线性代数课后习题解答第四章习题详解

第四章　向量组的线性相关性1．设求及.解2．设其中求.解由整理得3已知向量组Aa10123Ta23012Ta32301TBb12112Tb20211Tb34413T证明B组能由A组线性表示但A组不能由B组线性表示证明由知RARAB3所以B组能由A组线性表示由知RB2因为RBRBA所以A组不能由B组线性表示4已知向量组Aa1011Ta2110TBb1101Tb2121Tb3321T证明A组与B组等价证明由知RBRBA2显然在A中有二阶非零子式故RA2又RARBA2所以RA2从而RARBRAB因此A组与B组等价5已知Ra1a2a32Ra2a3a43证明1a1能由a2a3线性表示2a4不能由a1a2a3线性表示证明1由Ra2a3a43知a2a3a4线性无关故a2a3也线性无关又由Ra1a2a32知a1a2a3线性相关故a1能由a2a3线性表示2假如a4能由a1a2a3线性表示则因为a1能由a2a3线性表示故a4能由a2a3线性表示从而a2a3a4线性相关矛盾因此a4不能由a1a2a3线性表示6判定下列向量组是线性相关还是线性无关1131T210T141T2230T140T002T解1以所给向量为列向量的矩阵记为A因为所以RA2小于向量的个数从而所给向量组线性相关2以所给向量为列向量的矩阵记为B因为所以RB3等于向量的个数从而所给向量组线性相无关7问a取什么值时下列向量组线性相关？a1a11Ta21a1Ta311aT解以所给向量为列向量的矩阵记为A由知当a

1、

0、1时RA3此时向量组线性相关8设a1a2线性无关a1ba2b线性相关求向量b用a1a2线性表示的表示式解因为a1ba2b线性相关故存在不全为零的数12使1a1b2a2b0由此得设则bca11ca2cR9设a1a2线性相关b1b2也线性相关问a1b1a2b2是否一定线性相关？试举例说明之解不一定例如当a112Ta224Tb111Tb200T时有a1b112Tb101Ta2b224T00T24T而a1b1a2b2的对应分量不成比例是线性无关的10．举例说明下列各命题是错误的:1若向量组是线性相关的则可由线性表示.2若有不全为0的数使成立则线性相关亦线性相关.3若只有当全为0时等式才能成立则线性无关亦线性无关.4若线性相关亦线性相关则有不全为0的数使同时成立.解1设满足线性相关但不能由线性表示.2有不全为零的数使原式可化为取.其中为单位向量则上式成立而均线性相关.3由仅当线性无关取取为线性无关组.满足以上条件但不能说是线性无关的.4与题设矛盾.11．设证明向量组线性相关.证明设有使得则1若线性相关则存在不全为零的数;;;;由不全为零知不全为零即线性相关.2若线性无关则由知此齐次方程存在非零解.则线性相关.综合得证.12．设且向量组线性无关证明向量组线性无关.证明设则因向量组线性无关故因为故方程组只有零解.则.所以线性无关13．求下列向量组的秩并求一个最大无关组:1　;2　.解　1　线性相关.由秩为2一组最大线性无关组为.2秩为2最大线性无关组为.14．利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组并把其余列向量用最大无关组线性表示:1;

2.解1所以第

1、

2、3列构成一个最大无关组.2，所以第

1、

2、3列构成一个最大无关组．15设向量组a31T2b3T121T231T的秩为2求ab解设a1a31Ta22b3Ta3121Ta4231T因为而Ra1a2a3a42所以a2b516．设是一组维向量已知维单位坐标向量能由它们线性表示证明线性无关.证明维单位向量线性无关.不妨设:所以　两边取行列式，得由即维向量组所构成矩阵的秩为.故线性无关.17．设是一组维向量证明它们线性无关的充分必要条件是任一维向量都可由它们线性表示.证明　　设为一组维单位向量，对于任意维向量则有即任一维向量都可由单位向量线性表示.线性无关，且能由单位向量线性表示，即故两边取行列式，得由令.由即都能由线性表示，因为任一维向量能由单位向量线性表示，故任一维向量都可以由线性表示.已知任一维向量都可由线性表示，则单位向量组可由线性表示，由16题知线性无关.18设向量组a1a2am线性相关且a10证明存在某个向量ak2km使ak能由a1a2ak1线性表示证明因为a1a2am线性相关所以存在不全为零的数12m使1a12a2mam0而且23m不全为零这是因为如若不然则1a10由a10知10矛盾因此存在k2km使k0k1k2m0于是1a12a2kak0ak1/k1a12a2k1ak1即ak能由a1a2ak1线性表示19．设向量组能由向量组线性表示为，其中为矩阵，且组线性无关证明组线性无关的充分必要条件是矩阵的秩.证明　若组线性无关令则有由定理知由组:线性无关知，故.又知为阶矩阵则由于向量组:能由向量组:线性表示则　综上所述知即．若令其中为实数则有又则由于线性无关所以即

（1）由于则1式等价于下列方程组:由于所以方程组只有零解.所以线性无关证毕.20设证明向量组12n与向量组12n等价证明将已知关系写成将上式记为BAK因为所以K可逆故有ABK1由BAK和ABK1可知向量组12n与向量组12n可相互线性表示因此向量组12n与向量组12n等价21已知3阶矩阵A与3维列向量x满足A3x3AxA2x且向量组xAxA2x线性无关1记PxAxA2x求3阶矩阵B使APPB解因为APAxAxA2xAxA2xA3xAxA2x3AxA2x所以2求|A|解由A3x3AxA2x得A3xAxA2x0因为xAxA2x线性无关故3xAxA2x0即方程Ax0有非零解所以RA3|A|022．求下列齐次线性方程组的基础解系:

123.解　1所以原方程组等价于取得;取得.因此基础解系为2所以原方程组等价于取得;取得.因此基础解系为3原方程组即为取得取得取得所以基础解系为23．设求一个矩阵使且.解　　由于所以可设.则由可得解此非齐次线性方程组可得唯一解，　故所求矩阵．24．求一个齐次线性方程组使它的基础解系为.解　　显然原方程组的通解为即消去得此即所求的齐次线性方程组.25设四元齐次线性方程组III求1方程I与II的基础解系2I与II的公共解解1由方程I得取x3x4T10T得x1x2T00T取x3x4T01T得x1x2T11T因此方程I的基础解系为10010T21101T由方程II得取x3x4T10T得x1x2T01T取x3x4T01T得x1x2T11T因此方程II的基础解系为10110T21101T2I与II的公共解就是方程III的解因为方程组III的系数矩阵所以与方程组III同解的方程组为取x41得x1x2x3T112T方程组III的基础解系为1121T因此I与II的公共解为xc1121TcR26．设阶矩阵满足为阶单位矩阵证明提示:利用矩阵性质6和8证明　　所以由21题所证可知又　由11题所证可知由此．27设A为n阶矩阵n2A*为A的伴随阵证明证明当RAn时|A|0故有|AA*|||A|E||A|0|A*|0所以RA*n当RAn1时|A|0故有AA*|A|E0即A*的列向量都是方程组Ax0的解因为RAn1所以方程组Ax0的基础解系中只含一个解向量即基础解系的秩为1因此RA*1当RAn2时A中每个元素的代数余子式都为0故A*O从而RA*028．求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系12解　　1229．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知是它的三个解向量．且，求该方程组的通解．解由于矩阵的秩为3，，一维．故其对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量，且由于均为方程组的解，由非齐次线性方程组解的结构性质得为其基础解系向量，故此方程组的通解，30设有向量组Aa1210Ta2215Ta3114T及b11T问为何值时1向量b不能由向量组A线性表示2向量b能由向量组A线性表示且表示式唯一3向量b能由向量组A线性表示且表示式不唯一并求一般表示式解1当40时RARAb此时向量b不能由向量组A线性表示2当4时RARAb3此时向量组a1a2a3线性无关而向量组a1a2a3b线性相关故向量b能由向量组A线性表示且表示式唯一3当40时RARAb2此时向量b能由向量组A线性表示且表示式不唯一当40时方程组a3a2a1xb的解为cR因此b2c1a33c1a2ca1即bca13c1a22c1a3cR31设aa1a2a3Tbb1b2b3Tcc1c2c3T证明三直线l1a1xb1yc10l2a2xb2yc20ai2bi20i123l3a3xb3yc30相交于一点的充分必要条件为向量组ab线性无关且向量组abc线性相关证明三直线相交于一点的充分必要条件为方程组即有唯一解上述方程组可写为xaybc因此三直线相交于一点的充分必要条件为c能由ab唯一线性表示而c能由ab唯一线性表示的充分必要条件为向量组ab线性无关且向量组abc线性相关32设矩阵Aa1a2a3a4其中a2a3a4线性无关a12a2a3向量ba1a2a3a4求方程Axb的通解解由ba1a2a3a4知1111T是方程Axb的一个解由a12a2a3得a12a2a30知1210T是Ax0的一个解由a2a3a4线性无关知RA3故方程Axb所对应的齐次方程Ax0的基础解系中含一个解向量因此1210T是方程Ax0的基础解系方程Axb的通解为xc1210T1111TcR33．设是非齐次线性方程组的一个解是对应的齐次线性方程组的一个基础解系证明:1线性无关；2线性无关证明1反证法假设线性相关则存在着不全为0的数使得下式成立:1其中否则线性相关而与基础解系不是线性相关的产生矛盾由于为特解，为基础解系，故得而由1式可得故，而题中该方程组为非齐次线性方程组得产生矛盾假设不成立故线性无关.2反证法假使线性相关.则存在着不全为零的数使得下式成立:

（2）即1若由于是线性无关的一组基础解系故由2式得此时与假设矛盾.2若由题1知线性无关故与假设矛盾综上假设不成立原命题得证.

34.设是非齐次线性方程组的个解，为实数，满足.证明也是它的解.证明由于是非齐次线性方程组的个解.故有而即（）从而也是方程的解．35．设非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，是它的个线性无关的解由题24知它确有个线性无关的解．试证它的任一解可表示为（其中）.证明　设为的任一解．由题设知线性无关且均为的解．取，则它的均为的解．用反证法证线性无关．反设它们线性相关，则存在不全为零的数使得即亦即由线性无关知矛盾，故假设不对．线性无关，为的一组基．由于均为的解，所以为的解可由线性表出．令则证毕．36．设问是不是向量空间？为什么？证明集合成为向量空间只需满足条件若，则若，则是向量空间，因为..且故故不是向量空间，因为故.故当时，37．试证:由所生成的向量空间就是.证明　设于是故线性无关.由于均为三维且秩为3所以为此三维空间的一组基故由所生成的向量空间就是.38．由所生成的向量空间记作由所生成的向量空间记作试证.证明设任取中一向量可写成要证从而得由得上式中把看成已知数把看成未知数有唯一解同理可证:故39．验证为的一个基并把用这个基线性表示.解由于即矩阵的秩为

3.故线性无关，则为的一个基.设，则故设，则故线性表示为40已知R3的两个基为a1111Ta2101Ta3101Tb1121Tb2234Tb3343T求由基a1a2a3到基b1b2b3的过渡矩阵P解设e1e2e3是三维单位坐标向量组则于是由基a1a2a3到基b1b2b3的过渡矩阵为。