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第二章练习题(答案)
一、单项选择题1.已知连续型随机变量X的分布函数为则常数k和b分别为(A)(A)(B)(C)(D).
2.下列函数哪个是某随机变量的分布函数(A)A.f(x)=a>0;B.f(x)=C.f(x)=D.f(x)=
3.若函数是某随机变量的概率密度函数,则一定成立的是(C)A.的定义域是
[01]B.的值域为
[01]C.非负D.在内连续
4.设,密度函数为,则有(C)A.B.C.D.
5.设随机变量,,记,,则正确的是(A).(A)对任意,均有(B)对任意,均有(C)对任意,均有(D)只对的个别值有
6.设随机变量,则随着的增加(C)A.递增B.递减C.不变D.不能确定
7.设F1x与F2x分别为随机变量X
1、X2的分布函数为使Fx=aF1xbF2x是某一随机变量的分布函数在下列给定的多组数值中应取AA.a=b=;B.a=b=;C.,;D..
8.设X1与X2是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度函数分别为f1x和f2x,分布函数分别为F1x和F2x,则DAf1x+f2x必为某个随机变量的概率密度;(B)f1x•f2x必为某个随机变量的概率密度;(C)F1x+F2x必为某个随机变量的分布函数;DF1x•F2x必为某个随机变量的分布函数
9.设连续随机变量的密度函数满足,是的分布函数,则DA;B;C;D.
10.每次试验成功率为,进行重复试验,直到第十次试验才取得4次成功的概率为(B)
11.设随机变量X的概率密度为fx=e-|X|-<x<+则其分布函数F(x)是(B)(A)F(x)=(B)F(x)=(C)F(x)=(D)F(x)=
二、填空题
1.设随机变量的概率密度为且,则=.
2.已知随机变量的分布函数,则的分布律为3.设三次独立试验中,事件A出现的概率相等,如果已知A至少出现一次的概率等于,则事件A在一次试验中出现的概率为1/3.
4.X~B2pY~B4p已知p{X≥1}=则p{Y≥1}=
三、计算题
1.设连续型随机变量的分布函数为.求1常数A和B;2落入区间的概率;3的概率密度
(1)A=1/2B=1/π;21/2;3fx=-∞<x<∞
2.设连续型随机变量X的分布函数为其中a0求:1常数A、B;2;3概率密度fx.
(1)A=1/2B=1/π;21/3;3fx=
3.若ζ~U
[05]求方程+ζx+1=0有实根的概率.4.设连续型随机变量的概率密度为求
(1)系数;
(1)的分布函数;
(3).5.已知随机变量X的概率密度为求随机变量
(1),
(2)
(3)的概率分布.
6.设X~N(0,1)求Y=X2的概率密度
7.进行一系列独立试验,每次试验成功的概率均为,试求以下事件的概率
(1)直到第次才成功;
(2)第次成功之前恰失败次;
(3)在次中取得次成功;
(4)直到第次才取得次成功解
(1)
(2)
(3)
(4)
8.投掷次均匀硬币,求出现正反面次数相等的概率解若为奇数显然出现正反面次数不可能相等故所求概率为0;若为偶数“出现正反面次数相等”等价于“出现正反面次数各次”,投掷次均匀硬币,可以看作伯努里概型,故这时概率为故所求为
9.某科统考成绩近似服从N7010²在参加统考的人数中,及格者100人(及格分数为60分),计算
(1)不及格人数;
(2)成绩前10名的人数在考生中所占的比例;
(3)估计排名第10名考生的成绩解设考生的统考成绩为XX~N7010².设参加统考的人数为n则P{x≧60}=1-Ø=Ø
(1)=
0.8413=
0.
8413.不及格人数占统考人数的
15.87%,不及格人数为
0.1587n≈19人前10名考生所占比例为≈
8.4%设第10名考生成绩为P{X≧}=
0.08413P{X}=
0.91587Ø=
0.91587=
1.37=
83.7≈84分
10.离散型随机变量x的分布函数Fx=且px=2=.求ab及x的分布律.
11.巴拿赫火柴盒问题波兰数学家巴拿赫(Banach)随身带着两盒火柴,分别放在左右两个衣袋里,每盒各有n根火柴每次使用时,他随机地从其中一盒中取出一根试求他将其中一盒火柴用完,而另一盒中剩下k根火柴的概率解A“取左衣袋盒中火柴”,B“取右衣袋盒中火柴”PA=PB=1/
2.若Banach首次发现他左衣袋盒中火柴用完,这时事件A已经是第n+1次发生了,而此时他右衣袋盒中火柴恰好剩k根—相当于他在此前已在右衣袋中取走了n-k根火柴,即B发生了n-k次,即一共做了n-k+n+1=2n-k+1次随机试验,其中A发生了n+1次,B发生了n-k次,在这2n-k+1次试验中,第2n-k+1次是A发生,前面的2n-k次试验中,A发生了n次,B发生了n-k次,这时概率为PA=由对称性知,他右衣袋盒中火柴用完,而左衣袋盒中火柴恰好剩k根的概率也是所以,将其中一盒火柴用完,而另一盒中剩下k根火柴的概率为
四、应用题
1.某家电维修站保养本地区某品牌的600台电视机,已知每台电视机的故障率为
0.005
(1)如果维修站有4名维修工,每台只需1人维修,求电视机能及时维修的概率
(2)维修站需配备多少维修工,才能使及时维修的概率不少于96%解设同一时刻发生故障的电视机台数为XX~B600,
0.005,由于n很大,而P较小,可以利用泊松定理计算λ=np=3所以P{X≦4}=1-
0.1847=
0.8153(查表)P{X≦n}≧
0.96查表知n=6即需配备6名维修工
2.人寿保险问题某单位有2500个职工参加某保险公司的人寿保险根据以前的统计资料,在1年内每个人死亡的概率为
0.0001每个参保人1年付给保险公司120元保险费,而在死亡时其家属从保险公司领取20000元,求(不计利息)下列事件的概率(A)保险公司亏本(B)保险公司1年获利不少于十万元解设这2500人中有k个人死亡则保险公司亏本当且仅当20000k>2500*120,即k>
15.由二项概率公式知,1年中有k个人死亡的概率为k=0122500所以,保险公司亏本的概率PA=≈
0.000001由此可见保险公司亏本几乎不可能保险公司1年获利不少于十万元等价于2500*120-20000k≥即k≤10保险公司1年获利不少于十万元的概率为PB=≈
0.999993662由此可见保险公司1年获利不少于十万元几乎是必然的对保险公司来说,保险费收太少了,获利将减少,保险费收太多了,参保人数将减少,获利也将减少因此在死亡率不变与参保对象已知的情况下,为了保证公司的利益,收多少保险费就是很重要的问题(C)从而提出如下的问题对2500个参保对象(每人死亡率为
0.0001)每人每年至少收多少保险费才能使公司以不低于
0.99的概率每年获利不少于10万元?(赔偿费不变)由上面知,设x为每人每年所交保险费,由2500x-20000k≥得x≥8k+40这是一个不定方程又因=
0.99784>
0.99,故x≥56,即2500个人每人每年交给公司56元保险费,就能使公司以不低于
0.99的概率每年获利不少于10万元由于保险公司之间竞争激烈,为了吸引参保者,挤垮对手,保险费还可以再降低,比如20元,只要不亏本就行因此保险公司将会考虑如下问题(D)在死亡率与赔偿费不变的情况下,每人每年交给保险公司20元保险费,保险公司至少需要吸引多少个参保者才能以不小于
0.99的概率不亏本?解设y为参保人数,k仍为参保者的死亡数,类似地有20y-20000k≥0即y≥1000k此仍是一个不定方程当k=1y≥1000=
0.09049又=
0.90483,从而=
0.99532所以保险公司只需吸引1000个人参保就能以不小于
0.99的概率不亏本
五、证明题
1.设随机变量具有对称的分布密度函数,即,记它的分布函数为证明对任意的,有
(1);
(2);
(3)解
(1)由于故,,因而,,即证
(1)式;
(2)由
(1)式,,即得
(2)式;
(3)由
(2)式,即得
(3)式X-113P
0.
40.
30.3。