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相似三角形全章节教案和练习比例线段一,线段的比定义在同一长度单位下,两条线段的长度的比叫做这两条线段的比二,比例线段在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么,这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段
1.比例线段的有关概念b、d叫后项,d叫第四比例项,如果b=c,那么b叫做a、d的比例中项
2.比例性质
3.平行线分线段成比例定理
①定理三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例,如图l1∥l2∥l3
②推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例
③定理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边
三、黄金分割:在线段AB上,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果那么称线段AB被点C黄金分割点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比.其中=≈
0.
618.例题
1.若m是
2、
3、8的第四比例项,则m=;
2.若x是a、b的比例中项,且a=3,b=27,则x=;若线段x是线段a、b的比例中项,且a=3,b=27,则x=;
3.若a:b:c=2:3:7,且a+b+c=36,则a=;b=;c=已知,那么=
4.已知:一张地图的比例尺1:32000000,量得北京到上海的图上距离大约为
3.5cm求北京到上海的实际距离大约是多少km
5.在△ABC与△A/B/C/中,,且△A/B/C/周长是50㎝求△ABC的周长
6.如图,在△ABC中,P为中线AM上任一点,CP的延长线交AB于D,BP的延长线交AC于E,连结DE
(1)求证DE∥BC;
(2)如图,在△ABC中,DE∥BC,DC、BE交于P,连结AP并延长交BC于M,试问M是否为BC的中点?解析
(1)延长AM至Q,使MQ=MP∵BM=MC,∴四边形BPCQ是平行四边形∴CD∥BQ,BE∥QC∴∴DE∥BC
(2)过B作BQ∥CD交AM的延长线于Q∵DE∥BC,∴∴,∴BE∥QC∴四边形BPCQ是平行四边形∴M是BC的中点
7.如图,电视节目主持人在主持节目时,站在舞台的黄金分割点处最自然得体,若舞台AB长为20m,试计算主持人应走到离A点至少多少m处是比较得体的位置?(结果精确到
0.1m)练习1将比例式变形正确的是()A、B、xy=6C、D、
2.下列各组钱段是成比例线段的是()A、1,2,3,4B、
1.5,2,
2.5,3C、D、1,
3.已知,则下列结论错误的是()A、B、C、D、
4.已知ad=bc,下列各式一定成立的是()A、B、C、D、
5.下面四组线段中,不能成比例的是()A、a=3b=6c=2d=4B、a=1b=c=d=C、a=4b=4c=5d=10D、a=2b=c=d=
26.AB是斜靠在墙壁上的长梯,梯脚B距墙6米,梯上点D距墙
1.4米,BD长
0.55米,解梯子的长是()米A、
3.85B、
4.00C、
4.40D、
4.
507.如图点C把线段AB分成两条线段AC和BC如果那么下列说法错误的是A、线段AB被点C黄金分割B、点C叫做线段AB的黄金分割点C、AB与AC的比叫做黄金比D、AC与AB的比叫做黄金比
8、在一张比例尺为11000的地图上,湖湘中学校园的周长是100cm,那么该学校校园的实际周长是_____________m.
9、已知线段a=4cm,b=9cm,则线段a、b的比例中项c=_____________cm.
10、已知=,解a b=___________
11、若,且x+y-z=1,则x=___________y=___________
12、若2a=3b≠0,则(a+b);b=_________________
13、我们知道古希腊时期的巴台农神庙(ParthenomTemple)的正面是一个黄金矩形若已知黄金矩形的长等于6则这个黄金矩形的宽等于_________.(结果保留根号)比例线段与黄金分割【知识要点】1.把的值叫做线段的比,若,则称线段成比例线段2.,其中分别叫第
一、第
二、第
三、第四比例项,称为外项,称为内项;外项的积等于内项的积3.,我们称为比例尺,进行有关比例尺的计算时,要注意统一单位4.比例性质
①基本性质;
②反比性质;
③更比性质;
④合比性质;
⑤等比性质,则5.比例中项若,则称是的比例中项6.若点P分线段AB得到较长线段是较短线段和整条线段的比例中项,则称点P是线段AB的黄金分割点;7.叫做黄金比值【典型例题】例1.下列各组中的四条线段成比例的是A.a=,b=3,c=2,d=B.a=4,b=6,c=5,d=10C.a=2,b=,c=2,d=D.a=2,b=3,c=4,d=1例
2.已知线段a、b、c、d满足ab=cd,把它改写成比例式,错误的是A.a∶d=c∶bB.a∶b=c∶dC.d∶a=b∶cD.a∶c=d∶b例
3.若a=b=3c=3则a、b、c的第四比例项d为________例
4.若ac=bd,则下列各式一定成立的是A.B.C.D.例
5.已知则下列式子中正确的是()A.a∶b=c2∶d2B.a∶d=c∶bC.a∶b=(a+c)∶(b+d)D.a∶b=(a-d)∶(b-d)例6.已知,且,求的值例
7.在比例尺为1∶500000的地图上,A、B两地的距离是64cm,则这两地间的实际距离是______例
8.在一张地图上,甲、乙两地的图上距离是3cm而两地的实际距离为1500m,那么这张地图的比例尺为________.例9.
(1)已知,求的值
(2)已知,求的值例
10.已知点M将线段AB黄金分割AM>BM,则下列各式中不正确的是A.AM∶BM=AB∶AMB.AM=ABC.BM=ABD.AM≈
0.618AB例11.如图,线段AB=2,点C是AB的黄金分割点AC<BC),点D(不同于C点)在AB上,且,求的值【练习】1.如果,那么下列比例中错误的是()A、B、C、D、2.若,则下列等式中,不正确的是()A、B、C、D、3.若,则()A、1:2B、1:4C、1:6D、1:84.若,则的值为()A、-2B、2C、3D、-35.已知,且,则()A、11B、12C、D、96.若,且,则的值是()A、5B、-5C、20D、-207.若,则等于()A、12B、C、-D、8.已知AB=1,,且,则BC的长为()A、B、C、D、9.已知P是线段AB的黄金分割点,且,则AB的长为()A、2B、C、2或D、以上都不对10.已知,设,那么A、B、C的大小顺序为()A、ABCB、ABCC、CABD、ACB11.已知,则12.如果,且,那么13.已知,则14.如果,那么15.已知三个数,请你再填一个数,可写成一个比例式,这个数是16.把长为5的线段进行黄金分割,则较短的线段长是17.若且2a-b+3c=
21.试求a∶b∶c.
18.如果一个矩形ABCDAB<BC中,≈
0.618,那么这个矩形称为黄金矩形,黄金矩形给人以美感.在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF,得到一个小矩形ABFE如图1,请问矩形ABFE是否是黄金矩形?请说明你的结论的正确性.
19.若,则等于多少?
20.已知,求的值三角形一边的平行线
(1)三角形一边的平行线性质定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的对应线段成比例.符号语言∵DE∥BC用符号书写DE∥BC例题分析例题1如图已知DE∥BCAB=15AC=10BD=
6.求CE.例题2如图,在⊿ABCDG∥ECEG∥BC求证=AB·AD.例
3.在△ABC中,DE∥BC,DE与AB相交于D,与AC相交于E.
(1)已知,求的长.
(2)已知求的长.
(3)已知32,,求的长.例4如图,在⊿ABC中,DE∥BC,S⊿BCD S⊿ABC=14,若AC=2,求EC的长.例
5.如图,已知,AB∥CD∥EF,OA=14,AC=16,CE=8,BD=12,求OB、DF的长.作业
1、如图,在△ABC中,D、E分别在AB、AC上,且DE∥BC,AD=3,AB=5,CE=1,那么AC=___________________.
2、如图,在△ABC中,DE∥BC,如果,那么=__________________.
3、如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,交AC于D,DE∥BC,交AB于点E,若AB=6,DE=4,则BC=______________________.
4、如图,EF∥BC,FD∥AB,AE=18,BE=12,CD=14,则BD=______________.
5、如图,在△ABC中,DE∥BC,AB=4,AC=8,DB=AE,则AE=_____________.
6、如图,在△ABC中,DE∥FG∥BC,若DE FGBC=259,则AD DFFB=_________________.
7、直角梯形ABCD中,AD∥BC,DC⊥BC,AD=3,BC=6,CD=4,则AO=________.
8、如图,E为□ABCD的边AD延长线上一点,且D为AE的黄金分割点,即AD=AE,BE交DC于点F,已知AB=,求CF的长
9、如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AC、BD相交于点O,过O作AD的平行线交AB于点E,交CD于点F,若AD=3,BC=5,求EF的长三角形一边的平行线
(2)三角形一边的平行线性质定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例例题分析例题1如图,线段BD与CE相交于点A∥已知2BC=3EDAC=8求AE的长.例题2已知如图是的中线,交于点求证.重心的性质三角形的重心到一个顶点的距离,等于它到对边中点的距离的两倍.例题3已知在Rt中,∠,是中线交于点,求的长.例题4已知在Rt中,∠,是重心,于,求的长.重心要掌握三点
1、定义三角形三条中线相交于一点,这个交点叫做三角形的重心.
2、作法两条中线的交点.
3、性质三角形的重心到一个顶点的距离,等于它到对边中点的距离的两倍.例
5.如图,在△ABC中,DE∥BC,AE=2,EC=3,DE=4,求BC的长.例6如图BD∥AC,CE=3,CD=5,AC=5,求BD的长.例
7.已知,△ABC中,∠C=,G是三角形的重心,AB=8,求
①GC的长;
②过点G的直线MN∥AB,交AC于M,BC于N,求MN的长.例8已知,△ABC中,G是三角形的重心,AG⊥GC,AG=3,GC=4,求BG的长.作业
1、如图,在中,∥,下列各式中错误的是()A.B.C.D.
2、如图,∥,和相交于点=3,则为()A.6B.9C.12D.
153、如图,已知在中,∥,∥,那么下列线段的比中与相等的有()个A.0B.1C.2D.
34、已知在中,∥,若,厘米,则=厘米
5、如图,已知∥,与相交于点,若,,则
6、如图,四边形为菱形,,,则菱形的周长是
7、如图,在⊿ABC中,DE∥BC,S⊿BCD S⊿ABC=14,若AC=2,求EC的长.
8、如图,已知,AB∥CD∥EF,OA=14,AC=16,CE=8,BD=12,求OB、DF的长.三角形一边的平行线
(3)三角形一边平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.如果DE分别在ABAC的延长线上时,或在反向延长线上时,以上结论同样成立.三角形一边的平行线判定定理推论如果一条直线截三角形两边的延长线(这两边的延长线在第三边的同侧)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.例题分析例
1.已知如图,点DF在的边上,点E在边上,且DE//BC求证F∥DC.例
2.如图,已知AC∥A′C′,BC∥B′C′;求证AB∥A′B′.把上图中的四边形OABC绕O点旋转180°得下图,而已知的条件不变,结论还成立吗?作业
1.如图在△ABC中,点D、E分别在AB、AC上已知AD=3,AB=5,AE=2,EC=由此判断DE与BC的位置关系是.
2.如图AM∶MB=AN∶NC=1∶3,则MN∶BC=.
3.如图△PMN中点A、B分别在MP和NP的延长线上则
4.△ADE中点B和点C分别在AD、AE上且AB=2BD,AC=2CE,则BC∶DE=.
5.如图四边形ABCD中AC、BD相交于O若,AO=8,CO=12,BC=15,则AD=.
6.如图AC、BD相交于点O且AO=2OC=3,BO=10,OD=15,求证∠A=∠C.
7.已知在△ABC中点D、E、F分别在AB、BC、CA上且CF=CE,求证四边形CFDE是菱形.
8.如图已知点D、E在△ABC的边AB、AC上且DE∥BC以DE为一边作平行四边形DEFG延长BG、CF交于点H连接AH求证AH∥EF.三角形一边的平行线
(4)平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行的直线所截,截得的对应线段成比例.平行线等分线段定理两条直线被三条平行的直线所截,如果在一直线上所截得的线段相等,那么在另一直线上所截得的线段也相等.熟悉定理的几种变形井字型A字型X字型倒A字型畸形例题分析例题1如图AD∥BE∥CF,AB=3,AC=8,DF=10,求DEEF的长.例题2已知线段abc求作线段x使a:b=c:x例
3、在梯形ABCD中,AD∥BC,EF∥BC,且AE EB=53,DC=16cm,求FC的长.例
4、如图,已知AD∥EB∥FC,AC=12,DB=3,BF=7,求EC的长.作业
1.在△ABC中,D、E分别在AB、AC的反向延长线上DE∥BC,若AD∶AB=3∶4,EC=14厘米则AC=.
2.如图,已知AE∥BC,AC、BE交于点D,若,则=.
3.如图,L1∥L2∥L3AB=3,BC=2,CD=1,那么下列式子中不成立的是………AEC∶CG=5∶1BEF∶FG=1∶1CEF∶FC=3∶2DEF∶EG=3∶
54.在梯形ABCD中,AD∥BC,EF∥BC,且AE EB=53,DC=16cm,求FC的长.5.如图,已知AD∥EB∥FC,AC=12,DB=3,BF=7,求EC的长.
6.已知线段AB在线段AB上求作点C使AC∶CB=3∶
2.
7.如图梯形ABCD中AD∥BCBE∥CD交CA的延长线于点E.求证:FC2=FA·FE.
8.如图P为平行四边形ABCD的对角线BD上任意一点过点P的直线交AD于点M交BC于点N交BA的延长线于点E交DC的延长线于点F求证:PE•PM=PF•PN.三角形一边的平行线的性质定理教学目标:
1.通过对三角形中位线的概念与性质的分析从特殊到一般,提出关于三角形一边平行线的研究问题;
2.经历运用分类思想针对图形运动的不同位置分别探究的过程初步领略运用运动观点、化归和分类讨论等思想进行数学地思考的策略;
3.掌握三角形一边的平行线性质定理的应用.重点、难点:三角形一边的平行线性质定理的理解和应用.成比例的线段中,对应线段的确认.教学内容:【知识点回顾】1.同底等高的三角形的面积比是多少?
(11)2.等底不等高的三角形的面积比是多少?(高之比)3.等高不等底的三角形的面积比是多少?(底之比)
4.若,(均不为零)则把这个乘积式化成比例式可以写成哪几种形式5.三角形的中位线有什么性质?(平行于底边且等于底边的一半)例题讲解例1.在△ABC中,DE∥BC,DE与AB相交于D,与AC相交于E.
(1)已知,求的长.
(2)已知求的长.
(3)已知32,,求的长.例2.如图,在⊿ABC中,DE∥BC,S⊿BCD S⊿ABC=14,若AC=2,求EC的长.例3.如图,已知,AB∥CD∥EF,OA=14,AC=16,CE=8,BD=12,求OB、DF的长.例4.如图,在⊿ABCDG∥ECEG∥BC求证=AB·AD.例
5.如图,线段BD与CE相交于点A∥已知2BC=3EDAC=8求AE的长.,例6.已知如图是的中线,交于点求证.重心的性质三角形的重心到一个顶点的距离,等于它到对边中点的距离的两倍重心要掌握三点
1.定义三角形三条中线相交于一点,这个交点叫做三角形的重心.
2.作法两条中线的交点.
3.性质三角形的重心到一个顶点的距离,等于它到对边中点的距离的两倍.例
7.已知在Rt中,∠,是中线交于点,求长.例
8.已知在Rt中,∠,是重心,于,求的长.【练习】
1.如图,在△ABC中,DE∥BC,AE=2,EC=3,DE=4,求BC的长.[
2.如图BD∥AC,CE=3,CD=5,AC=5,求BD的长.
3.已知,△ABC中,∠C=,G是三角形的重心,AB=8,求
①GC的长;
②过点G的直线MN∥AB,交AC于M,BC于N,求MN的长.
4.已知,△ABC中,G是三角形的重心,AG⊥GC,AG=3,GC=4,求BG的长.实数与向量相乘讲义
1、向量有关概念
(1)向量的概念既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别向量常用有向线段来表示,注意不能说向量就是有向线段,为什么?(向量可以平移)如已知A
(12),B
(42),则把向量按向量=(-13)平移后得到的向量是_____(答
(30))
(2)零向量长度为0的向量叫零向量,记作,注意零向量的方向是任意的;
(3)单位向量长度为一个单位长度的向量叫做单位向量与共线的单位向量是;
(4)相等向量长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性;
(5)平行向量(也叫共线向量)方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量,记作∥,规定零向量和任何向量平行提醒
①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等;
②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念两个向量平行包含两个向量共线但两条直线平行不包含两条直线重合;
③平行向量无传递性!(因为有;
④三点共线共线;
(6)相反向量长度相等方向相反的向量叫做相反向量的相反向量是-例下列命题
(1)若,则
(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同
(3)若,则是平行四边形
(4)若是平行四边形,则
(5)若,则
(6)若,则其中正确的是_______(答
(4)
(5))
2、向量的表示方法
(1)几何表示法用带箭头的有向线段表示,如,注意起点在前,终点在后;
(2)符号表示法用一个小写的英文字母来表示,如,,等如果向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同
3.平面向量的基本定理如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量a,有且只有一对实数、,使a=e1+e2如
(1)若,则______(答);
(2)下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的是A.B.C.D.(答B);
(3)已知分别是的边上的中线且则可用向量表示为_____(答);
(4)已知中,点在边上,且,,则的值是___(答0)
4、实数与向量的积实数与向量的积是一个向量,记作,它的长度和方向规定如下当0时,的方向与的方向相同,当0时,的方向与的方向相反,当=0时,,注意≠0例题讲解
1、选择题
1.下列各式计算正确的是A.2a+b+c=2a+b+cB.3a+b+3b-a=0C.+=2D.a+b+3a-5b=4a-4b
2.λ、μ∈R下列关系式中正确的是A.若λ=0则λa=0B.若a=0则λa=0C.|λa|=|λ|aD.|λa|=λ|a|
3.在△ABC中E、F分别是AB、AC的中点若=a=b则等于A.a+bB.a-bC.b-aD.-a+b
4.已知向量e
1、e2不共线实数x、y满足3x-4ye1+2x-3ye2=6e1+3e2则x-y的值等于A.3B.-3C.0D.
25.若=3e1,=5e1,且与模相等,则四边形ABCD是()A.平行四边形B.梯形C.等腰梯形D.菱形
二、填空题
1.已知两向量e
1、e2不共线a=2e1+e2b=3e1-2λe2若a与b共线则实数λ=.
2.设平面内有四边形ABCD和点O=a=b=c=da+c=b+d则四边形ABCD的形状是.
三、解答题
1.计算:1-7×6a24a+b-3a-b-8a35a-4b+c-23a-2b+c
2.已知=e1-e2=2e1-8e2=3e1+3e
2.求证:A、B、D三点共线.
3.设两个非零向量e1和e2不共线,如果=2e1+3e2,=6e1+23e2,=4e1-8e
2.求证A、B、D三点共线.
4..已知ABCD为矩形,且AD=2AB,又△ADE为等腰直角三角形,F为ED的中点,=e1,=e2,以e1,e2为基底,试表示向量、、及.练习1.2.3.4.当向量与单位向量方向相反,长度为2时,5.若,则(填“平行于”或“不平行于”)6.⊿中,分别是边上的中点,若,则
7.若非零向量,则向量与方向是____,它们的位置关系是______.
8.若非零向量,则向量与方向是____,它们的长度关系是______.
9.若向量的长度是向量的长度的2倍,且,则.10.已知矩形的对角线与交于点,如果,.11.计算
(1).=
(2).=12.已知向量关系式,试用,表示向量=
13.设是一个平面内两个不平行的非零向量则向量在向量方向上的分向量分别是____________.知识点
1.相似图形的含义把形状相同的图形叫做相似图形(即对应角相等、对应边的比也相等的图形)注
(1)两个图形相似,其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到.
(2)全等形可以看成是一种特殊的相似,即不仅形状相同,大小也相同.
(3)判断两个图形是否相似,就是看这两个图形是不是形状相同,与其他因素无关.例1.放大镜中的正方形与原正方形具有怎样的关系呢?例2.下列各组图形
①两个平行四边形;
②两个圆;
③两个矩形;
④有一个内角80°的两个等腰三角形;
⑤两个正五边形;
⑥有一个内角是100°的两个等腰三角形,其中一定是相似图形的是_________填序号.练习
1、下列各种图形相似的是()A、
(1)、
(3)B、
(3)、
(4)C、
(1)、
(2)D、
(1)、
(4)
2、下列图形相似的是()
(1)放大镜下的图片与原来的图片;
(2)幻灯的底片与投影在屏幕上的图象;
(3)天空中两朵白云的照片;
(4)卫星上拍摄的长城照片与相机拍摄的长城照片.A、4组B、3组C、2组D、1组
3、下列说法正确的是()A、所有的等腰梯形都相似B、所有的平行四边形都相似C、所有的圆都相似D、所有的等腰三角形都相似
4、下列说法不一定正确的是()A、所有的等边三角形都相似B、有一个角是1000的等腰三角形相似C、所有的正方形都相似D、所有的矩形都相似
5、下列给出的图形是相似形的有()A、两张孪生兄弟的照片B、三角板的内、外三角形C、行书的“中”和楷书的“中”D、同一棵树上摘下的两片树叶
6、下列给出的图形中,不是相似形的是()A、刚买的一双鞋的左右鞋底B、复印出来的两个“谁”字C、一对乒乓球拍D、仅仅宽度不同的两块长方形木板
7、⑴用眼睛看月亮和用望远镜看月亮,看到的图象是相似的图形;⑵用彩笔在黑板上写上三个大字
1、
2、3,它们是相似图形;⑶用粉笔在黑板上写上“天”和用毛笔在纸上写上“天”,这两个字是相似图形;以上说法你认为哪些是正确的,哪些是错误的?
8、如图,利用右边的表格,把左边图中奔跑的小人放大一倍.
9、把下列图中左边的图形,加以放大后画出与它们相似的图形.相似三角形的判定
1、相似三角形的判定判定定理1如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似即两角对应相等,两三角形相似例
1、已知如图,∠1=∠2=∠3,求证△ABC∽△ADE.例
2、如图,E、F分别是△ABC的边BC上的点,DE∥ABDF∥AC求证△ABC∽△DEF.判定定理2如果三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似即两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.例
1、△ABC中,点D在AB上,如果AC2=AD•AB,那么△ACD与△ABC相似吗?说说你的理由.例
2、如图,点C、D在线段AB上,△PCD是等边三角形
(1)当AC、CD、DB满足怎样的关系时,△ACP∽△PDB?
(2)当△ACP∽△PDB时,求∠APB的度数判定定理3如果三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似简单说成三边对应成比例,两三角形相似.例
1、如图,方格纸上的每个小正方形的边长都为1,下列图中的三角形与右图中的△ABC相似的是()例
2、如图,在四边形ABCD中,AB=2,BC=3,CD=6,AC=4,DA=
8.AC平分∠BAD吗?为什么?例
3、方格纸中,每个小格的顶点叫做格点,以格点之间的连线为边的三角形叫做格点三角形如图△ABC和△DEC是两个格点三角形,设每个小方格边长为
15、△ABC与△DEC相似吗?为什么?
(2)若△MNP∽△ABC,且对应边的比等于2,则△MNP的各边等于多少?
(3)你能否在图中右侧方格中作出△MNP呢?直角三角形相似的判定斜边和一条直角边对应成比例,两直角三角形相似.例
1、已知如图,在正方形ABCD中,P是BC上的点,且BP=3PC,Q是CD的中点.求证△ADQ∽△QCP.例
2、如图AB⊥BDCD⊥BDP为BD上一动点AB=60cmCD=40cmBD=140cm当P点在BD上由B点向D点运动时PB的长满足什么条件可以使图中的两个三角形相似请说明理由.例
3、已知AD是Rt△ABC中∠A的平分线,∠C=90°,EF是AD的垂直平分线交AD于M,EF、BC的延长线交于一点N求证1△AME∽△NMD2ND2=NC·NB【课堂练习】
1、如图,点D在△ABC的边AC上,添加条件,可判定△ADB与△ABC相似
2、如图,在△ABC中.∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,则图中相似三角形有
3、如图,在▱ABCD中,E、F分别是AD、CD边上的点,连接BE、AF,他们相交于G,延长BE交CD的延长线于点H,则图中的相似三角形是
4、如图,P为线段AB上一点,AD与BC交干E,∠CPD=∠A=∠B,BC交PD于E,AD交PC于G,则图中相似三角形有
5、如图,已知AB=AC,∠A=36°,AB的中垂线MD交AC于点D、交AB于点M.下列结论
①BD是∠ABC的平分线;
②△BCD是等腰三角形;
③△ABC∽△BCD;
④△AMD≌△BCD.正确的有
6、如图,在Rt△ABC中,AB=AC,D、E是斜边BC上两点,且∠DAE=45°,将△ADC绕点A顺时针旋转90°后,得到△AFB,连接EF,下列结论中正确的是
①∠EAF=45°;
②△ABE∽△ACD;
③EA平分∠CEF;
④BE2+DC2=DE
27、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C,点B′在AB上,A′B′交AC于F,则图中与△ABF相似的三角形有(不再添加其它线段)是
8、如图,在正方形ABCD中,E是BC的中点,F是CD上一点,且CF=CD,下列结论
①∠BAE=30°,
②△ABE∽△AEF,
③AE⊥EF,
④△ADF∽△ECF.其中正确的为
9、在△ABC中,∠C=90°,D是边AB上一点(不与点A,B重合),过点D作直线与另一边相交,使所得的三角形与原三角形相似,这样的直线有条
10、如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点G,E为AD的中点,连接BE交AC于F,连接FD,若∠BFA=90°,求证
①△BEA∽△ACD;
②△FED∽△DEB;
③△CFD∽△ABG
11、如图,△ABC与△AFG是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠F=90°,BC分别与AF,AG相交于点D,E.找出图中所有不全等的相似三角形并证明
12、如图,四边形ABCD是平行四边形.O是对角线AC的中点,过点O的直线EF分别交AB、DC于点E、F,与CB、AD的延长线分别交于点G、H.
(1)写出图中所有不全等的两个相似三角形(并选择一种情况证明);
(2)除AB=CD,AD=BC,OA=OC这三对相等的线段外,图中还有多对相等的线段,请选出其中一对加以证明.【课后作业】
1、如图,已知∠ADE=∠B,则△AED∽__________
2、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,DE⊥AB于D,则△ADE∽_________
3、如图;在∠C=∠B,则_________∽___________________∽_________
4、Rt△ABC∽Rt△A’B’C’∠C=∠C’=90°若AB=3,BC=2,A’B’=6则B’C’=__________A’C’=______________
5、在△ABC和△A’B’C’中,∠B=∠B’AB=6BC=8B’C’=4则当A’B’=______时,△ABC∽△A’B’C’,当A’B’=________时,△ABC∽△C’B’A’
6、如图;在△ABC中,DE不平行BC当时,△ABC∽△AED,若AB=8,BC=7AE=5则DE=___________
7、如图;在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AF=4,EF⊥AC交AB于E,CD⊥AB,垂足D,若CD=6,EF=3,则ED=________BC=_________AB=_______
8、如图;点D在△ABC内,连BD并延长到E,连AD、AE,若∠BAB=20°,,则∠EAC=_________
9、如图;在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=6,AD=
3.6,则BC=____
10、已知;CA⊥DB,DE⊥AB,AC、ED交于F,BC=3,FC=1,BD=5,则AC=_______
11、下列各组图形必相似的是----------------------------------------------------()A、任意两个等腰三角形D、斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形C、两条边成比例的两个直角三角形B、两条边之比为23的两个直角三角形
12、如图;∠AOD=90°,OA=OB=BC=CD,那么下列结论正确是------()A、△OAB∽△OCAB、△OAB∽△ODAC、△BAC∽△BDAD、以上结论都不对
13、点P是△ABC中AB边上一点,过点P作直线(不与直线AB重合)截△ABC,使得的三角形与原三角形相似,满足条件的直线最多有------()A、2条B、3条C、4条D、5条
14、在直角三角形中,两直角边分别是
3、4,则这个三角形的斜边与斜边上的高的比是----------()A、B、C、D、
15、△ABC中,D是AB上的一点,在AC上取一点E,使得以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似,则这样的点最多是--------------------------------------------------------()A、0B、1C、2D、无数
16、如图;正方形ABCD中,E是CD的中点,FC=BC结论正确个数是------()
(1)△ABF∽△AEF
(2)△ABF∽△ECF
(3)△ABF∽△ADE
(4)△AEF∽△ECF
(5)△AEF∽△ADF
(6)△ECF∽△ADE
17、已知;△ABC中,P为AB上一点,下列四个条件中;
(1)∠ACP=∠B;
(2)∠APC=∠ACB;
(3)
(4)AB·CP=AP·CB,能满足△APC∽△ACB相似的条件是----------------------------------------------------------------------------------------()A、
(1)
(2)
(4)B、
(1)
(3)
(4)C、
(2)
(3)
(4)D、
(1)
(2)
(3)
18、如图;正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是中点,DE交AC于F,若DE=12,则EF等于--------------------------------------------()A、8B、6C、4D、
319、如图,已知在△ABC中,AE=AC,AH⊥CE,垂足K,BH⊥AH,垂足H,AH交BC于D求证△ABH∽△ACK
20、如图;正方形ABCD中,P是BC上的点,BP=3PC,Q是CD中点,求证△ADQ∽△QCP
21、如图;已知梯形ABCD中,AD//BC,∠BAD=90°,对角线BD⊥DC求证
(1)△ABD∽△DCB
(2)BD2=AD·BC
22、如图;以DE为轴,折叠等边△ABC,顶点A正好落在BC边上F点,求证;△DBF∽△FCE
23、△ABC中,AB=AC,∠BAC=108°,D是BC上一点,且BD=BA求证;△ABC∽△DAC
24、在等边△ABC中,D在BC上,E在CA上,BD=CE,AD、BE相交于F求证
(1)△ABD∽△BFD
(2)△AEF∽△ADC相似三角形的判定相似三角形的判定方法
(一).三角形中的平行线
①定理三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例;
②推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例
③定理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边【经典例题1】如图,已知DE∥BC,EF∥AB,则下列比例式错误的是___________【搭配练习1】将三角形ABC纸片的一面沿DE向下翻折,使点A落在BC边上,且DE平行于BC,则下列结论中不成立是()A、角AED=角CB、AD/DB=DE/BCC、DE=1/2BCD、三角形ADB是等腰三角形【搭配练习2】如图在□ABCD中P,Q三等分AC,DP的延长线交BC于E,EQ的延长线交AD于F,已知BC=18,求AF的长
10、两角对应相等,三角形相似【经典例题1】如图,在等边△ABC中,P为BC上一点,D为AC上一点,且∠APD=60°,【搭配习题】如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,AD=6cm,点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动,点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动,如果P、Q同时出发,用t(秒)表示运动时间(0≤t≤6),那么当t为何值时,△APQ与△ABD相似?说明理由.
11、两边对应成比例,夹角相等,三角形相似【典型例题1】已知,如图,D为△ABC内一点连结ED、AD,以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD,∠BCE=∠BAD求证△DBE∽△ABC【典型例题2】如图,△ABC中,若a∶b∶c=4∶5∶6求证∠ACB=2∠A【搭配练习1】如图,△ABC中,D是AB上一点,且AB=3AD,∠B=75°,∠CDB=60°,求证△ABC∽△CBD【搭配练习2】如图,Rt△ABC是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的,连结CC交斜边于点E,CC的延长线交BB于点F.
(1)证明△ACE∽△FBE;
(2)设∠ABC=,∠CAC=,试探索、满足什么关系时,△ACE与△FBE是全等三角形,并说明理由.
12、三边对应成比例,三角形相似【经典例题1】下列四个三角形,与左图中的三角形相似的是()【搭配练习1】一个铁质三角形框架三边长分别为24cm30cm36cm,要估做一个与它相似的铁质三角形框架,现有长为27cm45cm的两根铁材,要求以其中的一根为边,从另一根上截下两段(允许有余料)作为另外两边,截法有()A0B1C2D3【搭配练习2】如图四边形ABEG、GEFH、HFCD都是边长为a的正方形,
(1)求证△AEF∽△CEA
(2)求证∠AFB+∠ACB=45°【搭配练习3】如图,方格纸中每个小正方形的边长为1,△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上.1 判断△ABC和△DEF是否相似,并说明理由;2 P1,P2,P3,P4,P5,D,F是△DEF边上的7个格点,请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点,使构成的三角形与△ABC相似要求写出2个符合条件的三角形,并在图中连结相应线段,不必说明理由练习1.判断题1.在△ABC和△A1B1C1中,若∠A=∠A1=450,∠B=270∠B1=1080则这两个三角形相似()2.两个等腰三角形有一内角等于1000,那么这两个三角形相似()3.有两边对应成比例,且有一角对应相等的两个三角形相似()4.在Rt△ABC和Rt△A1B1C1中,设∠C=∠C1=900,AB、A1B1边上的中线分别为CD、C1D1,且则△ABC∽△A1B1C1()2.填空
1、如图所示,已知∠ADE=∠C,则△AED∽_______,理由_________
2、在△ABC和△A1B1C1中,∠B=∠B1AB=9,BC=12,B1C1=6,则A1B1=______时ABC∽△A1B1C1,当A1B1=______时,△ABC∽△C1B1A13.如图已知∠1=∠2,要使△AOC∽△DOB,还要增加的条件是_______(要求至少写两种)4.如图CD、BE是不等边锐角三角形ABC的两条高,连接DE则图中相似三角形有______对5.下列命题
(1)所有的等腰三角形都相似,
(2)所有的等边三角形都相似,
(3),所有的等要直角三角形都相似,⑷所有的直角三角形都相似(其中真命题的序号都填在线上_______)3.选择
6、P是Rt△ABC的斜边BC上异于点B和C的一点,过点P作直线截△ABC,使得截得的三角形与△ABC相似,满足这样条件的直线的条数是()A1B2C3D47,如图DE∥FG∥BC,图中相似三角形共有()A1对B2对C3对D4对8.如图在等边△ABC中D、E分别在AC、AB上,且,AE=BE,则有()A△AED∽△BEDB△AED∽△CBDC△AED∽△ABDD△BAD∽△BCD9四边形ABCD是正方形,E是CD的中点,P是BC边上的一点,下列条件中,不能推出△ABP∽△ECP的是()A∠APB=∠EPCB∠APE=900CP是BC的中点DBP BC=2310.在正方形ABCD中,E是CD的中点,FC=BC,下面得出6个结论
(1)△ABF∽△AEF
(2)△ABF∽△ECF
(3)△ABF∽△ADE
(4)△AEF∽△ECF
(5)△AEF∽△ADE
(6)△ECF∽△ADE其中正确结论的个数是()A1B3C4D6
四、证明题
11、△ABC中,AB=AC,∠BAC=1080,D是BC上一点,且BD=AB,证明△DAC∽△ABC
12、如图AD为∠BAC的角平分线,AD的的垂直平分线交BC的延长线于E,交AB于F,求证△BAE∽△ACE
13、已知△ABC,△DCE,△FEG是三个全等的等腰三角形,底边BC、CE、EG在同一直线上,且AB=,BC=1,连接BF,分别交AC、DC、DE于点P、Q、R,
(1)求证△BFG∽△FEG,
(2)观察图形,请你提出一个与点P相关的问题,并进行解答课后作业相似三角形的判定知识点准备
1.对应角________,对应边_________的两个三角形叫做相似三角形.
2.相似三角形的对应角________,对应边_________.
3.相似三角形中,对应边的比叫做___________或相似系数.如图1,如果ΔABC与ΔA/B/C/的相似比是AB∶A/B/=k那么ΔA/B/C/与ΔABC的相似比是_.
4.在图2和图3中:要证明ΔADE∽ΔABC,只需先证明_________填一个条件
5.证明两个三角形相似的方法还有:1先证_____组对应角相等.2先证两边对应成比例并且____________.3先证三边对应___________.4斜边和____条直角边对应成比例的两个直角三角形相似.
6.在图3中,若DE∥BC,DB∶DA=9∶4,则ΔABC与ΔADE的相似比是______.
7.如图4ABCD中,G是BC边延长线上一点,AG交DB、DC于E、F则图中的相似三角形共有_____对;若AE∶EF=4∶3则ΔAFD与ΔGFC的相似比是______.8.如图5,当∠ADC=∠____时,ΔABC∽ΔACD;当AD2=_________时,ΔABC∽ΔACD.
9.ΔABC的三边长为
3、4、5ΔA/B/C/的最短边为5若ΔABC∽ΔA/B/C/则ΔA/B/C/的面积为____.
一、填空题
1、如图,已知∠ADE=∠B,则△AED∽__________
2、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,DE⊥AB于D,则△ADE∽_________
3、如图;在∠C=∠B,则_________∽___________________∽_________
4、Rt△ABC∽Rt△A’B’C’∠C=∠C’=90°若AB=3,BC=2,A’B’=6则B’C’=__________A’C’=______________
5、在△ABC和△A’B’C’中,∠B=∠B’AB=6BC=8B’C’=4则当A’B’=______时,△ABC∽△A’B’C’,当A’B’=________时,△ABC∽△C’B’A’
6、如图;在△ABC中,DE不平行BC当时,△ABC∽△AED,若AB=8,BC=7AE=5则DE=___________
7、如图;在Rt△ABC中∠ACB=90°AF=4EF⊥AC交AB于ECD⊥AB,垂足D若CD=6,EF=3,则ED=________BC=________AB=_______
8、如图;点D在△ABC内,连BD并延长到E,连AD、AE,若∠BAB=20°,,则∠EAC=_________
9、如图;在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=6,AD=
3.6,则BC=____
10、已知;CA⊥DB,DE⊥AB,AC、ED交于F,BC=3,FC=1,BD=5,则AC=_______
二、选择题;
11、下列各组图形必相似的是()A、任意两个等腰三角形B、两条边之比为23的两个直角三角形C、两条边成比例的两个直角三角形D、斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形
12、如图;∠AOD=90°,OA=OB=BC=CD,那么下列结论正确是()A△OAB∽△OCAB.△OAB∽△ODAC.△BAC∽△BDAD.以上都不对
13、点P是△ABC中AB边上一点过点P作直线(不与直线AB重合)截△ABC,使得的三角形与原三角形相似满足条件的直线最多有()A、2条B、3条C、4条D、5条
14、在直角三角形中,两直角边分别是
3、4,则这个三角形的斜边与斜边上的高的比是()A、B、C、D、
15、△ABC中,D是AB上的一点,在AC上取一点E,使得以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似,则这样的点最多是()A、0B、1C、2D、无数
16、如图;正方形ABCD中E是CD的中点,FC=BC结论正确个数是()
(1)△ABF∽△AEF
(2)△ABF∽△ECF
(3)△ABF∽△ADE
(4)△AEF∽△ECF
(5)△AEF∽△ADF
(6)△ECF∽△ADE
17、已知;△ABC中,P为AB上一点,下列四个条件中;
(1)∠ACP=∠B;
(2)∠APC=∠ACB;
(3)
(4)AB·CP=AP·CB,能满足△APC∽△ACB相似的条件是()A、
(1)
(2)
(4)B、
(1)
(3)
(4)C、
(2)
(3)
(4)D、
(1)
(2)
(3)
18、如图;正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是中点,DE交AC于F,若DE=12,则EF等于()A、8B、6C、4D、3
三、简答题
19、如图,已知在△ABC中,AE=AC,AH⊥CE,垂足K,BH⊥AH,垂足H,AH交BC于D求证△ABH∽△ACK
20、如图;正方形ABCD中,P是BC上的点,BP=3PC,Q是CD中点,求证△ADQ∽△QCP
21、如图;已知梯形ABCD中,AD//BC,∠BAD=90°,对角线BD⊥DC求证
(1)△ABD∽△DCB
(2)BD2=AD·BC
22、已知:如图∠1=∠2∠3=∠
4.求证:ΔDBE∽ΔABC.
23、如图ΔABC中∠BAC=900D是BC的中点DF⊥BC交BA的延长线于F交AC于E.求证:AD2=DE·DF.
24、已知:如图CE是RtΔABC的斜边AB上的高BG⊥AP.求证:CE2=ED·EP.
25、已知:如图ΔABC中AD=DB∠1=∠
2.求证:ΔABC∽ΔEAD.
26、已知:如图AD是RtΔABC的斜边BC上的高E是AC的中点.求证:AB·AF=AC·DF.
27、已知:如图ABCD中∠1=∠D.求证:AC·BE=CE·AD.
28、已知:如图RtΔABC中∠ACB=900CM=MBCN⊥AM.求证:∠1=∠
2.
29、已知:如图AD和BE是ΔABC的高∠C=
600.求证:1ΔDCE∽ΔACB.2DE=AB.
30、已知:如图在RtΔABC中∠ACB=900CD⊥ABCF⊥BE.求证:ΔBFD∽ΔBAE.
31、已知:如图ΔABC中AB=ACAD是中线CF∥AB.求证:BP2=PE·PF.
32、已知:如图矩形ABCD中AB=12AD=10将此矩形折叠使点B落在AD边上的中点E处求折痕FG的长.[提示:作AH∥FG]相似三角形的性质及应用
1、相似三角形的对应角相等,对应边成比例.
2、相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比.
3、相似三角形的周长比等于相似比;相似三角形的面积比等于相似比的平方.一计算线段的长或线段之间的比例
1、已知如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AC=6,DB=5,求AD的长.针对练习如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,底边上的高AD=10cm,腰AC上的高BE=12cm.
(1)求证;例2已知如图,△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于D.求证BC2=2CD·AC.思考欲证BC2=2CD·AC,只需证.但因为结论中有“2”,无法直接找到它们所在的相似三角形,该怎么办?证法一(构造2CD)如图,在AC截取DE=DC,∵BD⊥AC于D,∴BD是线段CE的垂直平分线,∴BC=BE,∴∠C=∠BEC,又∵AB=AC,∴∠C=∠ABC.∴△BCE∽△ACB.∴,∴∴BC2=2CD·AC.针对练习证法二(构造2AC)证法三(构造)证明线段平行例.如图,为的角平分线,垂直于的延长线于,于,,的延长线交于点,求证针对练习如图,梯形中,,为的中点,分别连结,,,,且与交于,与交于,求证考点三求相似三角形的周长例两相似三角形的对应边的比为45,周长和为360cm,这两个三角形的周长分别是多少?针对练习如图,D、E分别是AC,AB上的点,∠ADE=∠B,AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F.若AD=3,AB=5,求
(1);
(2)△ADE与△ABC的周长之比;计算多边形的面积例1.如图,已知在与中,,交于,且,交于,求和针对练习.如图,已知,在梯形中,对角线、相交于点,若的面积为,的面积为,其中,.求梯形的面积例2.已知等腰直角三角形的面积为,它的内接矩形的一边在斜边上,且矩形的两边之比为52,求矩形的面积解如图,中,,,内接矩形由等腰直角三角形和矩形的性质,得,设为,则由勾股定理得矩形面积漏解如图所示的情况时,,同理可得针对练习1如图所示直角中,两直角边长分别为3和4,它的内接正方形有两种情况
①一边在斜边上;
②一边在直角边上试比较这两种情况中正方形的大小针对练习2是的高,是的中点,交于,若,,,求相似三角形的实际应用例1某市经济开发区建有三个食品加工厂,这三个工厂和开发区处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上,它们之间有公路相通,且米,米,米.自来水公司已经修好一条自来水主管道两厂之间的公路与自来水管道交于处,米.若修建自来水主管道到各工厂的自来水管道的费用由各厂负担,每米造价800元.
(1)要使修建自来水管道的造价最低,这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计?并在图形中画出;
(2)求出各厂所修建自来水管道的最低造价各是多少元? 解
(1)如图1,过分别作的垂线段,交于,即为所求的造价最低的管道路线.
(2)由,得,所以(米). 由,得,所以(米), 由,得,所以(米). 所以三厂所建自来水管道的最低造价分别是(元),(元),(元). 例2如图2,在水平的桌面上两个“E”,当点在一直线上时,在点处用
①号“E”测得的视力与用
②号“E”测得的视力相同.
(1)图中满足怎样的关系式?
(2)若,,
①号“E”的测试距离,要使测得的视力相同,则
②号“E”的测试距离应为多少? 回家作业
1.若△ABC∽△DEF△ABC的面积为81cm2△DEF的面积为36cm2且AB=12cm则DE=cm
2.等腰三角形ABC和DEF相似,其相似比为34,则它们底边上对应高线的比为()A、34B、43C、12D、
213.如图,分别取等边三角形ABC各边的中点D、E、F,得△DEF.若△ABC的边长为a.
(1)△DEF与△ABC相似吗?如果相似,相似比是多少?
(2)分别求出这两个三角形的面积.
(3)这两个三角形的面积比与边长之比有什么关系吗?
4.如图,在ΔABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从A点出发,沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动;同时点Q从C点出发,沿CA以每秒3cm的速度向A点运动,设运动时间为x.
(1)当x为何值时,PQ∥BC?
(2)当,求的值;
5.在△ABC中,AE∶EB=1∶2,EF∥BC,AD∥BC交CE的延长线于D,求S△AEF∶S△BCE的值.
6.如图,△ABC是一块锐角三角形余料,边BC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成矩形零件,使一边在BC上,其余两个顶点分别在边AB、AC上,
(1)若这个矩形是正方形,那么边长是多少?
(2)若这个矩形的长是宽的2倍,则边长是多少?答案
1、8cm
2、A
4、
(1)相似.
(2)a2a23面积之比的平方等于相似比
5、
(1)x=s
26、
7、
(1)48mm
(2)宽是mm,长mm.量的线性运算
一、知识与能力1.掌握向量的加法的定义,会用向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量;2.能准确表述向量加法的交换律和结合律,并能熟练运用它们进行计算;3.掌握向量减法的概念,能准确做出两个向量的差向量,理解向量的减法运算可以转化为向量的加法运算4.理解实数与向量的积和它的几何意义;5.理解实数与向量的积的三条运算律,并会运用它们进行计算;6.理解一个向量与非零向量共线的充要条件;会表示与非零向量共线的向量,能判断两个向量是否共线向量的加法概念向量加法的概念如下图,已知非零向量,在平面内任取一点A,作=,=,则向量叫做与的和,记作+,即+=+=
2.向量加法的法则
(1)向量加法的三角形法则在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则运用这一法则时要特别注意“首尾相接”,即第二个向量要以第一个向量的终点为起点,则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量
(2)平行四边形法则向量加法的平行四边形法则如上图,以同一点O为起点的两个已知向量、为邻边作平行四边形,则以O为起点的对角线就是与的和我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则
3.向量,的加法也满足交换律和结合律
①对于零向量与任一向量,我们规定+=+=
②两个数相加其结果是一个数,对应于数轴上的一个点;在数轴上的两个向量相加,它们的和仍是一个向量,对应于数轴上的一条有向线段
③当,不共线时,|+|<||+||即三角形两边之和大于第三边;当,共线且方向相同时,|+|=||+||;当,共线且方向相反时,|+|=||-||或||-||其中当向量的长度大于向量的长度时,|+|=||-||;当向量的长度小于向量的长度时,|+|=||-||一般地,我们有|+|≤||+||
④如图5,作=,=,以AB.AD为邻边作ABCD,则=,=因为=+=+,=+=+,所以+=+如图6,因为=+=++=++,=+=++=++,所以++=++综上所述,向量的加法满足交换律和结合律向量的减法
13、相反向量规定与长度相等,方向相反的向量叫做的相反向量,记作-,显然--=,规定,零向量的相反向量仍是零向量
1.向量减法的定义若+=,则向量叫做与的差,记为-,求两个向量差的运算,叫做向量的减法.表示-=+(-)
2.向量减法的法则根据向量减法的定义和向量加法的三角形法则,我们可以得到向量-的作图方法【思考】已知,怎样求作-?
(1)三角形法则已知,在平面内任取一点,作,,则.即-可以表示为从(减向量)的终点,指向(被减向量)的终点的向量.强调,同起点时,-是连结,的终点,并指向“被减向量”的向量.
(2)平行四边形法在平面内任取一点O,作,,则由向量加法的平行四边形法则可得=+(-)=-.实数与向量的积1.定义实数与向量的积是一个向量,称为向量的数乘,记作,它的长度与方向规定如下
(1)||=||||;
(2)当0时,的方向与向量的方向相同;当0时,的方向与的方向相反.2.特别地,当=0或=时,=;当=-1时,-1=-,就是的相反向量.3.实数与向量的积的运算律设、为实数,那么
(1)=;(结合律)
(2)+=+;(第一分配律),
(3)+=+.(第二分配律)特别地,有-=-=-,-)=-.
4.向量共线定理思考引入向量数乘运算后,你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗?对于向量、,如果有一个实数,使=,那么由向量数乘的定义知与共线;反过来,已知向量与共线,,且向量的长度是向量的长度的倍,即||=||,那么当与同向时,有=,当与反向时,有=-.向量共线定理向量与共线,当且仅当有唯一一个实数,使=.
7、例题例1在中,,,试用、表示向量.例2计算
(1)-34;
(2)3+-2--;
(3)2+3--3-2+.作业1.计算.
2.如果向量、满足关系式,用向量表示向量,则=.
3.若与单位向量方向相反且长度为3,则.
4.已知任意两个非零向量、,且=+,=+2=+3,判断A、B、C三点之间的位置关系.
5.平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M,且=,=,试用、表示、、、.
6.设、是两个不平行的向量,且x2++y3-2=7xyR,则x=____,y=_____.x=2y=14.设是中线,求证
8.如右上图,在平行四边形ABCD中,点E、F分别是AB、CD上的中点,记.用含、的式子表示向量.
9.如图,在中,是边的中点,是延长线上的点,且,试根据下列要求表示向量,
(1)用、表示____________________;
(2)用、表示_____________________.ACDB(1题图)(2题图)(3题图)O(4题图)(2题图)3题图ABCDEF(A).(B).(C).(D).ACBFEDP1P2P3P4P5ABCQMDNPEOAOABABCDE。