“杂交”或“交叉”crossover它体现了自然界信息交换的思想｡通过这样不断杂交和不断选择适应度好的染色体的过程可以实现从一个染色体种群可行解向另一个更优的种群的转换｡或者说通过杂交可以使一个染色体种群向另一个比上一代更优秀的种群可行解进化｡从而可以实现在遗传空间内进行大范围的寻优直到满意终止为止｡当然我们这里所列的两个字符串001101和100111所代表的染色体需要从计算机产生的随机数列进行选择择其优秀者组成寻优的初始点｡这一步称为“选择”selection｡…为了提高遗传算法搜索全局最优解的能力还须扩大基因组合这就是“变异”mutation｡变异过程是对某一染色体字符串的某个基因在繁殖过程中实现1→0或0→1的转变以确保染色体群体中遗传基因的多样性保证搜索能在尽可能大的空间中进行避免丢失搜索中有用的遗传信息而导致“过早收敛”陷入局部解从而提高优化解的质量｡通过上面的简单介绍可知遗传算法是由:选择､杂交和变异三个过程组成的｡还可以看出遗传算法和前述多种优化方法的区别在于:

1.遗传算法是多点搜索而不是单点寻优;

2.遗传算法直接利用从目标函数转化成的适应函数而不采用导数等信息;

3.遗传算法采用编码方法而不是参数本身;

4.遗传算法是以概率原则指导搜索而不是确定性的转化原则｡目前遗传算法还存在一些问题主要是计算时要求种群规模较大一般为50—100耗费机时太多难以解决大型结构优化问题一般多用于系统优化问题｡其次是在求解过程中有时会发生过早收敛于局部最优解｡为此需对选择､杂交和变异三个过程进行仔细分析研究｡具体算法请参阅相关文献资料｡群体population→竞争淘汰competition→种群reproduction→婚配crossover→子群subpopulation→变异mutation→新群体…个体individual--解设计方案;染色体chromosome--解的编码字符串向量;基因gene--解的一个分量可用染色体的一个或几个元素来表示｡适应度fitness--适应函数值与目标有关｡例1:求为最大整数的解｡解:初始种群随机适应函数入选种群概率淘汰得种群交配令第一个基因变异得淘汰得种群例2:求的解｡编码取解:初始群体--fit.fx--入选概率--淘汰第四个｡新种群--交配位随机新群体--变异第二个fit.fx--…优越性:1）同时记录多个解方案普遍方法适合多目标､多变量问题｡2）不容易局部最优解｡3）方法简单､灵活｡4）可和其他方法配合求解｡问题:1）不是所有的问题的解都能用编码精确表达;2）约束问题计算量大;方法重点1）解的编码方法;2）群体大小:群体越大解越精确越不易早熟premature但计算量越大;3）适应函数的确定;4）三个算法:种群选取交配变异｡计算步骤1）初始化确定:种群规模N;杂交概率Pc;变异概率Pm;终止准则｡随机选取N个个体做初始种群以染色体编码表示计算的适应度｡2）种群进化根据适应度计算概率选择N个做种群｡选择个进行交配｡选择个进行变异组成新一代种群｡3）终止检验精度要求4）框图5）。