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直接证明与间接证明分层能力测试题浙江省磐安中学王义俊322300A组基础题一.选择题1.若,且,则与的大小关系是A.B.C.D.2.设a=-,b=-,c=-,则a,b,c的大小顺序是 A.abc B.bcaC.cabD.acb3.应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用
①结论相反判断,即假设
②原命题的条件
③公理、定理、定义等
④原结论A.
①② B.
①②④C.
①②③D.
②③4.在不等边三角形中,a为最大边,要想得到A为钝角的结论,三边a,b,c应满足的条件是 A.a2b2+c2B.a2=b2+c2C.a2b2+c2D.a2≤b2+c25.设数列{an}是等差数列,且a2=-6,a8=6,Sn是{an}的前n项和,则 A.S4S5B.S4=S5C.S6S5D.S6=S56.设x、y、z∈R+,a=x+,b=y+,c=z+,则a、b、c三个数 A.至少有一个不大于2B.都小于2C.至少有一个不小于2D.都大于2二.填空题7.某同学准备用反证法证明如下一个问题函数fx在上有意义,且f0=f1,如果对于不同的x1,x2∈,都有|fx1-fx2||x1-x2|,求证|fx1-fx2|.那么他的反设应该是________.8.若记号“※”表示求两个实数a和b的算术平均数的运算,即a※b=,则两边均含有运算符号“※”和“+”,且对于任意3个实数a,b,c都能成立一个等式可以是 .三.解答题9.在△ABC中,三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若+=,试问A、B、C是否成等差数列,若不成等差数列,请说明理由.若成等差数列,请给出证明.10.设a,b均为正数,且a≠b,求证a3+b3>a2b+ab
2.11.设若函数与的图象关于轴对称,求证为偶函数.12.已知a,b,c是互不相等的实数.求证由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a和y=cx2+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点.B组能力提高题一.选择题1.设a,b∈R+,且a≠b,a+b=2,则必有 A.1≤ab≤B.ab1C.ab1D.ab12.设fx=x3+bx+c是[-11]上是增函数,且f-·f0,则方程fx=0在[-11]内 A.可能有3个实根B.可能有2个实根C.有唯一实根D.没有实根3.已知x10,x1≠1且xn+1=n=12,….试证数列{xn}或者对任意正整数n都满足xnxn+1,或者对任意的正整数n都满足xnxn+
1.当此题用反证法否定结论时,应为 A.对任意的正整数n,有xn=xn+1B.存在正整数n,使xn=xn+1C.存在正整数n,使xn≥xn-1且xn≥xn+1D.存在正整数n,使xn-xn-1xn-xn+1≥04.函数y=fx在02上是增函数,函数y=fx+2是偶数,则f1,f
2.5,f
3.5的大小关系是 A.f
2.5f1f
3.5B.f
2.5f1f
3.5C.f
3.5f
2.5f1D.f1f
3.5f
2.55.若P=+,Q=+a≥0,则P、Q的大小关系是 A.P>QB.P=QC.P<QD.由a的取值确定6.对于定义在实数集R上的函数fx,如果存在实数x0,使fx0=x0,那么x0叫做函数fx的一个好点.已知函数fx=x2+2ax+1不存在好点,那么a的取值范围是 A.-,B.-,C.-11D.-∞,-1∪1,+∞二.填空题
7.已知a,b,μ∈0,+∞且+=1,则使得a+b≥μ恒成立的μ的取值范围是________.8.如果a+b>a+b,则a、b应满足的条件是 .三.解答题9.设fx=3ax2+2bx+c,若a+b+c=0,f0>0,f1>0,求证a>0且-2<<-
1.10.若、,1求证;2令,写出、、、的值,观察并归纳出这个数列的通项公式;3证明存在不等于零的常数p,使是等比数列,并求出公比q的值.直接证明与间接证明分层能力测试题答案及解析A组基础题一.选择题1.A.[解析]∴,∴,即.2.A.[解析]a=,b=,c=.∵0+++,∴,∴abc.3.C.[解析]应是
①②③.故选C.4.C.[解析]由cosA=0知b2+c2-a
20.∴a2b2+c2.5.B.[解析]设等差数列的公差为d,首项为a1,由a2=-6,a8=6得d===2,a1=a2-d=-
8.∴S4=4a1+d=4×-8+12=-20,S5=5a1+d=5×-8+20=-20,∴S4=S
5.6.C.[解析]∵a+b+c=x++y++z+≥6,因此a、b、c中至少有一个不小于2,故选C.二.填空题7.“存在x1,x2∈,使得|fx1-fx2||x1-x2|且|fx1-fx2|≥”.[解析]该命题为全称命题,其否定为特称命题.8.a※b+c=b※a+c.[解析]∵a※b=,b※a=,∴a※b+c=b※a+c.三.解答题9.证明A、B、C成等差数列,下面用综合法给出证明∵+=,∴+=3,∴+=1,∴cb+c+aa+b=a+bb+c,∴b2=a2+c2-ac.在△ABC中,由余弦定理,得cosB===,∵0°<B<180° ∴B=60°.∴A+C=2B=120°,∴A、B、C成等差数列.10.证明法一分析法要证a3+b3>a2b+ab2成立,只需证a+ba2-ab+b2>aba+b成立.又因为a+b>0,只需证a2-ab+b2>ab成立.又需证a2-2ab+b2>0成立,即需证a-b2>0成立.而依题设a≠b,则a-b2>0显然成立,由此命题得证.法二综合法a≠b⇒a-b≠0⇒a-b2>0⇒a2-2ab+b2>0⇒a2-ab+b2>ab.*而a,b均为正数,∴a+b>0,由*式即得a+ba2-ab+b2>aba+b,∴a3+b3>a2b+ab
2.11.证明记欲证为偶函数,只须证,即只须证,由已知,函数与的图象关于轴y对称,而函数与的图象也是关于y轴对称的,∴=,于是有=,∴为偶函数.12.证明假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点即任何一条抛物线与x轴没有两个不同的交点,由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a,y=cx2+2ax+b,得Δ1=2b2-4ac≤0,Δ2=2c2-4ab≤0,Δ3=2a2-4bc≤
0.上述三个同向不等式相加得,4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc≤0,∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca≤0,∴a-b2+b-c2+c-a2≤0,∴a=b=c,这与题设a,b,c互不相等矛盾,因此假设不成立,从而命题得证.B组能力提高题一.选择题1.B.[解析]因为a≠b,故ab.又因为a+b=22,故ab1,==2-ab1,即1ab.2.C.[解析]由于fx=x3+bx+c是[-11]上的增函数,且f-·f0,所以fx在[-,]上有唯一零点,即fx=0在[-,]上有唯一实根,从而在[-11]上有唯一实根.3.D.[解析]证明结论的含义是数列{an}为单调数列,因此对它的否定是数列{an}不为单调数列,即为常数数列或存在不具备单调的项,故选D.4.B.[解析]因为函数y=fx在02上是增函数,函数y=fx+2是偶函数,所以x=2是对称轴,在24上为减函数,由图象知f
2.5f1f
3.5.5.C.[解析]∵要证P<Q,只要证P2<Q2,只要证2a+7+2<2a+7+2,只要证a2+7a<a2+7a+12,只要证0<12,∵0<12成立,∴P<Q成立.6.A.[解析]解析假设函数fx存在好点即x2+2ax+1=x,∴x2+2a-1x+1=
0.∴Δ=2a-12-4≥0,解之,得a≤-或a≥.∴fx不存在好点时,a∈-,.故选A.二.填空题7.016].[解析]∵a,b∈0,+∞且+=1,∴a+b=a+b+=10++≥10+2=16,∴a+b的最小值为16,∴要使a+b≥μ恒成立,需16≥μ,∴0μ≤16.8.a≥0,b≥0且a≠b.[解析]∵a+b>a+b⇔-2+>0⇔a≥0,b≥0且a≠b.三.解答题9.证明f0>0,∴c>0,又∵f1>0,即3a+2b+c>
0.
①而a+b+c=0即b=-a-c代入
①式,∴3a-2a-2c+c>0,即a-c>0,∴a>c.∴a>c>
0.又∵a+b=-c<0,∴a+b<
0.∴1+<0,∴<-
1.又c=-a-b,代入
①式得,3a+2b-a-b>0,∴2a+b>0,∴2+>0,∴>-
2.故-2<<-
1.10.[解析]
(1)(采用反证法).若,即解得从而与题设相矛盾,故成立.
2、、、、.
(3)因为又所以因为上式是关于变量的恒等式,故可解得、.。