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第十四章稳恒电流的磁场习题解答(仅作参考)14.1通有电流I的导线形状如图所示,图中ACDO是边长为b的正方形.求圆心O处的磁感应强度B[解答]电流在O点的产生的磁场的方向都是垂直纸面向里的.根据毕-萨定律,圆弧上的电流元与到O点的矢径垂直,在O点产生的磁场大小为,由于dl=adφ,积分得.OA和OD方向的直线在O点产生的磁场为零.在AC段,电流元在O点产生的磁场为,由于l=bcotπ-θ=-bcotθ,所以dl=bdθ/sin2θ;又由于r=b/sinπ-θ=b/sinθ,可得,积分得同理可得CD段在O点产生的磁场B3=B2.O点总磁感应强度为.14.6在半径为R=
1.0cm的无限长半圆柱形导体面中均匀地通有电流I=
5.0A,如图所示.求圆柱轴线上任一点的磁感应强度B=?[解答]取导体面的横截面,电流方向垂直纸面向外.半圆的周长为C=πR,电流线密度为i=I/C=IπR.在半圆上取一线元dl=Rdφ代表无限长直导线的截面,电流元为dI=idl=Idφ/π,在轴线上产生的磁感应强度为,方向与径向垂直.dB的两个分量为dBx=dBcosφ,dBy=dBsinφ.积分得,.由对称性也可知Bx=0,所以磁感应强度B=By=
6.4×10-5T,方向沿着y正向.14.8在半径为R的木球上紧密地绕有细导线,相邻线圈可视为相互平行,盖住半个球面,如图所示.设导线中电流为I,总匝数为N,求球心O处的磁感应强度B=?[解答]四分之一圆的弧长为C=πR/2,单位弧长上线圈匝数为n=N/C=2N/πR.在四分之一圆上取一弧元dl=Rdθ,线圈匝数为dN=ndl=nRdθ,环电流大小为dI=IdN=nIRdθ.环电流的半径为y=Rsinθ,离O点的距离为x=Rcosθ,在O点产生的磁感应强度为,方向沿着x的反方向,积分得O点的磁感应强度为.14.11有一电介质圆盘,其表面均匀带有电量Q,半径为a,可绕盘心且与盘面垂直的轴转动,设角速度为ω.求圆盘中心o的磁感应强度B[解答]圆盘面积为S=πa2,面电荷密度为σ=Q/S=Q/πa2.在圆盘上取一半径为r、宽度为dr的薄环,其面积为dS=2πrdr,所带的电量为dq=σdS=2πσrdr.薄圆环转动的周期为T=2π/ω,形成的电流元为dI=dq/T=ωσrdr.薄环电流可以当作圆电流,在圆心产生的磁感应强度为dB=μ0dI/2r=μ0ωσdr/2,从o到a积分得圆盘在圆心产生磁感应强度为B=μ0ωσa/2=μ0ωQ/2πa.如果圆盘带正电,则磁场方向向上.14.13一电子在垂直于均匀磁场的方向做半径为R=
1.2cm的圆周运动,电子速度v=104m·s-1.求圆轨道内所包围的磁通量是多少?[解答]电子所带的电量为e=
1.6×10-19库仑,质量为m=
9.1×10-31千克.电子在磁场所受的洛伦兹力成为电子做圆周运动的向心力,即f=evB=mv2/R,所以B=mv/eR.电子轨道所包围的面积为S=πR2,磁通量为Φ=BS=πmvR/e=
2.14×10-9Wb.14.17载有电流I1的无限长直导线,在它上面放置一个半径为R电流为I2的圆形电流线圈,长直导线沿其直径方向,且相互绝缘,如图所示.求I2在电流I1的磁场中所受到的力.[解答]电流I1在右边产生磁场方向垂直纸面向里,右上1/4弧受力向右上方,右下1/4弧受力向右下方;电流I1在左边产生磁场方向垂直纸面向外,左上1/4弧受力向右下方,左下1/4弧受力向右上方.因此,合力方向向右,大小是右上1/4弧所受的向右的力的四倍.电流元所受的力的大小为dF=I2dlB,其中dl=Rdθ,B=μ0I1/2πr,而r=Rcosθ,所以向右的分别为dFx=dFcosθ=μ0I1I2dθ/2π,积分得,电流I2所受的合力大小为F=4Fx=μ0I1I2,方向向右.14.19均匀带电细直线AB,电荷线密度为λ,可绕垂直于直线的轴O以ω角速度均速转动,设直线长为b,其A端距转轴O距离为a,求
(1)O点的磁感应强度B;
(2)磁矩pm;
(3)若ab,求B0与pm.[解答]
(1)直线转动的周期为T=2π/ω,在直线上距O为r处取一径向线元dr,所带的电量为dq=λdr,形成的圆电流元为dI=dq/T=ωλdr/2π,在圆心O点产生的磁感应强度为dB=μ0dI/2r=μ0ωλdr/4πr,整个直线在O点产生磁感应强度为,如果λ0,B的方向垂直纸面向外.
(2)圆电流元包含的面积为S=πr2,形成的磁矩为dpm=SdI=ωλr2dr/2,积分得.如果λ0,pm的方向垂直纸面向外.
(3)当ab时,因为,所以.ICObaDA图
14.1lrθIdlIdlCObaDAIR图
14.6xdBydBxdByRo1φIRO图
14.8dByxRo1θaωo图
14.11BoRv图
14.13θrI1oRI2图
14.17BAbωoa图
14.19。