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第四章随机变量的数字特征
1.甲、乙两台自动车床,生产同一种零件,生产1000件产品所出的次品数分别用x,h表示,经过一段时间的考察,知x,h的分布律如下x0123h012p
0.
70.
10.
10.1p
0.
50.
30.2试比较两台车床的优劣解因为Ex=0´
0.7+1´
0.1+2´
0.1+3´
0.1=
0.6;Eh=0´
0.5+1´
0.3+2´
0.2=
0.7故就平均来说,甲机床要优于乙机床
2.连续型随机变量x的概率密度为又知Ex=
0.75,求ka之值解首先由密度函数性质知;又Ex=
0.75,即有;由上述两式可求得k=3a=
23.已知随机变量x的分布律为x-1023p1/81/43/81/4求Ex,E3x-2,Ex2,E1-x2解Ex=-1´1/8+0´1/4+2´3/8+3´1/4=11/8;Ex2=-12´1/8+02´1/4+22´3/8+32´1/4=31/8;E1-x2=1--12´1/8+1-02´1/4+1-22´3/8+1-32´1/4=17/8或者,E1-x2=E1-2x+x2=1-E2x+Ex2=17/
84.若x的概率密度为求1Ex,2Ex2解1中因e-|x|为偶函数,x为奇函数,故xe-|x|为奇函数,且积分区间关于原点对称,该积分又绝对收敛,事实上故Ex=
025.轮船横向摇摆的随机振幅x的概率密度为求1确定系数A;2遇到大于其振幅均值的概率是多少?解1由密度函数性质知即2,
6.一个仪器由两个主要部件组成,其总长度为此二部件长度之和,这两个部件的长度x和h为两个相互独立的随机变量,其分布律如下表x91011h67p
0.
30.
50.2p
0.
40.6试求Ex+h,Exh解因为Ex=9´
0.3+10´
0.5+11´
0.2=
9.9,Eh=6´
0.4+7´
0.6=
6.6,故Ex+h=Ex+Eh=
9.9+
6.6=
16.5;又x和h为两个相互独立的,因此有Exh=Ex·Eh=
9.9´
6.6=
65.
347.已知x,h的联合概率密度为试求Ex2+h2解Ex2+h2=
8.一民航送客车载有20位旅客自机场开出,旅客有10个车站可以下车,如到达一个车站没有旅客下车就不停车以x表示停车的次数,求Ex设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车是相互独立的解引入随机变量易知,,现在求Ex由题设,任一游客在第i站不下车的概率为9/10,因此,20位游客都不在第i站下车的概率为9/1020,在第i站下车的概率为1-9/1020也就是P{xi=0}=9/1020,P{xi=1}=1-9/1020,因此,Exi=1-9/1020故Ex=E次
9.圆的直径用x度量,而x且在[a,b]上服从均匀分布,试求圆的周长和圆的面积的数学期望和方差解由于x服从[a,b]上的均匀分布,因此x的分布密度为而圆的周长L=px,圆的面积A=px2/4,故有EL=Epx=pEx=,DL=Dpx=p2Dx=;EA=px2/4=,又=,因此DA=EA2-EA2==
10.设随机变量x,h相互独立,其概率密度分别为,试求Exh,Dx+h解因为,,,,又x与h是独立的,故有Exh=Ex´Eh=1´1=1;Dx+h=Dx+Dh=
11.设随机变量x与h相互独立,且Ex=Eh=0,Dx=Dh=1,求Ex+h2解Ex+h2=Ex2+2xh+h2=Ex2+2Exh+Eh2,又x与h相互独立,因此Exh=Ex´Eh,而Dx=,同理故有Ex+h2=Ex2+2xh+h2=Ex2+2Ex´Eh+Eh2=+2Ex´Eh+=1+1=
212.若连续型随机变量的概率密度是且已知Ex=
0.5,Dx=
0.15,求系数abc解因为,即有
①又Ex=
0.5,故
②又Ex=
0.5,Dx=
0.15,因而Ex2=
0.4,因此
③解
①、
②、
③组成的方程组,解得a=12,b=-12,c=
313.设随机变量x有分布函数求E2x+1,D4x解先求x的分布密度函数故,因此从而有E2x+1=2Ex+1=,D4x=16Dx=
14.证明当k=Ex时,Ex-k2的值最小,且最小值为Dx解Ex-k2=E[x-Ex+Ex-k]2=Ex-Ex2+2Ex-ExEx-k+EEx-k2=Ex-Ex2+EEx-k2=Dx+EEx-k2³Dx即当k=Ex时,Ex-k2取得最小值Dx
15.如果x与h相互独立,不求出xh的分布,直接用x的分布和h的分布能否计算出Dxh,怎样计算?解因为x与h相互独立,故Dxh=Exh2-[Exh]2=Ex2h2-ExEh2=Ex2Eh2-Ex2Eh
216.一台仪器有10个独立工作的元件组成,每一个元件发生故障的概率为
0.1,试求发生故障的元件数的方差解引入随机变量易知,,,故x
17.设随机变量x服从瑞利Rayleigh分布,其概率密度为求Ex,Dx解=
18.若x1,x2,x3为相互独立的随机变量,且试求的数学期望和方差解,故
19.设二维随机变量x,h的联合分布律为hx-101-11/81/81/801/801/811/81/81/8计算rxh,并判断x与h是否独立证明由题得xh的边际分布律各为x-101h-101pi.3/82/83/8p.j3/82/83/8∵pij≠pi.·p.j,ij=123故x与h不独立又∴∴,即x与h不相关
20.设二维随机变量x,h的联合概率密度为试验证x和h是不相关的,但x和h并不相互独立解先求fxxfhy:同理显然,fxy¹fxxfhy,故x与h不独立又故∴,即x与h不相关
21.设随机变量x,h的联合概率密度为求Ex,Eh,Covx,h解∵∴
22.设有随机变量x和h,已知Dx=25,Dh=36,rxh=
0.4,计算Dx+h,Dx-h解由于故DX+Y=61+24=85,DX-Y=61-24=
3723.证明当x,h不相关时,有1Exh=Ex·Eh2Dx±h=Dx+Dh证明1因为,由题知x,h是不相关的,故rxh=0,因此,有Exh=Ex·Eh2Dx±h=Ex±h2-[Ex±h]2=E[x2±2xh+h2]-[Ex2±2ExEh+Eh2]=Ex2-Ex2+Eh2-Eh2±2ExEh2ExEh=Dx+Dh
24.设x,h在试求rxh解因为x,h在,故联合密度为∵∴
25.设x,的联合概率密度为证明x与h不独立,但x2与h2独立解x与h的边际概率密度为同理显然,fxy¹fxxfhy,故x与h不独立令,则当z≤0时,;当0z1时,;当z≥1时,故类似地可求得h1的分布密度函数为令x1,h1的分布函数为Fzw,则有当z≤0或w≥0,易知Fzw=0;当0z1,0w1时,;当z≥1,0w1时,;当0z1,w≥1时,;当z≥1或w≥1,Fzw=1;故x1,h1的联合分布密度函数为因此有,即x1,h1是相互独立的
26.设x1,x2为独立的随机变量,且都服从N0,σ2,记解∵而
27.设随机变量x服从指数分布,其概率密度为试求k阶原点矩Exk解Exk=。