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《概率论》A卷参考答案
一、填空题(15分,每小题3分)
1、已知则事件全不发生的概率为________
2、设,则________
3、设随机变量服从正态分布,且二次方程无实根的概率为,则________
4、随机变量在上服从均匀分布,则概率________
5、设随机变量和的数学期望相同,方差分别为和,与的相关系数为,则根据切比雪夫不等式,有
1、;
2、;
3、;
4、;
5、
二、选择题(15分,每小题3分)
1、设每次试验成功的概率为,重复进行试验直到第次才取得次成功的概率为 .A;B;C;D.
2、设随机变量与相互独立且同分布,,,则下列各式成立的是()(A)(B);(C);(D);
3、设随机变量的密度函数为,且,是的分布函数,则对任意实数,有()(A);(B);(C);(D)
4、对于任意两个随机变量和,若,则()(A);(B),一定相互独立;(C);(D)
5、设服从正态分布且服从标准正态分布,则( ).(A);(B);(C);(D)
1、A;
2、D;
3、C;
4、A;
5、B
三、(12分)一商店为甲、乙、丙三个厂销售同类型号的家用电器,这三个厂的产品的比例是,并且它们的次品率分别是,某顾客从这些产品中任意选购一件,试求
(1)顾客买到正品的概率;
(2)若已知顾客买到的是正品,则它是乙厂生产的概率是多少?解设={顾客买到甲厂的产品},={顾客买到乙厂的产品},={顾客买到丙厂的产品},={顾客买到正品},依题意
(1),=,;
(2)
四、(12分)袋中有个大小相同的小球,其中个红球,个白球现随机地不放回抽取两次,每次抽取个,定义两个随机变量如下,,求的联合分布律、边缘分布律,并判定是否独立?解联合分布律为边缘分布律为;不独立
五、(15分)解设随机变量的联合概率密度函数为,
(1)计算;
(2)计算;
(3)计算;
(4)与是否相互独立?
(1)
(2)
(3)
(4)不是相互独立的,因为
六、(15分)设随机变量的联合概率密度函数为,试求
(1)的分布函数与概率密度函数;
(2)的分布函数与概率密度函数解
(1)设,当时,当时,当时,因此,,
(2)设,当时,当时,当时,因此,
七、(10分)在长为的线段上任意选取两点,求两点间距离的数学期望及标准差解把线段放在数轴上,使其与区间重合设随机变量及分别表示在该线段上任意选取的两点的坐标,则与相互独立,并且在区间上服从均匀分布设随机变量表示这两点间的距离,则有,因为与相互独立,所以,,当时,;当时,;当时,,因此,,于是,,,标准差为
八、(6分)设随机变量相互独立且服从相同的二项分布,试证明随机变量和相互独立证010101012可证明,,,即随机变量和相互独立。