小学数学概念及公式大全含举例

小学数学概念及公式大全（含举例）

（一）数的读法和写法

1.整数的读法从高位到低位，一级一级地读读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加一个“亿”或“万”字每一级末尾的0都不读出来，其它数位连续有几个0都只读一个零例如19865030532亿万个读作一百九十八亿六千五百零三万零五百三十二

2.整数的写法从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0例如一百九十八亿六千五百零三万零五百三十二19865030532亿万个

3.小数的读法读小数的时候，整数部分按照整数的读法读，小数点读作“点”，小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字

4.小数的写法写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字

5.分数的读法读分数时，先读分母再读“分之”然后读分子，分子和分母按照整数的读法来读

6.分数的写法先写分数线，再写分母，最后写分子，按照整数的写法来写

7.百分数的读法读百分数时，先读百分之，再读百分号前面的数，读数时按照整数的读法来读

8.百分数的写法百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示

（二）计量单位整数135的计量单位是1；小数

1.35的计量单位是

0.

0110.3009的计量单位

0.0001;分数的计量单位是，15的计量单位是

（二）数的改写一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数有时还可以根据需要，省略这个数某一位后面的数，写成近似数

1.准确数在实际生活中，为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数改写后的数是原数的准确数例如把1254300000改写成以万做单位的数是125430万；改写成以亿做单位的数

12.543亿

2.近似数根据实际需要，我们还可以把一个较大的数，省略某一位后面的尾数，用一个近似数来表示例如1302490015省略亿后面的尾数是13亿

3.四舍五入法要省略的尾数的最高位上的数是4或者比4小，就把尾数去掉；如果尾数的最高位上的数是5或者比5大，就把尾数舍去，并向它的前一位进1例如省略345900万后面的尾数约是35万省略4725097420亿后面的尾数约是47亿

4.大小比较

1.比较整数大小比较整数的大小，位数多的那个数就大，如果位数相同，就看最高位，最高位上的数大，那个数就大；最高位上的数相同，就看下一位，哪一位上的数大那个数就大

2.比较小数的大小先看它们的整数部分，，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大……

3.比较分数的大小:分母相同的分数，分子大的分数比较大；分子相同的数，分母小的分数大分数的分母和分子都不相同的，先通分，再比较两个数的大小四运算的意义

（一）整数四则运算

1、整数加法把两个数合并成一个数的运算叫做加法-在加法里，相加的数叫做加数，加得的数叫做和加数是部分数，和是总数-加数+加数=和例如2+3=

52、整数减法已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法-在减法里，已知的和叫做被减数，已知的加数叫做减数，未知的加数叫做差被减数是总数，减数和差分别是部分数例如5-3=2-加法和减法互为逆运算例如12-3=99+3=12和—加数=另一个加数

3、整数乘法求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法-在乘法里，相同的加数和相同加数的个数都叫做因数相同加数的和叫做积-在乘法里，0和任何数相乘都得

0.1和任何数相乘都得任何数例如5×0=0例如5×1=5-一个因数×一个因数=积一个因数=积÷另一个因数例如5×2=105=10÷

24、整数除法已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法例如12÷3=4-在除法里，已知的积叫做被除数，已知的一个因数叫做除数，所求的因数叫做商例如12÷3=4，12是被除数，3是除数，4是商-乘法和除法互为逆运算例如12÷3=44×3=12-在除法里，0不能做除数因为0和任何数相乘都得0，所以任何一个数除以0，均得不到一个确定的商例如例如12÷0=×被除数÷除数=商除数=被除数÷商被除数=商×除数

（二）小数四则运算

1.小数加法小数加法的意义与整数加法的意义相同是把两个数合并成一个数的运算

2.小数减法小数减法的意义与整数减法的意义相同已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算.

3.小数乘法小数乘整数的意义和整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算；一个数乘纯小数的意义是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几……是多少

4.小数除法小数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算

5.乘方求几个相同因数的积的运算叫做乘方例如3×3=32

（三）分数四则运算

1.分数加法分数加法的意义与整数加法的意义相同是把两个数合并成一个数的运算

2.分数减法分数减法的意义与整数减法的意义相同已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算

3.分数乘法分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算

4.乘积是1的两个数叫做互为倒数

5.分数除法分数除法的意义与整数除法的意义相同就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算

（四）运算定律

1.加法交换律两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，这叫做加法交换律表示为a+b=b+a甲数+乙数=乙数+甲数○+※=※+○15+4=4+

152.加法结合律三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加它们的和不变，这叫做加法结合律表示为（a+b+c=a+b+c（甲数+乙数）+丙数=甲数+（乙数+丙数）（○+※）+◎=○+（※+◎）（15+4）+6=15+（4+6）在加法中0和0是好朋友，因为0+0=01和9是好朋友，因为1+9=102和8是好朋友，因为2+8=103和7是好朋友，因为3+7=104和6是好朋友，因为4+6=105和5是好朋友，因为5+5=

103.乘法交换律两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，这叫做乘法交换律表示为a×b=b×a甲数×乙数=乙数×甲数○×※=※×○15×4=4×

154.乘法结合律三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变，这叫做乘法结合律表示为（a×b×c=a×b×c（甲数×乙数）×丙数=甲数×（乙数×丙数）（○×※）×◎=○×（※×◎）（15×4）×6=15×（4×6）在乘法中4×25=1004×250=10004×

0.25=14×

2.5=1040×

2.5=10040×25=10008×125=10008×

12.5=1008×

1.25=108×

0.125=115×15=22525×25=625一定要记住5×12=602×15=302×25=505×14=704×15=604×25=1005×16=806×15=906×25=1505×18=908×15=1208×25=2005×24=12012×15=18012×25=

2505.乘法结合律

（1）两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加，这叫做乘法律分配律表示为a+b×c=a×b+a×c25+6×4=25×4+6×4=100+24=124a×b+a×c=c×a+b25×4+5×4=4×25+5=4×30=120

（2）两个数的差与一个数相乘，可以把两个数分别与这个数相乘再把两个积相减，这也叫做乘法律分配律a-b×c=a×b-a×c25-6×4=25×4-6×4=100-24=76a×b-a×c=c×a-b25×4-5×4=4×25-5=4×20=80

（3）隐“1”法计算乘法分配律的要点9=9×115=15×124=24×138=38×158=80×190=90×1165=165×1256=256×1例如25×9+25=25×（9+1）=25×10=250125×9-125=125×（9-1）=125×8=1000一定要记住101=100+199=100-1102=100+298=100-2103=100+797=100-3201=200+1199=200-1202=200+2198=200-2203=200+7197=200-

36.减法的性质

（1）从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，这叫做减法的性质表示为a-b-c=a-b+ca-b+c=a-b-c251-28-72=251-（28+72）=251-100=151251-128+28=251-（128-28）=251-100=

1517、除法的性质从一个数里连续除去几个数，可以从这个数里除去所有除数的积，商不变，这叫做除法的性质表示为a÷b÷c=a÷b×ca÷b×c=a÷b÷c200÷25÷4=200÷25×4=200÷100=2a÷b×c=a÷b÷c

8、特殊情况一个数+0=这个数例如5+0=5一个数—0=这个数例如5-0=5一个数×0=0一个数÷0没有意义，因为0不能作除数0÷一个非0的数=0例如0÷5=0一个数—这个数=0例如5-5=0一个非0的数÷这个数=1例如5÷5=1一个数÷1=这个数例如5÷1=5一个数×1=这个数例如5×1=51÷一个数（不能为0）=

（五）运算法则

1.整数加法计算法则相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一

2.整数减法计算法则相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一作十，和本位上的数合并在一起，再减

3.整数乘法计算法则先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数，用因数哪一位上的数去乘，乘得的数的末尾就对齐哪一位，然后把各次乘得的数加起来

4.整数除法计算法则先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位；如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面如果哪一位上不够商1，要补“0”占位每次除得的余数要小于除数

5.小数乘法法则先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”补足

6.除数是整数的小数除法计算法则先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”，再继续除

7.除数是小数的除法计算法则先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算

8.同分母分数加减法计算方法:同分母分数相加减，只把分子相加减，分母不变

9.异分母分数加减法计算方法:先通分，然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算

10.带分数加减法的计算方法:整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来

11.分数乘法的计算法则:分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母

12.分数除法的计算法则:甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数

（六）运算顺序

1.第一级运算加法和减法叫做第一级运算

2.第二级运算乘法和除法叫做第二级运算

3、小数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同

4、分数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同

5、没有括号的混合运算:同级运算从左往右依次运算；两级运算先算乘、除法，后算加减法

6、有括号的混合运算:先算小括号里面的数，再算中括号里面的数，最后算括号外面的数五应用题

（一）整数和小数的应用1简单应用题

（1）简单应用题只含有一种基本数量关系，或用一步运算解答的应用题，通常叫做简单应用题

（2）解题步骤a、审题理解题意了解应用题的内容，知道应用题的条件和问题读题时，不丢字不添字边读边思考，弄明白题中每句话的意思也可以复述条件和问题，帮助理解题意b、选择算法和列式计算这是解答应用题的中心工作从题目中告诉什么，要求什么着手，逐步根据所给的条件和问题，联系四则运算的含义，分析数量关系，确定算法，进行解答并标明正确的单位名称C、检验就是根据应用题的条件和问题进行检查看所列算式和计算过程是否正确，是否符合题意如果发现错误，马上改正d、答案根据计算的结果，先口答，逐步过渡到笔答3解答加法应用题a求总数的应用题已知甲数是多少，乙数是多少，求甲乙两数的和是多少，用加法，甲数+乙数=b求比一个数多几的数应用题已知甲数是多少和乙数比甲数多多少，求乙数是多少4解答减法应用题a求剩余的应用题从已知数中去掉一部分，求剩下的部分-b求两个数相差的多少的应用题已知甲乙两数各是多少，求甲数比乙数多多少，或乙数比甲数少多少c求比一个数少几的数的应用题已知甲数是多少，，乙数比甲数少多少，求乙数是多少5解答乘法应用题a求相同加数和的应用题已知相同的加数和相同加数的个数，求总数b求一个数的几倍是多少的应用题已知一个数是多少，另一个数是它的几倍，求另一个数是多少6解答除法应用题a把一个数平均分成几份，求每一份是多少的应用题已知一个数和把这个数平均分成几份的，求每一份是多少b求一个数里包含几个另一个数的应用题已知一个数和每份是多少，求可以分成几份C求一个数是另一个数的的几倍的应用题已知甲数乙数各是多少，求较大数是较小数的几倍d已知一个数的几倍是多少，求这个数的应用题

（7）常见的数量关系

1、平均数问题平均数数×份数＝总量总量÷平均数＝份数总量÷份数＝平均数

2、行程问题速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度解题关键及规律-同时同地相背而行路程=速度和×时间-同时相向而行相遇时间=速度和×时间-同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）追及时间=路程速度差-同时同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）路程=速度差×时间

3、价格问题单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价

4、工程问题工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率

5、相遇问题（甲速+乙速）×相遇时间＝路程路程÷（甲速+乙速）＝相遇时间路程÷相遇时间—甲速＝乙速路程÷相遇时间—乙速＝甲速

6、追及问题路程差÷速度差=追及时间

7、流水问题顺速=船速＋水速逆速=船速－水速船行速度=（顺水速度+逆流速度）÷2流水速度=（顺流速度-逆流速度）÷2路程=顺流速度×顺流航行所需时间路程=逆流速度×逆流航行所需时间

8、植树问题

（1）沿线段植树-棵树=段数+1棵树=总路程÷株距+1-株距=总路程÷（棵树-1）总路程=株距×（棵树-1）-

（2）沿周长植树-棵树=总路程÷株距-株距=总路程÷棵树-总路程=株距×棵树

9、年龄问题解题关键年龄问题的主要特点是随着时间的变化，年岁不断增长，但大小两个不同年龄的差是不会改变的，因此，年龄问题是一种“差不变”的问题，解题时，要善于利用差不变的特点

10、鸡兔同笼问题解题关键解答鸡兔问题一般采用假设法，假设全是一种动物（如全是“鸡”或全是“兔”，然后根据出现的腿数差，可推算出某一种的头数-解题规律假设全部是鸡兔的只数（总腿数－鸡腿数×总头数）÷一只鸡兔腿数的差=兔子只数

11、加法加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数

12、减法被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数

13、乘法因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数

14、除法被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数

（二）分数和百分数的应用题解题方法

1、特殊形式

（1）“的”字类“的”前ד的”后

（2）“是、相当于、占”字类“是”前÷“是”后“相当于”前÷“相当于”后“占”前÷“占”后

（3）“比”字类（大数—小数）÷“比”后的数

2、找标准量（单位“1”）的方法要正确找准单位“1”的量（即标准量）必须从题目中的分率句着手

（1）分数应用题，存在着整体和部分两个数量，一般来说，整体是标准量，部分是比较量

（2）“的”前就是标准量

（3）“比、占、是、相当于”后面的就是标准量

（4）工程问题中工作总量就是单位“1”

3、分数应用题的解题公式标准量×对应分率=比较量标准量×（1+分率）=比较量标准量×（1—分率）=比较量比较量÷对应分率=标准量比较量÷（1+分率）=标准量比较量÷（1—分率）=标准量比较量÷标准量=对应分率

（1）

4、百分率利息＝本金×利率×时间税后利息＝本金×利率×时间×1－5%达标率＝×100%发芽率＝×100％出粉率＝×100％出米率＝×100％出油率＝×100％成活率＝×100％合格率＝×100％次品率＝×100％出勤率＝×100％入学率＝×100％优秀率＝×100％及格率＝×100％命中率=×100％xx率=×100％计算公式

5、工程问题-是分数应用题的特例，它与整数的工作问题有着密切的联系它是探讨工作总量、工作效率和工作时间三个数量之间相互关系的一种应用题-解题关键把工作总量看作单位“1”，工作效率就是工作时间的倒数，然后根据题目的具体情况，灵活运用公式-数量关系式-工作总量=工作效率×工作时间-工作效率=工作总量÷工作时间-工作时间=工作总量÷工作效率-工作总量÷工作效率和=合作时间6纳税-纳税就是把根据国家各种税法的有关规定，按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家-缴纳的税款叫应纳税款-应纳税额与各种收入的（销售额、营业额、应纳税所得额……）的比率叫做税率*利息存入银行的钱叫做本金取款时银行多支付的钱叫做利息利息与本金的比值叫做利率利息=本金×利率×时间第二章度量衡一长度一什么是长度长度是一维空间的度量二长度常用单位*公里km*米m*分米dm*厘米cm*毫米mm*微米um三单位之间的换算*1毫米＝1000微米*1厘米＝10毫米*1分米＝10厘米*1米＝1000毫米*1千米＝1000米二面积

（一）什么是面积面积，就是物体所占平面的大小对立体物体的表面的多少的测量一般称表面积

（二）常用的面积单位*平方毫米*平方厘米*平方分米*平方米*平方千米

（三）面积单位的换算*1平方厘米＝100平方毫米*1平方分米=100平方厘米*1平方米＝100平方分米*1公倾＝10000平方米*1平方公里＝100公顷三体积和容积

（一）什么是体积、容积体积，就是物体所占空间的大小容积，箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积

（二）常用单位1-、体积单位*立方米*立方米*立方分米*立方厘米

2、容积单位*升*毫升1立方分米=1升1立方厘米=1毫升1升=1000毫升

（三）单位换算1体积单位*1立方米=1000立方分米*1立方分米=1000立方厘米2容积单位*1升=1000毫升*1升=1立方分米*1毫升=1立方厘米四质量

（一）什么是质量质量，就是表示表示物体有多重

（二）常用单位*吨t*千克kg*克g

（三）常用换算*一吨=1000千克*1千克=1000克五时间

（一）什么是时间是指有起点和终点的一段时间

（二）常用单位*世纪*年*月*日*时*分*秒

（三）单位换算*1世纪=100年*1年=365天平年*一年=366天闰年*

一、

三、

五、

七、

八、

十、十二是大月大月有31天*

四、

六、

九、十一是小月小月小月有30天*平年2月有28天闰年2月有29天*1天=24小时*1小时=60分*一分=60秒六货币

（一）什么是货币货币是充当一切商品的等价物的特殊商品货币是价值的一般代表，可以购买任何别的商品

（二）常用单位*元*角*分

（三）单位换算*1元=10角*1角=10分第三章代数初步知识

一、用字母表示数1用字母表示数的意义和作用*用字母表示数，可以把数量关系简明的表达出来，同时也可以表示运算的结果2用字母表示常见的数量关系、运算定律和性质、几何形体的计算公式

（1）常见的数量关系-路程用s表示，速度v用表示，时间用t表示，三者之间的关系-s=vt-v=s/t-t=s/v-总价用a表示，单价用b表示，数量用c表示，三者之间的关系:-a=bc-b=a/c-c=a/b

（2）运算定律和性质-加法交换律a+b=b+a-加法结合律（a+b+c=a+b+c-乘法交换律ab=ba-乘法结合律（abc=abc-乘法分配律（a+bc=ac+bc-减法的性质a-b+c=a-b-c

（3）用字母表示几何形体的公式-长方形的长用a表示，宽用b表示，周长用c表示，面积用s表示-c=2a+b-s=ab-正方形的边长a用表示，周长用c表示，面积用s表示-c=4a-s=a²-平行四边形的底a用表示，高用h表示，面积用s表示-s=ah-三角形的底用a表示，高用h表示，面积用s表示-s=ah/2-梯形的上底用a表示，下底b用表示，高用h表示，中位线用m表示，面积用s表示-s=a+bh/2-s=mh-圆的半径用r表示，直径用d表示，周长用c表示，面积用s表示-c=∏d=2∏r-s=∏r²-扇形的半径用r表示，n表示圆心角的度数，面积用s表示-s=∏nr²/360-长方体的长用a表示，宽用b表示，高用h表示，表面积用s表示，体积用v表示-v=sh-s=2ab+ah+bh-v=abh-正方体的棱长用a表示，底面周长c用表示，底面积用s表示，体积用v表示.-s=6a²-v=a³-圆柱的高用h表示，底面周长用c表示，底面积用s表示，体积用v表示.-s侧=ch-s表=s侧+2s底-v=sh-圆锥的高用h表示，底面积用s表示，体积用v表示.-v=sh/33用字母表示数的写法-数字和字母、字母和字母相乘时，乘号可以记作“.”，或者省略不写，数字要写在字母的前面-当“1”与任何字母相乘时，“1”省略不写-在一个问题中，同一个字母表示同一个量，不同的量用不同的字母表示-用含有字母的式子表示问题的答案时，除数一般写成分母，如果式子中有加号或者减号，要先用括号把含字母的式子括起来，再在括号后面写上单位的名称4将数值代入式子求值*把具体的数代入式子求值时，要注意书写格式先写出字母等于几，然后写出原式，再把数代入式子求值字母表示的是数，后面不写单位名称*同一个式子，式子中所含字母取不同的数值，那么所求出的式子的值也不相同

二、简易方程

（一）方程和方程的解1方程含有未知数的等式叫做方程-注意方程是等式，又含有未知数，两者缺一不可-方程和算术式不同算术式是一个式子，它由运算符号和已知数组成，它表示未知数方程是一个等式，在方程里的未知数可以参加运算，并且只有当未知数为特定的数值时，方程才成立2方程的解使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解

三、解方程解方程，求方程的解的过程叫做解方程

四、列方程解应用题1列方程解应用题的意义*用方程式去解答应用题求得应用题的未知量的方法2列方程解答应用题的步骤*弄清题意，确定未知数并用x表示；*找出题中的数量之间的相等关系；*列方程，解方程；*检查或验算，写出答案3列方程解应用题的方法*综合法先把应用题中已知数（量）和所设未知数（量）列成有关的代数式，再找出它们之间的等量关系，进而列出方程这是从部分到整体的一种思维过程，其思考方向是从已知到未知*分析法先找出等量关系，再根据具体建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式进而列出方程这是从整体到部分的一种思维过程，其思考方向是从未知到已知4列方程解应用题的范围小学范围内常用方程解的应用题a一般应用题；b和倍、差倍问题；c几何形体的周长、面积、体积计算；d分数、百分数应用题；e比和比例应用题五比和比例1比的意义和性质

（1）比的意义-两个数相除又叫做两个数的比-“”是比号，读作“比”比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项比的前项除以后项所得的商，叫做比值-同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商-比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数-比的后项不能是零根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值

（2）比的性质-比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质

（3）求比值和化简比-求比值的方法用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分数-根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比它的结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的数

（4）比例尺-图上距离实际距离=比例尺-要求会求比例尺；已知图上距离和比例尺求实际距离；已知实际距离和比例尺求图上距离-线段比例尺在图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地面上相对应的实际距离

（5）按比例分配-在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配这种分配的方法通常叫做按比例分配-方法首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少2比例的意义和性质

（1）比例的意义-表示两个比相等的式子叫做比例-组成比例的四个数，叫做比例的项-两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项

（2）比例的性质-在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积这叫做比例的基本性质

（3）解比例-根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个数比例中的另外一个未知项求比例中的未知项，叫做解比例3正比例和反比例

（1）成正比例的量-两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系（正比例的图像是一条直线）-用字母表示y/x=k一定）

（2）成反比例的量-两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系（反比例的图像是一条曲线）-用字母表示x×y=k一定第四章几何的初步知识一线和角

（1）线*直线-直线没有端点；长度无限；过一点可以画无数条，过两点只能画一条直线*射线-射线只有一个端点；长度无限*线段-线段有两个端点，它是直线的一部分；长度有限；两点的连线中，线段为最短*平行线-在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线-两条平行线之间的垂线长度都相等*垂线-两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线相交的点叫做垂足-从直线外一点到这条直线所画的垂线的长叫做这点到直线的距离

（2）角

（1）-从一点引出两条射线，所组成的图形叫做角这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边

（2）角的分类-锐角小于90°的角叫做锐角-直角等于90°的角叫做直角-钝角大于90°而小于180°的角叫做钝角-平角角的两边成一条直线，这时所组成的角叫做平角平角180°-周角角的一边旋转一周，与另一边重合周角是360°对称轴-如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形折痕所在的这条直线叫做对称轴-正方形有4条对称轴长方形有2条对称轴-等腰三角形有2条对称轴等边三角形有3条对称轴正五边形有5条对称轴正六边形有6条对称轴-等腰梯形有一条对称轴圆有无数条对称轴环形有无数条对称轴-菱形有4条对称轴扇形有一条对称轴平行四边形没有对称轴任意三角形形没有对称轴任意梯形形没有对称轴三立体图形

（一）长方体1特征-六个面都是长方形（有时有两个相对的面是正方形）-相对的面面积相等，12条棱相对的4条棱长度相等-有8个顶点-相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长、宽、高-两个面相交的边叫做棱-三条棱相交的点叫做顶点-把长方体放在桌面上，最多只能看到三个面-长方体或者正方体6个面的总面积，叫做它的表面积2计算公式棱长总和=（长+宽+高）×4s表=2ab+ah+bhS表（无盖）=a×b+（a×h+b×h×2S表（没有上底和下底）=（a×h+b×h×2-V=sh-V=abh

（二）正方体1特征-六个面都是正方形-六个面的面积相等-12条棱，棱长都相等-有8个顶点-正方体可以看作特殊的长方体2计算公式棱长总和=棱长×12S表=6a²S表（无盖）=5a²S表（没有上底和下底）=4a²v=a³

（三）圆柱1圆柱的认识-圆柱的上下两个面叫做底面-圆柱有一个曲面叫做侧面-圆柱两个底面之间的距离叫做高-进一法实际中，使用的材料都要比计算的结果多一些，因此，要保留数的时候，省略的位上的是4或者比4小，都要向前一位进1这种取近似值的方法叫做进一法2计算公式-s侧=ch-s表=s侧+s底×2-v=sh/3

（四）圆锥1圆锥的认识-圆锥的底面是个圆，圆锥的侧面是个曲面-从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高-测量圆锥的高先把圆锥的底面放平，用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面，竖直地量出平板和底面之间的距离-把圆锥的侧面展开得到一个扇形2计算公式-v=sh/3

（五）球1认识-球的表面是一个曲面，这个曲面叫做球面-球和圆类似，也有一个球心，用O表示-从球心到球面上任意一点的线段叫做球的半径，用r表示，每条半径都相等-通过球心并且两端都在球面上的线段，叫做球的直径，用d表示每条直径都相等直径的长度等于半径的2倍，即d=2r三角形四边形分类分类按角分

1、锐角三角形三个角都是锐角

2、直角三角形有一个角是直角等腰直角三角形的两个锐角各为45度，它有一条对称轴

3、钝角三角形有一个角是钝角平行四边形定义在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形特征

1、两组对边分别平行且对边相等

2、对角相等，相邻的两个角的度数之和为180度

3、平行四边形容易变形

4、平行四边形没有对称轴面积公式底×高梯形定义只有一组对边平行的四边形叫做梯形特征

1、只有一组对边平行的四边形

2、中位线等于上下底和的一半按边分

1、任意三角形三条边长度不相等

2、等腰三角形有两条边长度相等；两个底角相等；

3、等边三角形三条边长度都相等；三个内角都是60度；有三条对称轴长方形定义有四个角是直角的平行四边形叫做长方形特征

1、两组对边分别平行且对边相等，4个角都是直角

2、长方形的对角线相等正方形定义四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形特征

1、四条边都相等

2、四个角都是直角

3、有4条对称轴菱形定义邻边相等的平行四边形叫做菱形特征

1、菱形的四条边都相等

2、菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

1、任意梯形定义只有一组对边平行的四边形叫做梯形

2、直角梯形定义一腰垂直于底的梯形叫直角梯形

3、等腰梯形定义两条腰相等的梯形叫等腰梯形三角形平行四边形长方形正方形菱形梯形周长（长+宽）×2边长×4边长×4面积底×高÷2底×高长×宽边长×边长对角线×对角线÷2底×高（上底+下底）×高÷2对称轴

1、等腰三角形有1条对称轴

2、等边三角形有3条对称轴没有2条4条2条只有等腰梯形有1条对称轴长方体正方体特征

1、六个面都是长方形（有时有两个相对的面是正方形）上下面+左右面+前后面=六个面

2、相对的面面积相等

3、有4长、4宽、4高共12条棱

4、有8个顶点、

5、把长方体放在桌面上，最多只能看到三个面

1、六个面都是正方形

2、六个面的面积相等

3、12条棱，棱长都相等

4、有8个顶点

5、把正方体放在桌面上，最多只能看到三个面

6、正方体可以看作特殊的长方体棱长总和（长+宽+高）×4棱长×12表面积（长×宽+长×高+宽×高）×2a×b+a×h+b×h×2棱长×棱长×6a²×6无盖表面积长×宽+（长×高+宽×高）×2a×b+（a×h+b×h×2棱长×棱长×5a²×5侧面积（没有上底和下底）（长×高+宽×高）×2（a×h+b×h×2棱长×棱长×4a²×4体积底面积×高V=sh长×宽×高V=abh底面积×高V=sh棱长×棱长×棱长V=a高体积÷底面积体积÷（长×宽）体积÷底面积体积÷（棱长×棱长）圆柱圆锥定义以的长方形一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥侧面展开图长方形或正方形扇形侧面积圆环形半圆扇形定义平面上的一种曲线图形，叫做圆由同一圆心，不同半径围成的图形，叫做环形半圆是指直径所对应的弧，叫做半圆一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形r（连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径一般用r表示）在同一个圆里，有无数条半径，每条半径的长度都相等r=d÷2r=c÷∏÷2d（通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径一般用d表示在同一个圆里，有无数条直径，每条直径的长度都相等d=2rd=c÷∏cc=∏dc=2∏rC环=∏D+∏dc环=2∏R+2∏rC半圆=∏r+2rC半圆=∏d÷2+dC半圆=c÷2+c÷∏C扇=∏d×+dc扇=2∏r×+2rc扇=c×+c÷∏s围成圆的曲线的长叫做圆的周长s=∏r²s=∏×d÷2²s=∏×c÷∏÷2²S环=∏×（R²—r²）S半圆=∏r²÷2S半圆=∏×d÷2²÷2S半圆=∏×c÷∏÷2²÷2S扇=∏r²×S扇=∏×d÷2²×S扇=∏×c÷∏÷2²×对称轴无数条无数条1条1条其它定义圆的画法

（1）把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离（即半径）；

（2）把有针尖的一只脚固定在一点（即圆心）上；

（3）把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆标出数据圆心圆中心的一点叫做圆心一般用字母o表示圆周率圆的周长和直径的比值叫做圆周率用字母∏表示在同一个圆中，直径等于半径长度的2倍，半径等于直径长度的即d=2r，r=d÷

25、圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小2复合应用题

（1）有两个或两个以上的基本数量关系组成的，用两步或两步以上运算解答的应用题，通常叫做复合应用题

（2）含有三个已知条件的两步计算的应用题-求比两个数的和多（少）几个数的应用题-比较两数差与倍数关系的应用题

（3）含有两个已知条件的两步计算的应用题-已知两数相差多少（或倍数关系）与其中一个数，求两个数的和（或差）-已知两数之和与其中一个数，求两个数相差多少（或倍数关系）

（4）解答连乘连除应用题

（5）解答三步计算的应用题

（6）解答小数计算的应用题小数计算的加法、减法、乘法和除法的应用题，他们的数量关系、结构、和解题方式都与正式应用题基本相同，只是在已知数或未知数中间含有小数3典型应用题具有独特的结构特征的和特定的解题规律的复合应用题，通常叫做典型应用题

（1）平均数问题平均数是等分除法的发展-解题关键在于确定总数量和与之相对应的总份数-算术平均数已知几个不相等的同类量和与之相对应的份数，求平均每份是多少数量关系式数量之和÷数量的个数=算术平均数-加权平均数已知两个以上若干份的平均数，求总平均数是多少-数量关系式（部分平均数×权数）的总和÷（权数的和）=加权平均数-差额平均数是把各个大于或小于标准数的部分之和被总份数均分，求的是标准数与各数相差之和的平均数-数量关系式（大数－小数）÷2=小数应得数最大数与各数之差的和÷总份数=最大数应给数最大数与个数之差的和÷总份数=最小数应得数例一辆汽车以每小时100千米的速度从甲地开往乙地，又以每小时60千米的速度从乙地开往甲地求这辆车的平均速度分析求汽车的平均速度同样可以利用公式此题可以把甲地到乙地的路程设为“1”，则汽车行驶的总路程为“2”，从甲地到乙地的速度为100，所用的时间为，汽车从乙地到甲地速度为60千米，所用的时间是，汽车共行的时间为+=汽车的平均速度为2÷=75（千米）

（2）归一问题已知相互关联的两个量，其中一种量改变，另一种量也随之而改变，其变化的规律是相同的，这种问题称之为归一问题-根据求“单一量”的步骤的多少，归一问题可以分为一次归一问题，两次归一问题-根据球痴单一量之后，解题采用乘法还是除法，归一问题可以分为正归一问题，反归一问题-一次归一问题，用一步运算就能求出“单一量”的归一问题又称“单归一”-两次归一问题，用两步运算就能求出“单一量”的归一问题又称“双归一”-正归一问题用等分除法求出“单一量”之后，再用乘法计算结果的归一问题-反归一问题用等分除法求出“单一量”之后，再用除法计算结果的归一问题-解题关键从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量（单一量），然后以它为标准，根据题目的要求算出结果c求比一个数少几的数的应用题已知甲数是多少，，乙数比甲数少多少，求乙数是多少5解答乘法应用题a求相同加数和的应用题已知相同的加数和相同加数的个数，求总数b求一个数的几倍是多少的应用题已知一个数是多少，另一个数是它的几倍，求另一个数是多少6解答除法应用题a把一个数平均分成几份，求每一份是多少的应用题已知一个数和把这个数平均分成几份的，求每一份是多少b求一个数里包含几个另一个数的应用题已知一个数和每份是多少，求可以分成几份C求一个数是另一个数的的几倍的应用题已知甲数乙数各是多少，求较大数是较小数的几倍d已知一个数的几倍是多少，求这个数的应用题

（7）常见的数量关系-总价=单价×数量-路程=速度×时间-工作总量=工作时间×工效-总产量=单产量×数量2复合应用题

（1）有两个或两个以上的基本数量关系组成的，用两步或两步以上运算解答的应用题，通常叫做复合应用题

（2）含有三个已知条件的两步计算的应用题-求比两个数的和多（少）几个数的应用题-比较两数差与倍数关系的应用题

（3）含有两个已知条件的两步计算的应用题-已知两数相差多少（或倍数关系）与其中一个数，求两个数的和（或差）-已知两数之和与其中一个数，求两个数相差多少（或倍数关系）

（4）解答连乘连除应用题

（5）解答三步计算的应用题

（6）解答小数计算的应用题小数计算的加法、减法、乘法和除法的应用题，他们的数量关系、结构、和解题方式都与正式应用题基本相同，只是在已知数或未知数中间含有小数3典型应用题具有独特的结构特征的和特定的解题规律的复合应用题，通常叫做典型应用题

（1）平均数问题平均数是等分除法的发展-解题关键在于确定总数量和与之相对应的总份数-算术平均数已知几个不相等的同类量和与之相对应的份数，求平均每份是多少数量关系式数量之和÷数量的个数=算术平均数-加权平均数已知两个以上若干份的平均数，求总平均数是多少-数量关系式（部分平均数×权数）的总和÷（权数的和）=加权平均数-差额平均数是把各个大于或小于标准数的部分之和被总份数均分，求的是标准数与各数相差之和的平均数-数量关系式（大数－小数）÷2=小数应得数最大数与各数之差的和÷总份数=最大数应给数最大数与个数之差的和÷总份数=最小数应得数例一辆汽车以每小时100千米的速度从甲地开往乙地，又以每小时60千米的速度从乙地开往甲地求这辆车的平均速度分析求汽车的平均速度同样可以利用公式此题可以把甲地到乙地的路程设为“1”，则汽车行驶的总路程为“2”，从甲地到乙地的速度为100，所用的时间为，汽车从乙地到甲地速度为60千米，所用的时间是，汽车共行的时间为+=汽车的平均速度为2÷=75（千米）

（2）归一问题已知相互关联的两个量，其中一种量改变，另一种量也随之而改变，其变化的规律是相同的，这种问题称之为归一问题-根据求“单一量”的步骤的多少，归一问题可以分为一次归一问题，两次归一问题-根据球痴单一量之后，解题采用乘法还是除法，归一问题可以分为正归一问题，反归一问题-一次归一问题，用一步运算就能求出“单一量”的归一问题又称“单归一”-两次归一问题，用两步运算就能求出“单一量”的归一问题又称“双归一”-正归一问题用等分除法求出“单一量”之后，再用乘法计算结果的归一问题-反归一问题用等分除法求出“单一量”之后，再用除法计算结果的归一问题-解题关键从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量（单一量），然后以它为标准，根据题目的要求算出结果-数量关系式单一量×份数=总数量（正归一）-总数量÷单一量=份数（反归一）例一个织布工人，在七月份织布4774米，照这样计算，织布6930米，需要多少天？分析必须先求出平均每天织布多少米，就是单一量6930÷（4774÷31）=45（天）

（3）归总问题是已知单位数量和计量单位数量的个数，以及不同的单位数量（或单位数量的个数），通过求总数量求得单位数量的个数（或单位数量）-特点两种相关联的量，其中一种量变化，另一种量也跟着变化，不过变化的规律相反，和反比例算法彼此相通-数量关系式单位数量×单位个数÷另一个单位数量=另一个单位数量单位数量×单位个数÷另一个单位数量=另一个单位数量例修一条水渠，原计划每天修800米，6天修完实际4天修完，每天修了多少米？分析因为要求出每天修的长度，就必须先求出水渠的长度所以也把这类应用题叫做“归总问题”不同之处是“归一”先求出单一量，再求总量，归总问题是先求出总量，再求单一量800×6÷4=1200（米）

（4）和差问题已知大小两个数的和，以及他们的差，求这两个数各是多少的应用题叫做和差问题-解题关键是把大小两个数的和转化成两个大数的和（或两个小数的和），然后再求另一个数-解题规律（和＋差）÷2=大数大数－差=小数（和－差）÷2=小数和－小数=大数例某加工厂甲班和乙班共有工人94人，因工作需要临时从乙班调46人到甲班工作，这时乙班比甲班人数少12人，求原来甲班和乙班各有多少人？分析从乙班调46人到甲班，对于总数没有变化，现在把乙数转化成2个乙班，即94－12，由此得到现在的乙班是（94－12）÷2=41（人），乙班在调出46人之前应该为41+46=87（人），甲班为94－87=7（人）

（5）和倍问题已知两个数的和及它们之间的倍数关系，求两个数各是多少的应用题，叫做和倍问题-解题关键找准标准数（即1倍数）一般说来，题中说是“谁”的几倍，把谁就确定为标准数求出倍数和之后，再求出标准的数量是多少根据另一个数（也可能是几个数）与标准数的倍数关系，再去求另一个数（或几个数）的数量-解题规律和÷倍数和=标准数标准数×倍数=另一个数例:汽车运输场有大小货车115辆，大货车比小货车的5倍多7辆，运输场有大货车和小汽车各有多少辆？分析大货车比小货车的5倍还多7辆，这7辆也在总数115辆内，为了使总数与（5+1）倍对应，总车辆数应（115-7）辆列式为（115-7）÷（5+1）=18（辆），18×5+7=97（辆）

（6）差倍问题已知两个数的差，及两个数的倍数关系，求两个数各是多少的应用题-解题规律两个数的差÷（倍数－1）=标准数标准数×倍数=另一个数例甲乙两根绳子，甲绳长63米，乙绳长29米，两根绳剪去同样的长度，结果甲所剩的长度是乙绳长的3倍，甲乙两绳所剩长度各多少米？各减去多少米？分析两根绳子剪去相同的一段，长度差没变，甲绳所剩的长度是乙绳的3倍，实比乙绳多（3-1）倍，以乙绳的长度为标准数列式（63-29）÷（3-1）=17（米）…乙绳剩下的长度，17×3=51（米）…甲绳剩下的长度，29-17=12（米）…剪去的长度第五章简单的统计一统计表

（一）意义*把统计数据填写在一定格式的表格内，用来反映情况、说明问题，这样的表格就叫做统计表

（二）组成部分*一般分为表格外和表格内两部分表格外部分包括标的名称，单位说明和制表日期；表格内部包括表头、横标目、纵标目和数据四个方面

（三）种类*单式统计表只含有一个项目的统计表*复式统计表含有两个或两个以上统计项目的统计表*百分数统计表不仅表明各统计项目的具体数量，而且表明比较量相当于标准量的百分比的统计表

（四）制作步骤1搜集数据2整理数据-要根据制表的目的和统计的内容，对数据进行分类3设计草表-要根据统计的目的和内容设计分栏格内容、分栏格画法，规定横栏、竖栏各需几格，每格长度4正式制表-把核对过的数据填入表中，并根据制表要求，用简单、明确的语言写上统计表的名称和制表日期二统计图

（一）意义*用点线面积等来表示相关的量之间的数量关系的图形叫做统计图

（二）分类1条形统计图-用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条，然后把这些直线按照一定的顺序排列起来-优点很容易看出各种数量的多少-注意画条形统计图时，直条的宽窄必须相同-取一个单位长度表示数量的多少要根据具体情况而确定；-复式条形统计图中表示不同项目的直条，要用不同的线条或颜色区别开，并在制图日期下面注明图例制作条形统计图的一般步骤:

（1）根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线

（2）在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直线的宽度和间隔

（3）在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少

（4）按照数据的大小画出长短不同的直条，并注明数量2折线统计图-用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来-优点不但可以表示数量的多少，而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况-注意折线统计图的横轴表示不同的年份、月份等时间时，不同时间之间的距离要根据年份或月份的间隔来确定制作折线统计图的一般步骤:

（1）根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线

（2）在水平射线上，适当分配折线的位置，确定直线的宽度和间隔

（3）在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少

（4）按照数据的大小描出各点，再用线段顺次连接起来，并注明数量3扇形统计图-用整个圆的面积表示总数，用扇形面积表示各部分所占总数的百分数-优点很清楚地表示出各部分同总数之间的关系制扇形统计图的一般步骤

（1）先算出各部分数量占总量的百分之几

（2）再算出表示各部分数量的扇形的圆心角度数

（3）取适当的半径画一个圆，并按照上面算出的圆心角的度数，在圆里画出各个扇形

（4）在每个扇形中标明所表示的各部分数量名称和所占的百分数，并用不同颜色或条纹把各个扇形区别开。