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概率论与数理统计习题及答案第一章
6.设A,B,C为三事件,且P(A)=P(B)=1/4,P(C)=1/3且P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/12,求A,B,C至少有一事件发生的概率.【解】P(A∪B∪C)=PA+PB+PCPABPBCPAC+PABC=++=
8.对一个五人学习小组考虑生日问题
(1)求五个人的生日都在星期日的概率;
(2)求五个人的生日都不在星期日的概率;
(3)求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】
(1)设A1={五个人的生日都在星期日},基本事件总数为75,有利事件仅1个,故P(A1)==()5(亦可用独立性求解,下同)
(2)设A2={五个人生日都不在星期日},有利事件数为65,故P(A2)==53设A3={五个人的生日不都在星期日}P(A3)=1PA1=
1515.掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.
(1)问正好在第6次停止的概率;
(2)问正好在第6次停止的情况下,第5次也是出现正面的概率.【解】
(1)
218.某地某天下雪的概率为
0.3,下雨的概率为
0.5,既下雪又下雨的概率为
0.1求
(1)在下雨条件下下雪的概率;
(2)这天下雨或下雪的概率.【解】设A={下雨},B={下雪}.
(1)
(2)
19.已知一个家庭有3个小孩,且其中一个为女孩,求至少有一个男孩的概率(小孩为男为女是等可能的).【解】设A={其中一个为女孩},B={至少有一个男孩},样本点总数为23=8,故或在缩减样本空间中求,此时样本点总数为
7.
20.已知5%的男人和
0.25%的女人是色盲,现随机地挑选一人,此人恰为色盲,问此人是男人的概率(假设男人和女人各占人数的一半).【解】设A={此人是男人},B={此人是色盲},则由贝叶斯公式
23.设P()=
0.3PB=
0.4PA=
0.5,求P(B|A∪)【解】
24.在一个盒中装有15个乒乓球,其中有9个新球,在第一次比赛中任意取出3个球,比赛后放回原盒中;第二次比赛同样任意取出3个球,求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】设Ai={第一次取出的3个球中有i个新球},i=
0123.B={第二次取出的3球均为新球}由全概率公式,有
25.按以往概率论考试结果分析,努力学习的学生有90%的可能考试及格,不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查,学生中有80%的人是努力学习的,试问
(1)考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人?
(2)考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人?【解】设A={被调查学生是努力学习的},则={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P(A)=
0.8,P()=
0.2,又设B={被调查学生考试及格}.由题意知P(B|A)=
0.9,P(|)=
0.9,故由贝叶斯公式知
(1)即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占
2.702%2即考试不及格的学生中努力学习的学生占
30.77%.∶
1.若接收站收到的信息是A,试问原发信息是A的概率是多少?【解】设A={原发信息是A},则={原发信息是B}C={收到信息是A},则={收到信息是B}由贝叶斯公式,得
28.某工厂生产的产品中96%是合格品,检查产品时,一个合格品被误认为是次品的概率为
0.02,一个次品被误认为是合格品的概率为
0.05,求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】设A={产品确为合格品},B={产品被认为是合格品}由贝叶斯公式得
29.某保险公司把被保险人分为三类“谨慎的”,“一般的”,“冒失的”“谨慎的”被保险人占20%,“一般的”占50%,“冒失的”占30%,现知某被保险人在一年内出了事故,则他是“谨慎的”的概率是多少?【解】设A={该客户是“谨慎的”},B={该客户是“一般的”},C={该客户是“冒失的”},D={该客户在一年内出了事故}则由贝叶斯公式得
30.加工某一零件需要经过四道工序,设第
一、
二、
三、四道工序的次品率分别为
0.
020.
030.
050.03,假定各道工序是相互独立的,求加工出来的零件
32.证明若P(A|B)=PA|,则A,B相互独立.【证】即亦即因此故A与B相互独立.
33.三人独立地破译一个密码,他们能破译的概率分别为,,,求将此密码破译出的概率.【解】设Ai={第i人能破译}(i=123),则
34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击,设击中的概率分别是
0.
40.
50.7,若只有一人击中,则飞机被击落的概率为
0.2;若有两人击中,则飞机被击落的概率为
0.6;若三人都击中,则飞机一定被击落,求飞机被击落的概率.【解】设A={飞机被击落},Bi={恰有i人击中飞机},i=0123由全概率公式,得=
0.4×
0.5×
0.3+
0.6×
0.5×
0.3+
0.6×
0.5×
0.
70.2+
0.4×
0.5×
0.3+
0.4×
0.5×
0.7+
0.6×
0.5×
0.
70.6+
0.4×
0.5×
0.7=
0.
45857.设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为3份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表,从中先后抽出两份.
(1)求先抽到的一份是女生表的概率p;
(2)已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率q.【解】设Ai={报名表是取自第i区的考生},i=
123.Bj={第j次取出的是女生表},j=
12.则12而故习题二
1.一袋中有5只乒乓球,编号为1,2,3,4,5,在其中同时取3只,以X表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量X的分布律.【解】故所求分布律为X345P
0.
10.
30.
62.设在15只同类型零件中有2只为次品,在其中取3次,每次任取1只,作不放回抽样,以X表示取出的次品个数,求
(1)X的分布律;
(2)X的分布函数并作图;
3.【解】故X的分布律为X012P
(2)当x0时,F(x)=P(X≤x)=0当0≤x1时,F(x)=P(X≤x)=PX=0=当1≤x2时,F(x)=P(X≤x)=PX=0+PX=1=当x≥2时,F(x)=P(X≤x)=1故X的分布函数
33.射手向目标独立地进行了3次射击,每次击中率为
0.8,求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数,并求3次射击中至少击中2次的概率.【解】设X表示击中目标的次数.则X=0,1,2,
3.故X的分布律为X0123P
0.
0080.
0960.
3840.512分布函数
4.
(1)设随机变量X的分布律为P{X=k}=,其中k=0,1,2,…,λ>0为常数,试确定常数a.
(2)设随机变量X的分布律为P{X=k}=a/N,k=1,2,…,N,试确定常数a.【解】
(1)由分布律的性质知故2由分布律的性质知即.
5.甲、乙两人投篮,投中的概率分别为
0.
60.7今各投3次,求
(1)两人投中次数相等的概率;
(2)甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数,则X~b(3,
0.6)Y~b
30.71+2=
0.
24315.已知随机变量X的密度函数为fx=Ae|x|∞x+∞求
(1)A值;
(2)P{0X1};3Fx.【解】
(1)由得故.23当x0时,当x≥0时,故
16.设某种仪器内装有三只同样的电子管,电子管使用寿命X的密度函数为fx=求
(1)在开始150小时内没有电子管损坏的概率;
(2)在这段时间内有一只电子管损坏的概率;
(3)F(x).【解】
(1)23当x100时F(x)=0当x≥100时故
18.设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测,求至少有两次的观测值大于3的概率.【解】X~U
[25],即故所求概率为
21.设X~N(3,22),
(1)求P{2X≤5},P{4X≤10},P{|X|>2},P{X>3};
(2)确定c使P{X>c}=P{X≤c}.【解】
(1)2c=
324.设随机变量X分布函数为F(x)=
(1)求常数A,B;
(2)求P{X≤2},P{X>3};
(3)求分布密度f(x).【解】
(1)由得
(2)
325.设随机变量X的概率密度为f(x)=求X的分布函数F(x),并画出f(x)及F(x).【解】当x0时F(x)=0当0≤x1时当1≤x2时当x≥2时故
28.设随机变量X的分布律为X21013Pk1/51/61/51/1511/30求Y=X2的分布律.【解】Y可取的值为0,1,4,9故Y的分布律为Y0149Pk1/57/301/511/
3029.设P{X=k}=kk=12…令求随机变量X的函数Y的分布律.【解】
30.设X~N(0,1).
(1)求Y=eX的概率密度;
(2)求Y=2X2+1的概率密度;
(3)求Y=|X|的概率密度.【解】
(1)当y≤0时,当y0时,故2当y≤1时当y1时故3当y≤0时当y0时故
31.设随机变量X~U
(01),试求
(1)Y=eX的分布函数及密度函数;
(2)Z=2lnX的分布函数及密度函数.【解】
(1)故当时当1ye时当y≥e时即分布函数故Y的密度函数为
(2)由P(0X1)=1知当z≤0时,当z0时,即分布函数故Z的密度函数为
32.设随机变量X的密度函数为fx=试求Y=sinX的密度函数.【解】当y≤0时,当0y1时,当y≥1时,故Y的密度函数为习题三
1.将一硬币抛掷三次,以X表示在三次中出现正面的次数,以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表
01231003002.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球,在其中任取4只球,以X表示取到黑球的只数,以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表0123000102P0黑2红2白=
04.设随机变量(X,Y)的分布密度f(x,y)=求
(1)常数A;
(2)随机变量(X,Y)的分布函数;
(3)P{0≤X1,0≤Y2}.【解】
(1)由得A=12
(2)由定义,有
35.设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=
(1)确定常数k;
(2)求P{X<1,Y<3};
(3)求P{X
1.5};
(4)求P{X+Y≤4}.【解】
(1)由性质有故
(2)34题5图
8.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=求边缘概率密度.【解】题8图题9图
9.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=求边缘概率密度.【解】
12.袋中有五个号码1,2,3,4,5,从中任取三个,记这三个号码中最小的号码为X,最大的号码为Y.
(1)求X与Y的联合概率分布;
(2)X与Y是否相互独立?【解】
(1)X与Y的联合分布律如下表3451203002因故X与Y不独立
13.设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为
2580.
40.
80.
150.
300.
350.
050.
120.03
(1)求关于X和关于Y的边缘分布;
(2)X与Y是否相互独立?【解】
(1)X和Y的边缘分布如下表258P{Y=yi}
0.
40.
150.
300.
350.
80.
80.
050.
120.
030.
20.
20.
420.382因故X与Y不独立.
16.设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N(160,202)分布.随机地选取4只,求其中没有一只寿命小于180的概率.【解】设这四只寿命为Xii=1234,则Xi~N(160,202),从而
19.设随机变量(X,Y)的分布律为
012345012300.
010.
030.
050.
070.
090.
010.
020.
040.
050.
060.
080.
010.
030.
050.
050.
050.
060.
010.
020.
040.
060.
060.051求P{X=2|Y=2},P{Y=3|X=0};
(2)求V=max(X,Y)的分布律;
(3)求U=min(X,Y)的分布律;
(4)求W=X+Y的分布律.【解】
(1)
(2)所以V的分布律为V=maxXY012345P
00.
040.
160.
280.
240.283于是U=minXY0123P
0.
280.
300.
250.174类似上述过程,有W=X+Y012345678P
00.
020.
060.
130.
190.
240.
190.
120.
0522.设随机变量X和Y相互独立,下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布律及关于X和Y的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处.y1y2y3P{X=xi}=pix1x21/81/8P{Y=yj}=pj1/61【解】因故从而而X与Y独立,故从而即又即从而同理又故.同理从而故1习题四
1.设随机变量X的分布律为X1012P1/81/21/81/4求E(X),E(X2),E(2X+3).【解】
1232.已知100个产品中有10个次品,求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差.【解】设任取出的5个产品中的次品数为X,则X的分布律为X012345P故
5.设随机变量X的概率密度为f(x)=求E(X),D(X).【解】故
6.设随机变量X,Y,Z相互独立,且E(X)=5,E(Y)=11,E(Z)=8,求下列随机变量的数学期望.
(1)U=2X+3Y+1;
(2)V=YZ4X.【解】
127.设随机变量X,Y相互独立,且E(X)=E(Y)=3,D(X)=12,D(Y)=16,求E(3X2Y),D(2X3Y).【解】
128.设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=试确定常数k,并求E(XY).【解】因故k=2.
15.对随机变量X和Y,已知D(X)=2,D(Y)=3,CovXY=1计算Cov(3X2Y+1,X+4Y3).【解】因常数与任一随机变量独立,故CovX3=CovY3=0其余类似.
16.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=试验证X和Y是不相关的,但X和Y不是相互独立的.【解】设.同理EY=
0.而由此得故X与Y不相关.下面讨论独立性,当|x|≤1时,当|y|≤1时,.显然故X和Y不是相互独立的.
17.设随机变量(X,Y)的分布律为1011011/81/81/81/801/81/81/81/8验证X和Y是不相关的,但X和Y不是相互独立的.【解】联合分布表中含有零元素,X与Y显然不独立,由联合分布律易求得X,Y及XY的分布律,其分布律由期望定义易得E(X)=E(Y)=E(XY)=
0.从而EXY=EX·EY再由相关系数性质知ρXY=0即X与Y的相关系数为0,从而X和Y是不相关的.又从而X与Y不是相互独立的.习题五
4.一加法器同时收到20个噪声电压Vk(k=1,2,…,20),设它们是相互独立的随机变量,且都在区间(0,10)上服从均匀分布.记V=,求P{V>105}的近似值.【解】易知:EVk=5DVk=k=12…20由中心极限定理知,随机变量于是
7.用Laplace中心极限定理近似计算从一批废品率为
0.05的产品中,任取1000件,其中有20件废品的概率.【解】令1000件中废品数X,则p=
0.05n=1000X~B
10000.05,EX=50,DX=
47.
5.故
10.对于一个学生而言,来参加家长会的家长人数是一个随机变量,设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为
0.
050.
80.
15.若学校共有400名学生,设各学生参加会议的家长数相与独立,且服从同一分布.
(1)求参加会议的家长数X超过450的概率?
(2)求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.【解】
(1)以Xii=12…400记第i个学生来参加会议的家长数.则Xi的分布律为Xi012P
0.
050.
80.15易知E(Xi=
1.1)DXi=
0.19i=12…
400.而由中心极限定理得于是2以Y记有一名家长来参加会议的学生数.则Y~B
4000.8由拉普拉斯中心极限定理得
11.设男孩出生率为
0.515,求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率?【解】用X表10000个婴儿中男孩的个数,则X~B(10000,
0.515)要求女孩个数不少于男孩个数的概率,即求P{X≤5000}.由中心极限定理有
13.在一定保险公司里有10000人参加保险,每人每年付12元保险费,在一年内一个人死亡的概率为
0.006死亡者其家属可向保险公司领得1000元赔偿费.求
(1)保险公司没有利润的概率为多大;
(2)保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多大?【解】设X为在一年中参加保险者的死亡人数,则X~B(10000,
0.006).1公司没有利润当且仅当“1000X=10000×12”即“X=120”.于是所求概率为2因为“公司利润≥60000”当且仅当“0≤X≤60”于是所求概率为
14.设随机变量X和Y的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数为
0.5试根据契比雪夫不等式给出P{|X-Y|≥6}的估计.(2001研考)【解】令Z=X-Y,有所以习题六
1.设总体X~N(60,152),从总体X中抽取一个容量为100的样本,求样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率.【解】μ=60σ2=152n=100即习题七
2.设总体X的密度函数f(xθ)=X1,X2,…,Xn为其样本,试求参数θ的矩法估计.【解】令EX=A1=因此=所以θ的矩估计量为
4.从一批炒股票的股民一年收益率的数据中随机抽取10人的收益率数据,结果如下序号12345678910收益率
0.01-
0.11-
0.12-
0.09-
0.13-
0.
30.1-
0.09-
0.1-
0.11求这批股民的收益率的平均收益率及标准差的矩估计值.【解】由知即有于是所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为-
0.94和
0.
966.
5.随机变量X服从[0,θ]上的均匀分布,今得X的样本观测值
0.
90.
80.
20.
80.
40.
40.
70.6,求θ的矩法估计和极大似然估计,它们是否为θ的无偏估计.【解】1令,则且所以θ的矩估计值为且是一个无偏估计.2似然函数i=12…
8.显然L=Lθ↓θ0,那么时,L=Lθ最大所以θ的极大似然估计值=
0.
9.因为E=E≠θ所以=不是θ的无偏计.
7.设X1,X2是从正态总体N(μ,σ2)中抽取的样本试证都是μ的无偏估计量,并求出每一估计量的方差.【证明】
(1)所以均是μ的无偏估计量.
210.设某种砖头的抗压强度X~N(μ,σ2),今随机抽取20块砖头,测得数据如下(kg·cm-2)64694992559741848899846610098727487844881
(1)求μ的置信概率为
0.95的置信区间.
(2)求σ2的置信概率为
0.95的置信区间.【解】1μ的置信度为
0.95的置信区间2的置信度为
0.95的置信区间
11.设总体X~fx=X1X2…Xn是X的一个样本,求θ的矩估计量及极大似然估计量.【解】1又故所以θ的矩估计量2似然函数.取对数所以θ的极大似然估计量为XYXYYXXYXYXYXYYXXY。