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第四章 向量组的线性相关性1.设求及.解2.设其中求.解由整理得3已知向量组Aa10123Ta23012Ta32301TBb12112Tb20211Tb34413T证明B组能由A组线性表示但A组不能由B组线性表示证明由知RARAB3所以B组能由A组线性表示由知RB2因为RBRBA所以A组不能由B组线性表示4已知向量组Aa1011Ta2110TBb1101Tb2121Tb3321T证明A组与B组等价证明由知RBRBA2显然在A中有二阶非零子式故RA2又RARBA2所以RA2从而RARBRAB因此A组与B组等价5已知Ra1a2a32Ra2a3a43证明1a1能由a2a3线性表示2a4不能由a1a2a3线性表示证明1由Ra2a3a43知a2a3a4线性无关故a2a3也线性无关又由Ra1a2a32知a1a2a3线性相关故a1能由a2a3线性表示2假如a4能由a1a2a3线性表示则因为a1能由a2a3线性表示故a4能由a2a3线性表示从而a2a3a4线性相关矛盾因此a4不能由a1a2a3线性表示6判定下列向量组是线性相关还是线性无关1131T210T141T2230T140T002T解1以所给向量为列向量的矩阵记为A因为所以RA2小于向量的个数从而所给向量组线性相关2以所给向量为列向量的矩阵记为B因为所以RB3等于向量的个数从而所给向量组线性相无关7问a取什么值时下列向量组线性相关?a1a11Ta21a1Ta311aT解以所给向量为列向量的矩阵记为A由知当a
1、
0、1时RA3此时向量组线性相关8设a1a2线性无关a1ba2b线性相关求向量b用a1a2线性表示的表示式解因为a1ba2b线性相关故存在不全为零的数12使1a1b2a2b0由此得设则bca11ca2cR9设a1a2线性相关b1b2也线性相关问a1b1a2b2是否一定线性相关?试举例说明之解不一定例如当a112Ta224Tb111Tb200T时有a1b112Tb101Ta2b224T00T24T而a1b1a2b2的对应分量不成比例是线性无关的10.举例说明下列各命题是错误的:1若向量组是线性相关的则可由线性表示.2若有不全为0的数使成立则线性相关亦线性相关.3若只有当全为0时等式才能成立则线性无关亦线性无关.4若线性相关亦线性相关则有不全为0的数使同时成立.解1设满足线性相关但不能由线性表示.2有不全为零的数使原式可化为取.其中为单位向量则上式成立而均线性相关.3由仅当线性无关取取为线性无关组.满足以上条件但不能说是线性无关的.4与题设矛盾.11.设证明向量组线性相关.证明设有使得则1若线性相关则存在不全为零的数;;;;由不全为零知不全为零即线性相关.2若线性无关则由知此齐次方程存在非零解.则线性相关.综合得证.12.设且向量组线性无关证明向量组线性无关.证明设则因向量组线性无关故因为故方程组只有零解.则.所以线性无关13.求下列向量组的秩并求一个最大无关组:1 ;2 .解 1 线性相关.由秩为2一组最大线性无关组为.2秩为2最大线性无关组为.14.利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组并把其余列向量用最大无关组线性表示:1;
2.解1所以第
1、
2、3列构成一个最大无关组.2,所以第
1、
2、3列构成一个最大无关组.15设向量组a31T2b3T121T231T的秩为2求ab解设a1a31Ta22b3Ta3121Ta4231T因为而Ra1a2a3a42所以a2b516.设是一组维向量已知维单位坐标向量能由它们线性表示证明线性无关.证明维单位向量线性无关.不妨设:所以 两边取行列式,得由即维向量组所构成矩阵的秩为.故线性无关.17.设是一组维向量证明它们线性无关的充分必要条件是任一维向量都可由它们线性表示.证明 设为一组维单位向量,对于任意维向量则有即任一维向量都可由单位向量线性表示.线性无关,且能由单位向量线性表示,即故两边取行列式,得由令.由即都能由线性表示,因为任一维向量能由单位向量线性表示,故任一维向量都可以由线性表示.已知任一维向量都可由线性表示,则单位向量组可由线性表示,由16题知线性无关.18设向量组a1a2am线性相关且a10证明存在某个向量ak2km使ak能由a1a2ak1线性表示证明因为a1a2am线性相关所以存在不全为零的数12m使1a12a2mam0而且23m不全为零这是因为如若不然则1a10由a10知10矛盾因此存在k2km使k0k1k2m0于是1a12a2kak0ak1/k1a12a2k1ak1即ak能由a1a2ak1线性表示19.设向量组能由向量组线性表示为,其中为矩阵,且组线性无关证明组线性无关的充分必要条件是矩阵的秩.证明 若组线性无关令则有由定理知由组:线性无关知,故.又知为阶矩阵则由于向量组:能由向量组:线性表示则 综上所述知即.若令其中为实数则有又则由于线性无关所以即
(1)由于则1式等价于下列方程组:由于所以方程组只有零解.所以线性无关证毕.20设证明向量组12n与向量组12n等价证明将已知关系写成将上式记为BAK因为所以K可逆故有ABK1由BAK和ABK1可知向量组12n与向量组12n可相互线性表示因此向量组12n与向量组12n等价21已知3阶矩阵A与3维列向量x满足A3x3AxA2x且向量组xAxA2x线性无关1记PxAxA2x求3阶矩阵B使APPB解因为APAxAxA2xAxA2xA3xAxA2x3AxA2x所以2求|A|解由A3x3AxA2x得A3xAxA2x0因为xAxA2x线性无关故3xAxA2x0即方程Ax0有非零解所以RA3|A|022.求下列齐次线性方程组的基础解系:
123.解 1所以原方程组等价于取得;取得.因此基础解系为2所以原方程组等价于取得;取得.因此基础解系为3原方程组即为取得取得取得所以基础解系为23.设求一个矩阵使且.解 由于所以可设.则由可得解此非齐次线性方程组可得唯一解, 故所求矩阵.24.求一个齐次线性方程组使它的基础解系为.解 显然原方程组的通解为即消去得此即所求的齐次线性方程组.25设四元齐次线性方程组III求1方程I与II的基础解系2I与II的公共解解1由方程I得取x3x4T10T得x1x2T00T取x3x4T01T得x1x2T11T因此方程I的基础解系为10010T21101T由方程II得取x3x4T10T得x1x2T01T取x3x4T01T得x1x2T11T因此方程II的基础解系为10110T21101T2I与II的公共解就是方程III的解因为方程组III的系数矩阵所以与方程组III同解的方程组为取x41得x1x2x3T112T方程组III的基础解系为1121T因此I与II的公共解为xc1121TcR26.设阶矩阵满足为阶单位矩阵证明提示:利用矩阵性质6和8证明 所以由21题所证可知又 由11题所证可知由此.27设A为n阶矩阵n2A*为A的伴随阵证明证明当RAn时|A|0故有|AA*|||A|E||A|0|A*|0所以RA*n当RAn1时|A|0故有AA*|A|E0即A*的列向量都是方程组Ax0的解因为RAn1所以方程组Ax0的基础解系中只含一个解向量即基础解系的秩为1因此RA*1当RAn2时A中每个元素的代数余子式都为0故A*O从而RA*028.求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系12解 1229.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知是它的三个解向量.且,求该方程组的通解.解由于矩阵的秩为3,,一维.故其对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量,且由于均为方程组的解,由非齐次线性方程组解的结构性质得为其基础解系向量,故此方程组的通解,30设有向量组Aa1210Ta2215Ta3114T及b11T问为何值时1向量b不能由向量组A线性表示2向量b能由向量组A线性表示且表示式唯一3向量b能由向量组A线性表示且表示式不唯一并求一般表示式解1当40时RARAb此时向量b不能由向量组A线性表示2当4时RARAb3此时向量组a1a2a3线性无关而向量组a1a2a3b线性相关故向量b能由向量组A线性表示且表示式唯一3当40时RARAb2此时向量b能由向量组A线性表示且表示式不唯一当40时方程组a3a2a1xb的解为cR因此b2c1a33c1a2ca1即bca13c1a22c1a3cR31设aa1a2a3Tbb1b2b3Tcc1c2c3T证明三直线l1a1xb1yc10l2a2xb2yc20ai2bi20i123l3a3xb3yc30相交于一点的充分必要条件为向量组ab线性无关且向量组abc线性相关证明三直线相交于一点的充分必要条件为方程组即有唯一解上述方程组可写为xaybc因此三直线相交于一点的充分必要条件为c能由ab唯一线性表示而c能由ab唯一线性表示的充分必要条件为向量组ab线性无关且向量组abc线性相关32设矩阵Aa1a2a3a4其中a2a3a4线性无关a12a2a3向量ba1a2a3a4求方程Axb的通解解由ba1a2a3a4知1111T是方程Axb的一个解由a12a2a3得a12a2a30知1210T是Ax0的一个解由a2a3a4线性无关知RA3故方程Axb所对应的齐次方程Ax0的基础解系中含一个解向量因此1210T是方程Ax0的基础解系方程Axb的通解为xc1210T1111TcR33.设是非齐次线性方程组的一个解是对应的齐次线性方程组的一个基础解系证明:1线性无关;2线性无关证明1反证法假设线性相关则存在着不全为0的数使得下式成立:1其中否则线性相关而与基础解系不是线性相关的产生矛盾由于为特解,为基础解系,故得而由1式可得故,而题中该方程组为非齐次线性方程组得产生矛盾假设不成立故线性无关.2反证法假使线性相关.则存在着不全为零的数使得下式成立:
(2)即1若由于是线性无关的一组基础解系故由2式得此时与假设矛盾.2若由题1知线性无关故与假设矛盾综上假设不成立原命题得证.
34.设是非齐次线性方程组的个解,为实数,满足.证明也是它的解.证明由于是非齐次线性方程组的个解.故有而即()从而也是方程的解.35.设非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为,是它的个线性无关的解由题24知它确有个线性无关的解.试证它的任一解可表示为(其中).证明 设为的任一解.由题设知线性无关且均为的解.取,则它的均为的解.用反证法证线性无关.反设它们线性相关,则存在不全为零的数使得即亦即由线性无关知矛盾,故假设不对.线性无关,为的一组基.由于均为的解,所以为的解可由线性表出.令则证毕.36.设问是不是向量空间?为什么?证明集合成为向量空间只需满足条件若,则若,则是向量空间,因为..且故故不是向量空间,因为故.故当时,37.试证:由所生成的向量空间就是.证明 设于是故线性无关.由于均为三维且秩为3所以为此三维空间的一组基故由所生成的向量空间就是.38.由所生成的向量空间记作由所生成的向量空间记作试证.证明设任取中一向量可写成要证从而得由得上式中把看成已知数把看成未知数有唯一解同理可证:故39.验证为的一个基并把用这个基线性表示.解由于即矩阵的秩为
3.故线性无关,则为的一个基.设,则故设,则故线性表示为40已知R3的两个基为a1111Ta2101Ta3101Tb1121Tb2234Tb3343T求由基a1a2a3到基b1b2b3的过渡矩阵P解设e1e2e3是三维单位坐标向量组则于是由基a1a2a3到基b1b2b3的过渡矩阵为。