还剩61页未读,继续阅读
本资源只提供10页预览,全部文档请下载后查看!喜欢就下载吧,查找使用更方便
文本内容:
概率论与数理统计课后习题(1-4单元)第一单元1.解
(1)A1∪A2=“前两次至少有一次击中目标”;
(2)=“第二次未击中目标”;
(3)A1A2A3=“前三次均击中目标”;
(4)A1A2A3=“前三次射击中至少有一次击中目标”;
(5)A3-A2=“第三次击中但第二次未击中”;
(6)A3=“第三次击中但第二次未击中”;
(7)=“前两次均未击中”;
(8)=“前两次均未击中”;
(9)A1A2A2A3A3A1=“三次射击中至少有两次击中目标”.
3.解123ABC4ABC5678ABACBC
4.解1A=BC2=
5.解设A=“从中任取两只球为颜色不同的球”则:6.解记A=“从中任取三件全为次品”,样本点总数为,A包含的样本点数为,所以PA==1/
49007.解1组成实验的样本点总数为组成事件1所包含的样本点数为所以P1=
0.20222组成事件2所包含的样本点数为所以P2=
0.00013组成事件3所包含的样本点数为,所以P3=
0.78644事件
(4)的对立事件,即事件A=“三件全为正品”所包含的样本点数为,所以P4=1-PA=1-
0.21365组成事件5所包含的样本点数为,所以P5=
0.
011348.解
(1)P(A)=2因为不含1和10,所以只有2-9八个数字,所以PB=3即选择的7个数字中10出现2次,即,其他9个数字出现5次,即,所以PC=4解法110可以出现2,3,…7次,所以解法2其对立事件为10出现1次或0次,则PD=5因为最大为7,最小为2,且2和7只出现一次,所以3,4,5,6这四个数要出现5次,即样本点数为,所以PE=
9.证明∵AB同时发生必导致C发生∴ABC,即PC≥PAB∵PA∪B=PA+PB-PAB∴PAB=PA+PB-PA∪B∵PA∪B≤1∴PAB≥PA+PB-1∴PC≥PA+PB-1上述得证
10.证明因为P=P=1–PAB=1–PA–PB+PAB因为PA=PB=1/2所以P=1–1/2–1/2+PAB所以P=PAB
11.解记“订日报的住户”为PA,“订晚报的住户”为PB,根据题意,易知PAB=70%则PAB=PA+PB-PAB=40%+65%-70%=35%答同时订两种报纸的住户有35%
13.解解法1设=“取出的两只球中有黑球”;=“取出的两只球中有i只黑球”(i=12);因为A1A2互不相容,所以;解法2设=“取出的两只球中有黑球”;
15.解因为A、B互不相容,即AB=,所以,所以PA=PA所以PA/=PA/P==
0.3/1-
0.5=
0.
616.解PB|A=PAB/PA因为PA=1-P=1-
0.3=
0.7,所以PA=PA-AB=PA-PAB=
0.7-PAB=
0.5即PAB=
0.2又因为PA=PA+P-PA=
0.7+1-
0.4-
0.5=
0.8所以PB|A=PAB/PA=
0.
2517.解设“第三次才取到正品”为事件A,则因为要第三次才取到正品,所以前两次要取到次品第一次取到次品的概率为,第二次取到次品的概率为,第三次取到正品的概率为即第三次才取到正品的概率为
0.
008318.解法1设A,B,C分别为“第一,第二,第三个人译出”的事件,则PA=1/5PB=1/3PC=1/4因为三个事件独立,所以PAB=PAPB=1/15PAC=PAPC=1/20PBC=PBPC=1/12PABC=PAPBPC=1/60所以P=PA+PB+PC-PAB-PBC-PAC+PABC=3/5解法2设A=“至少有一人能译出”,则=“三个人均不能译出”,所以
19.解设PAPBPC分别为第一,二,三道工序不出废品的概率则,第一二三道工序均不出废品的概率为PABC因为各工序是否出废品是独立的所以PABC=PAPBPC=
0.
90.
950.8=
0.
68420.解根据题意:该题为伯努利事件n=9p=
0.7k=56789所求事件概率为P=b
590.7+b
690.7+b
790.7+b
890.7+b
990.7=
0.
90121.解该题为伯努利事件
(1)设事件A=“恰有2个设备被使用”,则PA=b2;
50.1=
0.121-
0.15-2=
0.0729
(2)设事件B=“至少有一个设备被使用”则=“没有一个设备被使用”所以PB=1-P=1-b0;
50.1=1–
0.101-
0.15-0=
0.
4095122.解该题为全概率事件设=“从甲袋中取出两球中有i只黑球”i=012,B=“从乙袋中取出2球为白球”,则答再从乙袋中取出两球为白球的概率为
23.解该题为全概率事件设=“敌舰被击中i弹”(i=0123),B=“敌舰被击沉”,则根据题意P=
0.6×
0.5×
0.3=
0.09P=
0.4×
0.5×
0.3+
0.4×
0.5×
0.3+
0.6×
0.5×
0.7=
0.36P=
0.4×
0.5×
0.3+
0.5×
0.7×
0.6+
0.4×
0.7×
0.5=
0.41P=
0.4×
0.5×
0.6=
0.14PB∣=0PB∣=
0.2PB∣=
0.6PB∣=1根据全概率公式有即敌舰被击中的概率为
0.
458.
24.解设A1为“从2500米处射击”,A2为“从2000米处射击”,A3为“从1500米处射击”,B为“击中目标”,由题知PA1=
0.1PA2=
0.7PA3=
0.2PB|A1=
0.05PB|A2=
0.1PB|A3=
0.2所以所以,由2500米处的大炮击中的概率为PA1|B=PB|A1PA1/PB=
0.005/
0.115=
0.
043525.解设事件A1为“原发信息是A”,事件A2为“原发信息是B”B为事件“接收到的信息为A”,则
26.解
(1)设在n个指定的盒子里各有一个球的概率为PA,在n个指定的盒子里各有一个球的概率第一个盒子里有n个球可以放入,即有n种放法,第二个盒子里有n-1种放法……那么事件A的样本点数就是n!,样本点总数是Nn ,所以 PA= 2设n个球落入任意的n个盒子里中的概率为PB因为是N个盒子中任意的n个盒子,所以样本点数为所以
27.解设A=“该班级没有两人生日相同”,则:
28.解1因为最小号码是5,所以剩下的两个数必须从6,7,8,9,10五个数中取,所以样本点数为,样本点总数为,所以2因为最大号码是5,所以剩下的两个数必须从1,2,3,4五个数中取,所以样本点数为,样本点总数为,所以3因为最小号码小于3,所以若最小号码为1,则剩下的两个数必须从2-10九个数中取,所以样本点数为,样本点总数为;若最小号码为2,则剩下的两个数必须从3-10八个数中取,所以样本点数为,样本点总数为,所以
29.解
(1)设“恰好第三次打开门”为事件A,则
(2)设A=“三次内打开门”,A1=“第一次打开”,A2=“第二次打开”,A3=“第三次打开”,则
30.解设A=“已有一个女孩”B=“至少有一个男孩”则PB/A=PAB/PA=6/8/7/8=6/
731.解设A1=“取一件为合格品”,A2=“取一件为废品”,B=“任取一件为一等品”,则
32.解甲获胜乙获胜第一局
0.
20.
80.3第二局
0.
80.
70.
20.
80.
70.
80.3第四局…………所以获胜的概率P1为所以乙获胜的概率P2为因为P1+P2=1,所以.
33.解设事件A0为“笔是从甲盒中取得的”,事件A1为“笔是从乙盒中取得的”,事件A2为“笔是从丙盒中取得的”;事件B为“取得红笔”,则:
34.解Ai为三个产品中不合格的产品数(i=0,1,2,3),A
0、A
1、A
2、A3构成完备事件组,B为“能出厂”,则,P(B/A0)=(
0.99)3,P(B/A1)=(
0.99)
20.05,P(B/A2)=(
0.99)(
0.05)2,P(B/A3)=(
0.05)3P(B)=P(B/A0)P(A0)+P(B/A1)PA1+P(B/A2)PA2+P(B/A3)P(A3)=
0.
862935.解:图a设A为“系统正常工作”,A为“第一条线路不发生故障”,A为“第二条线路不发生故障”,则:P(A1)=PA2=P,PAA=PAPA=p6P(A)=PAA=PA+PA-PAA=2p-p图b:设B为“系统正常工作”,B1为“1正常工作”,B2为“2正常工作”,B3为“
3.正常工作”,则PB1=PB2=PB3=2p-pPB=PB1B2B3=PB1PB2PB3=2p-p=8p-12p+6p-pPB-PA=6p-12p+6pp=
0.90B系统正常工作的概率大
36.解设事件A为计算机停止工作,则为计算机正常工作,则P=(1-
0.0005)2000=
0.99952000PA=1-P()=1-
0.99952000=
0.6322第二单元1设Ω为某一随机试验的样本空间,如果对于每一个样本点ω∈Ω,有一个实数Xω与之对应,这样就定义了一个Ω上的实值函数X=Xω,称之为随机变量随机变量的定义域是样本空间,也就是说,当一个随机试验的结果确定时,随机变量的值也确定下来因此,如不与某次试验联系,就不能确定随机变量的值所谓随机变量,实际上是用变量对试验结果的一种刻画,是试验结果即样本点和实数之间的一个对应关系,不过在函数概念中,函数fx的自变量是实数x,而在随机变量的概念中,随机变量的自变量是试验结果即样本点随机变量的取值随试验结果而定2解
(1)第一次取得次品,即取出0件正品,可表示为{X=0}
(2)最后一次取得正品就是已取出9件正品,即{X=9}
(3)前五次都未取得次品,就是至少已取出5件正品,即{X5}
(4)最迟在第三次取得次品,就是最多取得两件正品,即{X2}
3.解PX=1=0PX=2=0PX=3==
0.1PX=4==
0.3PX=5==
0.6随机变量X的概率分布为
4.解
(1)则P{X=k}=
(2)P{X=1或X=4}=P{X=1}+P{X=4}=+=
(3)P{-1X}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}==5.解X的可能取值有1234所以X的概率分布为X1234P1/143/73/71/
146.解X=0时X=1时X=2时X012P1/53/51/5把每次抽到白球看作一次实验,对抽到白球的个数看作3重伯努利概型,故X服从参数为n=3,p=1/3的二项分布,即X~B31/3其概率分布为
7.解
(1)
(2)
(3)∵“至少有一部电话未被使用”的对立事件为“所有电话都被使用”∴
(4)15-10=5∴应再安装5部电话8.解:由题意可得X服从参数为6的泊松分布,即=6,所以当k=0时=所以明年没有此类文章的概率为.
9.解
(1)P==2==
10、解图示
11.解两次都没击中即得-2分的概率P1一次击中一次未中即得1分的概率P2两次都击中即得4分的概率P3∴其概率分布图为X-214P
0.
490.
420.09∴X的分布函数为12.解
(1)因为分布函数右连续所以1=A×1A=1
(2)因为P{x1/2}=1-P{x≤1/2}=1-F1/2=1-1/2=1/23P{-1x≤2}=F2-F-1=1-0=113.14.解
(1)0+=12P{0x}=FF0=3=1==15.
19、解
(1)
(2)即得(与前提不符)所以
(3)当与条件不符得所以
20、
(1)234解
(1)由2
(3)
423.解因为X~N72所以~N01由题意得P{X96}====1-=
0.023所以=
0.977查表得=
2.00所以=
1.00因为==
20.8413-1=
0.
682624.解由题可得P
0.
10.
30.
30.
20.1X-2-1012Y=2X+3-1135741014所以可知Y-11357P
0.
10.
30.
30.
20.1Z014P
0.
30.
50.225.解
26.解
27.解由题可知,X的概率密度为
(1)由于Y=e0,故当y0时,当y0时,即从而,Y的概率密度为
(2)由于Y=X0故当y0时,当y0时,即从而,Y的概率密度为
28.解由题由于Y=-1-1故当y-1时,当y-1时,即从而,Y的概率密度为
29.解设x为球的直径,责球的体积为,已知x满足当时30.解将n把钥匙编号为12,……n假设编号为1的钥匙能打开门1)法一因钥匙已编号,将用过的钥匙依次排列,则n把钥匙的每个排列就是一个基本事件,所以基本事件总数为数码12,……n的全排列!因为在第k个位置上排列的钥匙一定是编号等于1的钥匙的个数只有一种排法,在其他n-1个位置上钥匙的排列种数为(n-1)!即事件的基本事件数等于(n-1)!法二只关心第k次取到什么编号的钥匙,不考虑其他因素所以,样本空间的基本事件总数就是第k次可能摸到球的个数为n.的基本事件数为n编号为1的钥匙的个数为12),而第k次首次摸到编号为1的钥匙只有一种结果31.解甲投篮次中止游戏,则伴随前面甲与乙都有一次未投中,所以乙投篮次中止游戏,则伴随前面甲有n次与乙有n-1次未投中,所以(k=1,2,3…)所以,X的分布律(k=1,2,
3...)Y的分布律当时,(k=1,2,3…)
32.解因为X~P(),所以(k=1,2,3…)因为,所以所以所以33.解1
①∴a+b=11
②∵p{x}=∴p{x}=又p{x}=∴即a+4b=32由1)、2)式得a=1b=2p{x}=F-F=*[+--]=3由p{xc}=5/32得即(4c-1)4c+5=0C=或c=∵当x0或x1时Fx=0∴c=舍去∴c=
34.解由题意知X满足正态分布,则有X的分布函数X的概率密度
35.解
(1)
(2)
(3)
36.解
(1)
37.解由题意得
38.解由题意得39解任取一只元件,其寿命大于1500h的概率为PX1500=以Y记所取5只中寿命大于1500h的元件的数目,则Y服从二项分布B5故所求概率为
40.解由题,X服从二项分布,即P{X=k}=P{X=0}==
0.216P{X=1}==
0.432P{X=2}==
0.288P{X=3}==
0.064X0123P
0.
2160.
4320.
2880.064Y=0110Z=sin010-1故Y的概率分布为Y01P
0.
280.72故Z的概率分布为Z-101P
0.
0640.
5040.
43241.证明充分性Y=由可得又当时,当x0时,当x1时,即从而,X的概率密度为故,X~U
[01]重要性由X~U
[01]可得,又Y=当y0时,此时0x1当y0时,从而,Y的概率密度为故,Y=~Exp
242.解考察函数y=0x其反函数为此时,0y1当y1时,当时,从而,Y的概率密度为第三单元
1.1YX01025/365/3615/361/362YX01015/225/3315/331/
662.1c=
42343.
124.
5.
6.y/x-11p3/85/87解
8.设x与y相互独立,概率分布为x01p
0.
30.7y01p
0.
20.8则(c)a.x=yb.px=y=1c.px=y=
0.62d.px=y=09.解所以选择D
10.A.CYX
01200.
30.
050.
05100.
10.
220.
20.10A.X与y不独立b.x与y独立c.x的边缘概率分布为x012p
0.
40.
30.3D.y的边缘概率分布为y012p
0.
40.
30.
3.
12.yx0120001/35106/356/3523/3512/353/3532/352/
35013.
10.01+
0.01+
0.03+
0.05+
0.07+
0.09+
0.01+
0.02+
0.04+
0.05+
0.06+
0.08=
0.
5220.01+
0.02+
0.05+
0.06=
0.1431-
0.01+
0.01+
0.03+
0.01+
0.01+
0.04=
0.
8914.YX01/31-101/121/301/60025/1200Y01/317/121/121/315.
17.1X与Y的概率分布如下YX01pi025/365/365/615/361/361/6pj5/61/61关于X的边缘分布律为X01P5/61/6关于Y的边缘分布律为Y01P5/61/6对于
(2)X与Y的概率分布,关于X的边缘分布律为X01P5/61/6关于Y的边缘分布律为Y01P5/61/
618.解x的边缘密度函数为Y的边缘密度函数为
19.解
(1)
(2)20.X与Y相互独立Pi*Pj=PijYX-1/213Pi21/81/161/161/4-11/61/121/121/301/241/481/481/121/21/61/121/121/3Pj1/21/41/
4121.
12322、解1X服从
[01]上的均匀分布=X和Y事相互独立fxy==2若a有实根,则Y1P{Y}==1-≈a39353由题意得P{X}=
0.2=
0.06够卖的概率为
0.
0623.解P{X=0,Y=0}==P{X=1,Y=0}=P{X=2,Y=0}=P{X=0,Y=1}==P{X=1,Y=1}=P{X=0,Y=2}=P{X=1,Y=2}=0X、Y的联合分布YX012010200=2X+Y01234P
0124、解110+13+17=4012+15+19=46X=可取40,41,42,43,44,45,462由题意得P{X=46}=
0.1不够卖的概率是
0.
0013.由题意得P{X40}=
0.
20.
30.1=
0.06购卖的概率是
0.
0625、解X与Y独立a1++=1a=1++=1b=则P{X=k}=P{Y=-k}=k=
1、
2、3YX-1-2-3123则(XY)1,-11,-21,-32,-12,-22,-33,-13,-23,-3PX+Y0-1-210-1210X+Y-2-1012P
26、解设二维随机变量(XY)的密度函数为fxy=-求Z=的密度函数解
(1)当Z时,=P{}=0
(2)当Z0时,=P{}====1-==第四单元1E(X)=0×1/3+1×1/6+2*1/2=7/62EX=4*
0.5+5*
0.2+6*
0.1+7*
0.1+8*
0.04+9*
0.03+10*
0.03=
5.91说明书后答案有误
3.EX=
480.1+
490.1+
500.6+
510.1+
520.1=50EY=
480.2+
490.2+
500.2+
510.2+
520.2=
504.X-1023P1/81/43/81/4X1049EX=-11/8+0+23/8+31/4=11/8EX=11/8+0+43/8+91/4=31/85X1234P
0.
20.
10.
60.1Ex=
10.2+
20.1+
30.6+
40.1=
2.66由题得
11.设离散型随机变量X的分布为X012P1/31/61/2求D(X)解由题意得,
12.离散型随机变量X的分布为X45678910P
0.
50.
20.
10.
10.
040.
030.03求D(X)解
13、设随机变量x的分布为X-1023P1/81/43/81/4求DX解EX=-1/8+6/8+3/4=11/8EX2=1/8+2/3+9/4=31/8DX=31/8-11/82=127/
6422.解同理同理同理同理综上所述23解∵Ex=
0.5即(-1)×
0.3+1×
0.2+2×b=
0.5∴b=
0.3又∵
0.3+a+
0.2+
0.3=1∴a=
0.2∴P{X2≥1}=P{X≥1}+P{X≤-1}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=-1}=
0.2+
0.3+
0.3=
0.
826.解设第一种方案的盈亏情况为X,第二种方案为X,第三种方案为XX-350300500X0450450X100150-100P10﹪20%70%EX=-
3500.1+
3000.2+
5000.7=60EX=
00.1+
4500.2+
4500.7=
121.5EX=
1000.1+
1500.2+-
1000.7=-30由题意可知,期望值越大,则方案越佳因此,第二方案最佳
27.由题意可知甲,乙相互独立E(X1)=
8.69EX2=
8.64EX1X2=EX1EX2=
75.0816EX1+X2=EX1+EX2=
17.
3329.设随机变量X的概率分布为P{X=k}=k=12345求解:已知此为离散的随机变量,且P{X=k}=k=12345所以=31+4+9+16+25=1130解其它即pt服从指数分布由此得Et=1/v31解1设每一把钥匙为能开门的那把概率为Fx2几何分布Ex=33解本题符合二项分布,则有公式E(x)=npp=所以E(x)=150×=1035解由题可得X234……nppq+qpppq+qqppppq+qqqp……pq^n-1+qp^n-1q=1-p所以服从几何分布由此得EX=1/p-p+1/q-q=p^2-p+1/p1-p36解YX0100010200X012P由此得出Y01P由此得出01P由此得出38解因为(X,Y)在矩形区域D=内又=axb=axb=cyd===Ey===Exy=====0又39证
1、当时,,因为所以当时,,,,所以同理得因为,即,所以X与Y不相关
2、因为,所以,即X与Y不独立YX
0.21011012Dxy0abcd。