还剩37页未读，继续阅读
本资源只提供10页预览，全部文档请下载后查看！喜欢就下载吧，查找使用更方便
文本内容:
第4章数字特征与特征函数
1、设是事件A在n次独立试验中的出现次数，在每次试验中，再设随机变量视取偶数或奇数而取数值0及1，试求及
2、袋中有k号的球k只，，从中摸出一球，求所得号码的数学期望
3、随机变量取非负整数值的概率为，已知，试决定A与B
4、袋中有n张卡片，记号码12…n从中有放回地抽出k张卡片来，求所得号码之和的数学期望及方差
5、试证若取非负整数值的随机变量的数学期望存在，则
6、若随机变量服从拉普拉斯分布，其密度函数为试求，
7、若相互独立，均服从，试证
8、甲袋中有只白球只黑球，乙袋中装有只白球只黑球，现从甲袋中摸出只球放入乙袋中，求从乙袋中再摸一球而为白球的概率
9、现有n个袋子，各装有只白球只黑球，先从第一个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第二个袋子中，再从第二个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第三个袋子中，照这样办法依次摸下去，最后从第n个袋子中摸出一球并记下颜色，若在这n次摸球中所摸得的白球总数为，求
10、在物理实验中，为测量某物体的重量，通常要重复测量多次，最后再把测量记录的平均值作为该体质重量，试说明这样做的道理
11、若的密度函数是偶函数，且，试证与不相关，但它们不相互独立
12、若的密度函数为，试证与不相关，但它们不独立
13、若与都是只能取两个值的随机变量，试证如果它们不相关，则独立
14、若，试证的相关系数等于的相关系数
15、若是三个随机变量，试讨论
（1）两两不相关；
（2）；
（3）之间的关系
16、若服从二元正态分布，证明与的相关系数，其中
17、设服从二元正态分布，，试证
18、设与独立，具有相同分布，试求与的相关系数
19、若服从，试求
20、若及分别记二进制信道的输入及输出，已知，，试求输出中含有输入的信息量
21、在12只金属球中混有一只假球，并且不知道它比真球轻还是重，用没有砝码的天平来称这些球，试问至少需要称多少次才能查出这个假球，并确定它比真球轻或重
22、试用母函数法求巴斯卡分布的数学期望及方差
23、在贝努里试验中，若试验次数是随机变量，试证成功的次数与失败的次数这两个变量独立的充要条件，是服从普阿松分布
24、设是一串独立的整值随机变量序列，具有相同概率分布，考虑和，其中是随机变量，它与相互独立，试用
（1）母函数法，
（2）直接计算证明
25、若分布函数成立，则称它是对称的试证分布函数对称的充要条件，是它的特征函数是实的偶函数
26、试求均匀分布的特征函数
27、一般柯西分布的密度函数为证它的特征函数为，利用这个结果证明柯西分布的再生性
28、若随机变量服从柯西分布，，而，试证关于特征函数成立着，但是与并不独立
29、试求指数分布与分布的特征函数，并证明对于具有相同值的分布，关于参数有再生性
30、求证对于任何实值特征函数，以下两个不等式成立
31、求证如果是相应于分布函数的特征函数，则对于任何值恒成立
32、随机变量的特征函数为，且它的阶矩存在，令，称为随机变量的k阶半不变量，试证（是常数）的阶半不变量等于
33、试求出半不变量与原点矩之间的关系式
34、设相互独立，具有相同分布试求的分布，并写出它的数学期望及协方差阵，再求的分布密度
35、若服从二元正态分布，其中，试找出矩阵，使，且要求服从非退化的正态分布，并求的密度函数
36、证明在正交变换下，多元正态分布的独立、同方差性不变
37、若为，
（1）求随机变量的边际分布；
（2）求
38、若的取值是非负数，且又，求
39、设且二者独立，求的相关系数
40、某汽车站在时间t内发车的概率为Pt=1-，求某人等候发车的平均匀时间
41、某厂生产的园盘的直径服从内的均匀分布，求园盘面积的数学期望
42、搜索沉船，在时间t内发现沉船的概率为，求为了发现沉船所需要的平均搜索时间
43、从数字中按有放回方式取数，设随机变量表示第一次选取的数字，随机变量表示第二次选取的不小于的数字.1写出的联合分布列;2求.
44、如果互不相关且方差分别为求的相关系数.
45、将三个球随机地放入三个盒子中去，设随机变量分别表示放入第一个、第二个盒子中的球的个数1求二维随机变量的联合分布列;2求
46、设相互独立，且，求的相关系数
47、民航机场一送客汽车载有20个旅客从机场开出，旅客可从10个站下车，如果到站没人下车就不停车，假定乘客在每个车站下车是等可能的，求平均停车次数
48、据统计，一个40岁的健康者在5年内死亡的概率为，保险公司开办五年人寿保险，条件是参加者需要交保险费元，若五年内死亡，公司赔偿元，问应如何确定才能使公司可望受益？若有个人参加保险，公司可望收益多少
49、对敌人防御地段进行100次轰炸，每次命中目标的炸弹数是一个随机变量，其期望值是2，方差是
1.69，求100次轰炸中有180～220颗命中目标的概率
50、若有把看上去样子相同的钥匙，其中只有1把打开门上的锁用它们去试开门上的锁，设取得每把钥匙是等可能的若每把钥匙试开后除去，求试开次数的期望
51、对球的直径作近似测量，其值均匀分布在区间上求球的体积的期望
52、设服从几何分布，它的概率分布列为，其中，求，
53、设离散随机变量的分布列为，求的期望
54、有3只球，4只盒子，盒子的编号为将球随机地放入4只盒子中去记为其中至少有1只球的盒子的最小号码求
55、随机地掷6个骰子，利用切比雪夫不等式估计6个骰子出现点数之和在15点到27点之间的概率
56、已知正常成人血液中，每亳升白细胞数平均是7300，标准差是700利用切比雪夫不等式估计每亳升男性成人血液中含白细胞数在5200至9400之间的概率
57、一部件包括10部分，每部分的长度是一个随机变量，相互独立且服从同一分布、其期望是2，标准差是
0.05规定总长度为时产品合格，求产品合格的概率
58、根据以往的经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现随机取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率
59、证明Cuchy---Swchz不等式，若存在则
60、设r0，则当E存在时，有
61、若则
62、设与都只取两个数值，且与不相关，则与独立
63、叙述并证明契比雪夫大数定律
64、若是取非负整数的随机变量，均存在，则
65、设的联合密度函数是，求证:
66、证明对取值于区间中的随机变量恒成立，
67、设随机变量的方差存在，为任一实数，证明
68、设随机变量的密度函数为，其中为正整数，证明
69、若相互独立且同分布，，试证对任意的有
70、如果随机变量序列，当时有，证明服从大数定律.
71、设的密度函数是，证明与不相关，且不独立
72、设连续型的密度函数为其中为正整数，试利用契贝晓夫不等式证明.
73、设是独立随机变量序列，的分布列为X0=12证明
74、若的密度函数是偶函数，且，试证与不相关，但它们不相互独立
75、若的密度函数为，试证与不相关，但它们不独立
76、若与都是只能取两个值的随机变量，试证如果它们不相关，则独立
77、若，试证的相关系数等于的相关系数
78、Pareto分布的为密度函数为，这里，试指出这分布具有阶矩，当且仅当
79、若的密度函数为，试证对于任何，
80、记，若，试证，，
81、试用母函数法证明二项分布及普阿松分布的再生性
82、若分布函数成立，则称它是对称的试证分布函数对称的充要条件，是它的特征函数是实的偶函数
83、若随机变量服从柯西分布，，而，试证关于特征函数成立着，但是与并不独立
84、若相互独立且服从相同分布，试证服从参数为的分布，并说明分布也有再生性
85、求证对于任何实值特征函数，以下两个不等式成立
86、随机变量的特征函数为，且它的阶矩存在，令，称为随机变量的k阶半不变量，试证（是常数）的阶半不变量等于
87、求证，在时有不等式
88、若具有有限方差，服从同一分布，但各间，和有相关，而是独立的，证明这时对大数定律成立第四章解答
1、解服从两占分布，由第二章第29题得，{事件A出现奇数次}=P{事件A出现偶数次}，所以，.
2、解设表取一球的号码数袋中球的总数为，所以..
3、解由于是分布，所以应有，即又由已知，即，
4、解设表示抽出k张卡片的号码和，表示第i次抽到卡片的号码，则，因为是放回抽取，所以诸独立由此得，对，；，，
5、证..
6、解..
7、证的联合密度为，∴（利用密度函数的积分值为1，减a再加a）（在前一积分中交换积分次序，在后一积分中交换x与y的记号）.
8、解令B表“从乙袋摸一球为白球”，表从甲袋所摸个球中白球数，则取值，服从超几何分布，且，考虑到若，则当时；若，则当时；而在条件概率定义中要求由此得.
9、解令，则，由此类推得，又，
10、解以表第i次测量值，由于受测量过程中许多随机因素的影响，测量值和物体真实重量之间有偏差，是独立同分布的随机变量，并有测量记录的平均值记为，则，平均值的均值仍为，但方差只有方差的，而方差是描述随机变量对于其数学期望的离散程度，所以以作为物体的重量，则更近于真值
11、证设是的密度函数，则由是奇函数可得，从而又由于是奇函数，得故与不相关由于的密度函数是偶函数，故可选使，亦有，其中等式成立是由于由此得与不独立
12、证，同理即与不相关但与不独立，事实上可求得，，而当且时，
13、证设作两个随机变量由与不相关即得，而，，由上两式值相等，再由得此即同理可证，，从而与独立
14、证，，，欲，题中需补设与同号
15、解
（一）证12，设
（1）成立，即两两不相关，则，∴
（2）成立
（二）1⇏3设，并设与独立，则（记），由第三章25题知，两两独立，从而两两不相关，满足
（1）而，这时，
（3）不成立
（三）2⇏1设，则，满足
（2）但显然两两相关，事实上由得与相关，
（1）不成立
（四）2⇏3事实上，由12，1⇏3得必有2⇏3
（五）3⇏2设则再设与独立，从而的函数与也独立，我们有，，，，满足
（3）但∴
（2）成立
（六）3⇏1事实上，由12，3⇏2得必有3⇏1
（七）当相互独立时，1，2，3同时成立
16、证由题设得（令）令，则由，而得，即，变形得，或，所以注意到，且与同号，即与同号，故得（其中）
17、证由题设得用部分积分法，令，余下部分为，得
18、解记，则，，，
19、解当为偶数时当为奇数时
20、解，所以输出中含有输入的信息量H（入）－H出（入）为H（入）－H出（入）＝H（出）－H入（出）
21、解需要确定其结局的实验有24个可能结局，即12个是假球，且它比真的轻或重若认为全部结局是等概的，则实验的熵，即需要得到个单位信息由称一次（随便怎样的）所构成的实验，可以有3个结局（即天平可以向右斜或向左斜或保持平衡），进行次复合试验后，可得到不大于的信息，而，所以至少得称三次才可以称出假球，且判明它比真球轻或重具体称法共有十几种，详见雅格洛姆著“概率与信息”，这里仅取一法叙述如下第一次称天平两端分放
1、
2、
3、4和
5、
6、
7、8，下余I、II、III、IV（A）若第一次称时平衡，则假球在I、II、III、IV中第二次称天平两端分放I、II和III、1，注意1是真球（AA）若第二次称时平衡，则IV是假球；再把1和IV分放天平两端称第三次，可判别假球IV比真球1轻或重（AB）若第二次称进I、II较重（或轻），第三次称天平两端分放I和II（ABA）若第三次称时平衡，则II是假球，且比真球较轻（或重）（ABB）若第三次称时不平衡，则与（AB）中同重（或轻）的那球是假球，且它比真球较重（或轻）（B）若长一资助称时
1、
2、
3、4较重，则假球在天平上第二次称天平两端分放
1、
2、5和
3、
4、6（BA）若第二次称时平衡，则
7、8中之一为假球，由第一次称的结果知假球较轻，再把7和8分放天平两端称第三次，即可假球（BB）若第二次称时
1、
2、5较重，则或
1、2中之一为假球，且它比真球较重，或6是假球且它比真球较轻第三次称天平两端分放1和2（BBA）若第三次称进平衡，则6是假球且比真球轻（BBB）若第三次称时不平衡，则较重的一球是假球，且它比真球重（C）若第一次称时
5、
6、
7、8较重，则只需把（B）中编号
1、
2、
3、4与
5、
6、
7、8依次互换，即得称法
22、解巴斯卡分布为其母函数为，，
23、证设，则的母函数为同理可得的母函数为，的母函数记为以表示成功次数，则，本题认为与独立，得的母函数为同理，以表示失败次数，则，其母函数为必要性设与独立，则由得因为，所以若记上式左边的变量分别为，可得令，则上式变成利用教本P97引理可得即的母函数，这是普阿松分布的母函数由于母函数与分布列之间是相互唯一确定的，所以得是服从普阿松分布的随机变量充分性设服从普阿松分布，参数为，则同理可得又有再由的任意性即得证与独立
24、证
（1）设的母函数为，的母函数为而，所由此得其中
（2）直接计算由题设得利用得记，利用及得最后，再利用得
25、证必要性由得，此即，所以对特征函数有，由此知是实函数又有，所以又是偶函数充分性由于，又由题设知是实函数，所以由唯一性定理知，与的分布函数相同，，即，从而
26、解当时；当时
27、证
（1）考虑复变函数的积分，当，取为上y半圆周和实轴上从到c的围道（如图），若位于上半圆周上，则x，，有-R0R
（2）对有由及题设得，所以对有（当时）
（3）在上半平面上，仅有是被积函数的一阶极点，由复变函数中留数定理得，对任何有
（4）其中把
（2），
（3），
（4）代入
（1）式得
（5）由于，是的奇函数，它在上积分值为0；是的偶函数，当时，其积分值应与时积分值相等；再注意到
（5）中右端，所以当时有
（6）当时有
（7）把
（5）—
（7）代入
（1）式得，对任意有现证柯西分布具有再生性设的特征函数为，再设与独立，，则，所以仍服从柯西分布，且参数为
28、证由上题得，所以由得但与并不独立，事实上，可取使，则，这说明由与独立可推得，但反之不真
29、解
（1）指数分布当时，其密度函数为，所以它的特征函数为，其中
（2）分布当时，其密度函数为，为求其特征函数，我们指出，对复数，只要，就有如下等式成立利用此式可求得分布的特征函数为现证分布具有再生性设，则它们的特征函数分别为，再设与独立，，则有，所以服从分布，分布具有献策性
30、证是实值函数，复数部分为0，只需对实部计算，其中利用柯西——许瓦兹不等式（置）
31、证由于，所以关于乘积测度绝对可积，由富比尼定理知可交换上式中积分次序，得记，则当时有，当时有由此得，且由控制收敛定理得
32、证由得，亦有当时，等式两边同对求阶导数，一项导数为0所以由定义得的等于的
33、解利用特征函数的原点矩之间的关系式，可把展成幂级数
（1）又利用上题中定义的，可把展成幂级数
（2）再把
（2）中的展成幂级数得
（3）比较
（1）与
（3）式中的系数，可得半不变量与原点矩之间的关系式
34、解由诸独立得的密度函数为，数学期望和协方差阵为，由上题知，，所以的分布密度为
35、解取令，其中，则与的特征函数分别为，且有，即矩阵不唯一，取可解得，从而，这时满足题中的要求，由得非退化，且的密度函数为
36、证设，独立同方差，其协方差矩阵和特征函数分别为， 再设，其中是正交矩阵，即满足，由此得，其特征函数为，即的协方差矩阵为，利用C的正交性计算得矩阵中都是对从1到求和的由协方差矩阵知，的各分量间两两不相关且同方差，再由正态分布间相互独立的充要条件是它们两两不相关得，相互独立且同方差
37、解1的边际分布是:2 同理给定的条件密度
38、解:由的取值特征有:，又联立解得
39、.解:独立
40、解设旅客等车的时间为，它是随机变量故服从参数是8的指数分布，即的密度为∴平均等车时间为
41、解设园盘直径为则园盘面积由于
42、解设为所需时间，则，于是的密度函数所以所以发现沉船所需的平均搜索时间为
43、解:
112341203004000244、解互不相关故
45、解1012301020030002）
46、解独立，故
47、解设表示送客汽车在站是否停车，则其分布为01p故总停车次数为
48、解设为公司从一个参加者身上获得利益则为一个分布列为公司期望获益有对个人公司获益为
49、解设第次轰炸命中目标的次数为则100次轰炸命中目标的次数为
50、解设{第次打开门}，的可能的取值为，依次下去，有X123因此，的分布列为故
51、解设球的直径为，其概率密度为，球的体积，它的期望为
52、解
53、解的可能值为， ；；；故.
54、解的可能值为1，2，3，4，，又因，，故，，，故知
55、解设为第个骰子出现的点数，它们相互独立为6个骰子出现的点数之和，即则故由切比雪夫不等式
56、解设每亳升正常男性成人血液中含白细胞数为，由题设知由切比雪夫不等式
57、解设第第部分长度为相互独立且服从同一分布，故由中心极限定理，产品合格的概率为
58、解设第只元件的寿命为，则独立且服从指数分布，且故
59、证明:令，对于一切；所以故即至多只有一个实根从而证毕
60、证:设的分布函数为，因为存在故
61、证
62、证设由于不相关即得即，故独立
63、证切比雪夫大数定律是:若是两两互不相关的随机交量序列，且存在常数，使，则证明:由切比雪夫不等式知用到了互不相关性证毕
64、证设的分布列:而
65、证
66、证设是的分布函数，即:
67、证
68、证因故
69、证因，故
70、证取则即故{服从大数定律
71、证先求边际分布类似再求由于均为偶函数与不相关最后，由于
72、证
73、证，故从而，由切比雪夫不等式
74、证设是的密度函数，则由是奇函数可得，从而又由于是奇函数，得故与不相关由于的密度函数是偶函数，故可选使，亦有，其中等式成立是由于由此得与不独立
75、证，同理即与不相关但与不独立，事实上可求得，，而当且时，
76、证设作两个随机变量由与不相关即得，而，，由上两式值相等，再由得此即同理可证，，从而与独立
77、证，，，欲，题中需补设与同号
78、证当且仅当，即时上式积分收敛，存在当时，
79、证对，由于，所以存在，使当时，此时，
80、证即对任意成立又，所以判别式，即，从而有依次令得其中把这些不等式中前个的左右两边分别相乘化简得，两边同开次方，即得
81、证
（1）设，则它们的母函数分别为再设与独立，，则的母函数为二项分布的母函数为，由于母函数与分布列之间是相互唯一确定的，由此即得服从，即二项分布具有再生性
（2）设分别服从参数为的普阿松分布，其母函数分别为再设与独立，，则的母函数为所以服从参数为的普阿松分布，普阿松分布具有再生性
82、证必要性由得，此即，所以对特征函数有，由此知是实函数又有，所以又是偶函数充分性由于，又由题设知是实函数，所以由唯一性定理知，与的分布函数相同，，即，从而
83、证由上题得，所以由得但与并不独立，事实上，可取使，则，这说明由与独立可推得，但反之不真
84、证记的分布函数为，则当时；当时，利用对参变量积分求导法则，对求导可得的分布密度当时；当时把此式与分布密度比较可知，服从自由度为1的分布，也就是服从分布由间独立得间也独立，利用上题结论可得服从分布，即自由度为的分布再由上题中分布具有再生性可得，这里分布也具有再生性
85、证是实值函数，复数部分为0，只需对实部计算，其中利用柯西——许瓦兹不等式（置）
86、证由得，亦有当时，等式两边同对求阶导数，一项导数为0所以由定义得的等于的
87、证当时有所以不等式成立
88、证因为是独立的，所以。
个人认证
优秀文档
获得点赞 0
