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《概率论与数理统计》第二章复习题解答
1.将4只球(1-4号)随机放入4只盒子(1-4号)中去,一只盒子只放一球.如一只球装入了与之同号的盒子称形成了一个配对.记为总的配对数求的分布律.解;——因为当3个球形成配对时,另1个球一定也形成配对;——当4个球中的某2个形成配对时,另2个球(标号ab)都不形成配对的放法只1种,即分别放入标号ba的盒中;——当4个球中的某1个形成配对时,另3个球都不形成配对的放法只2种以abc记3个空盒的号码排列,则3个球只能以bca或cab的次序对应放入3个盒中;.于是,分布律为X01234pk9/241/31/401/
242.盒中装有10个大小相等的球编号为0-
9.从中任取一个在号码“小于5”、“等于5”、“大于5”三种情况下,分别记随机变量求的分布律、分布函数、分析服从什么分布.解
(1)10个球中号码“小于5”、“等于5”、“大于5”分别有
5、
1、4个,于是的分布律为X012pk
0.
50.
10.4
(2)的分布函数为;
(3)分布律为Y01pk
0.
10.9即服从参数为
0.9的0-1分布.
3.设随机变量的分布密度为.求
(1)的值;
(2);
(3)的分布函数;
(4)的分布密度.解
(1),;
(2);
(3);
(4)求导得.
4.根据历史资料分析某地连续两次强地震间隔的年数的分布函数为,现在该地刚发生了一次强地震,求
(1)今后3年内再发生强地震的概率;
(2)今后3-5年内再发生强地震的概率;
(3)的分布密度,指出服从什么分布.解
(1);
(2).
(3)的分布密度,故服从参数为10的指数分布.
5.
(1)设且求.
(2)设且求.
(3)设,试分析当时,概率的值将如何变化.解
(1),,故,.从而.
(2)且即亦即又.从而于是.
(3),故.故当时,概率的值保持不变始终是常数
0.
6826.
6.设某城市男子的身高单位:cm.
(1)应如何设计公共汽车的车门高度才能使该地男子与车门碰头的概率小于
0.01?
(2)若车门高度为182cm求100个男子中会与车门碰头的人数至多是1的概率.解
(1)设公共汽车的车门高度应为cm.则要使只须从而只要于是即可.
(2)若车门高度为182cm则1个男子会与车门碰头的概率为设100个男子中会与车门碰头的人数为于是从而.
7.设带有3颗炸弹的轰炸机向敌人的铁路投弹若炸弹落在铁路两旁40米以内即可破坏铁路交通.记弹落点与铁路的距离为单位:米落在铁路一侧时的值为正落在另一侧时为负.的概率密度为若3颗炸弹全部使用求敌人铁路交通受到破坏的概率.解1颗炸弹落在铁路两旁40米以内的概率为设3颗炸弹中落在铁路两旁40米以内的颗数为则,从而至少1颗炸弹落在铁路两旁40米以内(可破坏铁路交通)的概率为
8.设证明:当时仍服从均匀分布.证明,,而求导得.又因为,故.即当时在上服从均匀分布.证毕.
9.
(1)设的分布密度用分布函数法求的分布密度;
(2)设用公式法求的分布密度.解
(1)求导得注意到当且仅当时取非零表达式,故
(2),,而当时单调可导;反函数为,;,由定理知
10.试证明若则其中是非负整数.(即几何分布具有“无记忆性”证明,,由上一步结果知,故对任意非负整数成立.即几何分布与指数分布一样,具有“无记忆性”.证毕.。