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文本内容:
类型一相似三角形的判定方法Ⅰ
(一).三角形中的平行线
①定理三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例;
②推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例
③定理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边【经典例题1】如图,已知DE∥BC,EF∥AB,则下列比例式错误的是___________【搭配练习1】将三角形ABC纸片的一面沿DE向下翻折,使点A落在BC边上,且DE平行于BC,则下列结论中不成立是()A、角AED=角CB、AD/DB=DE/BCC、DE=1/2BCD、三角形ADB是等腰三角形【搭配练习2】如图在□ABCD中P,Q三等分AC,DP的延长线交BC于E,EQ的延长线交AD于F,已知BC=18,求AF的长
(2)两角对应相等,三角形相似【经典例题1】如图,在等边△ABC中,P为BC上一点,D为AC上一点,且∠APD=60°,【搭配习题】如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,AD=6cm,点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动,点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动,如果P、Q同时出发,用t(秒)表示运动时间(0≤t≤6),那么当t为何值时,△APQ与△ABD相似?说明理由.
(3)两边对应成比例,夹角相等,三角形相似【典型例题1】已知,如图,D为△ABC内一点连结ED、AD,以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD,∠BCE=∠BAD求证△DBE∽△ABC【典型例题2】如图,△ABC中,若a∶b∶c=4∶5∶6求证∠ACB=2∠A【搭配练习1】如图,△ABC中,D是AB上一点,且AB=3AD,∠B=75°,∠CDB=60°,求证△ABC∽△CBDB【搭配练习2】如图,Rt△ABC是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的,连结CC交斜边于点E,CC的延长线交BB于点F.
(1)证明△ACE∽△FBE;
(2)设∠ABC=,∠CAC=,试探索、满足什么关系时,△ACE与△FBE是全等三角形,并说明理由.
(4)三边对应成比例,三角形相似【经典例题1】下列四个三角形,与左图中的三角形相似的是()【搭配练习1】一个铁质三角形框架三边长分别为24cm30cm36cm,要估做一个与它相似的铁质三角形框架,现有长为27cm45cm的两根铁材,要求以其中的一根为边,从另一根上截下两段(允许有余料)作为另外两边,截法有()A0B1C2D3【搭配练习2】如图四边形ABEG、GEFH、HFCD都是边长为a的正方形,
(1)求证△AEF∽△CEA
(2)求证∠AFB+∠ACB=45°【搭配练习3】如图,方格纸中每个小正方形的边长为1,△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上.1 判断△ABC和△DEF是否相似,并说明理由;2 P1,P2,P3,P4,P5,D,F是△DEF边上的7个格点,请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点,使构成的三角形与△ABC相似要求写出2个符合条件的三角形,并在图中连结相应线段,不必说明理由类型二相似三角形的性质
(1)相似证线段成比例【典型例题1】如图,EF∥BC,若AE∶EB=2∶1EM=1MF=2则AM∶AN=________BN∶NC=________【典型例题2】已知在△ABC中,AD平分∠BACEM是AD的中垂线,交BC延长线于E.求证DE2=BE·CE.【搭配练习1】如图四边形ABCD的对角线交于O,过O作直线OG∥AB交BC于E,交AD于F,交CD的延长线于G,求证OG2=GE·GF.【搭配练习2】已知如图,在△ABC中,∠BAC=900,M是BC的中点,DM⊥BC于点E,交BA的延长线于点D求证
(1)MA2=MDME;
(2)
(2)相似证角相等【经典例题1】已知如图E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点,且求证∠AEF=∠FBD【搭配练习1】如图一等边三角形ABC中D是AB边上的动点以CD为一边向上作等边三角形EDC连结AE.1求证:AE//BC;2如图二将1中等边三角形ABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形所作三角形EDC该成相似于三角形ABC.请问:是否仍有AE//BC证明你的结论
(3)相似证线段相等【经典例题1】直角三角形ABC中,∠ACB=90°,BCDE是正方形,AE交BC于F,FG∥AC交AB于G,求证FC=FG【搭配练习1】如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠CAB交BC于点D,过点C作CE⊥AD于E,CE的延长线交AB于点F,过点E作EG∥BC交AB于点G,AE·AD=16,AB
(1)求证CE=EF
(2)求EG的长【搭配练习2】已知如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AC、BD交于点O,EF经过点O且和两底平行,交AB于E,交CD于F求证OE=OF
(4)相似得到两线平行【经典例题】已知A、C、E和B、F、D分别是∠O的两边上的点,且AB∥ED,BC∥FE,求证AF∥CD【搭配练习】如图,△ABC中,P是中线AD上的任意一点,BP,CP的延长线分别与AC,AB相交于E,F,求证EF∥BC
(四)相似中的面积与周长比【经典例题1】.已知平行四边形ABCD中,AE∶EB=1∶2,求△AEF与△CDF的周长比,如果S△AEF=6cm2求S△CDF.【搭配练习1】如图,△ABC中,AD∥BC,连结CD交AB于E,且AE∶EB=1∶3,过E作EF∥BC,交AC于F,S△ADE=2cm2,求S△BCE,S△AEF.【搭配练习2】如图,在梯形AGHB中,AB∥CD∥EF∥GH,且面积S1=S2=S3求证AB2+GH2=CD2+EF2类型三相似中常见的图形
(1)若DE∥BC(A型和X型)则△ADE∽△ABC
(2)射影定理若CD为Rt△ABC斜边上的高(双直角图形)则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=AD·AB,CD2=AD·BD,BC2=BD·AB;
(3)满足
1、AC2=AD·AB,
2、∠ACD=∠B,
3、∠ACB=∠ADC,都可判定△ADC∽△ACB.
(4)当或AD·AB=AC·AE时,△ADE∽△ACB.【搭配练习】
1、如图1∠ADC=∠ACB=900∠1=∠BAC=5AB=6则AD=______.
2.如图2AD∥EF∥BC则图的相似三角形共有_____对.
3.如图3正方形ABCD中E是AD的中点BM⊥CEAB=6CE=3则BM=______.
4.ΔABC的三边长为2ΔABC的两边为1和若ΔABC∽ΔABC则ΔABC的笫三边长为________.
5.两个相似三角形的面积之比为1∶5小三角形的周长为4则另一个三角形的周长为_____.
6.如图4RtΔABC中∠C=900D为AB的中点DE⊥ABAB=20AC=12则四边形ADEC的面积为__________.
7.如图5RtΔABC中∠ACB=900CD⊥ABAC=8BC=6则AD=____CD=_______.
8.如图6矩形ABCD中AB=8AD=6EF垂直平分BD则EF=_________.
9.如图7ΔABC中∠A=∠DBCBC=SΔBCD∶SΔABC=2∶3则CD=______.
10.如图8梯形ABCD中AD∥BC两腰BA与CD的延长线相交于PPF⊥BCAD=
3.6BC=6EF=3则PF=_____.
11.如图9ΔABC中DE∥BCAD∶DB=2∶3则SΔADE∶SΔABE=___________.
12.如图10正方形ABCD内接于等腰ΔPQR∠P=900则PA∶AQ=__________.
13.如图11ΔABC中DE∥FG∥BCAD∶DF∶FB=1∶2∶3则S四边形DFGE∶S四边形FBCG=_________.
14.如图12ΔABC中中线BD与CE相交于O点SΔADE=1则S四边形BCDE=________.
15.已知:如图ΔABC中CE⊥ABBF⊥AC.求证:ΔAEF∽ΔACB.
16.已知:如图ΔABC中∠ABC=2∠CBD平分∠ABC.求证:AB·BC=AC·CD.17.已知:如图CE是RtΔABC的斜边AB上的高BG⊥AP求证:1CE2=AE·EB;2AE·EB=ED·EP
18.已知,如图,在△ABC中,D为BC的中点,且AD=AC,DE⊥BC,DE与AB相交于点E,EC与AD相交于点F.
(1)求证△ABC∽△FCD;
(2)若S△FCD=5,BC=10,求DE的长类型五相似中常用的辅助线作法【能力提升部分】
1.如图,已知一个三角形纸片,边的长为8,边上的高为,和都为锐角,为一动点(点与点不重合),过点作,交于点,在中,设的长为,上的高为.
(1)请你用含的代数式表示.
(2)将沿折叠,使落在四边形所在平面,设点落在平面的点为,与四边形重叠部分的面积为,当为何值时,最大,最大值为多少?
2.如图,已知直线与直线相交于点分别交轴于两点.矩形的顶点分别在直线上,顶点都在轴上,且点与点重合.
(1)求的面积;
(2)求矩形的边与的长;
(3)若矩形从原点出发,沿轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移,设移动时间为秒,矩形与重叠部分的面积为,求关于的函数关系式,并写出相应的的取值范围.
3.如图,已知△ABC是边长为6cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC匀速运动,其中点P运动的速度是1cm/s,点Q运动的速度是2cm/s,当点Q到达点C时,P、Q两点都停止运动,设运动时间为t(s),解答下列问题
(1)当t=2时,判断△BPQ的形状,并说明理由;
(2)设△BPQ的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式;
(3)作QR//BA交AC于点R,连结PR,当t为何值时,△APR∽△PRQ?(A).(B).(C).(D).ACBFEDP1P2P3P4P5ADBEOCFxyy(G)。