小学数学教育1211：简单的数方格其实不简单

简单的数方格，其实并不简单福建省晋江市教师进修学校蔡福山发表于《小学数学教育》2012年11期案例背景平行四边形面积公式的推导，一般先出现方格图，让学生用数方格的方法计算面积然后引导学生观察平行四边形底和高的数据与面积之间的关系，引发认知冲突“数方格比较麻烦，不数方格，能不能计算平行四边形的面积”，或引发猜想“平行四边形的面积是底乘高还是邻边相乘”，为学生进一步探寻平行四边形面积的计算方法做准备接着运用剪、平移、拼的方法进行验证，将平行四边形转化为长方形，通过引导学生观察平行四边形底和高与长方形长和宽之间的关系，推导出平行四边形的面积计算公式下面请看一个教学片段案例回放

1、数方格师同学们回忆一下我们以前是怎么学习长方形面积公式的生数方格师下面我们用数方格的方法来数出平行四边形、长方形的面积请同学们看书数方格，并将数据填在表格里教师用课件出示如下图每个方格代表边长1厘米的小正方形　　　　　平行四边形底高面积长方形长宽面积

2、反馈交流师谁能告诉大家你数的结果呢？生1平行四边形的面积是24平方厘米师你是怎么数的？生1（指着课件上的平行四边形的右下角）我把右边的这一小块移到左边，刚好配成一个小方格，那么下面第一行就有6个小方格，往上数有4行，每行都有6个小方格，一共有4个6，有24平方厘米师（没有评价）那同学们再看一看，整格的有多少个？不够1格的有几个？不满一格的都按半格计算一共有多少个小方格？师长方形呢？师认真观察这两个图形，你还能发现什么？生2我发现平行四边形的底和长方形的长相等，平行四边形的高和长方形的宽相等，平行四边形的面积和长方形的面积也相等师以后我们遇到面积很大的平行四边形，能像这样用数方格的方法来计算平行四边形的面积吗？生3特别麻烦师那怎样办？想不想像计算长方形或正方形的面积那样找出一个公式来计算平行四边形的面积呢？随后学生利用手中的学具探究平行四边形的面积公式问题思考这样的教学司空见惯，教材这样安排，课堂教学这样实施，但这样的教学有没有存在舍本逐末的现象？我认为，以下几个问题值得深入思考

1、平行四边形面积的计算，其中起主要作用的数学思想方法只有转化吗？数方格只是一种直观的计量面积的方法吗？数方格的作用到底是什么？

2、案例中，教师没有对生1的回答作出任何评价、回应对于这个生成资源，到底应该采用淡化的策略还是强化的策略？案例剖析数学的结构性特点决定了数学教学必须“追根溯源”，既要关注每一个内容的“今生”（内涵意义），又要追溯其“前生”（已有基础）乃至约定“来生”（后续发展），要与数学“缘定三生”平行四边形面积的计算，它的源头在哪？我认为可以从“知识源”“方法源”“思想源”三个方面思考长方形的面积计算公式是学习平行四边形面积计算的基础，是“知识源”；平行四边形面积计算可以转化为长方形的面积计算，因此转化是“方法源”；而面积的计算归根究底是一种度量，因此我认为度量思想是其“思想源”那什么是度量思想呢？数学的来源有两种，一种是数学内部发展的需要，另一种是劳动人民实践活动的需要度量就是劳动人民生产活动的需要，如面积公式是人们在丈量土地面积的时候，经过长期的历史岁月慢慢摸索出比较简便的方法这种朴素的理解有助于我们认识度量的本质，即度量就是看被测对象含有几个度量单位面积的计算就是看被测物体的表面或平面图形中含有多少个面积单位基于此理解，面积公式只是对度量过程的一种优化与抽象而已，只是对度量过程的一种简洁的数学表达如案例《长方形面积的计算》老师出示一个长4厘米，宽3厘米的长方形，请学生估一估它的面积，再用1平方厘米的小正方形摆一摆一般教师在分学具时，都是发给学生12个或更多的1平方厘米的小正方形而此时，老师只是随手给每个学生抓了一些，有的多，有的少，甚至没有汇报时，老师先叫一个手中学具足够多的学生上来摆学生边摆边说“一行摆4个，摆了3行，一共12个”（如下图1）这时一个学生说“我只用了6个1平方厘米（如下图2），这样摆也说明一行摆4个，摆了3行，一共12个”又有学生说“我只用一个1平方厘米沿着边长量，量一次做一个记号……”（如下图3）又有学生说“我是用尺子量的长方形长4厘米，说明一行可以摆4个，宽3厘米说明可以摆3行，它的面积就是4乘3等于12平方厘米”（如下图4）案例中，教师看似随手分发学具，其实意味深长教师没有让所有的学生都拥有足够的学具，目的在于通过提供材料的不同，创设思维冲突小方块不够，怎么量长方形呢“材料引起思维”，学生必须结合空间想象优化度量的方法，才能度量出长方形的面积通过以上学生度量过程的展现与优化，长方形面积的计算公式就是一种“水到渠成”了只要结合优化度量方法的过程，就能逐步抽象长方形的面积计算公式面积计算、体积计算、长度测量、角的度量等空间图形的测量，这里面都运用度量的本质思想，如为什么可以用断尺量物，为什么教学分米与厘米的进率时经常要要一格一格地数？主要要让学生体验测量物体长度，就是看这个物体的长度里含有几个长度单位；为什么推导长方体的体积要用摆小方块的方法？主要也是要让学生体会度量的思想领会了度量的本质，我们就可以以之统领很多内容的教学如果我们能够将平行四边形面积公式的推导、将数方格的行为推远，放在空间度量的背景下进行审视，数方格其实就是“度量思想”的重要载体通过一行一行地数，学生将充分感受度量的优化过程，感受数学的抽象过程这样基于价值思考的数方格活动，寓简单于丰富中，寓直观于深刻中，将有利于学生形成更有包容力的认知结构，面积公式的推导就会“像呼吸一样自然”因此，必须重视学生数方格的活动，而不能看作可有可无，它不只是教学的铺垫，不只是直观的方法，不只是验证的材料，不只是引发猜想的引子，而是本课探究面积公式的主要活动，承载着本课的“思想源”必须认识到生1的回答是很有价值教学资源，生1已经顺利地将长方形面积学习中数方格的经验进行了正迁移，他朴素、稚嫩的回答在中已经蕴含了度量的思想，是很难得的教学生长点因此教学中必须采用强化的策略，放大它，引导学生关注它，将个体学生的认识转化为全体学生的共识，并由之生长出平行四边形的面积计算公式，巧妙地以“度量”统领面积公式的推导可以这样重构平行四边形面积教学中的“数方格”

（1）数一数用数方格的方法数出平行四边形、长方形的面积（每个方格代表边长1厘米的小正方形），并将数据填在表格里教师用课件出示　　　　　长方形长宽面积平行四边形底高面积

（2）说一说数的结果是多少，你是怎么数的？这个环节教师一般比较关注“整格的有多少个？不够1格的有几个？不满一格的都按半格计算一共有多少个小方格？”这种数法重视的是数的结果，只是数的技巧的提示，缺乏结构性应该关注的是学生能否将数长方形的方法“看一行有多少个，有多少行”迁移到数平行四边形中，从“纵横”两个维度进行度量这样底乘高就有了有意义的动作行为的支撑底6厘米，就是沿着底边可以摆6个方格，高4厘米，就是可以摆4行，6乘4就是求出了一共有“4个6”的小方格，即是平行四边形的面积

（3）再数一数出现两个有方格背景的平行四边形，让学生再数一数，重点说一说数的方法再出现没有方格背景的平行四边形，让学生凭借表象在头脑中数方格必要时可在学生想象后，再将图形放置于方格图背景进行验证，或通过剪拼方法进行验证

（4）想一想从刚才数方格的过程中，你认为平行四边形的面积可以怎么计算？通过对数方格活动的反思与抽象，推导出面积计算公式“数学抽象的本质，即是在更高层次上不断对已有的活动或运演进行重构，从而使前者成为一个更大结构的一部分”【​

[1]​】如果我们的数学教学能够“居高临下”“追根溯源”，除了关注新知识的“知识源”“方法源”外，还能够进行一些基于价值的思考，能够进行一些数学的大背景的思考，关注知识背后的“思想源”，那么，数学教学就能成为一种简约而又充满张力、饱含生长力的教学力量！图1图2图3图4^1赵红婷季丽芹《让学生经历“重构”的过程》中国教师报。